x=67では、x-2=65(5x13),x-4=63(3x21),x-6=61,x-8=59,x-10=57(3x19),x-12=55(5x11),x-14=53,x-16=51(3x17),x-18=49(7x7),x-20=47,x-22=45(5x9),x-24=43,x-26=41,x-28=39(3x13),x-30=37,x-32=35(5x7),x-34=33(3x11),x-36=31,x-38=29,x-40=27(3x9),x-42=25(5x5), x-44=23,x-46=21(3x7),x-48=19,x-50=17,x-52=15(3x5),x-54=13,x-56=11,x-58=9(3x3),x-60=7,x-62=5,x-64=3が考えられます。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=65(=5x13)とすると、65は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=1なので、p(x-2)={2^(n+1)-1}/(2-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=63(=3x21)とすると、63は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、p(x-4)={4^(n+1)-1}/(4-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=61とすると、σ(x)の素因数分解に61が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、 {6^(n+1)-1}/(6-1)=61Pとおける。 6^m-1=5x61P=305P nは偶数なのでmは奇数。 (%i2) mod(6^3-1,305); (%o2) 215 (%i3) mod(6^5-1,305); (%o3) 150 (%i4) mod(6^7-1,305); (%o4) 250 (%i5) mod(6^9-1,305); (%o5) 190 (%i6) mod(6^11-1,305); (%o6) 165 (%i7) mod(6^13-1,305); (%o7) 180 (%i8) mod(6^15-1,305); (%o8) 110 (%i9) mod(6^17-1,305); (%o9) 30 (%i10) mod(6^19-1,305); (%o10) 200 (%i11) mod(6^21-1,305); (%o11) 220 (%i12) mod(6^23-1,305); (%o12) 25 (%i13) mod(6^25-1,305); (%o13) 20 (%i14) mod(6^27-1,305); (%o14) 145 (%i15) mod(6^29-1,305); (%o15) 70 (%i16) mod(6^31-1,305); (%o16) 115 (%i17) mod(6^33-1,305); (%o17) 210 (%i18) mod(6^35-1,305); (%o18) 275 (%i19) mod(6^37-1,305); (%o19) 175 (%i20) mod(6^39-1,305); (%o20) 235 (%i21) mod(6^41-1,305); (%o21) 260 (%i22) mod(6^43-1,305); (%o22) 245 (%i23) mod(6^45-1,305); (%o23) 10 (%i24) mod(6^47-1,305); (%o24) 90 (%i25) mod(6^49-1,305); (%o25) 225 (%i26) mod(6^51-1,305); (%o26) 205 (%i27) mod(6^53-1,305); (%o27) 95 (%i28) mod(6^55-1,305); (%o28) 100 (%i29) mod(6^57-1,305); (%o29) 280 (%i30) mod(6^59-1,305); (%o30) 50 (%i31) mod(6^61-1,305); (%o31) 5 (%i32) mod(6^63-1,305); (%o32) 215 (%i33) mod(6^65-1,305); (%o33) 150 より、0にならない。 よって、p(x-2)={2^(n+1)-1}がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=61はない。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると61を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=59とすると、σ(x)の素因数分解に59が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、 {8^(n+1)-1}/7=59Pとおける。 8^m-1=7x59P=413P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i35) mod(8^3-1,413); (%o35) 98 (%i36) mod(8^5-1,413); (%o36) 140 (%i37) mod(8^7-1,413); (%o37) 350 (%i38) mod(8^9-1,413); (%o38) 161 (%i39) mod(8^11-1,413); (%o39) 42 (%i40) mod(8^13-1,413); (%o40) 273 (%i41) mod(8^15-1,413); (%o41) 189 (%i42) mod(8^17-1,413); (%o42) 182 (%i43) mod(8^19-1,413); (%o43) 147 (%i44) mod(8^21-1,413); (%o44) 385 (%i45) mod(8^23-1,413); (%o45) 336 (%i46) mod(8^25-1,413); (%o46) 91 (%i47) mod(8^27-1,413); (%o47) 105 (%i48) mod(8^29-1,413); (%o48) 175 (%i49) mod(8^31-1,413); (%o49) 112 (%i50) mod(8^33-1,413); (%o50) 210 (%i51) mod(8^35-1,413); (%o51) 287 (%i52) mod(8^37-1,413); (%o52) 259 (%i53) mod(8^39-1,413); (%o53) 119 (%i54) mod(8^41-1,413); (%o54) 245 (%i55) mod(8^43-1,413); (%o55) 49 (%i56) mod(8^45-1,413); (%o56) 308 (%i57) mod(8^47-1,413); (%o57) 364 (%i58) mod(8^49-1,413); (%o58) 231 (%i59) mod(8^51-1,413); (%o59) 392 (%i60) mod(8^53-1,413); (%o60) 371 (%i61) mod(8^55-1,413); (%o61) 266 (%i62) mod(8^57-1,413); (%o62) 154 (%i63) mod(8^59-1,413); (%o63) 7 (%i64) mod(8^61-1,413); (%o64) 98 (%i65) mod(8^63-1,413); (%o65) 140 より、0にならない。 よって、p(x-8)={8^(n+1)-1}/(8-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=59はない。