更新履歴
新規作成 2013.11.12
ver.1.001 2013.12. 7 4-1-1から4-1-5追記
ver.1.002 2013.12.14 手直しと4-1-6,4-1-7追記
ver.1.003 2014. 1. 3 1.3.追記
ver.1.004 2014. 1. 4 1.3.訂正
ver.1.005 2014. 2. 9 1-4.
3-3. 5.追加
ver.1.007 2015. 1. 3 注釈追加
目次
【はじめに】
掲示板の完全数についてまとめてみます。
私は、素人なので、ボケ防止のためにやっているわけで、私の研究結果というほどのものではなく、日々の漫然とした
記録のまとめであり、修正版です。
なお、数式処理言語Maximaをつかっています。
１．倍積完全数
一般にある数aが、そのすべての約数の総和をσ(a)とするとき、σ(a)=k a となるとき、倍積完全数というそうです。
そのうち、k=2の場合を一般に完全数と言っているようです。
１．１．約数の総和
さて、いま
a=u v
と表せる時
σ(a)=(1+u)(1+v)
と表せます。つまり、
σ(a)=(1+u)(1+v)=1+u+v+uv
で、すべての約数の組み合わせができます。
たとえば、
a=6=2x3
σ(a)=(1+2)(1+3)=1+2+3+2x3=1+2+3+6=12=2a
となり、6は完全数です。
さて、
a=sm
の場合、
σ(a)=1+s
1+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m
となります。ですから、
a=sm t
の場合、
σ(a)={1+s
1+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}(1+t)
となります。
たとえば、
a=28=4x7=2
2x7
σ(a)=(1+2+2
2)(1+7)=(1+2+4)x8=7x8=56=2a
となり、28は完全数です。
以上のように、
a=sm t
n u
の場合、
σ(a)={1+s
1+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}{1+t
1+t
2+t
3+・・・
+t
n-1+t
n}(1+u)
となります。
さて、ここで、
{1+s
1+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}
は、s
rで割れないのは、明らかですね。同様にtもそうですね。
また、s,t,uは素数にならないとこういうふうには表せないので、素数なのです。
という事は、(1+u)は偶数なので、2で割れますのでuは半分くらいの素数に変わってしまいます。
以上からして、
σ(a)=k aとなるには、
{1+s1+s2+s3+・・・+sm-1+sm}(1
+u)で、kかtn uが作られ、
{1+t1+t2+t3+・・・+tn-1+tn}(1
+u)で、kかsm uが作られなければ、a=sm tn
uはできません。
したがって、σ(a)=k aという
倍積完全数ができる必要条件は以上であることですね。
１．２オイラー完全数
オイラー完全数は、
a=sm t
でs=2の場合です。
a=2m t
したがって、
σ(a)={1+2
1+2
2+2
3+・・・+2
m-1+2
m}(1+t)
です。
さて、ここで、非常な重要な式をあげます。
x
n+1-1=(x-1){x
n+x
n-1+・・・+x
2+x+1}
です。展開すれば、すぐわかります。
注釈：
xn+1-1=(x-1){xn+xn-1+・・・+x2+x+1}
(xn+1-1)/(x-1)={xn+xn-1+・・・+x2+x+1}
とすると、これは等比級数の和の公式ですね。
ここで、x=2を代入すると
2
n+1-1=(2-1){2
n+2
n-1+・・・+2
2+2+1}
2
n+1-1=2
n+2
n-1+・・・+2
2+2+1
が得られます。
さて、
2
n+1-1=2
n+2
n-1+・・・+2
2+2+1
で2
n+1-1が素数の場合メルセンヌ素数というそうです。
これより先の式は
σ(a)={1+2
1+2
2+2
3+・・・+2
m-1+2
m}(1+t)=(2
m+1-1)(1+t)
となります。1+tはtが素数なので、偶数です。
a=2
mtですから、倍積完全数ができる必要条件より、
1+t=2
m ですから、(2
m+1-1)=tでなければなりません。
ここで、1+t=2
m だろう？するとt=2
m-1じゃないか。おかしいだろう？
と言っては、なりません。1+tはk=2を含んでいるわけです。
なぜなら、(2
m+1-1)=tでtは素数だから、kは1+tに含まれなければなりません。
よって
σ(a)={1+2
1+2
2+2
3+・・・+2
m-1+2
m}(1+t)=(2
m+1-1)2
m
ですね。
では、一番小さいオイラー完全数は28ですが、
a=28=4x7=2
2x7
σ(a)=(2
2+1-1)x8=(8-1)x8=2x2
2x7=2a
で完全数です。
つぎは、a=496=2
4x31ですが、
σ(a)=(2
5-1)x2
5=32x31=2x2
4x31=2a
ですね。
ですから、オイラー完全数がσ(a)=(2
m+1-1)2
mですから、メルセンヌ数でないとできないと言わ
れています。
１.３.倍積完全数 a=u sm 形式の特徴
a=u s
mにおいて、
σ(a)=(1+u){1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}=k u s
m
であるから、uは素数なので、k u s
mのk s
m にはなれない。
よって、
{1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}=u
また、1+uは偶数であるから、
(1+u)=k s
m
より、
(1+u)=k s
m
注釈：
(1+u)=k sm
u=k sm-1
でk=2,s=2とすれば、uは素数だから、uはメルセンヌ数ですね。
u=k s
m-1=1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m
ここで、{1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}(s-1)=
sm+1 - 1より次のように表せる。
sm+1 - 1
--------- = 1+s+s2+・・・+sm-1+sm
s-1
これより
sm+1 - 1
-------- = k sm - 1
s-1
{k sm-1}(s-1)=sm+1 - 1
k sm+1 - s - k sm + 1 = sm+1 - 1
(k-1)sm+1 + 2 = k sm+s
ここで、k=2とすると
s=2なら、
2m+1 + 2 = 2 2m+2
2m+1 = 2m+1
で、両辺は等しい。
したがって、s=2の時、a=u sm は完全数になり得る。
では、k=2でsが3以上の時
sm+1+2 = 2 sm+s
さて、sは素数なので、2でなければ奇数である。
よってs=2n+1とすると
(2n+1)m+1+ 2 = 2 (2n+1)m + 2n + 1
(2n+1)m+1+ 1 = 2 (2n+1)m + 2n
(2n+1)m+1- 2 (2n+1)m = 2n -1
(2n+1)m (2n+1-2=2n-1
(2n-1) (2n+1)m=2n-1
(2n-1) (2n+1)m-(2n-1)=0
(2n-1){(2n+1)m-1}=0
(2n+1)m-1=0
nは1以上 mは2以上の偶数なので、この形式はありえない。
(k-1)sm+1+2=k sm+s
ここで、k=3とすると
(3-1)sm+1+2=3 sm+s
2sm+1+2=3 sm+s
さて、sは素数なので、2でなければ奇数である。よってs=2n+1
2(2n+1)m+1 + 2 = 3 (2n+1)m + 2n + 1
2(2n+1)m+1 + 1 = 3 (2n+1)m + 2n
2(2n+1)m+1 - 3 (2n+1)m = 2n - 1
(4n+2-3) (2n+1)m = 2n-1
(4n-1) (2n+1)m = 2n-1
2n-1
(2n+1)m = ---------
4n-1
nは1以上、mは2以上の偶数なので、左辺は自然数、右辺は1より小さいので、k=3はありえない。
では、kが4以上なら
(k-1)sm+1 + 2 = k sm + s
s(k-1)sm + 2 = k sm + s
{s(k-1)-k}sm = s-2
{k(s-1)-s}sm = s-2
s-2
sm = ----------
k(s-1)-s
sは奇数なので、s=2n+1として、
2n+1-2
(2n+1)m = ---------------
k(2n+1-1)-2n-1
2n - 1
(2n+1)m = ---------------
2n (k-1) -1
mは2以上の偶数、sは3以上の素数、kが3以上なので、2n (k-1) -1 ＞ 2n - 1であり
左辺は自然数、右辺は1以下の小数であり、したがって、a=u sm σ(a)=k u smは、ありえない。
つまり、倍積完全数になり得ない。
１−４．倍積完全数a=smtn
a=s
m t
n
σ(a)={1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}{1+t+t
2+・・・+t
n-1+t
n}=k s
m t
n
で
{1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}=k1 t
n
{1+t+t
2+・・・+t
n-1+t
n}=k2 s
m
k=k1 k2
k1はsとsの累乗を含まない自然数である。
k2はtとｔの累乗を含まない自然数である。
s,tが2でない素数なら、mが偶数なら、k1 t
nは奇数であり、mが奇数なら、k1 t
nは偶数なので、t
nは奇数なのでk1が偶数である。
同様に、nもnが偶数なら、k2 s
mは奇数であり、nが奇数なら、k2 s
mは偶数なので、s
mは奇数なのでk2が偶数である。
では、sかｔの何れかが、２の場合、
１）s=2なら、
{1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}は奇数である。よって、
{1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}=k1 t
n
k1,t
nも奇数である。
したがって、s
mが偶数であるから
{1+t+t
2+・・・+t
n-1+t
n}=k2 s
m
のk2 s
mは偶数であり、つまり、nは奇数である。
当然a=s
m t
nは偶数である。
k2は偶数か奇数かのいずれかである。
k=k1 k2
より、kは偶数か奇数かのいずれかである。
同様に、t=2もいえる。
２）s,tが同時に2のとき、
{1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}は奇数である。よって、
{1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}=k1 t
n
k1,t
nも奇数である。
{1+t+t
2+・・・+t
n-1+t
n}は奇数である。よって、
