x=89では、x-2=87(3x29),x-4=85(5x17),x-6=83,x-8=81(3^4),x-10=79,x-12=77(11x7),x-14=75(5^2x3) ,x-16=73,x-18=71,x-20=69(3x23),x-22=67,x-24=65(5x13),x-26=63(3x21),x-28=61,x-30=59,x-32=57(3x19) ,x-34=55(5x11),x-36=53,x-38=51(3x17),x-40=49(7x7),x-42=47,x-44=45(5x9),x-46=43,x-48=41,x-50=39(3x13) ,x-52=37,x-54=35(5x7),x-56=33(3x11),x-58=31,x-60=29,x-62=27(3x9),x-64=25(5x5),x-66=23,x-68=21(3x7) ,x-70=19,x-72=17,x-74=15(3x5),x-76=13,x-78=11,x-80=9(3x3),x-82=7,x-84=5,x-86=3が考えられます。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=87(=3x29)とすると、87は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=1なので、p(x-2)={2^(n+1)-1}/(2-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=85(=5x17)とすると、85は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、p(x-4)={4^(n+1)-1}/(4-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=83とすると、σ(x)の素因数分解に83が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、 {6^(n+1)-1}/(6-1)=83Pとおける。 6^m-1=5x83P=415P nは偶数なのでmは奇数。 (%i5) mod(6^3-1,415); (%o5) 215 (%i6) mod(6^5-1,415); (%o6) 305 (%i7) mod(6^7-1,415); (%o7) 225 (%i8) mod(6^9-1,415); (%o8) 250 (%i9) mod(6^11-1,415); (%o9) 320 (%i10) mod(6^13-1,415); (%o10) 350 (%i11) mod(6^15-1,415); (%o11) 185 (%i12) mod(6^17-1,415); (%o12) 55 (%i13) mod(6^19-1,415); (%o13) 355 (%i14) mod(6^21-1,415); (%o14) 365 (%i15) mod(6^23-1,415); (%o15) 310 (%i16) mod(6^25-1,415); (%o16) 405 (%i17) mod(6^27-1,415); (%o17) 90 (%i18) mod(6^29-1,415); (%o18) 370 (%i19) mod(6^31-1,415); (%o19) 75 (%i20) mod(6^33-1,415); (%o20) 245 (%i21) mod(6^35-1,415); (%o21) 140 (%i22) mod(6^37-1,415); (%o22) 95 (%i23) mod(6^39-1,415); (%o23) 135 (%i24) mod(6^41-1,415); (%o24) 330 (%i25) mod(6^43-1,415); (%o25) 295 (%i26) mod(6^45-1,415); (%o26) 280 (%i27) mod(6^47-1,415); (%o27) 155 (%i28) mod(6^49-1,415); (%o28) 220 (%i29) mod(6^51-1,415); (%o29) 70 (%i30) mod(6^53-1,415); (%o30) 65 (%i31) mod(6^55-1,415); (%o31) 300 (%i32) mod(6^57-1,415); (%o32) 45 (%i33) mod(6^59-1,415); (%o33) 410 (%i34) mod(6^61-1,415); (%o34) 270 (%i35) mod(6^63-1,415); (%o35) 210 (%i36) mod(6^65-1,415); (%o36) 125 (%i37) mod(6^67-1,415); (%o37) 385 (%i38) mod(6^69-1,415); (%o38) 200 (%i39) mod(6^71-1,415); (%o39) 180 (%i40) mod(6^73-1,415); (%o40) 290 (%i41) mod(6^75-1,415); (%o41) 100 (%i42) mod(6^77-1,415); (%o42) 315 (%i43) mod(6^79-1,415); (%o43) 170 (%i44) mod(6^81-1,415); (%o44) 345 (%i45) mod(6^83-1,415); (%o45) 5 (%i46) mod(6^85-1,415); (%o46) 215 (%i47) mod(6^87-1,415); (%o47) 305 より、0にならない。 よって、p(x-6)={6^(n+1)-1}/(6-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=83はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると83を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=81(=3^4)とすると、81は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、p(x-8)={8^(n+1)-1}/(8-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=79とすると、σ(x)の素因数分解に79が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、 {10^(n+1)-1}/(10-1)=79Pとおける。 10^m-1=9x79P=711P nは偶数なのでmは奇数。 (%i50) mod(10^3-1,711); (%o50) 288 (%i51) mod(10^5-1,711); (%o51) 459 (%i52) mod(10^7-1,711); (%o52) 495 (%i53) mod(10^9-1,711); (%o53) 540 (%i54) mod(10^11-1,711); (%o54) 63 (%i55) mod(10^13-1,711); (%o55) 0 (%i56) mod(10^15-1,711); (%o56) 99 (%i57) mod(10^17-1,711); (%o57) 45 (%i58) mod(10^19-1,711); (%o58) 333 (%i59) mod(10^21-1,711); (%o59) 693 (%i60) mod(10^23-1,711); (%o60) 432 (%i61) mod(10^25-1,711); (%o61) 639 (%i62) mod(10^27-1,711); (%o62) 9 (%i63) mod(10^29-1,711); (%o63) 288 (%i64) mod(10^31-1,711); (%o64) 459 より、0になるときがある。 