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると59を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=57(=3x19)とすると、57は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、p(x-10)={10^(n+1)-1}/(10-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=55(=5x11)とすると、55は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、p(x-12)={12^(n+1)-1}/(12-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=53とすると、σ(x)の素因数分解に53が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、 {14^(n+1)-1}/13=53Pとおける。 14^m-1=13x53P=689P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i67) mod(14^3-1,689); (%o67) 676 (%i68) mod(14^5-1,689); (%o68) 403 (%i69) mod(14^7-1,689); (%o69) 637 (%i70) mod(14^9-1,689); (%o70) 338 (%i71) mod(14^11-1,689); (%o71) 299 (%i72) mod(14^13-1,689); (%o72) 234 (%i73) mod(14^15-1,689); (%o73) 585 (%i74) mod(14^17-1,689); (%o74) 481 (%i75) mod(14^19-1,689); (%o75) 78 (%i76) mod(14^21-1,689); (%o76) 325 (%i77) mod(14^23-1,689); (%o77) 507 (%i78) mod(14^25-1,689); (%o78) 351 (%i79) mod(14^27-1,689); (%o79) 91 (%i80) mod(14^29-1,689); (%o80) 117 (%i81) mod(14^31-1,689); (%o81) 390 (%i82) mod(14^33-1,689); (%o82) 156 (%i83) mod(14^35-1,689); (%o83) 455 (%i84) mod(14^37-1,689); (%o84) 494 (%i85) mod(14^39-1,689); (%o85) 559 (%i86) mod(14^41-1,689); (%o86) 208 (%i87) mod(14^43-1,689); (%o87) 312 (%i88) mod(14^45-1,689); (%o88) 26 (%i89) mod(14^47-1,689); (%o89) 468 (%i90) mod(14^49-1,689); (%o90) 286 (%i91) mod(14^51-1,689); (%o91) 442 (%i92) mod(14^53-1,689); (%o92) 13 (%i93) mod(14^57-1,689); (%o93) 403 (%i94) mod(14^59-1,689); (%o94) 637 (%i95) mod(14^61-1,689); (%o95) 338 (%i96) mod(14^63-1,689); (%o96) 299 (%i102) mod(14^65-1,689); (%o102) 234 (%i104) mod(14^67-1,689); (%o104) 585 (%i105) mod(14^69-1,689); (%o105) 481 (%i106) mod(14^71-1,689); (%o106) 78 より、0にならない。 よって、p(x-14)={14^(n+1)-1}/(14-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=53はない。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると53を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=51(=3x17)とすると、51は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、p(x-16)={16^(n+1)-1}/(16-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=49(=7x7)とすると、49は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、p(x-18)={18^(n+1)-1}/(18-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=47とすると、σ(x)の素因数分解に47が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、 {20^(n+1)-1}/19=47Pとおける。 20^m-1=19x47P=893P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i133) mod(20^3-1,893); (%o133) 855 (%i134) mod(20^5-1,893); (%o134) 380 (%i135) mod(20^7-1,893); (%o135) 589 (%i136) mod(20^9-1,893); (%o136) 247 (%i137) mod(20^11-1,893); (%o137) 76 (%i138) mod(20^13-1,893); (%o138) 437 (%i139) mod(20^15-1,893); (%o139) 171 (%i140) mod(20^17-1,893); (%o140) 38 (%i141) mod(20^19-1,893); (%o141) 418 (%i142) mod(20^21-1,893); (%o142) 608 (%i143) mod(20^23-1,893); (%o143) 703 (%i144) mod(20^25-1,893); (%o144) 304 (%i145) mod(20^27-1,893); (%o145) 551 (%i146) mod(20^29-1,893); (%o146) 228 (%i147) mod(20^31-1,893); (%o147) 513 (%i148) mod(20^33-1,893); (%o148) 209 (%i149) mod(20^35-1,893); (%o149) 57 (%i150) mod(20^37-1,893); (%o150) 874 (%i151) mod(20^39-1,893); (%o151) 836 (%i152) mod(20^41-1,893); (%o152) 817 (%i153) mod(20^43-1,893); (%o153) 361 (%i154) mod(20^45-1,893); (%o154) 133 (%i155) mod(20^47-1,893); (%o155) 19 (%i156) mod(20^49-1,893); (%o156) 855 (%i157) mod(20^51-1,893); (%o157) 380 より、0にならない。 