x=29では、x-2=27(3x9),x-4=25(5x5),x-6=23,x-8=21(3x7),x-10=19,x-12=17,x-14=15(3x5),
x-16=13,x-18=11,x-20=9(3x3),x-22=7,x-24=5,x-26=3が考えられます。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=27(=3x9)とすると、27は素数でないので
よって、p(x-2)={2^(n+1)-1}がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=25(=5x5)とすると、25は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、p(x-4)={4^(n+1)-1}/3がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=23とすると、σ(x)の素因数分解に23が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、
{6^(n+1)-1}/5=23Pとおける。
6^m-1=5x23P=115P nは偶数なのでmは奇数。
(%i1) mod(6^3-1,115);
(%o1)                                 100
(%i2) mod(6^5-1,115);
(%o2)                                 70
(%i3) mod(6^7-1,115);
(%o3)                                 25
(%i4) mod(6^9-1,115);
(%o4)                                 15
(%i5) mod(6^11-1,115);
(%o5)                                  0
(%i6) mod(6^13-1,115);
(%o6)                                 35
(%i7) mod(6^15-1,115);
(%o7)                                 30
(%i8) mod(6^17-1,115);
(%o8)                                 80
(%i9) mod(6^19-1,115);
(%o9)                                 40
(%i10) mod(6^23-1,115);
(%o10)                                 5
(%i13) mod(6^25-1,115);
(%o13)                                100
(%i11) mod(6^27-1,115);
(%o11)                                70
(%i12) mod(6^29-1,115);
(%o12)                                25
より、0になるときがある。
よって、p(x-6)={6^(n+1)-1}/5があるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=23はある。
つまり、x=29なら、σ(x)を素因数分解すると23を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=21(=3x7)とすると、21は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、p(x-8)={8^(n+1)-1}/7がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、
{10^(n+1)-1}/9=19Pとおける。
10^m-1=9x19P=171P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i15) mod(10^3-1,171);
(%o15)                                144
(%i16) mod(10^5-1,171);
(%o16)                                135
(%i17) mod(10^7-1,171);
(%o17)                                90
(%i18) mod(10^9-1,171);
(%o18)                                36
(%i19) mod(10^11-1,171);
(%o19)                                108
(%i20) mod(10^13-1,171);
(%o20)                                126
(%i21) mod(10^15-1,171);
(%o21)                                45
(%i22) mod(10^17-1,171);
(%o22)                                153
(%i23) mod(10^19-1,171);
(%o23)                                 9
(%i24) mod(10^21-1,171);
(%o24)                                144
(%i25) mod(10^23-1,171);
(%o25)                                135
(%i26) mod(10^25-1,171);
(%o26)                                90
(%i27) mod(10^27-1,171);
(%o27)                                36
より、0にならない。
よって、p(x-10)={10^(n+1)-1}/9がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=19はない。
つまり、x=29なら、σ(x)を素因数分解すると19を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、
{12^(n+1)-1}/11=17Pとおける。
12^m-1=11x17P=187P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i41) mod(12^3-1,187);
(%o41)                                44
(%i42) mod(12^5-1,187);
(%o42)                                121
(%i43) mod(12^7-1,187);
(%o43)                                176
(%i44) mod(12^9-1,187);
(%o44)                                55
(%i45) mod(12^11-1,187);
(%o45)                                22
(%i46) mod(12^13-1,187);
(%o46)                                132
(%i47) mod(12^15-1,187);
(%o47)                                77
(%i48) mod(12^17-1,187);
(%o48)                                11
(%i49) mod(12^19-1,187);
(%o49)                                44
(%i50) mod(12^21-1,187);
(%o50)                                121
(%i51) mod(12^23-1,187);
(%o51)                                176
(%i52) mod(12^25-1,187);
(%o52)                                55
(%i53) mod(12^27-1,187);
(%o53)                                22
より、0にならない。
よって、p(x-12)={12^(n+1)-1}/11がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=17はない。
つまり、x=29なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=15(=3x5)とすると、15は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、p(x-14)={14^(n+1)-1}/13がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、
{16^(n+1)-1}/15=13Pとおける。
16^m-1=15x13P=195P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i55) mod(16^3-1,195);
(%o55)                                 0
(%i56) mod(16^5-1,195);
(%o56)                                60
(%i57) mod(16^7-1,195);
(%o57)                                15
(%i58) mod(16^9-1,195);
(%o58)                                 0
(%i59) mod(16^11-1,195);
(%o59)                                60
(%i60) mod(16^13-1,195);
(%o60)                                15
(%i61) mod(16^15-1,195);
(%o61)                                 0
(%i62) mod(16^17-1,195);
(%o62)                                60
(%i63) mod(16^19-1,195);
(%o63)                                15
(%i64) mod(16^21-1,195);
(%o64)                                 0
(%i65) mod(16^23-1,195);
(%o65)                                60
(%i66) mod(16^25-1,195);
(%o66)                                15
(%i67) mod(16^27-1,195);
(%o67)                                 0
より、0になるときがある。
よって、p(x-16)={16^(n+1)-1}/15がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=13はある。
つまり、x=29なら、σ(x)を素因数分解すると13を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、
{18^(n+1)-1}/17=11Pとおける。
18^m-1=17x11P=187P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i68) mod(18^3-1,187);
(%o68)                                34
(%i69) mod(18^5-1,187);
(%o69)                                119
(%i70) mod(18^7-1,187);
(%o70)                                170
(%i71) mod(18^9-1,187);
(%o71)                                51
(%i72) mod(18^11-1,187);
(%o72)                                17
(%i73) mod(18^13-1,187);
(%o73)                                34
(%i74) mod(18^15-1,187);
(%o74)                                119
(%i75) mod(18^17-1,187);
(%o75)                                170
