x=107では、x-2=105(3x5x7),x-4=103,x-6=101,x-8=99(3x33),x-10=97,x-12=95(5x19),x-14=93(3x31) ,x-16=91(7x13),x-18=89,x-20=87(3x29),x-22=85(5x17),x-24=83,x-26=81(3^4),x-28=79,x-30=77(11x7) ,x-32=75(5^2x3),x-34=73,x-36=71,x-38=69(3x23),x-40=67,x-42=65(5x13),x-44=63(3x21),x-46=61 ,x-48=59,x-50=57(3x19),x-52=55(5x11),x-54=53,x-56=51(3x17),x-58=49(7x7),x-60=47 ,x-62=45(5x9),x-64=43,x-66=41,x-68=39(3x13),x-70=37,x-72=62(5x7),x-74=33(3x11),x-76=31 ,x-78=29,x-80=27(3x9),x-82=25(5x5),x-84=23,x-86=21(3x7),x-88=19,x-90=17,x-92=15(3x5),x-94=13 ,x-96=11,x-98=9(3x3),x-100=7,x-102=5,x-104=3が考えられます。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=105(=3x5x7)とすると、105は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=1なので、p(x-2)={2^(n+1)-1}/(2-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=103とすると、σ(x)の素因数分解に103が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、 {4^(n+1)-1}/(4-1)=103Pとおける。 4^m-1=3x103P=309P nは偶数なのでmは奇数。 (%i3) mod(4^3-1,309); (%o3) 63 (%i4) mod(4^5-1,309); (%o4) 96 (%i5) mod(4^7-1,309); (%o5) 6 (%i6) mod(4^9-1,309); (%o6) 111 (%i7) mod(4^11-1,309); (%o7) 246 (%i8) mod(4^13-1,309); (%o8) 243 (%i9) mod(4^15-1,309); (%o9) 195 (%i10) mod(4^17-1,309); (%o10) 45 (%i11) mod(4^19-1,309); (%o11) 117 (%i12) mod(4^21-1,309); (%o12) 33 (%i13) mod(4^23-1,309); (%o13) 234 (%i14) mod(4^25-1,309); (%o14) 51 (%i15) mod(4^27-1,309); (%o15) 213 (%i16) mod(4^29-1,309); (%o16) 24 (%i17) mod(4^31-1,309); (%o17) 90 (%i18) mod(4^33-1,309); (%o18) 219 (%i19) mod(4^35-1,309); (%o19) 120 (%i20) mod(4^37-1,309); (%o20) 81 (%i21) mod(4^39-1,309); (%o21) 75 (%i22) mod(4^41-1,309); (%o22) 288 (%i23) mod(4^43-1,309); (%o23) 297 (%i24) mod(4^47-1,309); (%o24) 273 (%i25) mod(4^49-1,309); (%o25) 57 (%i26) mod(4^51-1,309); (%o26) 0 (%i27) mod(4^53-1,309); (%o27) 15 (%i28) mod(4^55-1,309); (%o28) 255 (%i29) mod(4^57-1,309); (%o29) 78 (%i30) mod(4^59-1,309); (%o30) 27 (%i31) mod(4^61-1,309); (%o31) 138 (%i32) mod(4^63-1,309); (%o32) 60 (%i33) mod(4^65-1,309); (%o33) 48 (%i34) mod(4^67-1,309); (%o34) 165 (%i35) mod(4^69-1,309); (%o35) 183 (%i36) mod(4^71-1,309); (%o36) 162 (%i37) mod(4^73-1,309); (%o37) 135 (%i39) mod(4^75-1,309); (%o39) 12 (%i40) mod(4^77-1,309); (%o40) 207 (%i41) mod(4^79-1,309); (%o41) 237 (%i42) mod(4^81-1,309); (%o42) 99 (%i43) mod(4^83-1,309); (%o43) 54 (%i44) mod(4^85-1,309); (%o44) 261 (%i45) mod(4^87-1,309); (%o45) 174 (%i46) mod(4^89-1,309); (%o46) 18 (%i47) mod(4^91-1,309); (%o47) 303 (%i48) mod(4^93-1,309); (%o48) 228 (%i50) mod(4^95-1,309); (%o50) 264 (%i49) mod(4^97-1,309); (%o49) 222 (%i51) mod(4^99-1,309); (%o51) 168 (%i52) mod(4^101-1,309); (%o52) 231 (%i53) mod(4^103-1,309); (%o53) 3 (%i54) mod(4^105-1,309); (%o54) 63 (%i55) mod(4^107-1,309); (%o55) 96 より、0になるときがある。 よって、p(x-4)={4^(n+1)-1}/(4-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=103はある。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると103を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=101とすると、σ(x)の素因数分解に101が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、 {6^(n+1)-1}/(6-1)=101Pとおける。 