よって、p(x-20)={20^(n+1)-1}がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=47はない。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると47を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=45(=5x9)とすると、45は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=11なので、p(x-22)={22^(n+1)-1}/(22-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=43とすると、σ(x)の素因数分解に43が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=12なので、 {24^(n+1)-1}/23=43Pとおける。 24^m-1=23x43P=989P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i160) mod(24^3-1,989); (%o160) 966 (%i161) mod(24^5-1,989); (%o161) 184 (%i162) mod(24^7-1,989); (%o162) 736 (%i163) mod(24^9-1,989); (%o163) 230 (%i164) mod(24^11-1,989); (%o164) 529 (%i165) mod(24^13-1,989); (%o165) 667 (%i166) mod(24^15-1,989); (%o166) 46 (%i167) mod(24^17-1,989); (%o167) 368 (%i168) mod(24^19-1,989); (%o168) 897 (%i169) mod(24^21-1,989); (%o169) 0 (%i170) mod(24^23-1,989); (%o170) 575 (%i171) mod(24^25-1,989); (%o171) 460 (%i172) mod(24^27-1,989); (%o172) 483 (%i173) mod(24^29-1,989); (%o173) 874 (%i174) mod(24^31-1,989); (%o174) 598 (%i175) mod(24^33-1,989); (%o175) 851 (%i176) mod(24^35-1,989); (%o176) 207 (%i177) mod(24^37-1,989); (%o177) 138 (%i178) mod(24^39-1,989); (%o178) 943 (%i179) mod(24^41-1,989); (%o179) 782 (%i180) mod(24^43-1,989); (%o180) 23 (%i181) mod(24^47-1,989); (%o181) 184 (%i182) mod(24^49-1,989); (%o182) 736 (%i183) mod(24^51-1,989); (%o183) 230 (%i184) mod(24^53-1,989); (%o184) 529 より、0になるときがある。 よって、p(x-24)={24^(n+1)-1}/(24-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=43はある。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると43を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=41とすると、σ(x)の素因数分解に41が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=13なので、 {26^(n+1)-1}/25=41Pとおける。 26^m-1=25x41P=1025P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i186) mod(26^3-1,1025); (%o186) 150 (%i187) mod(26^5-1,1025); (%o187) 600 (%i188) mod(26^7-1,1025); (%o188) 375 (%i189) mod(26^9-1,1025); (%o189) 1000 (%i190) mod(26^11-1,1025); (%o190) 175 (%i191) mod(26^13-1,1025); (%o191) 75 (%i192) mod(26^15-1,1025); (%o192) 125 (%i193) mod(26^17-1,1025); (%o193) 100 (%i194) mod(26^19-1,1025); (%o194) 625 (%i195) mod(26^21-1,1025); (%o195) 875 (%i196) mod(26^23-1,1025); (%o196) 750 (%i197) mod(26^25-1,1025); (%o197) 300 (%i198) mod(26^27-1,1025); (%o198) 525 (%i199) mod(26^29-1,1025); (%o199) 925 (%i200) mod(26^31-1,1025); (%o200) 725 (%i201) mod(26^33-1,1025); (%o201) 825 (%i202) mod(26^35-1,1025); (%o202) 775 (%i203) mod(26^37-1,1025); (%o203) 800 (%i204) mod(26^39-1,1025); (%o204) 275 (%i205) mod(26^41-1,1025); (%o205) 25 (%i206) mod(26^43-1,1025); (%o206) 150 (%i207) mod(26^45-1,1025); (%o207) 600 (%i208) mod(26^47-1,1025); (%o208) 375 より、0にならない。 よって、p(x-26)={26^(n+1)-1}/(26-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=41はない。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると41を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=39(=3x13)とすると、39は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=14なので、p(x-28)={28^(n+1)-1}/(28-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=37とすると、σ(x)の素因数分解に37が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=15なので、 {30^(n+1)-1}/29=37Pとおける。 