{1+t+t
2+・・・+t
n-1+t
n}=k2 s
m
k2,s
mも奇数である。
ところが、s
mもt
nも偶数なので、矛盾する。
したがって、s,tは何れかが2になれるが同時にはなれない。
それは、当たり前ですけどね。
k=k1 k2であるから、
σ(a)=k s
m t
n= k1 k2 2
m t
n=k1 k2 a
また
σ(a)=k1 k2 {1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}{1+t+t
2+・・・+t
n-1+t
n}
ところで
{s
m+1-1}/(s-1)={1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}
s
m+1-1=(s-1){1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}
s=2なので
2
m+1-1={1+2+2
2+・・・+2
m-1+2
m}
さて、
σ(a)=k1 k2 {2
m+1-1}{t
n+1-1}/(t-1)=k1 k2 2
m t
n
k1 k2 {2
m+1-1}{t
n+1-1}/(t-1)=k1 k2 2
m t
n
より
{2
m+1-1}{t
n+1-1}/(t-1)=2
m t
n
(t-1)を右辺に
{2
m+1-1}{t
n+1-1}=2
m t
n (t-1)
展開して
2
m+1t
n+1-2
m+1-t
n+1+1=2
m t
n t- 2
mt
n
整理して
2
m+1t
n+1-2
m+1-t
n+1+1=2
m t
n+1- 2
mt
n
左辺の2
m+1と右辺の2
m t
n+1を入れ替えて、
2
m+1t
n+1-2
m t
n+1-t
n+1+1=2
m+1- 2
mt
n
t
n+1{2
m+1-2
m-1}+1=2
m+1- 2
mt
n
t
n+1{2 2
m- 2
m - 1}+1=2
m+1- 2
mt
n
t
n+1{(2-1)2
m - 1}+1=2
m+1- 2
mt
n
t
n+1{2
m - 1)+1= 2
m+1- 2
mt
n
t
n+1{2
m -1)+ 2
mt
n + 1 = 2
m+1
t
n+1{2
m -1)+ 2
mt
n = 2
m+1-1
m=1
tn+1{2 -1)+ 2tn = 22-1
tn+1+ 2tn = 3
tn+1+ 2tn - 3=0
n=1
t2 + 2t - 3=0
(t-1)(t+3) =0
t=1,t=-3
n=2
t3 + 2t2 - 3=0
(%i1) solve(t^3+2*t^2-3=0,t);
sqrt(3) %i + 3 sqrt(3) %i - 3
(%o1) [t = - --------------, t = --------------, t = 1]
2
2
n=3
t4 + 2t3 - 3=0
(%i2) solve(t^4+2*t^3-3=0,t);
1/3 sqrt(3) %i
1
1/3 sqrt(3) %i 1
(%o2) [t = - 2 (- ---------- - -) - 1, t = - 2 (---------- - -) - 1,
2
2
2 2
1/3
- 3 2 - 3
t = ------------, t = 1]
3
n=4
t5+ 2t4 -3=0
(%i3) solve(t^5+2*t^4-3=0,t);
3 5 sqrt(3) %i
sqrt(- - ------------)
2
2 sqrt(3)
%i 3
(%o3) [t = - ---------------------- - ---------- - -,
2
4 4
3 5 sqrt(3) %i
sqrt(- - ------------)
2
2 sqrt(3)
%i 3
t = ---------------------- - ---------- - -,
2
4 4
5 sqrt(3) %i 3
sqrt(------------ + -)
2 2
sqrt(3) %i 3
t = - ---------------------- + ---------- - -,
2
4 4
5 sqrt(3) %i 3
sqrt(------------ + -)
2 2
sqrt(3) %i 3
t = ---------------------- + ---------- - -, t = 1]
2
4 4
n=1以外では素数解がない？
m=2
t
n+1{2
m -1)+ 2
mt
n = 2
m+1-1
t
n+1(2
2-1) + 2
2 t
n = 2
2+1-1
3 t
n+1 + 4 t
n = 7
n=1
3 t2 + 4 t = 7
(%i5) solve(3*t^2+4*t-7=0,t);
7
(%o5)
[t = - -, t = 1]
3
n=2
3 t3 +4 t2= 7
(%i7) solve(3*t^3+4*t^2-7=0,t);
sqrt(35) %i + 7 sqrt(35) %i - 7
(%o7) [t = - ---------------, t = ---------------, t = 1]
6
6
n=3
(%i6) solve(3*t^3+4*t^3-7=0,t);
sqrt(3) %i - 1 sqrt(3) %i + 1
(%o6) [t = --------------, t = - --------------, t = 1]
2
2
(%i7) solve(3*t^3+4*t^2-7=0,t);
sqrt(35) %i + 7 sqrt(35) %i - 7
(%o7) [t = - ---------------, t = ---------------, t = 1]
6
6
(%i8) solve(3*t^4+4*t^3-7=0,t);
sqrt(3) %i 1
14 (---------- - -) 3/2
2
2 7 2 532
1/3 sqrt(3) %i 1 7
(%o8) [t = - -------------------- + (------ - ---) (- ---------- - -) - -,
3/2
27
729
2 2 9
7 2 532 1/3
81 (------ - ---)
27 729
sqrt(3) %i 1
3/2
14 (- ---------- - -)
7 2 532
1/3 sqrt(3) %i
1
2 2 7
t = (------ - ---) (---------- - -) - --------------------- - -,
27
729
2
2
3/2
9
7 2 532 1/3
81 (------ - ---)
27 729
3/2
7 2 532
1/3
14 7
t = (------ - ---) - -------------------- - -, t = 1]
27
729
3/2
9
7 2 532 1/3
81 (------ - ---)
27 729
n=4
(%i9) solve(3*t^5+4*t^4-7=0,t);
7 sqrt(10997) %i 245 2/3
(%o9) [t = - sqrt(259/(6 sqrt((324 (---------------- + ----)
9/2 1458
2 3
7 sqrt(10997) %i
245 1/3 7
sqrt(10997) %i 245 1/3
- 63 (---------------- + ----) + 616)/(---------------- + ----) ))
9/2
1458
9/2 1458
2
3
2 3
7 sqrt(10997) %i 245
1/3
154
7
- (---------------- + ----) - ------------------------------- - --)/2
9/2
1458 7
sqrt(10997) %i 245 1/3 18
2
3
81 (---------------- + ----)
9/2 1458
2 3
7 sqrt(10997) %i 245
2/3 7 sqrt(10997) %i
245 1/3
- sqrt((324 (---------------- + ----) - 63 (---------------- + ----)
9/2
1458
9/2 1458
2
3
2 3
7 sqrt(10997)
%i 245 1/3 7
+ 616)/(---------------- + ----) )/36 - --,
9/2
1458 12
2 3
7 sqrt(10997) %i 245 2/3
t = sqrt(259/(6 sqrt((324 (---------------- + ----)
9/2 1458
2 3
7 sqrt(10997) %i
245 1/3 7
sqrt(10997) %i 245 1/3
- 63 (---------------- + ----) + 616)/(---------------- + ----) ))
9/2
1458
9/2 1458
2
3
2 3
7 sqrt(10997) %i 245
1/3
154
7
- (---------------- + ----) - ------------------------------- - --)/2
9/2
1458 7
sqrt(10997) %i 245 1/3 18
2
3
81 (---------------- + ----)
9/2 1458
2 3
7 sqrt(10997) %i 245
2/3 7 sqrt(10997) %i
245 1/3
- sqrt((324 (---------------- + ----) - 63 (---------------- + ----)
9/2
1458
9/2 1458
2
3
2 3
7 sqrt(10997)
%i 245 1/3 7
+ 616)/(---------------- + ----) )/36 - --,
9/2
1458 12
2 3
7 sqrt(10997) %i 245 2/3
t = - sqrt(- 259/(6 sqrt((324 (---------------- + ----)
9/2 1458
2 3
7 sqrt(10997) %i
245 1/3 7
sqrt(10997) %i 245 1/3
- 63 (---------------- + ----) + 616)/(---------------- + ----) ))
9/2
1458
9/2 1458
2
3
2 3
7 sqrt(10997) %i 245
1/3
154
7
- (---------------- + ----) - ------------------------------- - --)/2
9/2
1458 7
sqrt(10997) %i 245 1/3 18
2
3
81 (---------------- + ----)
9/2 1458
2 3
7 sqrt(10997) %i 245
2/3 7 sqrt(10997) %i
245 1/3
+ sqrt((324 (---------------- + ----) - 63 (---------------- + ----)
9/2
