x=23では、x-2=21(3x7),x-4=19,x-6=17,x-8=15(3x5),x-10=13,x-12=11,x-14=9(3x3),x-16=7,x-18=5,x-20=3が考えられます。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=21(=3x7)とすると、21は素数でないので
よって、p(x-2)={2^(n+1)-1}がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、
{4^(n+1)-1}/3=19Pとおける。
4^m-1=3x19P=57P nは偶数なのでmは奇数。
(%i1) mod(4^3-1,57);
(%o1)                                  6
(%i2) mod(4^5-1,57);
(%o2)                                 54
(%i3) mod(4^7-1,57);
(%o3)                                 24
(%i4) mod(4^9-1,57);
(%o4)                                  0
(%i5) mod(4^11-1,57);
(%o5)                                 15
(%i6) mod(4^13-1,57);
(%o6)                                 27
(%i7) mod(4^15-1,57);
(%o7)                                 48
(%i8) mod(4^17-1,57);
(%o8)                                 42
(%i9) mod(4^19-1,57);
(%o9)                                  3
(%i10) mod(4^21-1,57);
(%o10)                                 6
(%i11) mod(4^23-1,57);
(%o11)                                54
(%i13) mod(4^25-1,57);
(%o13)                                24
(%i14) mod(4^27-1,57);
(%o14)                                 0
より、0になるときがある。
よって、p(x-4)={4^(n+1)-1}/3があるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=10はある。
つまり、x=23なら、σ(x)を素因数分解すると19を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、
{6^(n+1)-1}/5=17Pとおける。
6^m-1=5x17P=85P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i16) mod(6^3-1,85);
(%o16)                                45
(%i17) mod(6^5-1,85);
(%o17)                                40
(%i18) mod(6^7-1,85);
(%o18)                                30
(%i19) mod(6^9-1,85);
(%o19)                                10
(%i20) mod(6^11-1,85);
(%o20)                                55
(%i21) mod(6^13-1,85);
(%o21)                                60
(%i22) mod(6^15-1,85);
(%o22)                                70
(%i23) mod(6^17-1,85);
(%o23)                                 5
(%i24) mod(6^19-1,85);
(%o24)                                45
(%i25) mod(6^21-1,85);
(%o25)                                40
(%i26) mod(6^23-1,85);
(%o26)                                30
(%i27) mod(6^25-1,85);
(%o27)                                10
(%i28) mod(6^27-1,85);
(%o28)                                55
より、0にならない。
よって、p(x-6)={6^(n+1)-1}/5がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=17はない。
つまり、x=23なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=15(=3x5)とすると、15は素数でないので
よって、p(x-8)={8^(n+1)-1}/7がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、
{10^(n+1)-1}/9=13Pとおける。
10^m-1=9x13P=117P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i31) mod(10^3-1,117);
(%o31)                                63
(%i32) mod(10^5-1,117);
(%o32)                                81
(%i33) mod(10^7-1,117);
(%o33)                                 9
(%i34) mod(10^9-1,117);
(%o34)                                63
(%i35) mod(10^11-1,117);
(%o35)                                81
(%i36) mod(10^13-1,117);
(%o36)                                 9
(%i37) mod(10^15-1,117);
(%o37)                                63
(%i38) mod(10^17-1,117);
(%o38)                                81
(%i39) mod(10^19-1,117);
(%o39)                                 9
(%i40) mod(10^21-1,117);
(%o40)                                63
(%i41) mod(10^23-1,117);
(%o41)                                81
(%i42) mod(10^25-1,117);
(%o42)                                 9
(%i43) mod(10^27-1,117);
(%o43)                                63
より、0にならない。
よって、p(x-10)={10^(n+1)-1}/9がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=13はない。
つまり、x=23なら、σ(x)を素因数分解すると13を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、
{12^(n+1)-1}/11=11Pとおける。
12^m-1=11x11P=121P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i44) mod(12^3-1,121);
(%o44)                                33
(%i45) mod(12^5-1,121);
(%o45)                                55
(%i46) mod(12^7-1,121);
(%o46)                                77
(%i47) mod(12^9-1,121);
(%o47)                                99
(%i48) mod(12^11-1,121);
(%o48)                                 0
(%i49) mod(12^13-1,121);
(%o49)                                22
(%i50) mod(12^15-1,121);
(%o50)                                44
(%i51) mod(12^15-1,121);
(%o51)                                44
(%i52) mod(12^17-1,121);
(%o52)                                66
(%i53) mod(12^19-1,121);
(%o53)                                88
(%i54) mod(12^21-1,121);
(%o54)                                110
(%i55) mod(12^23-1,121);
(%o55)                                11
(%i56) mod(12^25-1,121);
(%o56)                                33
(%i57) mod(12^27-1,121);
(%o57)                                55
より、0になるときがある。
よって、p(x-12)={12^(n+1)-1}/11がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=11はある。