よって、p(x-10)={10^(n+1)-1}/(10-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=79はある。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると79を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=77(=7x11)とすると、77は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、p(x-12)={12^(n+1)-1}/(12-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=75(=3x5^2)とすると、75は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、p(x-14)={14^(n+1)-1}/(14-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=73とすると、σ(x)の素因数分解に73が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、 {16^(n+1)-1}/(16-1)=73Pとおける。 16^m-1=15x73P=1095P nは偶数なのでmは奇数。 (%i1) mod(16^3-1,1095); (%o1) 810 (%i2) mod(16^5-1,1095); (%o2) 660 (%i3) mod(16^7-1,1095); (%o3) 585 (%i4) mod(16^9-1,1095); (%o4) 0 (%i5) mod(16^11-1,1095); (%o5) 255 (%i6) mod(16^13-1,1095); (%o6) 930 (%i7) mod(16^15-1,1095); (%o7) 720 (%i8) mod(16^17-1,1095); (%o8) 615 (%i9) mod(16^19-1,1095); (%o9) 15 (%i10) mod(16^21-1,1095); (%o10) 810 (%i11) mod(16^23-1,1095); (%o11) 660 より、0になるときがある。 よって、p(x-16)={16^(n+1)-1}/(16-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=73はある。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると73を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=71とすると、σ(x)の素因数分解に71が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、 {18^(n+1)-1}/(18-1)=71Pとおける。 18^m-1=17x71P=1207P nは偶数なのでmは奇数。 (%i13) mod(18^3-1,1207); (%o13) 1003 (%i14) mod(18^5-1,1207); (%o14) 612 (%i15) mod(18^7-1,1207); (%o15) 663 (%i16) mod(18^9-1,1207); (%o16) 289 (%i17) mod(18^11-1,1207); (%o17) 1020 (%i18) mod(18^13-1,1207); (%o18) 85 (%i19) mod(18^15-1,1207); (%o19) 102 (%i20) mod(18^17-1,1207); (%o20) 782 (%i21) mod(18^19-1,1207); (%o21) 221 (%i22) mod(18^21-1,1207); (%o22) 714 (%i23) mod(18^23-1,1207); (%o23) 1122 (%i24) mod(18^27-1,1207); (%o24) 357 (%i25) mod(18^29-1,1207); (%o25) 119 (%i26) mod(18^31-1,1207); (%o26) 255 (%i27) mod(18^33-1,1207); (%o27) 867 (%i28) mod(18^35-1,1207); (%o28) 0 (%i29) mod(18^37-1,1207); (%o29) 323 (%i30) mod(18^39-1,1207); (%o30) 1173 (%i31) mod(18^41-1,1207); (%o31) 170 (%i32) mod(18^43-1,1207); (%o32) 1088 (%i33) mod(18^45-1,1207); (%o33) 391 (%i34) mod(18^47-1,1207); (%o34) 272 (%i35) mod(18^49-1,1207); (%o35) 340 (%i36) mod(18^51-1,1207); (%o36) 646 (%i37) mod(18^53-1,1207); (%o37) 816 (%i38) mod(18^55-1,1207); (%o38) 374 (%i39) mod(18^57-1,1207); (%o39) 799 (%i40) mod(18^59-1,1207); (%o40) 901 (%i41) mod(18^61-1,1207); (%o41) 153 (%i42) mod(18^63-1,1207); (%o42) 408 (%i43) mod(18^65-1,1207); (%o43) 952 (%i44) mod(18^67-1,1207); (%o44) 986 (%i45) mod(18^69-1,1207); (%o45) 1139 (%i46) mod(18^71-1,1207); (%o46) 17 (%i47) mod(18^73-1,1207); (%o47) 1003 (%i48) mod(18^75-1,1207); (%o48) 612 より、0になるときがある。 よって、p(x-18)={18^(n+1)-1}/(18-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=71はある。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると71を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=69(=3x23)とすると、69は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、p(x-20)={20^(n+1)-1}/(20-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=67とすると、σ(x)の素因数分解に67が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=11なので、 {22^(n+1)-1}/(22-1)=67Pとおける。 22^m-1=21x67P=1407P nは偶数なのでmは奇数。 (%i56) mod(22^3-1,1407); (%o56) 798 (%i57) mod(22^5-1,1407); (%o57) 1197 (%i58) mod(22^7-1,1407); (%o58) 147 (%i59) mod(22^9-1,1407); (%o59) 1281 (%i60) mod(22^11-1,1407); (%o60) 0 (%i61) mod(22^13-1,1407); (%o61) 483 (%i62) mod(22^15-1,1407); (%o62) 693 (%i63) mod(22^17-1,1407); (%o63) 1029 (%i64) mod(22^19-1,1407); (%o64) 441 (%i65) mod(22^21-1,1407); (%o65) 63 (%i66) mod(22^23-1,1407); (%o66) 21 (%i67) mod(22^25-1,1407); (%o67) 798 (%i68) mod(22^27-1,1407); (%o68) 1197 より、0になるときがある。 よって、p(x-22)={22^(n+1)-1}/(22-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=67はある。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると67を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=65(=5x13)とすると、65は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=12なので、p(x-24)={24^(n+1)-1}/(24-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=63(=3x21)とすると、63は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=13なので、p(x-26)={26^(n+1)-1}/(26-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=61とすると、σ(x)の素因数分解に61が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=14なので、 {28^(n+1)-1}/(28-1)=61Pとおける。 28^m-1=27x61P=1647P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i70) mod(28^3-1,1647); (%o70) 540 (%i71) mod(28^5-1,1647); (%o71) 864 (%i72) mod(28^7-1,1647); (%o72) 1242 (%i73) mod(28^9-1,1647); (%o73) 1134 (%i74) mod(28^11-1,1647); (%o74) 459 (%i75) mod(28^13-1,1647); (%o75) 1593 (%i76) mod(28^15-1,1647); (%o76) 1269 (%i77) mod(28^17-1,1647); (%o77) 891 (%i78) mod(28^19-1,1647); (%o78) 999 (%i79) mod(28^21-1,1647); (%o79) 27 (%i80) mod(28^23-1,1647); (%o80) 540 (%i81) mod(28^25-1,1647); (%o81) 864 より、0にならない。 よって、p(x-28)={28^(n+1)-1}/(28-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=61はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると61を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=59とすると、σ(x)の素因数分解に59が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=15なので、 {30^(n+1)-1}/(30-1)=59Pとおける。 30^m-1=29x59P=1711P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i85) mod(30^3-1,1711); (%o85) 1334 (%i86) mod(30^5-1,1711); (%o86) 377 (%i87) mod(30^7-1,1711); (%o87) 1421 (%i88) mod(30^9-1,1711); (%o88) 1682 (%i89) mod(30^11-1,1711); (%o89) 464 (%i90) mod(30^13-1,1711); (%o90) 1015 (%i91) mod(30^15-1,1711); (%o91) 725 (%i92) mod(30^17-1,1711); (%o92) 1508 (%i93) mod(30^19-1,1711); (%o93) 1276 (%i94) mod(30^21-1,1711); (%o94) 1218 (%i95) mod(30^23-1,1711); (%o95) 348 (%i96) mod(30^25-1,1711); (%o96) 986 (%i97) mod(30^27-1,1711); (%o97) 290 (%i98) mod(30^29-1,1711); (%o98) 116 (%i99) mod(30^31-1,1711); (%o99) 928 (%i100) mod(30^33-1,1711); (%o100) 1131 (%i101) mod(30^35-1,1711); (%o101) 754 (%i102) mod(30^37-1,1711); (%o102) 232 (%i103) mod(30^39-1,1711); (%o103) 957 (%i104) mod(30^41-1,1711); (%o104) 1566 (%i105) mod(30^43-1,1711); (%o105) 435 (%i106) mod(30^45-1,1711); (%o106) 580 (%i107) mod(30^47-1,1711); (%o107) 1044 (%i108) mod(30^49-1,1711); (%o108) 1160 (%i109) mod(30^51-1,1711); (%o109) 1189 (%i110) mod(30^53-1,1711); (%o110) 1624 (%i111) mod(30^55-1,1711); (%o111) 1305 (%i112) mod(30^57-1,1711); (%o112) 1653 (%i113) mod(30^59-1,1711); (%o113) 29 (%i114) mod(30^61-1,1711); (%o114) 1334 (%i115) mod(30^63-1,1711); (%o115) 377 より、0にならない。 