1458
9/2 1458
2
3
2 3
7 sqrt(10997)
%i 245 1/3 7
+ 616)/(---------------- + ----) )/36 - --,
9/2
1458 12
2 3
7 sqrt(10997) %i 245 2/3
t = sqrt(- 259/(6 sqrt((324 (---------------- + ----)
9/2 1458
2 3
7 sqrt(10997) %i
245 1/3 7
sqrt(10997) %i 245 1/3
- 63 (---------------- + ----) + 616)/(---------------- + ----) ))
9/2
1458
9/2 1458
2
3
2 3
7 sqrt(10997) %i 245
1/3
154
7
- (---------------- + ----) - ------------------------------- - --)/2
9/2
1458 7
sqrt(10997) %i 245 1/3 18
2
3
81 (---------------- + ----)
9/2 1458
2 3
7 sqrt(10997) %i 245
2/3 7 sqrt(10997) %i
245 1/3
+ sqrt((324 (---------------- + ----) - 63 (---------------- + ----)
9/2
1458
9/2 1458
2
3
2 3
7 sqrt(10997)
%i 245 1/3 7
+ 616)/(---------------- + ----) )/36 - --, t = 1]
9/2
1458 12
2 3
n=1以外では素数解がない？
tn+1{2m -1+ 2mtn = 2m+1-1
tn{t 2m-1+1} = 2m+1-1
tn = {2m+1-1}/{t (2m-1)+1}
tn = {2 2m -1}/{t (2m-1)+1}
2 2m -1
tn = ----------------
t (2m-1)+1
ｔは奇数の素数なので3以上である。mが2以上では左辺は自然数であるが、右辺は小数であり、成り立たない。
よって、
a=sm tn （m>1、n>1として）
でs,tが2であることは無い。
s,tが３以上の素数なら、
１）mが偶数なら、{1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}が奇数なので、k1 t
nは奇数である。
t
nはtは素数なので、奇数である。したがって、k1は奇数である。
nが偶数なら、{1+t+t
2+・・・+t
n-1+t
n}は奇数なので、k2 s
mは奇数になる。tは素数で奇数だからK2が奇数である。
よって、kは奇数になる。
２）mが偶数なら、{1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}が奇数なので、k1 t
nは奇数である。
t
nはtは素数なので、奇数である。したがって、k1は奇数である。
nが奇数なら、{1+t+t^2+・・・+t^(n-1)+t^n}は偶数なので、k2 s^mは偶数になる。tは素数で奇数だからK2が偶数である。
よって、kは偶数になる。
３）mが奇数なら、{1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}が偶数なので、k1 t
nは偶数である。
t
nはtは素数なので、奇数である。したがって、k1は偶数である。
nが偶数なら、{1+t+t
2+・・・+t
n-1+t
n}は奇数なので、k2 s
mは奇数になる。tは素数で奇数だからK2が奇数である。
よって、kは偶数になる。
４）mが奇数なら、{1+s+s
2+・・・+s
m-1+s
m}が偶数なので、k1 t
nは偶数である。
t
nはtは素数なので、奇数である。したがって、k1は偶数である。
nが奇数なら、{1+t+t
2+・・・+t
n-1+t
n}は偶数なので、k2 s
mは偶数になる。tは素数で奇数だからK2が偶数である。
よって、kは偶数になる。
まとめると
m
|
n
|
k1
|
k2
|
k
|
奇数
|
奇数 |
奇数 |
奇数 |
奇数 |
| 奇数 |
偶数 |
奇数 |
偶数 |
偶数 |
偶数
|
奇数 |
偶数 |
奇数 |
偶数 |
| 偶数 |
偶数 |
偶数 |
偶数 |
偶数 |
より、
m,nともに奇数でなければ、kは奇数になれない。つまり偶数である。
2.完全数と仲間たち
完全数はσ(a)=2 aをいうそうです。
２−１．概完全数
概全数はσ(a)= 2 a-1をいうそうです。
先ほどあげた、2
n+1-1=2
n+2
n-1+・・・+2
2+2+1の場合、
a=2
nのばあい、
σ(a)=2
n+2
n-1+・・・+2
2+2+1=2
n+1-1=2x2
n-1=2a-1
ですから、これは、概完全数ですね。
２−２.準完全数
準完全数はσ(a)=2 a +1をいうそうです。
3.偶数や奇数の完全数の特徴
3-1.約数の総和と奇数の完全数
a=sm t
n u
の場合、
σ(a)={1+s
1+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}{1+t
1+t
2+t
3+・・・
+t
n-1+t
n}(1+u)
となりますので、σ(a)=2 aになるには1+uが偶数なので、ここにk=2が含まれます。
また、s,t,uは素数なので、
{1+s
1+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}はmが偶数ならsの項が偶数なので、
{1+s
1+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}は奇数になります。同様にしてmが奇数なら
{1+s
1+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}は偶数になります。
したがって、aが奇数の場合、m,nは偶数でなければなりませんね。
また、
a=sm t
n u v
の場合、
σ(a)={1+s
1+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}{1+t
1+t
2+t
3+・・・
+t
n-1+t
n}(1+u)(1+v)
となり、1+u,1+vともに偶数ですから、σ(a)は最低でも4の倍数であり、σ(a)=2aならばaは奇数になりません。
したがって、奇数の完全数は
a=s0m0 s1m1・・・t
0n0 t
1n1・・・u
であるか、
a=s0m0 s1m1・・・t
0n0 t
1n1・・・u
0p0u
1p1・・・
でなければなりません。
この場合m0,m1,・・・、n0,n1,・・・、p0,p1,・・・の１個だけが奇数で残り全ては偶数でなければなりませんね。
また、倍積完全数の必要条件を満足しなければなりません。
奇数の倍積完全数の場合、kが奇数ならば、
a=s0m0 s1m1・・・t
0n0 t
1n1・・・u
0p0u
1p1・・・
でなければなりません。
この場合m0,m1,・・・、n0,n1,・・・、p0,p1,・・・のすべてが偶数でなければなりませんね。
また、倍積完全数の必要条件を満足しなければなりません。
３-2.偶数の完全数
オイラー完全数は、偶数の完全数ですが、偶数の完全数は以上の検討結果からすれば、
奇数の完全数を満足しなければ、どれもが偶数の完全数か偶数の倍積完全数になります。
もちろん、倍積完全数の必要条件を満足しなければなりません。
3-3.奇数の完全数
３−３−１．素数の完全数
完全数aは、2a=σ(a)なので、aが素数ならば、
2a=σ(a)=a^0+a^1
2a=1+a
2a-a=1
a=1
で、1しかなり得ない。
したがって、1が素数ならば、素数の完全数であり、奇数の完全数である。
４．１が並んだ数と約数の総和
たとえば、
σ(a)={1+s
1+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}{1+t
1+t
2+t
3+・・・
+t
n-1+t
n}(1+u)
で、{1+s
1+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}はs進数の１が並んだ数を１０進数に変換する式だと気づいたでしょうか？
ここで、倍積完全数の必要条件より、これは、これの例ではt
nかuを含んだ数に素因数分解されなければなりません。
つまり、倍積完全数の必要条件は、１が並んだ数の素因数分解の問題であるとも言えるのです。
4-1.累乗数が奇数の場合
式、1+x
1+x
2+x
3+・・・+x
m-1+x
m
のmが奇数ならば、偶数個の１が並んだ数です。
その偶数個の１が並んだ数は11で必ず割れます。
76543210
11111111
11x 1010101
11x101x 10001
というぐあいです。
11はx+1なので、
x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1
x+1 x6 +x4 +x2 +1
(x+1)(x2+1) x4 +1
というぐあいです。
4-1-1.x+1（xは素数）の性質
x
+1はx=3なら22
x+1はx=7なら23 x=3+4 x=30x0+7
x+1はx=31なら25 x=7+24 x=30x1+1
x+1はx=127なら27 x=31+96 x=30x4+7
となると、つぎは、29ですよね？
残念ながら
x+1はx=511なら7x73
となると、つぎは、211ですよね？
残念ながら
x+1はx=2047なら23x89
となると、つぎは、213ですよね？
x+1はx=8191なら213
x=30x273+1
となると、つぎは、215ですよね？
残念ながら
x+1はx=32767なら7x31x151
x+1はx=2なら3
x+1はx=5なら2x3 x=2+3 x=6-1
x+1はx=11なら22x3 x=5+6 x=6x2-1x+1はx=17なら32x2 x=11+6 x=6x3-1
x+1はx=23なら23x3 x=17+6 x=6x4-1
x+1はx=47なら24x3 x=23+24 x=6x8-1
x+1はx=53なら2x33 x=47+6 x=6x9-1
x+1はx=71なら23x32 x=53+18 x=6x12-1
x+1はx=107なら22x33 x=71+36 x=6x18-1
x+1はx=19なら22x5
x+1はx=29なら2x3x5 x=19+10
x+1はx=59なら22x3x5 x=29+30 x=30x1+29
x+1はx=79なら24x5 x=59+20 x=30x2+19
x+1はx=89なら2x32x5 x=79+10 x=30x2+29
x+1はx=109なら2x5x11 x=89+20 x=30x3+19
x+1はx=139なら22x5x7 x=109+30 x=30x4+19
x+1はx=149なら2x3x52 x=139+10 x=30x4+29
すると、159は3の倍数で169だけど169=132
x+1はx=179なら22x32x5 x=149+30 x=30x5+29
x+1はx=199なら23x5 x=179+20 x=30x6+19