30^m-1=29x37P=1073P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i210) mod(30^3-1,1073); (%o210) 174 (%i211) mod(30^5-1,1073); (%o211) 841 (%i212) mod(30^7-1,1073); (%o212) 261 (%i213) mod(30^9-1,1073); (%o213) 812 (%i214) mod(30^11-1,1073); (%o214) 986 (%i215) mod(30^13-1,1073); (%o215) 928 (%i216) mod(30^15-1,1073); (%o216) 232 (%i217) mod(30^17-1,1073); (%o217) 464 (%i218) mod(30^19-1,1073); (%o218) 29 (%i219) mod(30^21-1,1073); (%o219) 174 (%i220) mod(30^23-1,1073); (%o220) 841 より、0にならない。 よって、p(x-30)={30^(n+1)-1}/29がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=37はない。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると37を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-32=35(=5x7)とすると、35は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=16なので、p(x-32)={32^(n+1)-1}/(32-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=33(=3x11)とすると、33は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=17なので、p(x-34)={34^(n+1)-1}/(34-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=31とすると、σ(x)の素因数分解に31が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=18なので、 {36^(n+1)-1}/35=31Pとおける。 36^m-1=35x31P=1085P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i222) mod(36^3-1,1085); (%o222) 0 (%i223) mod(36^5-1,1085); (%o223) 210 (%i224) mod(36^7-1,1085); (%o224) 35 (%i225) mod(36^9-1,1085); (%o225) 0 (%i226) mod(36^11-1,1085); (%o226) 210 (%i227) mod(36^13-1,1085); (%o227) 35 (%i228) mod(36^15-1,1085); (%o228) 0 より、0になるときがある。 よって、p(x-36)={36^(n+1)-1}/(36-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=31はある。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると31を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-38=29とすると、σ(x)の素因数分解に29が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=19なので、 {38^(n+1)-1}/37=29Pとおける。 38^m-1=37x29P=1073P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i230) mod(38^3-1,1073); (%o230) 148 (%i231) mod(38^5-1,1073); (%o231) 555 (%i232) mod(38^7-1,1073); (%o232) 259 (%i233) mod(38^9-1,1073); (%o233) 962 (%i234) mod(38^11-1,1073); (%o234) 1036 (%i235) mod(38^13-1,1073); (%o235) 592 (%i236) mod(38^15-1,1073); (%o236) 37 (%i237) mod(38^17-1,1073); (%o237) 148 (%i238) mod(38^19-1,1073); (%o238) 555 より、0にならない。 よって、p(x-38)={38^(n+1)-1}/(38-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-38=29はない。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると29を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=27(3x9)とすると、27は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=20なので、p(x-40)={40^(n+1)-1}/(40-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=25(5x5)とすると、25は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=20なので、p(x-42)={42^(n+1)-1}/(42-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-44=23とすると、σ(x)の素因数分解に23が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=22なので、 {44^(n+1)-1}/43=23Pとおける。 44^m-1=43x23P=989P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i240) mod(44^3-1,989); (%o240) 129 (%i241) mod(44^7-1,989); (%o241) 860 (%i242) mod(44^9-1,989); (%o242) 430 (%i243) mod(44^11-1,989); (%o243) 688 (%i244) mod(44^13-1,989); (%o244) 731 (%i245) mod(44^15-1,989); (%o245) 903 (%i246) mod(44^17-1,989); (%o246) 602 (%i247) mod(44^19-1,989); (%o247) 387 (%i248) mod(44^21-1,989); (%o248) 516 (%i249) mod(44^23-1,989); (%o249) 43 (%i250) mod(44^25-1,989); (%o250) 129 (%i251) mod(44^27-1,989); (%o251) 473 (%i252) mod(44^29-1,989); (%o252) 860 より、0にならない。 よって、p(x-44)={44^(n+1)-1}/(44-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-44=23はない。