x=47では、x-2=45(5x9),x-4=43,x-6=41,x-8=39(3x13),x-10=37,x-12=35(5x7),x-14=33(3x11),x-16=31,x-18=29,x-20=27(3x9),x-22=25(5x5),
x-24=23,x-26=21(3x7),x-28=19,x-30=17,x-32=15(3x5),x-34=13,x-36=11,x-38=9(3x3),x-40=7,x-42=5,x-44=3が考えられます。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=45(=5x9)とすると、45は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=1なので、p(x-2)={2^(n+1)-1}/(2-1)がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=43とすると、σ(x)の素因数分解に43が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、
{4^(n+1)-1}/(4-1)=43Pとおける。
4^m-1=3x43P=129P nは偶数なのでmは奇数。
(%i1) mod(4^3-1,129);
(%o1)                                 63
(%i2) mod(4^5-1,129);
(%o2)                                 120
(%i3) mod(4^7-1,129);
(%o3)                                  0
(%i4) mod(4^9-1,129);
(%o4)                                 15
(%i5) mod(4^11-1,129);
(%o5)                                 126
(%i6) mod(4^13-1,129);
(%o6)                                 96
(%i7) mod(4^15-1,129);
(%o7)                                  3
(%i8) mod(4^17-1,129);
(%o8)                                 63
(%i9) mod(4^19-1,129);
(%o9)                                 120
(%i10) mod(4^21-1,129);
(%o10)                                 0
(%i11) mod(4^23-1,129);
(%o11)                                15
(%i12) mod(4^25-1,129);
(%o12)                                126
より、0になるときがある。
よって、p(x-4)={4^(n+1)-1}/(4-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=43はある。
つまり、x=47なら、σ(x)を素因数分解すると43を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=41とすると、σ(x)の素因数分解に41が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、
{6^(n+1)-1}/5=41Pとおける。
6^m-1=5x41P=205P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i13) mod(6^3-1,205);
(%o13)                                10
(%i14) mod(6^5-1,205);
(%o14)                                190
(%i15) mod(6^7-1,205);
(%o15)                                110
(%i16) mod(6^9-1,205);
(%o16)                                100
(%i17) mod(6^11-1,205);
(%o17)                                150
(%i18) mod(6^13-1,205);
(%o18)                                105
(%i19) mod(6^15-1,205);
(%o19)                                125
(%i20) mod(6^17-1,205);
(%o20)                                25
(%i21) mod(6^19-1,205);
(%o21)                                115
(%i22) mod(6^21-1,205);
(%o22)                                75
(%i23) mod(6^23-1,205);
(%o23)                                70
(%i24) mod(6^25-1,205);
(%o24)                                95
(%i25) mod(6^27-1,205);
(%o25)                                175
(%i26) mod(6^29-1,205);
(%o26)                                185
(%i27) mod(6^31-1,205);
(%o27)                                135
(%i28) mod(6^33-1,205);
(%o28)                                180
(%i29) mod(6^35-1,205);
(%o29)                                160
(%i30) mod(6^37-1,205);
(%o30)                                55
(%i31) mod(6^39-1,205);
(%o31)                                170
(%i32) mod(6^41-1,205);
(%o32)                                 5
(%i33) mod(6^43-1,205);
(%o33)                                10
(%i34) mod(6^45-1,205);
(%o34)                                190
より、0にならない。
よって、p(x-6)={6^(n+1)-1}/5がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=41はない。
つまり、x=47なら、σ(x)を素因数分解すると41を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=39(=3x13)とすると、39は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、p(x-8)={8^(n+1)-1}/(8-1)がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=37とすると、σ(x)の素因数分解に37が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、
{10^(n+1)-1}/9=37Pとおける。
10^m-1=9x37P=333P　nは偶数なのでmは奇数。
((%i45) mod(10^3-1,333);
(%o45)                                 0
(%i46) mod(10^5-1,333);
(%o46)                                99
(%i47) mod(10^7-1,333);
(%o47)                                 9
(%i48) mod(10^9-1,333);
(%o48)                                 0
(%i49) mod(10^11-1,333);
(%o49)                                99
より、0になるときがある。
よって、p(x-16)={10^(n+1)-1}/(10-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=37はある。
つまり、x=47なら、σ(x)を素因数分解すると37を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=35(=5x7)とすると、35は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、p(x-12)={12^(n+1)-1}/(12-1)がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=33(=3x11)とすると、33は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、p(x-14)={14^(n+1)-1}/(14-1)がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=31とすると、σ(x)の素因数分解に31が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、
{16^(n+1)-1}/15=31Pとおける。
16^m-1=15x31P=465P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i51) mod(16^3-1,465);
(%o51)                                375
(%i52) mod(16^5-1,465);
(%o52)                                 0
(%i53) mod(16^7-1,465);
(%o53)                                255
(%i54) mod(16^9-1,465);
(%o54)                                435
(%i55) mod(16^11-1,465);
(%o55)                                15
(%i56) mod(16^13-1,465);
(%o56)                                375
(%i57) mod(16^15-1,465);
(%o57)                                 0
より、0になるときがある。
よって、p(x-16)={16^(n+1)-1}/(16-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=31はある。
つまり、x=47なら、σ(x)を素因数分解すると31を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=29とすると、σ(x)の素因数分解に29が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、
{18^(n+1)-1}/17=29Pとおける。
18^m-1=17x29P=493P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i59) mod(18^3-1,493);