x+1はx=229なら2x5x23 x=199+30 x=30x7+19
x+1はx=239なら24x3x5 x=229+10 x=30x7+29
当然、下1桁が9ならば、+1すると10の倍数になりますね。
x+1はx=13なら2x7
x+1はx=41なら2x3x7 x=13+28
x+1はx=83なら22x3x7 x=41+42
x+1はx=97なら2x72 x=83+14
x+1はx=131なら22x3x11
x+1はx=103なら23x13
x+1はx=37なら2x19
x+1はx=113なら2x3x19
x+1はx=61なら2x31
x+1はx=67なら22x17
x+1はx=101なら2x3x17
x+1はx=137なら2x3x23
x+1はx=73なら2x37
のように、xは素数で、2以外は奇数なので、2の倍数になります。
x+1において、2,3の倍数を除いた素数候補式は6n+1と6n+5であるから、
x+1=(6n+1)+1=6n+2=2(3n+1)で、
最低でも２の倍数で、
x+1=(6n+5)+1=6n+6=6(n+1)で、
最低でも6の倍数である。
また、nが奇数なら、n+1が偶数になるので、
最低でも12の倍数である。
4-1-1-1.6n+P
2,3の倍数を除いた素数候補式は6n+1と6n+5であるから、
6n+1 6n+5
1 5
7 11
13 17
19 23
29
31
37 41
43 47
53
59
61
67 71
73
79 83
89
97 101
103 107
109 113
127 131
４−１−２．ｍ+1が4の倍数の場合
3210
1111
11x 101
11x101x 1
76543210
11111111
11x 1010101
11x101x 10001
11x101x10001x 1
109876543210
111111111111
11x 10101010101
11x101x 100010001
5432109876543210
1111111111111111
11x 101010101010101
11x101x 1000100010001
11x101x10001x 100000001
11x101x10001x100000001x 1
という具合に101つまり、x
2+1も約数に持ちます。
4-1-2-1.x2+1（xは素数）の性質
x
2+1
はx=2なら5
x
2+1
はx=3なら2x5=10 (x+n)2+1-(x2+1)={(x+n)+x}{(x+n)-x}=(2x+n)n
x
2+1
はx=7なら2x52=50 x=3+4 (3+4)2+1-(32+1)={(3+4)+3}{(3+4)-3}=(2x3+4)x4=40
x
2+1
はx=13なら2x5x17=170 x=7+6
x
2+1
はx=17なら2x5x29=290 x=13+4
x
2+1
はx=23なら2x5x53=530 x=17+6
x
2+1
はx=37なら2x5x137=1370 x=23+14
x
2+1
はx=43なら2x52x37 x=37+6
x
2+1
はx=47なら2x5x13x17 x=43+4
x
2+1
はx=53なら2x5x281 x=47+6
x
2+1
はx=67なら2x5x449 x=53+14
x
2+1
はx=73なら2x5x13x41 x=67+6
x
2+1
はx=83なら2x5x13x53 x=73+10
x
2+1
はx=97なら2x5x941 x=83+14
x
2+1
はx=101なら2x5101 x=97+4
x
2+1
はx=5なら2x13
x
2+1
はx=31なら2x13x37
x
2+1
はx=11なら2x61
x
2+1
はx=19なら2x181
x
2+1
はx=29なら2x421
x
2+1
はx=41なら2x292
x
2+1
はx=59なら2x1741
x
2+1
はx=61なら2x1861
x
2+1
はx=71なら2x2521
x
2+1
はx=79なら2x3121
x
2+1
はx=89なら2x17x233
3と7と11とかは約数に無い。
2,3,5の倍数を除いた素数候補式30n+1,30n+7,30n+11,30n+13,30n+17,30n+19,30n+23,30n+29では、x２+1は、
(%i1) x:30*n+1;
(%o1)
30 n + 1
(%i2) factor(x^2+1);
2
(%o2)
2 (450 n + 30 n + 1)
(%i3) x:30*n+7;
(%o3)
30 n + 7
(%i4) factor(x^2+1);
2
(%o4)
10 (90 n + 42 n + 5)
(%i5) x:30*n+11;
(%o5)
30 n + 11
(%i6) factor(x^2+1);
2
(%o6)
2 (450 n + 330 n + 61)
(%i7) x:30*n+13;
(%o7)
30 n + 13
(%i8) factor(x^2+1);
2
(%o8)
10 (90 n + 78 n + 17)
(%i9) x:30*n+17;
(%o9)
30 n + 17
(%i10) factor(x^2+1);
2
(%o10)
10 (90 n + 102 n + 29)
(%i11) x:30*n+19;
(%o11)
30 n + 19
(%i12) factor(x^2+1);
2
(%o12)
2 (450 n + 570 n + 181)
(%i13) x:30*n+23;
(%o13)
30 n + 23
(%i14) factor(x^2+1);
2
(%o14)
10 (90 n + 138 n + 53)
(%i15) x:30*n+29;
(%o15)
30 n + 29
(%i16) factor(x^2+1);
2
(%o16)
2 (450 n + 870 n + 421)
より、最低でも2の倍数か10の倍数である。
4-1-2-1-1.30n+P
素数は、2,3,5の倍数を除いた30n+1,30n+7,30n+11,30n+13,30n+17,30n+19,30n+23,30n+29の8つのいずれかである。
3
0n+1,30n+7,30n+11,30n+13,30n+17,30n+19,30n+23,30n+29
1 7
11 13
17 19
23 29
31 37 41
43
47
53 59
61 67 71
73
79 83 89
97
101 103 107
109 113
127
131
137
139
149
４−１−3．ｍ+1が8の倍数の場合
ｍが8の倍数の時は、上からもわかるように10001つまりx
4+1も約数に持ちます。
2,3,5の倍数を除いた素数候補式30n+1,30n+7,30n+11,30n+13,30n+17,30n+19,30n+23,30n+29では、x
4+1は、
(%i21) x:30*n+1;
(%o21)
30 n + 1
(%i22) factor(x^4+1);
4
3 2
(%o22) 2 (405000 n + 54000 n + 2700 n + 60 n + 1)
(%i23) x:30*n+7;
(%o23)
30 n + 7
(%i24) factor(x^4+1);
4
3 2
(%o24) 2 (405000 n + 378000 n + 132300 n + 20580 n + 1201)
(%i25) x:30*n+11;
(%o25)
30 n + 11
(%i26) factor(x^4+1);
4
3 2
(%o26) 2 (405000 n + 594000 n + 326700 n + 79860 n + 7321)
(%i27) x:30*n+13;
(%o27)
30 n + 13
(%i28) factor(x^4+1);
4
3 2
(%o28) 2 (405000 n + 702000 n + 456300 n + 131820 n + 14281)
(%i29) x:30*n+17;
(%i32) factor(x^4+1);
4
3 2
(%o32) 2 (405000 n + 918000 n + 780300 n + 294780 n + 41761)
(%i33) x:30*n+19;
(%o33)
30 n + 19
(%i34) factor(x^4+1);
4
3 2
(%o34) 2 (405000 n + 1026000 n + 974700 n + 411540 n + 65161)
(%i35) x:30*n+23;
(%o35)
30 n + 23
(%i36) factor(x^4+1);
4
3 2
(%o36) 2 (405000 n + 1242000 n + 1428300 n + 730020 n + 139921)
(%i37) x:30*n+29;
(%o37)
30 n + 29
(%i38) factor(x^4+1);
4
3 2
(%o38) 2 (405000 n + 1566000 n + 2270700 n + 1463340 n + 353641)
2,3の倍数を除いた素数候補6n+1,6n+5においても
(%i39) x:6*n+1;
(%o39)
6 n + 1
(%i40) factor(x^4+1);
4
3 2
(%o40)
2 (648 n + 432 n + 108 n + 12 n + 1)
(%i41) x:6*n+5;
(%o41)
6 n + 5
(%i42) factor(x^4+1);
4
3 2
(%o42) 2 (648 n + 2160 n + 2700 n + 1500 n + 313)
最低でも2の倍数としかなりません。
(%i1) x:2;
(%o1)
2
(%i2) factor(x^4+1);
(%o2)
17
(%i3) x:3;
(%o3)
3
(%i4) factor(x^4+1);
(%o4)
2 41
(%i5) x:5;
(%o5)
5
(%i6) factor(x^4+1);
(%o6)
2 313
(%i7) x:7;
(%o7)
7
(%i8) factor(x^4+1);
(%o8)
2 1201
(%i9) x:11;
(%o9)
11
(%i10) factor(x^4+1);
(%o10)
2 7321
(%i11) x:13;
(%o11)
13
(%i12) factor(x^4+1);
(%o12)
2 14281
(%i13) x:17;
(%o13)
17
(%i14) factor(x^4+1);
(%o14)
2 41761
(%i15) x:19;
(%o15)
19
(%i16) factor(x^4+1);
(%o16)
2 17 3833
(%i17) x:23;
(%o17)
23
(%i18) factor(x^4+1);
(%o18)
2 139921
(%i19) x:29;
(%o19)
29
(%i20) factor(x^4+1);
(%o20)
2 353641
(%i21) x:31;
(%o21)
31
(%i22) factor(x^4+1);
(%o22)
2 409 1129
(%i23) x:37;
(%o23)
37
(%i24) factor(x^4+1);
(%o24)
2 89 10529
(%i25) x:41;
(%o25)
41
(%i26) factor(x^4+1);
(%o26)
2 137 10313