(%i76) mod(18^19-1,187);
(%o76)                                51
(%i77) mod(18^21-1,187);
(%o77)                                17
(%i78) mod(18^23-1,187);
(%o78)                                34
(%i79) mod(18^25-1,187);
(%o79)                                119
(%i80) mod(18^27-1,187);
(%o80)                                170
より、0にならない。
よって、p(x-18)={18^(n+1)-1}/17がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=11はない。
つまり、x=29なら、σ(x)を素因数分解すると11を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=9(=3x3)とすると、9は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、p(x-20)={20^(n+1)-1}/19がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=11なので、
{22^(n+1)-1}/21=7Pとおける。
22^m-1=21x7P=147P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i81) mod(22^3-1,147);
(%o81)                                63
(%i82) mod(22^5-1,147);
(%o82)                                105
(%i83) mod(22^7-1,147);
(%o83)                                 0
(%i84) mod(22^9-1,147);
(%o84)                                42
(%i85) mod(22^11-1,147);
(%o85)                                84
(%i86) mod(22^13-1,147);
(%o86)                                126
(%i87) mod(22^15-1,147);
(%o87)                                21
(%i88) mod(22^17-1,147);
(%o88)                                63
(%i89) mod(22^19-1,147);
(%o89)                                105
(%i90) mod(22^21-1,147);
(%o90)                                 0
(%i91) mod(22^23-1,147);
(%o91)                                42
(%i92) mod(22^25-1,147);
(%o92)                                84
(%i93) mod(22^27-1,147);
(%o93)                                126
より、0になるときがある。
よって、p(x-22)={22^(n+1)-1}/21がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=7はある。
つまり、x=29なら、σ(x)を素因数分解すると7を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=12なので、
{24^(n+1)-1}/23=5Pとおける。
24^m-1=23x5P=115P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i94) mod(24^3-1,115);
(%o94)                                23
(%i95) mod(24^5-1,115);
(%o95)                                23
(%i96) mod(24^7-1,115);
(%o96)                                23
(%i97) mod(24^9-1,115);
(%o97)                                23
(%i98) mod(24^11-1,115);
(%o98)                                23
(%i99) mod(24^13-1,115);
(%o99)                                23
(%i100) mod(24^15-1,115);
(%o100)                               23
(%i101) mod(24^17-1,115);
(%o101)                               23
(%i102) mod(24^19-1,115);
(%o102)                               23
(%i103) mod(24^21-1,115);
(%o103)                               23
(%i104) mod(24^23-1,115);
(%o104)                               23
(%i105) mod(24^25-1,115);
(%o105)                               23
(%i106) mod(24^27-1,115);
(%o106)                               23
より、0にならない。
よって、p(x-24)={24^(n+1)-1}/23がありえないので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=5はない。
つまり、x=29なら、σ(x)を素因数分解すると5を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=13なので、
{26^(n+1)-1}/25=3Pとおける。
26^m-1=25x3P=75P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i107) mod(26^3-1,75);
(%o107)                               25
(%i108) mod(26^5-1,75);
(%o108)                               25
(%i109) mod(26^7-1,75);
(%o109)                               25
(%i110) mod(26^9-1,75);
(%o110)                               25
(%i111) mod(26^11-1,75);
(%o111)                               25
(%i112) mod(26^13-1,75);
(%o112)                               25
(%i113) mod(26^15-1,75);
(%o113)                               25
(%i114) mod(26^17-1,75);
(%o114)                               25
(%i115) mod(26^19-1,75);
(%o115)                               25
(%i116) mod(26^21-1,75);
(%o116)                               25
(%i117) mod(26^23-1,75);
(%o117)                               25
(%i118) mod(26^25-1,75);
(%o118)                               25
(%i119) mod(26^27-1,75);
(%o119)                               25
より、0にならない。
よって、p(x-26)={26^(n+1)-1}/25がありえないので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=3はない。
つまり、x=29なら、σ(x)を素因数分解すると3を含まない。

(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=29なら、
σ(x)を素因数分解した時、19,17,11,5,3は現れない、と言える。

(%i120) x:29;
(%o120)                               29
(%i121) factor(1+x+x^2);
(%o121)                              13 67
(%i122) factor(1+x+x^2+x^3+x^4);
(%o122)                             732541
(%i123) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6);
(%o123)                           7 88009573
(%i124) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8);
(%o124)                        13 67 14437 41203
(%i125) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10);
(%o125)                        23 18944890940537
(%i126) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12);
(%o126)                      521 148123 4748492087
(%i127) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14);
(%o127)                  13 67 181 22111 120691 732541
(%i128) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16);
(%o128)                   3911 1977917 33505187587603
(%i129) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18);
(%o129)                  1386659 157193380600163813309
(%i130) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20);
(%o130)              7 13 67 6637 88009573 51473298317533
(%i131) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22);
(%o131)               131327761273 1173922372300235340427
(%i132) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24);
(%o132)            151 732541 5902439266151 198587315383901
(%i133) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26);
(%o133)        13 67 14437 41203 52813 2284147 1744612878442321
(%i134) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28);
(%o134)       59 16763 84449 2428577 14111459 58320973 549334763
(%i135) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30);
(%o135)        36767 15294622838198819 137145934026139645822087