6^m-1=5x101P=505P nは偶数なのでmは奇数。 (%i56) mod(6^3-1,505); (%o56) 215 (%i57) mod(6^5-1,505); (%o57) 200 (%i58) mod(6^7-1,505); (%o58) 165 (%i59) mod(6^9-1,505); (%o59) 420 (%i60) mod(6^11-1,505); (%o60) 5 (%i61) mod(6^13-1,505); (%o61) 215 (%i62) mod(6^15-1,505); (%o62) 200 より、0にならない。 よって、p(x-6)={6^(n+1)-1}/(6-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=101はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると101を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=99(=3x33)とすると、99は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、p(x-8)={8^(n+1)-1}/(8-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=97とすると、σ(x)の素因数分解に97が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、 {10^(n+1)-1}/(10-1)=97Pとおける。 10^m-1=9x97P=873P nは偶数なのでmは奇数。 (%i64) mod(10^3-1,873); (%o64) 126 (%i65) mod(10^5-1,873); (%o65) 477 (%i66) mod(10^7-1,873); (%o66) 657 (%i67) mod(10^9-1,873); (%o67) 324 (%i68) mod(10^11-1,873); (%o68) 198 (%i69) mod(10^13-1,873); (%o69) 693 (%i70) mod(10^15-1,873); (%o70) 432 (%i71) mod(10^17-1,873); (%o71) 522 (%i72) mod(10^19-1,873); (%o72) 792 (%i73) mod(10^21-1,873); (%o73) 729 (%i74) mod(10^23-1,873); (%o74) 540 (%i75) mod(10^25-1,873); (%o75) 846 (%i76) mod(10^27-1,873); (%o76) 18 (%i77) mod(10^29-1,873); (%o77) 153 (%i78) mod(10^31-1,873); (%o78) 558 (%i79) mod(10^33-1,873); (%o79) 27 (%i81) mod(10^35-1,873); (%o81) 180 (%i82) mod(10^37-1,873); (%o82) 639 (%i83) mod(10^39-1,873); (%o83) 270 (%i84) mod(10^41-1,873); (%o84) 36 (%i85) mod(10^43-1,873); (%o85) 207 (%i86) mod(10^45-1,873); (%o86) 720 (%i87) mod(10^47-1,873); (%o87) 513 (%i88) mod(10^49-1,873); (%o88) 765 (%i89) mod(10^51-1,873); (%o89) 648 (%i90) mod(10^53-1,873); (%o90) 297 (%i91) mod(10^55-1,873); (%o91) 117 (%i92) mod(10^57-1,873); (%o92) 450 (%i93) mod(10^59-1,873); (%o93) 576 (%i94) mod(10^61-1,873); (%o94) 81 (%i95) mod(10^63-1,873); (%o95) 342 (%i96) mod(10^65-1,873); (%o96) 252 (%i97) mod(10^67-1,873); (%o97) 855 (%i98) mod(10^69-1,873); (%o98) 45 (%i99) mod(10^71-1,873); (%o99) 234 (%i100) mod(10^73-1,873); (%o100) 801 (%i101) mod(10^75-1,873); (%o101) 756 (%i102) mod(10^77-1,873); (%o102) 621 (%i103) mod(10^79-1,873); (%o103) 216 (%i104) mod(10^81-1,873); (%o104) 747 (%i105) mod(10^83-1,873); (%o105) 594 (%i106) mod(10^85-1,873); (%o106) 135 (%i107) mod(10^87-1,873); (%o107) 504 (%i108) mod(10^89-1,873); (%o108) 738 (%i109) mod(10^91-1,873); (%o109) 567 (%i110) mod(10^93-1,873); (%o110) 54 (%i111) mod(10^95-1,873); (%o111) 261 (%i112) mod(10^97-1,873); (%o112) 9 (%i113) mod(10^99-1,873); (%o113) 126 (%i114) mod(10^101-1,873); (%o114) 477 より、0にならない。 