よって、p(x-30)={30^(n+1)-1}/(30-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=59はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると59を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-32=57(=3x19)とすると、57は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=16なので、p(x-32)={32^(n+1)-1}/(32-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=55(=5x11)とすると、55は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=17なので、p(x-34)={34^(n+1)-1}/(34-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=53とすると、σ(x)の素因数分解に53が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=18なので、 {36^(n+1)-1}/(36-1)=53Pとおける。 36^m-1=35x53P=1855P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i117) mod(36^3-1,1855); (%o117) 280 (%i118) mod(36^5-1,1855); (%o118) 595 (%i119) mod(36^7-1,1855); (%o119) 735 (%i120) mod(36^9-1,1855); (%o120) 385 (%i121) mod(36^11-1,1855); (%o121) 1260 (%i122) mod(36^13-1,1855); (%o122) 0 (%i123) mod(36^15-1,1855); (%o123) 1295 (%i124) mod(36^17-1,1855); (%o124) 840 (%i125) mod(36^19-1,1855); (%o125) 1050 (%i126) mod(36^21-1,1855); (%o126) 525 (%i127) mod(36^23-1,1855); (%o127) 910 (%i128) mod(36^25-1,1855); (%o128) 875 (%i129) mod(36^27-1,1855); (%o129) 35 (%i130) mod(36^29-1,1855); (%o130) 280 (%i131) mod(36^31-1,1855); (%o131) 595 より、0になるときがある。 よって、p(x-36)={36^(n+1)-1}/(36-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=53はある。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると53を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-38=51(=3x17)とすると、51は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=19なので、p(x-38)={38^(n+1)-1}/(38-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=49(=7x7)とすると、49は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=20なので、p(x-40)={40^(n+1)-1}/(40-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=47とすると、σ(x)の素因数分解に47が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=21なので、 {42^(n+1)-1}/(42-1)=47Pとおける。 42^m-1=41x47P=1927P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i133) mod(42^3-1,1927); (%o133) 861 (%i134) mod(42^5-1,1927); (%o134) 164 (%i135) mod(42^7-1,1927); (%o135) 82 (%i136) mod(42^9-1,1927); (%o136) 1886 (%i137) mod(42^11-1,1927); (%o137) 738 (%i138) mod(42^13-1,1927); (%o138) 943 (%i139) mod(42^15-1,1927); (%o139) 287 (%i140) mod(42^17-1,1927); (%o140) 1230 (%i141) mod(42^19-1,1927); (%o141) 1681 (%i142) mod(42^21-1,1927); (%o142) 1394 (%i143) mod(42^23-1,1927); (%o143) 0 (%i144) mod(42^25-1,1927); (%o144) 1763 (%i145) mod(42^27-1,1927); (%o145) 1517 (%i146) mod(42^29-1,1927); (%o146) 1148 (%i147) mod(42^31-1,1927); (%o147) 1558 (%i148) mod(42^33-1,1927); (%o148) 246 (%i149) mod(42^35-1,1927); (%o149) 205 (%i150) mod(42^37-1,1927); (%o150) 1107 (%i151) mod(42^39-1,1927); (%o151) 533 (%i152) mod(42^41-1,1927); (%o152) 1599 (%i153) mod(42^43-1,1927); (%o153) 1271 (%i154) mod(42^45-1,1927); (%o154) 779 (%i155) mod(42^47-1,1927); (%o155) 41 (%i156) mod(42^49-1,1927); (%o156) 861 (%i157) mod(42^51-1,1927); (%o157) 164 より、0になるときがある。 よって、p(x-42)={42^(n+1)-1}/(42-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=47はある。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると47を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-44=45(=5x9)とすると、45は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=22なので、p(x-44)={44^(n+1)-1}/(44-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-46=43とすると、σ(x)の素因数分解に43が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=23なので、 {46^(n+1)-1}/(46-1)=43Pとおける。 