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると23を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-46=21(3x7)とすると、21は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=23なので、p(x-46)={46^(n+1)-1}/(46-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=24なので、 {48^(n+1)-1}/47=19Pとおける。 48^m-1=47x19P=893P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i255) mod(48^3-1,893); (%o255) 752 (%i256) mod(48^5-1,893); (%o256) 705 (%i257) mod(48^7-1,893); (%o257) 470 (%i258) mod(48^9-1,893); (%o258) 188 (%i259) mod(48^11-1,893); (%o259) 564 (%i260) mod(48^13-1,893); (%o260) 658 (%i261) mod(48^15-1,893); (%o261) 235 (%i262) mod(48^17-1,893); (%o262) 799 (%i263) mod(48^19-1,893); (%o263) 47 (%i264) mod(48^21-1,893); (%o264) 752 (%i265) mod(48^23-1,893); (%o265) 705 より、0にならない。 よって、p(x-48)={48^(n+1)-1}/(48-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=19はない。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると19を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-50=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=25なので、 {50^(n+1)-1}/49=17Pとおける。 50^m-1=49x17P=833P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i268) mod(50^3-1,833); (%o268) 49 (%i269) mod(50^5-1,833); (%o269) 49 (%i270) mod(50^7-1,833); (%o270) 49 (%i271) mod(50^9-1,833); (%o271) 49 より、0にならない。 よって、p(x-50)={50^(n+1)-1}/(50-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-50=17はない。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=15(3x5)とすると、15は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=26なので、p(x-52)={52^(n+1)-1}/(52-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=27なので、 {54^(n+1)-1}/53=13Pとおける。 54^m-1=53x13P=689P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i273) mod(54^3-1,689); (%o273) 371 (%i274) mod(54^5-1,689); (%o274) 265 (%i275) mod(54^7-1,689); (%o275) 530 (%i276) mod(54^9-1,689); (%o276) 212 (%i277) mod(54^11-1,689); (%o277) 318 (%i278) mod(54^13-1,689); (%o278) 53 (%i279) mod(54^15-1,689); (%o279) 371 (%i280) mod(54^17-1,689); (%o280) 265 (%i281) mod(54^19-1,689); (%o281) 530 より、0にならない。 よって、p(x-54)={54^(n+1)-1}/(54-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=13はない。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると13を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-56=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=28なので、 {56^(n+1)-1}/55=11Pとおける。 56^m-1=55x11P=605P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i283) mod(56^3-1,605); (%o283) 165 (%i284) mod(56^5-1,605); (%o284) 275 (%i285) mod(56^7-1,605); (%o285) 385 (%i286) mod(56^9-1,605); (%o286) 495 (%i287) mod(56^11-1,605); (%o287) 0 (%i288) mod(56^13-1,605); (%o288) 110 (%i289) mod(56^15-1,605); (%o289) 220 (%i290) mod(56^17-1,605); (%o290) 330 (%i291) mod(56^19-1,605); (%o291) 440 (%i292) mod(56^21-1,605); (%o292) 550 (%i293) mod(56^23-1,605); (%o293) 55 (%i294) mod(56^25-1,605); (%o294) 165 (%i295) mod(56^27-1,605); (%o295) 275 より、0になるときがある。 よって、p(x-56)={56^(n+1)-1}/(56-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-56=11はある。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると11を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-58=9(3x3)とすると、9は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=29なので、p(x-58)={58^(n+1)-1}/(58-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=30なので、 {60^(n+1)-1}/59=7Pとおける。 60^m-1=59x7P=413P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i298) mod(60^3-1,413); (%o298) 0 (%i299) mod(60^5-1,413); (%o299) 295 (%i300) mod(60^7-1,413); (%o300) 59 (%i301) mod(60^9-1,413); (%o301) 0 (%i302) mod(60^11-1,413); (%o302) 295 (%i303) mod(60^13-1,413); (%o303) 59 (%i304) mod(60^15-1,413); (%o304) 0 より、0になるときがある。 