(%i27) x:43;
(%o27)
43
(%i28) factor(x^4+1);
(%o28)
2 17 193 521
(%i29) x:47;
(%o29)
47
(%i30) factor(x^4+1);
(%o30)
2 97 25153
(%i31) x:53;
(%o31)
53
(%i32) factor(x^4+1);
(%o32)
2 17 232073
(%i33) x:59;
(%o33)
59
(%i34) factor(x^4+1);
(%o34)
2 17 593 601
(%i35) x:61;
(%o35)
61
(%i36) factor(x^4+1);
(%o36)
2 6922921
(%i37) x:67;
(%o37)
67
(%i38) factor(x^4+1);
(%o38)
2 937 10753
(%i39) x:71;
(%o39)
71
(%i40) factor(x^4+1);
(%o40)
2 12705841
(%i41) x:73;
(%o41)
73
(%i42) factor(x^4+1);
(%o42)
2 14199121
(%i43) x:79;
(%o43)
79
(%i44) factor(x^4+1);
(%o44)
2 41 433 1097
(%i47) x:83;
(%o47)
83
(%i48) factor(x^4+1);
(%o48)
2 17 73 19121
(%i49)
3,5,7,11,13が無い。17がやたら多い。
4-1-4.m+1が16の倍数の場合
ｍが8の倍数の時は、上からもわかるように100000001つまりx
8+1も約数に持ちます。
2,3の倍数を除いた素数候補6n+1,6n+5でも、x
8+1は、
(%i105) x:6*n+1;
(%o105)
6 n + 1
(%i106) factor(x^8+1);
8
7
6
5
4 3
(%o106) 2 (839808 n + 1119744 n + 653184 n + 217728 n + 45360 n + 6048 n
2
+ 504 n + 24 n + 1)
(%i107) x:6*n+5;
(%o107)
6 n + 5
(%i108) factor(x^8+1);
8
7
6
5
4
(%o108) 2 (839808 n + 5598720 n + 16329600 n + 27216000 n + 28350000 n
3 2
+ 18900000 n + 7875000 n + 1875000 n + 195313)
最低でも2の倍数になります。
2,3,5の倍数を除いた素数候補式30n+1,30n+7,30n+11,30n+13,30n+17,30n+19,30n+23,30n+29でも同じです。
(%i51) x:2;
(%o51)
2
(%i52) factor(x^8+1);
(%o52)
257
(%i53) x:3;
(%o53)
3
(%i54) factor(x^8+1);
(%o54)
2 17 193
(%i55) x:5;
(%o55)
5
(%i56) factor(x^8+1);
(%o56)
2 17 11489
(%i57) x:7;
(%o57)
7
(%i58) factor(x^8+1);
(%o58)
2 17 169553
(%i59) x:11;
(%o59)
11
(%i60) factor(x^8+1);
(%o60)
2 17 6304673
(%i61) x:13;
(%o61)
13
(%i62) factor(x^8+1);
(%o62)
2 407865361
(%i63) x:17;
(%o63)
17
(%i64) factor(x^8+1);
(%o64)
2 18913 184417
(%i65) x:19;
(%o65)
19
(%i66) factor(x^8+1);
(%o66)
2 15073 563377
(%i67) x:23;
(%o67)
23
(%i68) factor(x^8+1);
(%o68)
2 17 3697 623009
(%i69) x:29;
(%o69)
29
(%i70) factor(x^8+1);
(%o70)
2 17 26209 561377
(%i71) x:31;
(%o71)
31
(%i72) factor(x^8+1);
(%o72)
2 17 25085030513
(%i73) x:37;
(%o73)
37
(%i74) factor(x^8+1);
(%o74)
2 17 103308219233
(%i75) x:41;
(%o75)
41
(%i76) factor(x^8+1);
(%o76)
2 17 234850742033
(%i77) x:43;
(%o77)
43
(%i78) factor(x^8+1);
(%o78)
2 5844100138801
(%i79) x:47;
(%o79)
47
(%i80) factor(x^8+1);
(%o80)
2 11905643330881
(%i81) x:53;
(%o81)
53
(%i82) factor(x^8+1);
(%o82)
2 31129845205681
(%i83) x:59;
(%o83)
59
(%i84) factor(x^8+1);
(%o84)
2 337 217849313953
(%i85) x:61;
(%o85)
61
(%i86) factor(x^8+1);
(%o86)
2 17 12401 454677073
(%i87) x:67;
(%o87)
67
(%i88) factor(x^8+1);
(%o88)
2 1153 2417 2593 28097
(%i89) x:71;
(%o89)
71
(%i90) factor(x^8+1);
(%o90)
2 17 113 577 291295393
(%i91) x:73;
(%o91)
73
(%i92) factor(x^8+1);
(%o92)
2 17 113 25057 8377153
(%i93) x:79;
(%o93)
79
(%i94) factor(x^8+1);
(%o94)
2 17 97 6481 70978049
(%i95) x:83;
(%o95)
83
(%i96) factor(x^8+1);
(%o96)
2 10289 16001 6840289
(%i97) x:89;
(%o97)
89
(%i98) factor(x^8+1);
(%o98)
2 97 20291694874753
(%i99)
3,5,7,11,13がない。17がやたら多い。
4-1-5.m+1が6の倍数(4の倍数を除く)の場合
543210
111111
11x 10101
11x10101x 1
(x+1)(x4+x2+1)
765432109876543210
111111111111111111
11x 10101010101010101
11x10101x 1000001000001
(x+1)(x4+x2+1)(x12+x6+1)
987654321098765432109876543210
111111111111111111111111111111
11x 10101010101010101010101010101
11x10101x 1000001000001000001000001
(x+1)(x4+x2+1)(x24+x18+x12+x6+1)
であるから10101つまりx4+x2+1を約数に持つ。
式、
1+x
1+x
2+x
3+・・・+x
m-1+x
m=(x+1)(x
4+x
2+1)G(x)
である。
x
4+x
2+1
はx=2なら3x7
x
4+x
2+1
はx=3なら7x13
x
4+x
2+1
はx=5なら3x7x31
x
4+x
2+1
はx=7なら3x19x43
x
4+x
2+1
はx=11なら3x7x19x31
x
4+x
2+1
はx=13なら3x61x157
x
4+x
2+1
はx=17なら3x7x13x307
x
4+x
2+1
はx=19なら3x7
3x127
x
4+x
2+1
はx=23なら3x7x13
2x79
x
4+x
2+1
はx=29なら3x13x67x271
x
4+x
2+1
はx=31なら3x7
2x19x331
x
4+x
2+1
はx=37なら3x7x31x43x67
x
4+x
2+1
はx=41なら3x547x1723
x
4+x
2+1
はx=43なら3x13x139x631
x
4+x
2+1
はx=47なら3x7x37x61x103
x
4+x
2+1
はx=53なら3x7x409x919
x
4+x
2+1
はx=59なら3x7x163x3541
x
4+x
2+1
はx=61なら3x7x13x97x523
x
4+x
2+1
はx=67なら3x7
2x31x4423
x
4+x
2+1
はx=71なら3x1657x5113
x
4+x
2+1
はx=73なら3x7x751x1801
x
4+x
2+1
はx=79なら3x7
2x43x6163
x
4+x
2+1
はx=83ら3x19x367x2269
2,5,11がない。
そこで、2と3の倍数を除いた素数候補の式6n+1,6n+5を入れてみると
(%i52) x:6*n+1;
(%o52)
6 n + 1
(%i53) factor(x^4+x^2+1);
2
2
(%o53)
3 (12 n + 6 n + 1) (36 n + 6 n + 1)
(%i54) x:6*n+5;
(%o54)
6 n + 5
(%i55) factor(x^4+x^2+1);
2
2
(%o55)
3 (12 n + 18 n + 7) (36 n + 66 n + 31)
必ず３の倍数になることがわかった。
4-1-6.m+1が10の倍数の場合
9876543210
1111111111
11x 101010101
11x101010101x 1
98765432109876543210
11111111111111111111
11x 1010101010101010101
11x101010101x 10000000001
11x101010101x10000000001x 1
987654321098765432109876543210
111111111111111111111111111111
11x 10101010101010101010101010101
11x101010101x 100000000010000000001
であるから101010101つまりx8+x6+x4+x2+1を約数に持つ。
式、
1+x
1+x
2+x
3+・・・+x
m-1+x
m=(x+1)(x
8+x
6+x
4+x
2+1)H(x)
である。
2,3,5の倍数を除いた素数候補式30n+1,30n+7,30n+11,30n+13,30n+17,30n+19,30n+23,30n+29では、x
8+x
6+x
4+x
2+1は、
(%i21) x:30*n+1;
(%o21)
30 n + 1
(%i22) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
4
3 2
(%o22) 5 (162000 n + 27000 n + 1800 n + 60 n + 1)
4
3 2
