x=37では、x-2=35(5x7),x-4=33(3x11),x-6=31,x-8=29,x-10=27(3x9),x-12=25(5x5),x-14=23,x-16=21(3x7), x-18=19,x-20=17,x-22=15(3x5),x-24=13,x-26=11,x-28=9(3x3),x-30=7,x-32=5,x-34=3が考えられます。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=35(=5x7)とすると、35は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=1なので、p(x-2)={2^(n+1)-1}/(2-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=33(=3x11)とすると、33は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、p(x-4)={4^(n+1)-1}/(4-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=31とすると、σ(x)の素因数分解に31が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、 {6^(n+1)-1}/(6-1)=31Pとおける。 6^m-1=5x31P=155P nは偶数なのでmは奇数。 (%i1) mod(6^3-1,155); (%o1) 60 (%i2) mod(6^5-1,155); (%o2) 25 (%i3) mod(6^7-1,155); (%o3) 5 (%i4) mod(6^9-1,155); (%o4) 60 (%i5) mod(6^11-1,155); (%o5) 25 (%i6) mod(6^13-1,155); (%o6) 5 (%i7) mod(6^15-1,155); (%o7) 60 (%i8) mod(6^17-1,155); (%o8) 25 (%i10) mod(6^19-1,155); (%o10) 5 (%i11) mod(6^21-1,155); (%o11) 60 (%i12) mod(6^23-1,155); (%o12) 25 (%i13) mod(6^25-1,155); (%o13) 5 (%i14) mod(6^27-1,155); (%o14) 60 (%i15) mod(6^29-1,155); (%o15) 25 (%i16) mod(6^31-1,155); (%o16) 5 より、0にならない。 よって、p(x-6)={6^(n+1)-1}/5がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=31はない。 つまり、x=37なら、σ(x)を素因数分解すると31を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=29とすると、σ(x)の素因数分解に29が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、 {8^(n+1)-1}/7=29Pとおける。 8^m-1=7x29P=203P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i18) mod(8^3-1,203); (%o18) 105 (%i19) mod(8^5-1,203); (%o19) 84 (%i20) mod(8^7-1,203); (%o20) 161 (%i22) mod(8^9-1,203); (%o22) 14 (%i23) mod(8^11-1,203); (%o23) 147 (%i24) mod(8^13-1,203); (%o24) 133 (%i25) mod(8^15-1,203); (%o25) 49 (%i26) mod(8^17-1,203); (%o26) 154 (%i27) mod(8^19-1,203); (%o27) 175 (%i28) mod(8^21-1,203); (%o28) 98 (%i29) mod(8^23-1,203); (%o29) 42 (%i30) mod(8^27-1,203); (%o30) 126 (%i31) mod(8^29-1,203); (%o31) 7 (%i32) mod(8^31-1,203); (%o32) 105 (%i33) mod(8^33-1,203); (%o33) 84 (%i34) mod(8^35-1,203); (%o34) 161 より、0にならない。 よって、p(x-8)={8^(n+1)-1}/7がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=29はない。 つまり、x=37なら、σ(x)を素因数分解すると29を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=27(=3x9)とすると、27は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、p(x-10)={10^(n+1)-1}/9がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=25(=5x5)とすると、25は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、p(x-12)={12^(n+1)-1}/11がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=23とすると、σ(x)の素因数分解に23が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、 {14^(n+1)-1}/13=23Pとおける。 14^m-1=13x23P=299P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i36) mod(14^3-1,299); (%o36) 52 (%i37) mod(14^5-1,299); (%o37) 221 (%i38) mod(14^7-1,299); (%o38) 156 (%i39) mod(14^9-1,299); (%o39) 273 (%i40) mod(14^11-1,299); (%o40) 182 (%i41) mod(14^13-1,299); (%o41) 286 (%i42) mod(14^15-1,299); (%o42) 39 (%i43) mod(14^17-1,299); (%o43) 65 (%i44) mod(14^19-1,299); (%o44) 78 (%i45) mod(14^21-1,299); (%o45) 234 (%i46) mod(14^23-1,299); (%o46) 13 (%i47) mod(14^25-1,299); (%o47) 52 (%i48) mod(14^27-1,299); (%o48) 221 (%i49) mod(14^29-1,299); (%o49) 156 (%i50) mod(14^31-1,299); (%o50) 273 より、0にならない。 よって、p(x-14)={14^(n+1)-1}/13がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=23はない。 つまり、x=37なら、σ(x)を素因数分解すると23を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=21(=3x7)とすると、21は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、p(x-16)={16^(n+1)-1}/15がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、 {18^(n+1)-1}/17=19Pとおける。 