46^m-1=45x43P=1935P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i159) mod(46^3-1,1935); (%o159) 585 (%i160) mod(46^5-1,1935); (%o160) 1575 (%i161) mod(46^7-1,1935); (%o161) 810 (%i162) mod(46^9-1,1935); (%o162) 1665 (%i163) mod(46^11-1,1935); (%o163) 1620 (%i164) mod(46^13-1,1935); (%o164) 1215 (%i165) mod(46^15-1,1935); (%o165) 1440 (%i166) mod(46^17-1,1935); (%o166) 1530 (%i167) mod(46^19-1,1935); (%o167) 405 (%i168) mod(46^21-1,1935); (%o168) 1890 (%i169) mod(46^23-1,1935); (%o169) 1710 (%i170) mod(46^25-1,1935); (%o170) 90 (%i171) mod(46^27-1,1935); (%o171) 990 (%i172) mod(46^29-1,1935); (%o172) 1350 (%i173) mod(46^31-1,1935); (%o173) 720 (%i174) mod(46^33-1,1935); (%o174) 855 (%i175) mod(46^35-1,1935); (%o175) 135 (%i177) mod(46^37-1,1935); (%o177) 1395 (%i178) mod(46^39-1,1935); (%o178) 1125 (%i179) mod(46^41-1,1935); (%o179) 630 (%i180) mod(46^43-1,1935); (%o180) 45 (%i181) mod(46^45-1,1935); (%o181) 585 (%i182) mod(46^47-1,1935); (%o182) 1575 より、0にならない。 よって、p(x-46)={46^(n+1)-1}/(46-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-46=43はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると43を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=41とすると、σ(x)の素因数分解に41が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=24なので、 {48^(n+1)-1}/(48-1)=41Pとおける。 48^m-1=47x41P=1927P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i184) mod(48^3-1,1927); (%o184) 752 (%i185) mod(48^5-1,1927); (%o185) 611 (%i186) mod(48^7-1,1927); (%o186) 1410 (%i187) mod(48^9-1,1927); (%o187) 94 (%i188) mod(48^11-1,1927); (%o188) 1128 (%i189) mod(48^13-1,1927); (%o189) 1692 (%i190) mod(48^14-1,1927); (%o190) 329 (%i191) mod(48^15-1,1927); (%o191) 423 (%i192) mod(48^17-1,1927); (%o192) 1833 (%i193) mod(48^19-1,1927); (%o193) 1551 (%i194) mod(48^21-1,1927); (%o194) 1222 (%i195) mod(48^23-1,1927); (%o195) 517 (%i196) mod(48^25-1,1927); (%o196) 658 (%i197) mod(48^27-1,1927); (%o197) 1786 (%i198) mod(48^29-1,1927); (%o198) 1175 (%i199) mod(48^31-1,1927); (%o199) 141 (%i200) mod(48^33-1,1927); (%o200) 1504 (%i201) mod(48^35-1,1927); (%o201) 846 (%i202) mod(48^37-1,1927); (%o202) 1363 (%i203) mod(48^39-1,1927); (%o203) 1645 (%i204) mod(48^41-1,1927); (%o204) 47 (%i205) mod(48^43-1,1927); (%o205) 752 (%i206) mod(48^45-1,1927); (%o206) 611 より、0にならない。 よって、p(x-48)={48^(n+1)-1}/(48-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=41はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると41を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-50=39(=3x13)とすると、39は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=25なので、p(x-50)={50^(n+1)-1}/(50-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=37とすると、σ(x)の素因数分解に37が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=26なので、 {52^(n+1)-1}/(52-1)=37Pとおける。 52^m-1=51x37P=1887P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i208) mod(52^3-1,1887); (%o208) 969 (%i209) mod(52^5-1,1887); (%o209) 1836 (%i210) mod(52^7-1,1887); (%o210) 663 (%i211) mod(52^9-1,1887); (%o211) 918 (%i212) mod(52^11-1,1887); (%o212) 1683 (%i213) mod(52^13-1,1887); (%o213) 204 (%i214) mod(52^15-1,1887); (%o214) 1428 (%i215) mod(52^17-1,1887); (%o215) 1326 (%i216) mod(52^19-1,1887); (%o216) 1020 (%i217) mod(52^21-1,1887); (%o217) 102 (%i218) mod(52^23-1,1887); (%o218) 1122 (%i219) mod(52^25-1,1887); (%o219) 408 (%i220) mod(52^27-1,1887); (%o220) 153 (%i221) mod(52^29-1,1887); (%o221) 1275 (%i222) mod(52^31-1,1887); (%o222) 867 (%i223) mod(52^33-1,1887); (%o223) 1530 (%i224) mod(52^35-1,1887); (%o224) 1632 (%i225) mod(52^37-1,1887); (%o225) 51 (%i226) mod(52^39-1,1887); (%o226) 969 (%i227) mod(52^41-1,1887); (%o227) 1836 より、0にならない。 