(810000 n + 81000 n + 3600 n + 60 n + 1)
(%i23) x:30*n+7;
(%o23)
30 n + 7
(%i24) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
4
3 2
(%o24) (810000 n + 729000 n + 246600 n + 37140 n + 2101)
4
3 2
(810000 n + 783000 n + 284400 n + 46020 n + 2801)
(%i25) x:30*n+11;
(%o25)
30 n + 11
(%i26) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
4
3 2
(%o26) 5 (162000 n + 243000 n + 136800 n + 34260 n + 3221)
4
3 2
(810000 n + 1161000 n + 624600 n + 149460 n + 13421)
(%i27) x:30*n+13;
(%o27)
30 n + 13
(%i28) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
4
3 2
(%o28) (810000 n + 1377000 n + 878400 n + 249180 n + 26521)
4
3 2
(810000 n + 1431000 n + 948600 n + 279660 n + 30941)
(%i29) x:30*n+17;
(%o29)
30 n + 17
(%i30) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
4
3 2
(%o30) (810000 n + 1809000 n + 1515600 n + 564540 n + 78881)
4
3 2
(810000 n + 1863000 n + 1607400 n + 616620 n + 88741)
(%i31) x:30*n+19;
(%o31)
30 n + 19
(%i32) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
4
3 2
(%o32) 5 (162000 n + 405000 n + 379800 n + 158340 n + 24761)
4
3 2
(810000 n + 2079000 n + 2001600 n + 856740 n + 137561)
(%i33) x:30*n+23;
(%o33)
30 n + 23
(%i34) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
4
3 2
(%o34) (810000 n + 2457000 n + 2795400 n + 1413780 n + 268181)
4
3 2
(810000 n + 2511000 n + 2919600 n + 1509060 n +
292561)
(%i35) x:30*n+29;
(%o35)
30 n + 29
(%i36) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
4
3 2
(%o36) 5 (162000 n + 621000 n + 892800 n + 570540 n + 136741)
4
3 2
(810000 n + 3159000 n + 4620600 n + 3004140 n +
732541)
最低でも5ab(a,bは自然数)かabの2通りである。
(%i3) x:2;
(%o3)
2
(%i4) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o4)
11 31
(%i5) x:3;
(%o5)
3
(%i6) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
(%o6)
11 61
(%i7) x:5;
(%o7)
5
(%i8) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o8)
11 71 521
(%i9) x:7;
(%o9)
7
(%i10) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o10)
11 191 2801
(%i11) x:11;
(%o11)
11
(%i12) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o12)
5 3221 13421
(%i13) x:13;
(%o13)
13
(%i14) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o14)
11 2411 30941
(%i15) x:17;
(%o15)
17
(%i16) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o16)
11 71 101 88741
(%i17) x:19;
(%o17)
19
(%i18) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o18)
5 11 151 911 2251
(%i19) x:23;
(%o19)
23
(%i20) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o20)
31 41 211 292561
(%i21) x:29;
(%o21)
29
(%i22) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o22)
5 11 31 401 732541
(%i23) x:31;
(%o23)
31
(%i24) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o24)
5 11 41 17351 21821
(%i25) x:37;
(%o25)
37
(%i26) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o26)
11 41 4271 1824841
(%i27) x:41;
(%o27)
41
(%i28) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o28)
5 11 61 4111 579281
(%i29) x:43;
(%o29)
43
(%i30) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o30)
3341101 3500201
(%i31) x:47;
(%o31)
47
(%i32) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o32)
11 31 14621 4778021
(%i33) x:53;
(%o33)
53
(%i34) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o34)
11 131 2011 3851 5581
(%i35) x:59;
(%o35)
59
(%i36) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o36)
5 11 41 151 181 2383081
(%i37) x:61;
(%o37)
61
(%i38) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o38)
5 11 131 21491 1238411
(%i39) x:67;
(%o39)
67
(%i40) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o40)
421 761 26881 47161
(%i41) x:71;
(%o41)
71
(%i42) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o42)
5 11 211 2221 25058741
(%i43) x:73;
(%o43)
73
(%i44) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o44)
11 131 19441 28792661
(%i45) x:79;
(%o45)
79
(%i46) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o46)
5 11 641 1091 39449441
(%i47) x:83;
(%o47)
83
(%i48) factor(x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o48)
11 401 10631 48037081
2,3,7,13がない。11がやたら多い。
4-1-7.m+1が12の倍数の場合
x11+x10+x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1は
109876543210
111111111111
11x 10101010101
11x101x 100010001
11x101x100010001 1
11つまり、x+1を除くとx10+x8+x6+x4+x2+1
つまり、
09876543210
10101010101
101x 100010001
101x100010001x 1
(x2+1)(x8+x4+1)
です。
321098765432109876543210
111111111111111111111111
11x 10101010101010101010101
11x101x 100010001000100010001
11x101x100010001x 1000000000001
11x101x100010001x1000000000001x 1
(x+1)(x2+1)(x8+x4+1)(x12+1)
543210987654321098765432109876543210
111111111111111111111111111111111111
11x 10101010101010101010101010101010101
11x101x 100010001000100010001000100010001
11x101x100010001x 1000000000001000000000001
11x101x100010001x1000000000001000000000001x 1
(x+1)(x2+1)(x8+x4+1)(x24+x12+1)
となるわけですね。
でも、
321098765432109876543210
111111111111111111111111
11x 10101010101010101010101
11x101x 100010001000100010001
11x101x10001x 10000000100000001