18^m-1=17x19P=323P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i52) mod(18^3-1,323); (%o52) 17 (%i53) mod(18^5-1,323); (%o53) 17 (%i54) mod(18^7-1,323); (%o54) 17 (%i55) mod(18^9-1,323); (%o55) 17 (%i56) mod(18^11-1,323); (%o56) 17 (%i57) mod(18^13-1,323); (%o57) 17 (%i58) mod(18^15-1,323); (%o58) 17 (%i59) mod(18^17-1,323); (%o59) 17 (%i60) mod(18^19-1,323); (%o60) 17 (%i61) mod(18^21-1,323); (%o61) 17 (%i62) mod(18^23-1,323); (%o62) 17 (%i63) mod(18^25-1,323); (%o63) 17 (%i64) mod(18^27-1,323); (%o64) 17 (%i65) mod(18^29-1,323); (%o65) 17 (%i66) mod(18^31-1,323); (%o66) 17 より、0にならない。 よって、p(x-18)={18^(n+1)-1}/17がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=19はない。 つまり、x=37なら、σ(x)を素因数分解すると19を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、 {20^(n+1)-1}/19=17Pとおける。 20^m-1=19x17P=323P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i67) mod(20^3-1,323); (%o67) 247 (%i68) mod(20^5-1,323); (%o68) 38 (%i69) mod(20^7-1,323); (%o69) 95 (%i70) mod(20^9-1,323); (%o70) 285 (%i71) mod(20^11-1,323); (%o71) 57 (%i72) mod(20^13-1,323); (%o72) 266 (%i73) mod(20^15-1,323); (%o73) 209 (%i74) mod(20^17-1,323); (%o74) 19 (%i75) mod(20^19-1,323); (%o75) 247 (%i76) mod(20^21-1,323); (%o76) 38 (%i77) mod(20^23-1,323); (%o77) 95 (%i78) mod(20^25-1,323); (%o78) 285 (%i79) mod(20^27-1,323); (%o79) 57 (%i80) mod(20^29-1,323); (%o80) 266 (%i81) mod(20^31-1,323); (%o81) 209 より、0にならない。 よって、p(x-20)={20^(n+1)-1}/19がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=17はない。 つまり、x=37なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=15(=3x5)とすると、15は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=11なので、p(x-22)={22^(n+1)-1}/21がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=12なので、 {24^(n+1)-1}/23=13Pとおける。 24^m-1=23x13P=299P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i83) mod(24^3-1,299); (%o83) 69 (%i84) mod(24^5-1,299); (%o84) 253 (%i85) mod(24^7-1,299); (%o85) 92 (%i86) mod(24^9-1,299); (%o86) 46 (%i87) mod(24^11-1,299); (%o87) 161 (%i88) mod(24^13-1,299); (%o88) 23 (%i89) mod(24^15-1,299); (%o89) 69 (%i90) mod(24^17-1,299); (%o90) 253 (%i91) mod(24^19-1,299); (%o91) 92 (%i92) mod(24^21-1,299); (%o92) 46 (%i93) mod(24^23-1,299); (%o93) 161 (%i94) mod(24^25-1,299); (%o94) 23 (%i95) mod(24^27-1,299); (%o95) 69 (%i96) mod(24^29-1,299); (%o96) 253 (%i97) mod(24^31-1,299); (%o97) 92 より、0にならない。 よって、p(x-24)={24^(n+1)-1}/23がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=13はない。 つまり、x=37なら、σ(x)を素因数分解すると13を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=13なので、 {26^(n+1)-1}/25=11Pとおける。 26^m-1=25x11P=275P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i99) mod(26^3-1,275); (%o99) 250 (%i100) mod(26^5-1,275); (%o100) 0 (%i101) mod(26^7-1,275); (%o101) 125 (%i102) mod(26^9-1,275); (%o102) 200 (%i103) mod(26^11-1,275); (%o103) 25 (%i104) mod(26^13-1,275); (%o104) 250 (%i105) mod(26^15-1,275); (%o105) 0 (%i106) mod(26^17-1,275); (%o106) 125 (%i107) mod(26^19-1,275); (%o107) 200 (%i108) mod(26^21-1,275); (%o108) 25 (%i109) mod(26^23-1,275); (%o109) 250 (%i110) mod(26^25-1,275); (%o110) 0 (%i111) mod(26^27-1,275); (%o111) 125 (%i112) mod(26^29-1,275); (%o112) 200 (%i113) mod(26^31-1,275); (%o113) 25 より、0になるときがある。 よって、p(x-26)={26^(n+1)-1}/25がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=11はある。 つまり、x=37なら、σ(x)を素因数分解すると11を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=9(=3x3)とすると、9は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=14なので、p(x-28)={28^(n+1)-1}/27がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=15なので、 {30^(n+1)-1}/29=7Pとおける。 30^m-1=29x7P=203P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i115) mod(30^3-1,203); (%o115) 0 (%i116) mod(30^5-1,203); (%o116) 87 (%i117) mod(30^7-1,203); (%o117) 29 (%i118) mod(30^9-1,203); (%o118) 0 (%i119) mod(30^11-1,203); (%o119) 87 (%i120) mod(30^13-1,203); (%o120) 29 (%i121) mod(30^15-1,203); (%o121) 0 (%i122) mod(30^17-1,203); (%o122) 87 (%i123) mod(30^19-1,203); (%o123) 29 (%i124) mod(30^21-1,203); (%o124) 0 (%i125) mod(30^23-1,203); (%o125) 87 (%i126) mod(30^25-1,203); (%o126) 29 (%i127) mod(30^27-1,203); (%o127) 0 (%i128) mod(30^29-1,203); (%o128) 87 (%i129) mod(30^31-1,203); (%o129) 29 より、0になるときがある。 