よって、p(x-10)={10^(n+1)-1}/(10-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=97はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると97を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=95(=5x19)とすると、95は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、p(x-12)={12^(n+1)-1}/(12-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=93(=3x31)とすると、93は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、p(x-14)={14^(n+1)-1}/(14-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=91(=7x13)とすると、91は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、p(x-16)={16^(n+1)-1}/(16-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=89とすると、σ(x)の素因数分解に89が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、 {18^(n+1)-1}/(18-1)=89Pとおける。 18^m-1=17x89P=1513P nは偶数なのでmは奇数。 (%i116) mod(18^3-1,1513); (%o116) 1292 (%i117) mod(18^5-1,1513); (%o117) 1343 (%i118) mod(18^7-1,1513); (%o118) 1224 (%i119) mod(18^9-1,1513); (%o119) 493 (%i120) mod(18^11-1,1513); (%o120) 1190 (%i121) mod(18^13-1,1513); (%o121) 68 (%i122) mod(18^15-1,1513); (%o122) 1173 (%i123) mod(18^17-1,1513); (%o123) 612 (%i124) mod(18^19-1,1513); (%o124) 408 (%i125) mod(18^21-1,1513); (%o125) 884 (%i126) mod(18^23-1,1513); (%o126) 782 (%i127) mod(18^25-1,1513); (%o127) 1020 (%i128) mod(18^27-1,1513); (%o128) 969 (%i129) mod(18^29-1,1513); (%o129) 1088 (%i130) mod(18^31-1,1513); (%o130) 306 (%i131) mod(18^33-1,1513); (%o131) 1122 (%i132) mod(18^35-1,1513); (%o132) 731 (%i133) mod(18^37-1,1513); (%o133) 1139 (%i134) mod(18^39-1,1513); (%o134) 187 (%i135) mod(18^41-1,1513); (%o135) 391 (%i136) mod(18^43-1,1513); (%o136) 1428 (%i137) mod(18^45-1,1513); (%o137) 17 (%i138) mod(18^47-1,1513); (%o138) 1292 (%i139) mod(18^49-1,1513); (%o139) 1343 より、0にならない。 よって、p(x-18)={18^(n+1)-1}/(18-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=89はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると89を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=87(=3x29)とすると、87は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、p(x-20)={20^(n+1)-1}/(20-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=85(=5x17)とすると、85は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=11なので、p(x-22)={22^(n+1)-1}/(22-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=83とすると、σ(x)の素因数分解に83が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=12なので、 {24^(n+1)-1}/(24-1)=83Pとおける。 24^m-1=23x83P=1909P nは偶数なのでmは奇数。 (%i141) mod(24^3-1,1909); (%o141) 460 (%i142) mod(24^5-1,1909); (%o142) 184 (%i143) mod(24^7-1,1909); (%o143) 1564 (%i144) mod(24^9-1,1909); (%o144) 391 (%i145) mod(24^11-1,1909); (%o145) 529 (%i146) mod(24^13-1,1909); (%o146) 1748 (%i147) mod(24^15-1,1909); (%o147) 1380 (%i148) mod(24^17-1,1909); (%o148) 1311 (%i149) mod(24^19-1,1909); (%o149) 1656 (%i150) mod(24^21-1,1909); (%o150) 1840 (%i151) mod(24^23-1,1909); (%o151) 920 (%i152) mod(24^25-1,1909); (%o152) 1702 (%i153) mod(24^27-1,1909); (%o153) 1610 (%i154) mod(24^29-1,1909); (%o154) 161 (%i155) mod(24^31-1,1909); (%o155) 1679 (%i156) mod(24^33-1,1909); (%o156) 1725 (%i157) mod(24^35-1,1909); (%o157) 1495 (%i158) mod(24^37-1,1909); (%o158) 736 (%i159) mod(24^39-1,1909); (%o159) 713 (%i160) mod(24^41-1,1909); (%o160) 828 (%i161) mod(24^43-1,1909); (%o161) 253 (%i162) mod(24^45-1,1909); (%o162) 1219 (%i163) mod(24^47-1,1909); (%o163) 207 (%i164) mod(24^49-1,1909); (%o164) 1449 (%i165) mod(24^51-1,1909); (%o165) 966 (%i166) mod(24^53-1,1909); (%o166) 1472 (%i167) mod(24^55-1,1909); (%o167) 851 (%i168) mod(24^57-1,1909); (%o168) 138 (%i169) mod(24^59-1,1909); (%o169) 1794 (%i170) mod(24^61-1,1909); (%o170) 1150 (%i171) mod(24^63-1,1909); (%o171) 552 (%i172) mod(24^65-1,1909); (%o172) 1633 (%i173) mod(24^67-1,1909); (%o173) 46 (%i174) mod(24^69-1,1909); (%o174) 345 (%i175) mod(24^71-1,1909); (%o175) 759 (%i176) mod(24^73-1,1909); (%o176) 598 (%i177) mod(24^75-1,1909); (%o177) 1403 (%i178) mod(24^77-1,1909); (%o178) 1196 (%i179) mod(24^79-1,1909); (%o179) 322 (%i180) mod(24^81-1,1909); (%o180) 874 (%i181) mod(24^83-1,1909); (%o181) 23 (%i182) mod(24^85-1,1909); (%o182) 460 (%i183) mod(24^87-1,1909); (%o183) 184 より、0にならない。 よって、p(x-24)={24^(n+1)-1}/(24-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=83はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると83を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=81(=3^4)とすると、81は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=13なので、p(x-26)={26^(n+1)-1}/(26-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=79とすると、σ(x)の素因数分解に79が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=14なので、 {28^(n+1)-1}/(28-1)=79Pとおける。 28^m-1=27x79P=2133P nは偶数なのでmは奇数。 (%i185) mod(28^3-1,2133); (%o185) 621 (%i186) mod(28^5-1,2133); (%o186) 1323 (%i187) mod(28^7-1,2133); (%o187) 1377 (%i188) mod(28^9-1,2133); (%o188) 1053 (%i189) mod(28^11-1,2133); (%o189) 864 (%i190) mod(28^13-1,2133); (%o190) 1998 (%i191) mod(28^15-1,2133); (%o191) 1593 (%i192) mod(28^17-1,2133); (%o192) 1890 (%i193) mod(28^19-1,2133); (%o193) 108 (%i194) mod(28^21-1,2133); (%o194) 135 (%i195) mod(28^23-1,2133); (%o195) 2106 (%i196) mod(28^25-1,2133); (%o196) 945 (%i197) mod(28^27-1,2133); (%o197) 1512 (%i198) mod(28^29-1,2133); (%o198) 243 (%i199) mod(28^31-1,2133); (%o199) 1458 (%i200) mod(28^33-1,2133); (%o200) 567 (%i201) mod(28^35-1,2133); (%o201) 1647 (%i202) mod(28^37-1,2133); (%o202) 1566 (%i203) mod(28^39-1,2133); (%o203) 2052 (%i204) mod(28^41-1,2133); (%o204) 1269 (%i205) mod(28^43-1,2133); (%o205) 1701 (%i206) mod(28^45-1,2133); (%o206) 1242 (%i207) mod(28^47-1,2133); (%o207) 1863 (%i208) mod(28^49-1,2133); (%o208) 270 (%i209) mod(28^51-1,2133); (%o209) 1296 (%i210) mod(28^53-1,2133); (%o210) 1539 (%i211) mod(28^55-1,2133); (%o211) 81 (%i212) mod(28^57-1,2133); (%o212) 297 (%i213) mod(28^59-1,2133); (%o213) 1134 (%i214) mod(28^61-1,2133); (%o214) 378 (%i215) mod(28^63-1,2133); (%o215) 648 (%i216) mod(28^65-1,2133); (%o216) 1161 (%i217) mod(28^67-1,2133); (%o217) 216 (%i218) mod(28^69-1,2133); (%o218) 1620 (%i219) mod(28^71-1,2133); (%o219) 1728 (%i220) mod(28^73-1,2133); (%o220) 1080 (%i221) mod(28^75-1,2133); (%o221) 702 (%i222) mod(28^77-1,2133); (%o222) 837 (%i223) mod(28^79-1,2133); (%o223) 27 (%i224) mod(28^81-1,2133); (%o224) 621 (%i225) mod(28^83-1,2133); (%o225) 1323 より、0にならない。 