(%o59)                                408
(%i60) mod(18^5-1,493);
(%o60)                                391
(%i61) mod(18^7-1,493);
(%o61)                                306
(%i62) mod(18^9-1,493);
(%o62)                                374
(%i63) mod(18^11-1,493);
(%o63)                                221
(%i64) mod(18^13-1,493);
(%o64)                                442
(%i65) mod(18^15-1,493);
(%o65)                                68
(%i66) mod(18^17-1,493);
(%o66)                                170
(%i67) mod(18^19-1,493);
(%o67)                                187
(%i68) mod(18^21-1,493);
(%o68)                                272
(%i69) mod(18^23-1,493);
(%o69)                                204
(%i70) mod(18^25-1,493);
(%o70)                                357
(%i71) mod(18^27-1,493);
(%o71)                                136
(%i72) mod(18^29-1,493);
(%o72)                                17
(%i73) mod(18^31-1,493);
(%o73)                                408
(%i74) mod(18^33-1,493);
(%o74)                                391
より、0にならない。
よって、p(x-18)={18^(n+1)-1}/17がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=29はない。
つまり、x=47なら、σ(x)を素因数分解すると29を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=27(3x9)とすると、27は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、p(x-20)={20^(n+1)-1}/19がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=25(5x5)とすると、25は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=11なので、p(x-22)={22^(n+1)-1}/21がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=23とすると、σ(x)の素因数分解に23が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=12なので、
{24^(n+1)-1}/23=23Pとおける。
24^m-1=23x23P=529P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i76) mod(24^3-1,529);
(%o76)                                69
(%i77) mod(24^5-1,529);
(%o77)                                115
(%i78) mod(24^7-1,529);
(%o78)                                161
(%i80) mod(24^9-1,529);
(%o80)                                207
(%i81) mod(24^11-1,529);
(%o81)                                253
(%i82) mod(24^13-1,529);
(%o82)                                299
(%i83) mod(24^15-1,529);
(%o83)                                345
(%i84) mod(24^17-1,529);
(%o84)                                391
(%i85) mod(24^19-1,529);
(%o85)                                437
(%i86) mod(24^21-1,529);
(%o86)                                483
(%i87) mod(24^23-1,529);
(%o87)                                 0
(%i88) mod(24^25-1,529);
(%o88)                                46
(%i89) mod(24^27-1,529);
(%o89)                                92
(%i90) mod(24^29-1,529);
(%o90)                                138
(%i91) mod(24^31-1,529);
(%o91)                                184
(%i92) mod(24^33-1,529);
(%o92)                                230
(%i93) mod(24^35-1,529);
(%o93)                                276
(%i94) mod(24^37-1,529);
(%o94)                                322
(%i95) mod(24^39-1,529);
(%o95)                                368
(%i96) mod(24^41-1,529);
(%o96)                                414
(%i97) mod(24^43-1,529);
(%o97)                                460
(%i98) mod(24^45-1,529);
(%o98)                                506
(%i99) mod(24^47-1,529);
(%o99)                                23
(%i100) mod(24^49-1,529);
(%o100)                               69
(%i101) mod(24^51-1,529);
(%o101)                               115
より、0になるときがある。
よって、p(x-24)={24^(n+1)-1}/23がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=23はある。
つまり、x=47なら、σ(x)を素因数分解すると23を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=21(3x7)とすると、21は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=13なので、p(x-26)={26^(n+1)-1}/25がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=14なので、
{28^(n+1)-1}/27=19Pとおける。
28^m-1=27x19P=513P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i103) mod(28^3-1,513);
(%o103)                               405
(%i104) mod(28^5-1,513);
(%o104)                               243
(%i105) mod(28^7-1,513);
(%o105)                               459
(%i106) mod(28^9-1,513);
(%o106)                                0
(%i107) mod(28^11-1,513);
(%o107)                               270
(%i108) mod(28^13-1,513);
(%o108)                               81
(%i109) mod(28^15-1,513);
(%o109)                               162
(%i110) mod(28^17-1,513);
(%o110)                               54
(%i111) mod(28^19-1,513);
(%o111)                               27
(%i112) mod(28^21-1,513);
(%o112)                               405
(%i113) mod(28^23-1,513);
(%o113)                               243
より、0になるときがある。
よって、p(x-28)={28^(n+1)-1}/27がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=19はある。
つまり、x=47なら、σ(x)を素因数分解すると19を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=15なので、
{30^(n+1)-1}/29=17Pとおける。
30^m-1=29x17P=493P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i115) mod(30^3-1,493);
(%o115)                               377
(%i116) mod(30^5-1,493);
(%o116)                               29
(%i117) mod(30^7-1,493);
(%o117)                               377
(%i118) mod(30^9-1,493);
(%o118)                               29
(%i119) mod(30^11-1,493);
(%o119)                               377
より、0にならない。
よって、p(x-30)={30^(n+1)-1}/29がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=17はない。
つまり、x=47なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-32=15(3x5)とすると、15は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=16なので、p(x-32)={32^(n+1)-1}/31がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=17なので、