11x101x10001x10000000100000001x 1
(x+1)(x2+1)(x4+1)(x16+x8+1)
もありなんですよね。
確認すると、
(%i1) ratsimp((x+1)*(x^2+1)*(x^4+1)*(x^16+x^8+1));
23
22 21 20
19 18 17
16 15 14
13 12
(%o1) x + x + x + x +
x + x + x + x +
x + x + x + x
11 10 9
8 7 6
5 4 3 2
+ x + x + x + x + x + x
+ x + x + x + x + x + 1
(%i2) ratsimp((x+1)*(x^2+1)*(x^8+x^4+1)*(x^12+1));
23
22 21 20
19 18 17
16 15 14
13 12
(%o2) x + x + x + x +
x + x + x + x +
x + x + x + x
11 10 9
8 7 6
5 4 3 2
+ x + x + x + x + x + x
+ x + x + x + x + x + 1
であってますね。
2,3,5の倍数を除いた素数候補式30n+1,30n+7,30n+11,30n+13,30n+17,30n+19,30n+23,30n+29では、
x10+x8+x6+x4+x2+1は、(x2+1)(x8+x4+1)でもあるわけですが、
(%i5) x:30*n+1;
(%o5)
30 n + 1
(%i6) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
2
2
(%o6) 6 (300 n + 30 n + 1) (450 n + 30 n + 1) (900 n + 30 n + 1)
4
3 2
(810000 n + 108000 n + 4500 n + 60 n + 1)
(%i7) x:30*n+7;
(%o7)
30 n + 7
(%i8) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
2
2
(%o8) 30 (90 n + 42 n + 5) (300 n + 150 n + 19) (900 n + 390 n + 43)
4
3 2
(810000 n + 756000 n + 263700 n + 40740 n + 2353)
(%i9) x:30*n+11;
(%o9)
30 n + 11
(%i10) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
2
2
(%o10) 6 (300 n + 210 n + 37) (450 n + 330 n + 61) (900 n + 690 n + 133)
4
3 2
(810000 n + 1188000 n + 652500 n + 159060 n + 14521)
(%i11) x:30*n+13;
(%o11)
30 n + 13
(%i12) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
2
2
(%o12) 30 (90 n + 78 n + 17) (300 n + 270 n + 61) (900 n + 750 n + 157)
4
3 2
(810000 n + 1404000 n + 911700 n + 262860 n + 28393)
(%i13) x:30*n+17;
(%o13)
30 n + 17
(%i14) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
2
2
(%o14) 30 (90 n + 102 n + 29) (300 n + 330 n + 91) (900 n + 1050 n + 307)
4
3 2
(810000 n + 1836000 n + 1559700 n + 588540 n + 83233)
(%i15) x:30*n+19;
(%o15)
30 n + 19
(%i16) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
2
2
(%o16) 6 (300 n + 390 n + 127) (450 n + 570 n + 181) (900 n + 1110 n + 343)
4
3 2
(810000 n + 2052000 n + 1948500 n + 821940 n + 129961)
(%i17) x:30*n+23;
(%o17)
30 n + 23
(%i18) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
2
2
(%o18) 30 (90 n + 138 n + 53) (300 n + 450 n + 169) (900 n + 1410 n + 553)
4
3 2
(810000 n + 2484000 n + 2855700 n + 1458660 n +
279313)
(%i19) x:30*n+29;
(%o19)
30 n + 29
(%i20) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
2
2
(%o20) 6 (300 n + 570 n + 271) (450 n + 870 n + 421) (900 n + 1770 n + 871)
4
3 2
(810000 n + 3132000 n + 4540500 n + 2924940 n +
706441)
より、最低でも、6abcd（a,b,c,dは自然数）か30abcdの形式になるわけですね。
ちなみに、x2+1は、最低でも２か10の倍数になるので、
2,3の倍数を除いた素数候補式6n+1,6n+5をx8+x4+1に入れてみると
(%i3) x:6*n+1;
(%o3)
6 n + 1
(%i4) factor(x^8+x^4+1);
2
2
(%o4) 3 (12 n + 6 n + 1) (36 n + 6 n + 1)
4
3 2
(1296 n + 864 n + 180 n + 12 n + 1)
(%i5) x:6*n+5;
(%o5)
6 n + 5
(%i6) factor(x^8+x^4+1);
2
2
(%o6) 3 (12 n + 18 n + 7) (36 n + 66 n + 31)
4
3 2
(1296 n + 4320 n + 5364 n + 2940 n + 601)
ですから、x8+x4+1は最低でも3の倍数になります。
(%i8) x:2;
(%o8)
2
(%i9) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o9)
3 5 7 13
(%i10) x:3;
(%o10)
3
(%i11) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o11)
2 5 7 13 73
(%i12) x:5;
(%o12)
5
(%i13) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o13)
2 3 7 13 31 601
(%i14) x:7;
(%o14)
7
(%i15) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
(%o15)
2 3 5 13 19 43 181
(%i16) x:11;
(%o16)
11
(%i17) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o17)
2 3 7 13 19 37 61 1117
(%i18) x:13;
(%o18)
13
(%i19) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o19)
2 3 5 17 61 157 28393
(%i20) x:17;
(%o20)
17
(%i21) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o21)
2 3 5 7 13 29 307 83233
(%i22) x:19;
(%o22)
19
(%i23) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
3 2
(%o23)
2 3 7 13 127 181 769
(%i24) x:23;
(%o24)
23
(%i25) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
(%o25)
2 3 5 7 13 37 53 79 7549
(%i26) x:29;
(%o26)
29
(%i27) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o27)
2 3 13 37 61 67 271 313 421
(%i28) x:31;
(%o28)
31
(%i29) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
(%o29)
2 3 7 13 19 37 331 922561
(%i30) x:37;
(%o30)
37
(%i31) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o31)
2 3 5 7 13 31 43 67 137 144061
(%i32) x:41;
(%o32)
41
(%i33) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
(%o33)
2 3 13 29 109 547 1723 1993
(%i34) x:43;
(%o34)
43
(%i35) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
(%o35)
2 3 5 13 37 139 631 3416953
(%i36) x:47;
(%o36)
47
(%i37) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o37)
2 3 5 7 13 17 37 61 103 1213 4021
(%i38) x:53;
(%o38)
53
(%i39) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o39)
2 3 5 7 281 409 919 1153 6841
(%i40) x:59;
(%o40)
59
(%i41) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o41)
2 3 7 13 163 1741 3541 931837
(%i42) x:61;
(%o42)
61
(%i43) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o43)
2 3 7 13 97 523 1861 13842121
(%i44) x:67;
(%o44)
67