よって、p(x-28)={28^(n+1)-1}/(28-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=79はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると79を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=77(=7x11)とすると、77は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=15なので、p(x-30)={30^(n+1)-1}/(30-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-32=75(=3x5^2)とすると、75は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=16なので、p(x-32)={32^(n+1)-1}/(32-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=73とすると、σ(x)の素因数分解に73が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=17なので、 {34^(n+1)-1}/(34-1)=73Pとおける。 34^m-1=33x73P=2409P nは偶数なのでmは奇数。 (%i227) mod(34^3-1,2409); (%o227) 759 (%i228) mod(34^5-1,2409); (%o228) 1683 (%i229) mod(34^7-1,2409); (%o229) 231 (%i230) mod(34^9-1,2409); (%o230) 792 (%i231) mod(34^11-1,2409); (%o231) 1287 (%i232) mod(34^13-1,2409); (%o232) 165 (%i233) mod(34^15-1,2409); (%o233) 1584 (%i234) mod(34^17-1,2409); (%o234) 1419 (%i235) mod(34^19-1,2409); (%o235) 990 (%i236) mod(34^21-1,2409); (%o236) 1320 (%i237) mod(34^23-1,2409); (%o237) 2178 (%i238) mod(34^25-1,2409); (%o238) 1518 (%i239) mod(34^27-1,2409); (%o239) 2211 (%i240) mod(34^29-1,2409); (%o240) 1122 (%i241) mod(34^31-1,2409); (%o241) 2145 (%i242) mod(34^33-1,2409); (%o242) 1914 (%i244) mod(34^35-1,2409); (%o244) 2277 (%i245) mod(34^37-1,2409); (%o245) 330 (%i246) mod(34^39-1,2409); (%o246) 2013 (%i247) mod(34^41-1,2409); (%o247) 1089 (%i248) mod(34^43-1,2409); (%o248) 132 (%i249) mod(34^45-1,2409); (%o249) 1980 (%i250) mod(34^47-1,2409); (%o250) 1485 (%i251) mod(34^49-1,2409); (%o251) 198 (%i252) mod(34^51-1,2409); (%o252) 1188 (%i253) mod(34^53-1,2409); (%o253) 1353 (%i254) mod(34^55-1,2409); (%o254) 1782 (%i255) mod(34^57-1,2409); (%o255) 1452 (%i256) mod(34^59-1,2409); (%o256) 594 (%i257) mod(34^61-1,2409); (%o257) 1254 (%i258) mod(34^63-1,2409); (%o258) 561 (%i259) mod(34^65-1,2409); (%o259) 1650 (%i260) mod(34^67-1,2409); (%o260) 627 (%i261) mod(34^69-1,2409); (%o261) 858 (%i262) mod(34^71-1,2409); (%o262) 495 (%i263) mod(34^73-1,2409); (%o263) 33 (%i264) mod(34^75-1,2409); (%o264) 759 (%i266) mod(34^77-1,2409); (%o266) 1683 より、0にならない。 よって、p(x-34)={34^(n+1)-1}/(34-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=73はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると73を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=71とすると、σ(x)の素因数分解に71が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=18なので、 {36^(n+1)-1}/(36-1)=71Pとおける。 36^m-1=35x71P=2485P nは偶数なのでmは奇数。 (%i268) mod(36^3-1,2485); (%o268) 1925 (%i269) mod(36^5-1,2485); (%o269) 1155 (%i270) mod(36^7-1,2485); (%o270) 2205 (%i272) mod(36^9-1,2485); (%o272) 1225 (%i273) mod(36^11-1,2485); (%o273) 980 (%i274) mod(36^13-1,2485); (%o274) 1540 (%i275) mod(36^15-1,2485); (%o275) 1680 (%i276) mod(36^17-1,2485); (%o276) 1715 (%i277) mod(36^19-1,2485); (%o277) 2345 (%i278) mod(36^21-1,2485); (%o278) 1260 (%i279) mod(36^23-1,2485); (%o279) 1610 (%i280) mod(36^25-1,2485); (%o280) 455 (%i281) mod(36^27-1,2485); (%o281) 2030 (%i282) mod(36^29-1,2485); (%o282) 560 (%i283) mod(36^31-1,2485); (%o283) 1435 (%i284) mod(36^33-1,2485); (%o284) 2275 (%i285) mod(36^35-1,2485); (%o285) 0 (%i286) mod(36^37-1,2485); (%o286) 1295 (%i287) mod(36^39-1,2485); (%o287) 2240 (%i288) mod(36^41-1,2485); (%o288) 1855 (%i289) mod(36^43-1,2485); (%o289) 2380 (%i290) mod(36^45-1,2485); (%o290) 1890 (%i291) mod(36^47-1,2485); (%o291) 525 (%i292) mod(36^49-1,2485); (%o292) 805 (%i293) mod(36^51-1,2485); (%o293) 875 (%i294) mod(36^53-1,2485); (%o294) 2135 (%i295) mod(36^55-1,2485); (%o295) 2450 (%i296) mod(36^57-1,2485); (%o296) 665 (%i297) mod(36^59-1,2485); (%o297) 840 (%i298) mod(36^61-1,2485); (%o298) 1505 (%i299) mod(36^63-1,2485); (%o299) 1050 (%i300) mod(36^65-1,2485); (%o300) 315 (%i301) mod(36^67-1,2485); (%o301) 1995 (%i302) mod(36^69-1,2485); (%o302) 2415 (%i303) mod(36^71-1,2485); (%o303) 35 (%i304) mod(36^73-1,2485); (%o304) 1925 (%i305) mod(36^75-1,2485); (%o305) 1155 より、0になるときがある。 よって、p(x-36)={36^(n+1)-1}/(36-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=71はある。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると71を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-38=69(=3x23)とすると、69は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=19なので、p(x-38)={38^(n+1)-1}/(38-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=67とすると、σ(x)の素因数分解に67が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=20なので、 {40^(n+1)-1}/(40-1)=67Pとおける。 40^m-1=39x67P=2613P nは偶数なのでmは奇数。 (%i322) mod(40^3-1,2613); (%o322) 1287 (%i323) mod(40^5-1,2613); (%o323) 1755 (%i324) mod(40^7-1,2613); (%o324) 624 (%i325) mod(40^9-1,2613); (%o325) 1833 (%i326) mod(40^11-1,2613); (%o326) 0 (%i327) mod(40^13-1,2613); (%o327) 1599 (%i328) mod(40^15-1,2613); (%o328) 1872 (%i329) mod(40^17-1,2613); (%o329) 2301 (%i330) mod(40^19-1,2613); (%o330) 1482 (%i331) mod(40^21-1,2613); (%o331) 195 (%i332) mod(40^23-1,2613); (%o332) 39 (%i333) mod(40^25-1,2613); (%o333) 1287 (%i334) mod(40^27-1,2613); (%o334) 1755 より、0になるときがある。 よって、p(x-40)={40^(n+1)-1}/(40-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=67はある。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると67を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=65(=5x13)とすると、65は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=21なので、p(x-42)={42^(n+1)-1}/(41-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-44=63(=3x21)とすると、63は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=22なので、p(x-44)={44^(n+1)-1}/(44-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-46=61とすると、σ(x)の素因数分解に61が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=23なので、 {46^(n+1)-1}/(46-1)=61Pとおける。 46^m-1=45x61P=2745P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i336) mod(46^3-1,2745); (%o336) 1260 (%i337) mod(46^5-1,2745); (%o337) 135 (%i338) mod(46^7-1,2745); (%o338) 2295 (%i339) mod(46^9-1,2745); (%o339) 2430 (%i340) mod(46^11-1,2745); (%o340) 2610 (%i341) mod(46^12-1,2745); (%o341) 2070 (%i342) mod(46^13-1,2745); (%o342) 1935 (%i343) mod(46^15-1,2745); (%o343) 1035 (%i344) mod(46^17-1,2745); (%o344) 1665 (%i345) mod(46^19-1,2745); (%o345) 675 (%i346) mod(46^21-1,2745); (%o346) 270 (%i347) mod(46^23-1,2745); (%o347) 2475 (%i348) mod(46^25-1,2745); (%o348) 1755 (%i349) mod(46^27-1,2745); (%o349) 1710 (%i350) mod(46^29-1,2745); (%o350) 2565 (%i351) mod(46^31-1,2745); (%o351) 45 (%i352) mod(46^33-1,2745); (%o352) 1260 (%i353) mod(46^35-1,2745); (%o353) 135 より、0にならない。 