よって、p(x-60)={60^(n+1)-1}/(60-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=7はある。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると7を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-62=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=31なので、 {62^(n+1)-1}/61=5Pとおける。 62^m-1=61x5P=305P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i305) mod(62^3-1,305); (%o305) 122 (%i306) mod(62^5-1,305); (%o306) 61 (%i307) mod(62^7-1,305); (%o307) 122 (%i308) mod(62^9-1,305); (%o308) 61 より、0にならない。 よって、p(x-62)={62^(n+1)-1}/(62-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-62=5はない。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると5を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-64=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=32なので、 {64^(n+1)-1}/63=3Pとおける。 64^m-1=63x3P=189P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i310) mod(64^3-1,189); (%o310) 0 (%i311) mod(64^5-1,189); (%o311) 126 (%i312) mod(64^7-1,189); (%o312) 63 (%i313) mod(64^9-1,189); (%o313) 0 (%i315) mod(64^11-1,189); (%o315) 126 (%i316) mod(64^13-1,189); (%o316) 63 (%i317) mod(64^15-1,189); (%o317) 0 より、0になるときがある。 よって、p(x-64)={64^(n+1)-1}/(64-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-64=3はある。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると3を含む。 (x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=67なら、σ(x)を素因数分解した時、 61,59,53,47,41,37,29,23,19,17,13,5は現れない、と言える。 (%i318) x:67; (%o318) 67 (%i319) factor(1+x+x^2); 2 (%o319) 3 7 31 (%i320) factor(1+x+x^2+x^3+x^4); (%o320) 761 26881 (%i321) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6); (%o321) 175897 522061 (%i322) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8); 2 2 (%o322) 3 7 31 30152894311 (%i323) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10); (%o323) 11 89 1890149702927663 (%i324) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12); (%o324) 79 157 5279 126867415853933 (%i325) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14); 2 (%o325) 3 7 31 761 1021 1171 26881 334569511 (%i326) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16); (%o326) 239 443 647 11070911 220718351121029 (%i327) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18); (%o327) 751410597400064602523400427092397 (%i328) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20); 3 (%o328) 3 7 31 43 175897 522061 511067593 52399044853 (%i329) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22); (%o329) 95052547721497 159298895525201570753486381 (%i330) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24); (%o330) 761 26881 64951 51157605951627299966057589688751 (%i331) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26); 3 2 (%o331) 3 7 31 30152894311 246731837952260027807871804675919 (%i332) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28); (%o332) 349 24071 51760361 3149985004300850031208705061057592899 (%i333) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30); (%o333) 683 46811 579949 4557772677741827 72755170215253680964233323 (%i334) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32); 2 (%o334) 3 7 11 31 89 1890149702927663 25881410068524979 126467431119400579891 (%i335) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32+x^33+x^34); (%o335) 761 26881 175897 522061 497350992396161 132617674805431928014349250161 (%i336)