(%i45) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
(%o45)
2 3 5 7 13 31 449 4423 1549741
(%i46) x:71;
(%o46)
71
(%i47) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o47)
2 3 13 1657 2521 5113 1954357
(%i48) x:73;
(%o48)
73
(%i49) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o49)
2 3 5 7 13 41 751 1801 3037 9349
(%i50) x:79;
(%o50)
79
(%i51) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
2
(%o51)
2 3 7 43 3121 3169 6163 12289
(%i52) x:83;
(%o52)
83
(%i53) factor(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1);
(%o53)
2 3 5 13 19 53 367 2269 47451433
11がない。7と13がやたら多い。
５．約数の和と九去数
たとえば、
a=s
mt
n u
ならば、約数の和は
σ(a)={1+s
1+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}{1+t
1+t
2+t
3+・・・
+t
n-1+t
n}(1+u)
となります。
ここで、
{1+s
1+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}
に注目すれば、累乗数の和です。
さて、九去数とは、九去法によって、求められた数です。
x=45678なら、九去法を示す関数をfとすれば、
f(x)=f(45678)=f(4+5+6+7+8)=f(30)=f(3+0)=f(3)=3
このように、ひたすら数字を足して一桁になるまでつづけます。
ここでは3が九去数です。数字根とも呼ばれます。
詳しくは、私のホームページの「会計士の数学」を見ていただけるといいと思います。
九去数は累乗においてある特徴があります。
f(x)=
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
f(x2)=
|
1
|
4
|
9
|
7
|
7
|
9
|
4
|
1
|
9
|
f(x3)=
|
1
|
8
|
9
|
1
|
8
|
9
|
1
|
8
|
9
|
f(x4)=
|
1
|
7
|
9
|
4
|
4
|
9
|
7
|
1
|
9
|
f(x5)=
|
1
|
5
|
9
|
7
|
2
|
9
|
4
|
8
|
9
|
f(x6)=
|
1
|
1
|
9
|
1
|
1
|
9
|
1
|
1
|
9
|
f(x7)=
|
1
|
2
|
9
|
4
|
5
|
9
|
7
|
8
|
9
|
f(x8)=
|
1
|
4
|
9
|
7
|
7
|
9
|
4
|
1
|
9
|
f(x9)=
|
1
|
8
|
9
|
1
|
8
|
9
|
1
|
8
|
9
|
f(x10)=
|
1
|
7
|
9
|
4
|
4
|
9
|
7
|
1
|
9
|
f(x
6)で１に戻っていますから、f(x
7)はf(x)に戻り、f(x
8)=f(x
2)というぐあいに、６で折り返します。
ですから、例えば、
f(x
5)=f(x
11)=f(x
17)=f(x
23)=・・・・
となるわけです。
また、素数は、
30n+1,30n+7,30n+11,30n+13,30n+17,30n+19,30n+23,30n+29
1 7
11 13
17 19
23 29
31 37 41
43
47
53 59
61 67 71
73
79 83 89
97
101 103 107
109 113
127
131
137
139
149
より、fを求めると
30n+1,30n+7,30n+11,30n+13,30n+17,30n+19,30n+23,30n+29
1 7
2 4
8 1
5 2
4 1
5 7
2
8 5
7 4
8
1
7 2 8
7
2 4
8 1
5
1
5
2
4
5
であり、3,6,9はない。当たり前で、素数は3の倍数でないからね。
すると、f(x)は1,2,4,5,7,8しかとりえない。
f(8)は8,1,8,1, ・・・であるから、f(s)=8なら
f{1+s+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}=f{1+f(s)+f(f(s)
2)+f(f(s)
3)+・・・+f(f(s)
m-1)+f(f(s)
m)}
はmによってf(s)+f(f(s)
2)+f(f(s)
3)+・・は9,8,9,8の繰りかえしである。であるから、最初の１を足して、1,9,1,9の繰りかえしである。
f(s)=7なら、
f{1+s+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}=f{1+f(s)+f(f(s)
2)+f(f(s)
3)+・・・+f(f(s)
m-1)+f(f(s)
m)}
は7,2,3,1,5,6,4,8,9の繰りかえしである。であるから、最初の１を足して、8,3,4,2,6,7,5,9,1の繰りかえしである。
f(s)=5なら、
f{1+s+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}=f{1+f(s)+f(f(s)
2)+f(f(s)
3)+・・・+f(f(s)
m-1)+f(f(s)
m)}
は5,3,2,6,8,9の繰りかえしである。であるから、最初の１を足して、6,4,3,7,9,1の繰りかえしである。
f(s)=4なら、
f{1+s+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}=f{1+f(s)+f(f(s)
2)+f(f(s)
3)+・・・+f(f(s)
m-1)+f(f(s)
m)}
は4,2,3,7,8,3,1,2,6の繰りかえしである。であるから、最初の１を足して、5,3,4,8,9,4,2,3,7の繰りかえしである。
f(s)=2なら、
f{1+s+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}=f{1+f(s)+f(f(s)
2)+f(f(s)
3)+・・・+f(f(s)
m-1)+f(f(s)
m)}
は2,6,5,3,8,9の繰りかえしである。であるから、最初の１を足して、3,7,6,4,9,1の繰りかえしである。
f(s)=1なら、
f{1+s+s
2+s
3+・・・+s
m-1+s
m}=f{1+f(s)+f(f(s)
2)+f(f(s)
3)+・・・+f(f(s)
m-1)+f(f(s)
m)}
は1,2,3,4,5,6,7,8,9の繰りかえしである。であるから、最初の１を足して、2,3,4,5,6,7,8,9の繰りかえしである。
f(s)=1は、例えばs=19がそうである。
たとえば、a=2
2*3
3*5
2 f(a)=f(f(4)*f(9)*f(7))=f(9) ※f(9n)=f(9)は9の倍数の性質
だとすると、
σ(a)={2
0+2
1+2
2}{3
0+3
1+3
2+3
3}{5
0+5
1+5
2}
={1+2+2
2}{1+3+3
2+3
3}{1+5+5
2}
で
f(σ(a))=f(f(1+2+2
2)*f(1+3+3
2+3
3)*f(1+5+5
2))
で上の表から
=f(f(7)*f(1+3+9+9)*f(4))
=f(f(7)*f(4)*f(4))
=f(4)
で、ka=σ(a)となるk倍完全数は
f(kf(a))=f(σ(a))
f(9k)=f(4)
f(9k)=f(9)だから、f(9)≠f(4)
よって、ka=σ(a)となるk倍完全数はない。
ここで、f(a)=9とf(σ(a))≠9を使えば、多くの可能性が排除できる。
すると、のこるは、f(a)=9とf(σ(a))=9となる組み合わせだ。
つまり、一つでも
f{1+s+s^2+s^3+・・・+s^(m-1)+s^m}=f{1+f(s)+f(f(s)^2)+f(f(s)^3)+・・・+f(f(s)^(m-1))+f(f(s)^m)}=9
となれば、9の倍数の性質からf(σ(a))=9である。
その条件をピックアップすれば、いい。
あそうか、k倍完全数なら、f(σ(a))=f(9k)=f(9)=9なんだけどね。
大して問題はない。
これを満足するf(s),f(t),f(u),f(a)ガ決まり、対応するs,t,u,aを探せばいい。
といっても....
wikipediaの完全数から、8589869056をとってきた。
(%i1) factor(8589869056);
16
(%o1)
2 131071
a=8589869056で、f(a)=f(8589869056)=f(8588656)まず9の削除
=f(8+5+8+8+6+5+6)=f(24+10+12)=f(46)=f(1)
f(σ(a))=f(f{1+2+2^2+2^3+・・・+2^15+2^16}f(1+131071))
=f(f(4)f(5))=f(2)
よって、f(2a)=f(σ(a))
wikipediaの倍積完全数から、154345556085770649600を撮って来ました。
a=154345556085770649600
f(a)=(154345556085770649600)=f(135568577646)=f(568577646) まず9の削除
=f(5+6+8+5+7+7+6+4+6)=f(19+19+16)=f(1+1+7)=f(9)
(%i2) factor(154345556085770649600);
15 5 2 2
(%o2)
2 3 5 7 11 13 17 19 31 43 257
f(σ(a))=f(f{1+2+2^2+・・+2^14+2^15}f{1+3+3^2+3^3+3^4+3^5}f{1+5+5^2}f{1+7+7^2}f(1+11)f(1+13)f(1+17)f(1+19)f(1+31)f(1+43)f(1+257))
=f(f(6)f(4)f(3)f(4)f(3)f(5)f(9)f(2)f(5)f(8)f(6)) f(9)があるから9の倍数
=f(9)
よって、ｆ(ka)=f(σ(a))
kがなんであれ、f(9k)=f(9)だからね。
さて、余談であるが、
wikipediaの完全数によると
6 f(6)=6
28 f(28)=f(2+8)=f(10)=1
496 f(496)=f(4+6)=f(10)=1 9は無視して良い
8128 f(8128)=f(8128)=f(2+8)=f(10)=1 9は無視して良い
33550336 f(33550336)=f((3+3+3)+(3+6)+5+5)=f(10)=1 9は無視して良い
8589869056 f(8589869056)=f((8+5+8)+9+(8+6)+9+(5+6))=f(21+14+11)
=f(2+1+1+4+1+1)=f(10)=1
6のあとはみなfが1になる。
つづく