つまり、x=23なら、σ(x)を素因数分解すると11を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=9(=3x3)とすると、9は素数でないので
よって、p(x-14)={14^(n+1)-1}/13がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、
{16^(n+1)-1}/15=7Pとおける。
16^m-1=15x7P=105P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i64) mod(16^3-1,105);
(%o64)                                 0
(%i65) mod(16^5-1,105);
(%o65)                                45
(%i66) mod(16^7-1,105);
(%o66)                                15
(%i67) mod(16^9-1,105);
(%o67)                                 0
(%i68) mod(16^11-1,105);
(%o68)                                45
(%i69) mod(16^13-1,105);
(%o69)                                15
(%i70) mod(16^15-1,105);
(%o70)                                 0
(%i71) mod(16^17-1,105);
(%o71)                                45
(%i72) mod(16^19-1,105);
(%o72)                                15
(%i73) mod(16^21-1,105);
(%o73)                                 0
(%i74) mod(16^23-1,105);
(%o74)                                45
(%i75) mod(16^25-1,105);
(%o75)                                15
(%i76) mod(16^27-1,105);
(%o76)                                 0
より、0になるときがある。
よって、p(x-16)={16^(n+1)-1}/15がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=7はある。
つまり、x=23なら、σ(x)を素因数分解すると7を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、
{18^(n+1)-1}/17=5Pとおける。
18^m-1=17x5P=85P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i92) mod(18^3-1,85);
(%o92)                                51
(%i93) mod(18^5-1,85);
(%o93)                                17
(%i94) mod(18^7-1,85);
(%o94)                                51
(%i95) mod(18^9-1,85);
(%o95)                                17
(%i96) mod(18^11-1,85);
(%o96)                                51
(%i97) mod(18^13-1,85);
(%o97)                                17
(%i98) mod(18^15-1,85);
(%o98)                                51
(%i99) mod(18^17-1,85);
(%o99)                                17
(%i100) mod(18^19-1,85);
(%o100)                               51
(%i101) mod(18^21-1,85);
(%o101)                               17
(%i102) mod(18^23-1,85);
(%o102)                               51
(%i103) mod(18^25-1,85);
(%o103)                               17
(%i104) mod(18^27-1,85);
(%o104)                               51
より、0にならない。
よって、p(x-20)={20^(n+1)-1}/19がありえないので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=5はない。
つまり、x=23なら、σ(x)を素因数分解すると5を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、
{20^(n+1)-1}/19=3Pとおける。
20^m-1=19x3P=57P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i105) mod(20^3-1,57);
(%o105)                               19
(%i106) mod(20^5-1,57);
(%o106)                               19
(%i107) mod(20^7-1,57);
(%o107)                               19
(%i108) mod(20^9-1,57);
(%o108)                               19
(%i109) mod(20^11-1,57);
(%o109)                               19
(%i111) mod(20^13-1,57);
(%o111)                               19
(%i112) mod(20^15-1,57);
(%o112)                               19
(%i113) mod(20^17-1,57);
(%o113)                               19
(%i114) mod(20^19-1,57);
(%o114)                               19
(%i115) mod(20^21-1,57);
(%o115)                               19
(%i116) mod(20^23-1,57);
(%o116)                               19
(%i117) mod(20^25-1,57);
(%o117)                               19
(%i118) mod(20^25-1,57);
(%o118)                               19
(%i119) mod(20^27-1,57);
(%o119)                               19
より、0にならない。
よって、p(x-20)={20^(n+1)-1}/19がありえないので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=3はない。
つまり、x=23なら、σ(x)を素因数分解すると3を含まない。

(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=23なら、σ(x)を素因数分解した時、17,13,5,3は現れない、と言える。


(%i34) x:23;
(%o34)                                23
(%i35) factor(1+x+x^2);
(%o35)                               7 79
(%i36) factor(1+x+x^2+x^3+x^4);
(%o36)                              292561
(%i37) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6);
(%o37)                            29 5336717
(%i38) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8);
(%o38)                          7 19 79 7792003
(%i39) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10);
(%o39)                         11 3937230404603
(%i40) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12);
(%o40)                        47691619 480393499
(%i41) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14);(%o41)                      7 79 292561 74912328481
(%i42) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16);
(%o42)                     103 62246266355102810647
(%i43) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18);
(%o43)                   2129 63877469 24939218613613
(%i44) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20);
                      2
(%o44)               7  29 43 79 170689 5336717 408030421