よって、p(x-52)={52^(n+1)-1}/(52-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=37はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると37を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=35(=5x7)とすると、35は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=27なので、p(x-54)={54^(n+1)-1}/(54-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-56=33(=3x11)とすると、33は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=28なので、p(x-56)={56^(n+1)-1}/(56-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-58=31とすると、σ(x)の素因数分解に31が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=29なので、 {58^(n+1)-1}/(58-1)=31Pとおける。 58^m-1=57x31P=1767P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i229) mod(58^3-1,1767); (%o229) 741 (%i230) mod(58^5-1,1767); (%o230) 1083 (%i231) mod(58^7-1,1767); (%o231) 1254 (%i232) mod(58^9-1,1767); (%o232) 456 (%i233) mod(58^11-1,1767); (%o233) 57 (%i234) mod(58^13-1,1767); (%o234) 741 (%i236) mod(58^15-1,1767); (%o236) 1083 より、0にならない。 よって、p(x-58)={58^(n+1)-1}/(58-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-58=31はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると31を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=29とすると、σ(x)の素因数分解に29が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=30なので、 {60^(n+1)-1}/(60-1)=29Pとおける。 60^m-1=59x29P=1711P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i238) mod(60^3-1,1711); (%o238) 413 (%i239) mod(60^5-1,1711); (%o239) 118 (%i240) mod(60^7-1,1711); (%o240) 649 (%i241) mod(60^9-1,1711); (%o241) 1062 (%i242) mod(60^11-1,1711); (%o242) 1003 (%i243) mod(60^13-1,1711); (%o243) 767 (%i244) mod(60^15-1,1711); (%o244) 1534 (%i245) mod(60^17-1,1711); (%o245) 1180 (%i246) mod(60^19-1,1711); (%o246) 1475 (%i247) mod(60^21-1,1711); (%o247) 944 (%i248) mod(60^23-1,1711); (%o248) 531 (%i249) mod(60^25-1,1711); (%o249) 590 (%i250) mod(60^27-1,1711); (%o250) 826 (%i251) mod(60^29-1,1711); (%o251) 59 (%i252) mod(60^31-1,1711); (%o252) 413 (%i253) mod(60^33-1,1711); (%o253) 118 より、0にならない。 よって、p(x-60)={60^(n+1)-1}/(60-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=29はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると29を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-62=27(3x9)とすると、27は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=31なので、p(x-62)={62^(n+1)-1}/(62-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-64=25(5x5)とすると、25は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=32なので、p(x-64)={64^(n+1)-1}/(64-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-66=23とすると、σ(x)の素因数分解に23が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=33なので、 {66^(n+1)-1}/(66-1)=23Pとおける。 66^m-1=65x23P=1495P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i255) mod(66^3-1,1495); (%o255) 455 (%i256) mod(66^5-1,1495); (%o256) 975 (%i257) mod(66^7-1,1495); (%o257) 1170 (%i258) mod(66^9-1,1495); (%o258) 1430 (%i259) mod(66^11-1,1495); (%o259) 780 (%i260) mod(66^13-1,1495); (%o260) 910 (%i261) mod(66^15-1,1495); (%o261) 585 (%i262) mod(66^17-1,1495); (%o262) 650 (%i263) mod(66^19-1,1495); (%o263) 1235 (%i264) mod(66^21-1,1495); (%o264) 520 (%i265) mod(66^23-1,1495); (%o265) 65 (%i266) mod(66^25-1,1495); (%o266) 455 (%i267) mod(66^27-1,1495); (%o267) 975 より、0にならない。 