よって、p(x-30)={30^(n+1)-1}/29がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=7はある。 つまり、x=37なら、σ(x)を素因数分解すると7を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-32=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=16なので、 {32^(n+1)-1}/31=5Pとおける。 32^m-1=31x5P=155P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i130) mod(32^3-1,155); (%o130) 62 (%i131) mod(32^5-1,155); (%o131) 31 (%i132) mod(32^7-1,155); (%o132) 62 (%i133) mod(32^9-1,155); (%o133) 31 (%i134) mod(32^11-1,155); (%o134) 62 (%i135) mod(32^13-1,155); (%o135) 31 (%i136) mod(32^15-1,155); (%o136) 62 (%i137) mod(32^17-1,155); (%o137) 31 (%i138) mod(32^19-1,155); (%o138) 62 (%i139) mod(32^21-1,155); (%o139) 31 (%i140) mod(32^23-1,155); (%o140) 62 (%i141) mod(32^25-1,155); (%o141) 31 (%i142) mod(32^27-1,155); (%o142) 62 (%i143) mod(32^29-1,155); (%o143) 31 (%i144) mod(32^31-1,155); (%o144) 62 より、0にならない。 よって、p(x-32)={32^(n+1)-1}/31がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-32=5はない。 つまり、x=37なら、σ(x)を素因数分解すると5を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=17なので、 {34^(n+1)-1}/33=3Pとおける。 34^m-1=33x3P=99P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i145) mod(34^3-1,99); (%o145) 0 (%i146) mod(34^5-1,99); (%o146) 66 (%i147) mod(34^7-1,99); (%o147) 33 (%i148) mod(34^9-1,99); (%o148) 0 (%i149) mod(34^11-1,99); (%o149) 66 (%i150) mod(34^13-1,99); (%o150) 33 (%i151) mod(34^15-1,99); (%o151) 0 (%i152) mod(34^17-1,99); (%o152) 66 (%i153) mod(34^19-1,99); (%o153) 33 (%i154) mod(34^21-1,99); (%o154) 0 (%i155) mod(34^23-1,99); (%o155) 66 (%i156) mod(34^25-1,99); (%o156) 33 (%i157) mod(34^27-1,99); (%o157) 0 (%i158) mod(34^29-1,99); (%o158) 66 (%i159) mod(34^31-1,99); (%o159) 33 より、0になるときがある。 よって、p(x-34)={34^(n+1)-1}/33がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=3はある。 つまり、x=37なら、σ(x)を素因数分解すると3を含む。 (x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=37なら、σ(x)を素因数分解した時、 31,29,23,19,17,13,5は現れない、と言える。 (%i160) x:37; (%o160) 37 (%i161) factor(1+x+x^2); (%o161) 3 7 67 (%i162) factor(1+x+x^2+x^3+x^4); (%o162) 11 41 4271 (%i163) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6); (%o163) 71 37140797 (%i164) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8); 2 (%o164) 3 7 67 73 127 92251 (%i165) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10); (%o165) 2663 1855860368209 (%i166) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12); (%o166) 6765811783780036261 (%i167) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14); (%o167) 3 7 11 41 67 2671 4021 4271 318211 (%i168) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16); (%o168) 613 109172471 189475557532747 (%i169) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18); (%o169) 4413131 3933538789573170812717 (%i170) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20); 2 (%o170) 3 7 67 71 25453 4497991 7992349 37140797 (%i171) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22); (%o171) 47 1845029930335901 375176717285846681 (%i172) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24); (%o172) 11 41 101 2801 4271 332951 245482016086923528751 (%i173) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26); 3 (%o173) 3 7 67 73 127 8803 92251 4085047 156560434885225009 (%i174) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28); (%o174) 233 38629 348365053 1414177229 18825203918364174449 (%i175) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30); (%o175) 385894816539270919 296129722925570310535267183093 (%i176) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32); (%o176) 3 7 67 2663 1855860368209 765012258288367 29408673640347607