よって、p(x-46)={46^(n+1)-1}/(46-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-46=61はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると61を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=59とすると、σ(x)の素因数分解に59が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=24なので、 {48^(n+1)-1}/(48-1)=59Pとおける。 48^m-1=47x59P=2773P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i366) mod(48^3-1,2773); (%o366) 2444 (%i367) mod(48^5-1,2773); (%o367) 1316 (%i368) mod(48^7-1,2773); (%o368) 705 (%i369) mod(48^9-1,2773); (%o369) 1645 (%i370) mod(48^11-1,2773); (%o370) 1692 (%i371) mod(48^13-1,2773); (%o371) 1833 (%i372) mod(48^15-1,2773); (%o372) 2256 (%i373) mod(48^17-1,2773); (%o373) 752 (%i374) mod(48^19-1,2773); (%o374) 1786 (%i375) mod(48^21-1,2773); (%o375) 2115 (%i376) mod(48^23-1,2773); (%o376) 329 (%i377) mod(48^25-1,2773); (%o377) 517 (%i378) mod(48^27-1,2773); (%o378) 1081 (%i379) mod(48^29-1,2773); (%o379) 0 (%i380) mod(48^31-1,2773); (%o380) 2303 (%i381) mod(48^33-1,2773); (%o381) 893 (%i382) mod(48^35-1,2773); (%o382) 2209 (%i383) mod(48^37-1,2773); (%o383) 611 (%i384) mod(48^39-1,2773); (%o384) 1363 (%i385) mod(48^41-1,2773); (%o385) 846 (%i386) mod(48^43-1,2773); (%o386) 2068 (%i388) mod(48^45-1,2773); (%o388) 188 (%i389) mod(48^47-1,2773); (%o389) 94 (%i391) mod(48^49-1,2773); (%o391) 2585 (%i392) mod(48^51-1,2773); (%o392) 1739 (%i393) mod(48^53-1,2773); (%o393) 1974 (%i394) mod(48^55-1,2773); (%o394) 2679 (%i395) mod(48^57-1,2773); (%o395) 2021 (%i396) mod(48^59-1,2773); (%o396) 47 (%i397) mod(48^61-1,2773); (%o397) 2444 (%i399) mod(48^63-1,2773); (%o399) 1316 より、0になるときがある。 よって、p(x-48)={48^(n+1)-1}/(48-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=59はある。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると59を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-50=57(=3x19)とすると、57は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=25なので、p(x-50)={50^(n+1)-1}/(50-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=55(=5x11)とすると、55は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=26なので、p(x-52)={52^(n+1)-1}/(52-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=53とすると、σ(x)の素因数分解に53が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=27なので、 {54^(n+1)-1}/(54-1)=53Pとおける。 