よって、p(x-66)={66^(n+1)-1}/(66-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-66=23はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると23を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-68=21(3x7)とすると、21は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=34なので、p(x-68)={68^(n+1)-1}/(68-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-70=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=35なので、 {70^(n+1)-1}/(70-1)=19Pとおける。 70^m-1=69x19P=1311P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i269) mod(70^3-1,1311); (%o269) 828 (%i270) mod(70^5-1,1311); (%o270) 621 (%i271) mod(70^7-1,1311); (%o271) 1035 (%i272) mod(70^9-1,1311); (%o272) 207 (%i273) mod(70^11-1,1311); (%o273) 552 (%i274) mod(70^13-1,1311); (%o274) 1173 (%i275) mod(70^15-1,1311); (%o275) 1242 (%i276) mod(70^17-1,1311); (%o276) 1104 (%i277) mod(70^19-1,1311); (%o277) 69 (%i278) mod(70^21-1,1311); (%o278) 828 (%i279) mod(70^23-1,1311); (%o279) 621 より、0にならない。 よって、p(x-70)={70^(n+1)-1}/(70-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-70=19はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると19を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-72=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=36なので、 {72^(n+1)-1}/(72-1)=17Pとおける。 72^m-1=71x17P=1207P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i281) mod(72^3-1,1207); (%o281) 284 (%i282) mod(72^5-1,1207); (%o282) 71 (%i283) mod(72^7-1,1207); (%o283) 284 (%i284) mod(72^9-1,1207); (%o284) 71 より、0にならない。 よって、p(x-72)={72^(n+1)-1}/(72-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-72=17はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-74=15(3x5)とすると、15は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=37なので、p(x-74)={74^(n+1)-1}/(74-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-76=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=38なので、 {76^(n+1)-1}/(76-1)=13Pとおける。 76^m-1=75x13P=975P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i286) mod(76^3-1,975); (%o286) 225 (%i287) mod(76^5-1,975); (%o287) 825 (%i288) mod(76^7-1,975); (%o288) 300 (%i289) mod(76^9-1,975); (%o289) 150 (%i290) mod(76^11-1,975); (%o290) 525 (%i291) mod(76^13-1,975); (%o291) 75 (%i292) mod(76^15-1,975); (%o292) 225 (%i293) mod(76^17-1,975); (%o293) 825 より、0にならない。 よって、p(x-76)={76^(n+1)-1}/(76-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-76=13はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると13を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-78=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=39なので、 {78^(n+1)-1}/(78-1)=11Pとおける。 78^m-1=77x11P=847P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i295) mod(78^3-1,847); (%o295) 231 (%i296) mod(78^5-1,847); (%o296) 385 (%i297) mod(78^7-1,847); (%o297) 539 (%i298) mod(78^9-1,847); (%o298) 693 (%i299) mod(78^11-1,847); (%o299) 0 (%i300) mod(78^13-1,847); (%o300) 154 (%i301) mod(78^15-1,847); (%o301) 308 (%i302) mod(78^17-1,847); (%o302) 462 (%i303) mod(78^19-1,847); (%o303) 616 (%i304) mod(78^21-1,847); (%o304) 770 (%i305) mod(78^23-1,847); (%o305) 77 (%i306) mod(78^25-1,847); (%o306) 231 (%i307) mod(78^27-1,847); (%o307) 385 より、0になるときがある。 よって、p(x-78)={78^(n+1)-1}/(78-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-78=11はある。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると11を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-80=9(3x3)とすると、9は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=40なので、p(x-80)={80^(n+1)-1}/(80-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-82=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=41なので、 {82^(n+1)-1}/(82-1)=7Pとおける。 