{34^(n+1)-1}/33=13Pとおける。
34^m-1=33x13P=429P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i121) mod(34^3-1,429);
(%o121)                               264
(%i122) mod(34^5-1,429);
(%o122)                               33
(%i123) mod(34^7-1,429);
(%o123)                               264
(%i124) mod(34^9-1,429);
(%o124)                               33
より、0にならない。
よって、p(x-34)={34^(n+1)-1}/33がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=13はない。
つまり、x=43なら、σ(x)を素因数分解すると11を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=18なので、
{36^(n+1)-1}/35=11Pとおける。
36^m-1=35x11P=385P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i126) mod(36^3-1,385);
(%o126)                               70
(%i127) mod(36^5-1,385);
(%o127)                                0
(%i128) mod(36^7-1,385);
(%o128)                               140
(%i129) mod(36^9-1,385);
(%o129)                               245
(%i130) mod(36^11-1,385);
(%o130)                               35
(%i131) mod(36^13-1,385);
(%o131)                               70
(%i132) mod(36^15-1,385);
(%o132)                                0
より、0になるときがある。
よって、p(x-36)={36^(n+1)-1}/35がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=11はある。
つまり、x=47なら、σ(x)を素因数分解すると11を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-38=9(3x3)とすると、9は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=19なので、p(x-38)={38^(n+1)-1}/37がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=20なので、
{40^(n+1)-1}/39=7Pとおける。
40^m-1=39x7P=273P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i134) mod(40^3-1,273);
(%o134)                               117
(%i135) mod(40^5-1,273);
(%o135)                               156
(%i136) mod(40^7-1,273);
(%o136)                               39
(%i137) mod(40^9-1,273);
(%o137)                               117
(%i138) mod(40^11-1,273);
(%o138)                               156
(%i139) mod(40^13-1,273);
(%o139)                               39
より、0にならない。
よって、p(x-40)={40^(n+1)-1}/39がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=7はない。
つまり、x=47なら、σ(x)を素因数分解すると7を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=21なので、
{42^(n+1)-1}/41=5Pとおける。
42^m-1=41x5P=205P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i140) mod(42^3-1,205);
(%o140)                               82
(%i141) mod(42^5-1,205);
(%o141)                               41
(%i142) mod(42^7-1,205);
(%o142)                               82
(%i143) mod(42^9-1,205);
(%o143)                               41
より、0にならない。
よって、p(x-42)={42^(n+1)-1}/41がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=5はない。
つまり、x=47なら、σ(x)を素因数分解すると5を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-44=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=22なので、
{44^(n+1)-1}/43=3Pとおける。
44^m-1=43x3P=129P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i144) mod(44^3-1,129);
(%o144)                               43
(%i145) mod(44^5-1,129);
(%o145)                               43
(%i146) mod(44^7-1,129);
(%o146)                               43
より、0にならない。
よって、p(x-44)={44^(n+1)-1}/43がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-44=3はない。
つまり、x=47なら、σ(x)を素因数分解すると3を含まない。

(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=47なら、σ(x)を素因数分解した時、
41,29,17,13,7,5,3は現れない、と言える。

(%i147) x:47;
(%o147)                               47
(%i148) factor(1+x+x^2);
(%o148)                              37 61
(%i149) factor(1+x+x^2+x^3+x^4);
(%o149)                           11 31 14621
(%i150) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6);
(%o150)                          43 256128979
(%i151) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8);
(%o151)                       19 37 61 567332587
(%i152) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10);
(%o152)                       134707 398959160491
(%i153) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12);
(%o153)                    53 2237 14050609 71265169
(%i154) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14);
(%o154)                11 31 37 61 14621 50551 461017351
(%i155) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16);
(%o155)                3571 10099 2127357527 7550870927
(%i156) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18);
(%o156)                419 65247271367 46808539630950829
(%i157) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20);
(%o157)           37 43 61 127 400681 256128979 2234786206087
(%i158) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22);
(%o158)            23 6630274723 40948079822587250236010333
(%i159) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24);
(%o159)       11 31 14621 30851 36451 1420151 1732383120852310351
(%i160) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26);
(%o160)      19 37 61 38449 175447 567332587 185665173329533518919
(%i161) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28);
(%o161)        368592716837 182613675999361578056692618697307533
(%i162) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30);
(%o162)      311 95791 4991035607321342656453282555895470390597337
(%i163) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32);
(%o163)  37 61 67 134707 398959160491 40415365692967152312532562522827
(%i164) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32+x^33+x^34);
(%o164) 11 31 43 14621 256128979 10174748124734411 1298628407998929067643171