82^m-1=81x7P=567P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i309) mod(82^3-1,567); (%o309) 243 (%i310) mod(82^5-1,567); (%o310) 324 (%i311) mod(82^7-1,567); (%o311) 81 (%i312) mod(82^9-1,567); (%o312) 243 (%i313) mod(82^11-1,567); (%o313) 324 より、0にならない。 よって、p(x-82)={82^(n+1)-1}/(82-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-82=7はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると7を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-84=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=42なので、 {84^(n+1)-1}/(84-1)=5Pとおける。 84^m-1=83x5P=415P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i315) mod(84^3-1,415); (%o315) 83 (%i316) mod(84^5-1,415); (%o316) 83 (%i317) mod(84^7-1,415); (%o317) 83 (%i318) mod(84^9-1,415); (%o318) 83 より、0にならない。 よって、p(x-84)={84^(n+1)-1}/(84-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-84=5はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると5を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-86=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=43なので、 {86^(n+1)-1}/(86-1)=3Pとおける。 86^m-1=85x3P=255P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i320) mod(86^3-1,255); (%o320) 85 (%i321) mod(86^5-1,255); (%o321) 85 (%i322) mod(86^7-1,255); (%o322) 85 (%i323) mod(86^9-1,255); (%o323) 85 より、0にならない。 よって、p(x-86)={86^(n+1)-1}/(86-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-86=3はない。 つまり、x=89なら、σ(x)を素因数分解すると3を含まない。 (x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=89なら、σ(x)を素因数分解した時、 83,61,59,43,41,37,31,29,23,19,17,13,7,5,3は現れない、と言える。 (%i324) x:89; (%o324) 89 (%i325) factor(1+x+x^2); (%o325) 8011 (%i326) factor(1+x+x^2+x^3+x^4); (%o326) 131 691 701 (%i327) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6); (%o327) 502628805631 (%i328) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8); (%o328) 73 8011 6807972547 (%i329) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10); (%o329) 11 67 2530067 16912503169 (%i330) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12); (%o330) 53 79 2003 29785404613009501 (%i331) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14); (%o331) 131 691 701 8011 3892362992828641 (%i332) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16); (%o332) 409 2738039191709 13995372836850701 (%i333) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18); (%o333) 407741 304468992684888692702752314551 (%i334) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20); (%o334) 4327 8011 6815459113 8281163311 502628805631 (%i335) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22); (%o335) 47 24841 1055609 6320005607441457527518012908577 (%i336) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24); (%o336) 131 691 701 3802641100328251 255690619312203871750351 (%i337) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26); (%o337) 73 109 8011 266367259 6807972547 4227783894087055163599861 (%i338) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28); (%o338) 17175865789597 266834785363181152127 844629873491933246639 (%i339) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30); (%o339) 311 1117 88266106870528037573392142012800765708045277877798773 (%i340) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32); (%o340) 11 67 331 1123 8011 12211 2530067 16912503169 35708105929 5931542120551685683 (%i341) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32+x^33+x^34); (%o341) 71 131 691 701 3221 3139991 502628805631 83999238361920629083112156644098941