54^m-1=53x53P=2809P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i401) mod(54^3-1,2809); (%o401) 159 (%i402) mod(54^5-1,2809); (%o402) 265 (%i403) mod(54^7-1,2809); (%o403) 371 (%i404) mod(54^9-1,2809); (%o404) 477 (%i405) mod(54^11-1,2809); (%o405) 583 (%i406) mod(54^13-1,2809); (%o406) 689 (%i407) mod(54^15-1,2809); (%o407) 795 (%i408) mod(54^17-1,2809); (%o408) 901 (%i409) mod(54^19-1,2809); (%o409) 1007 (%i410) mod(54^21-1,2809); (%o410) 1113 (%i411) mod(54^23-1,2809); (%o411) 1219 (%i412) mod(54^25-1,2809); (%o412) 1325 (%i413) mod(54^27-1,2809); (%o413) 1431 (%i414) mod(54^29-1,2809); (%o414) 1537 (%i415) mod(54^31-1,2809); (%o415) 1643 (%i416) mod(54^33-1,2809); (%o416) 1749 (%i417) mod(54^35-1,2809); (%o417) 1855 (%i418) mod(54^37-1,2809); (%o418) 1961 (%i419) mod(54^39-1,2809); (%o419) 2067 (%i420) mod(54^41-1,2809); (%o420) 2173 (%i421) mod(54^43-1,2809); (%o421) 2279 (%i422) mod(54^45-1,2809); (%o422) 2385 (%i423) mod(54^47-1,2809); (%o423) 2491 (%i424) mod(54^49-1,2809); (%o424) 2597 (%i425) mod(54^51-1,2809); (%o425) 2703 (%i426) mod(54^53-1,2809); (%o426) 0 (%i427) mod(54^55-1,2809); (%o427) 106 (%i428) mod(54^57-1,2809); (%o428) 212 (%i429) mod(54^59-1,2809); (%o429) 318 (%i430) mod(54^61-1,2809); (%o430) 424 (%i431) mod(54^63-1,2809); (%o431) 530 (%i432) mod(54^65-1,2809); (%o432) 636 (%i433) mod(54^67-1,2809); (%o433) 742 (%i434) mod(54^69-1,2809); (%o434) 848 (%i435) mod(54^71-1,2809); (%o435) 954 (%i436) mod(54^73-1,2809); (%o436) 1060 (%i437) mod(54^75-1,2809); (%o437) 1166 (%i438) mod(54^77-1,2809); (%o438) 1272 (%i439) mod(54^79-1,2809); (%o439) 1378 (%i440) mod(54^81-1,2809); (%o440) 1484 (%i441) mod(54^83-1,2809); (%o441) 1590 (%i442) mod(54^87-1,2809); (%o442) 1802 (%i443) mod(54^89-1,2809); (%o443) 1908 (%i444) mod(54^91-1,2809); (%o444) 2014 (%i445) mod(54^93-1,2809); (%o445) 2120 (%i446) mod(54^95-1,2809); (%o446) 2226 (%i447) mod(54^97-1,2809); (%o447) 2332 (%i448) mod(54^99-1,2809); (%o448) 2438 (%i449) mod(54^101-1,2809); (%o449) 2544 (%i450) mod(54^103-1,2809); (%o450) 2650 (%i451) mod(54^105-1,2809); (%o451) 2756 (%i452) mod(54^107-1,2809); (%o452) 53 (%i453) mod(54^109-1,2809); (%o453) 159 (%i454) mod(54^111-1,2809); (%o454) 265 より、0にならない。 よって、p(x-54)={54^(n+1)-1}/(54-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=53はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると53を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-56=51(=3x17)とすると、51は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=28なので、p(x-56)={56^(n+1)-1}/(56-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-58=49(=7x7)とすると、49は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=29なので、p(x-58)={58^(n+1)-1}/(58-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=47とすると、σ(x)の素因数分解に47が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=30なので、 {60^(n+1)-1}/(60-1)=47Pとおける。 60^m-1=59x47P=2773P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i456) mod(60^3-1,2773); (%o456) 2478 (%i457) mod(60^5-1,2773); (%o457) 885 (%i458) mod(60^7-1,2773); (%o458) 649 (%i459) mod(60^9-1,2773); (%o459) 2360 (%i460) mod(60^11-1,2773); (%o460) 354 (%i461) mod(60^13-1,2773); (%o461) 2419 (%i463) mod(60^15-1,2773); (%o463) 2006 (%i462) mod(60^17-1,2773); (%o462) 1534 (%i464) mod(60^19-1,2773); (%o464) 2183 (%i465) mod(60^21-1,2773); (%o465) 944 (%i466) mod(60^23-1,2773); (%o466) 2301 (%i467) mod(60^25-1,2773); (%o467) 1475 (%i468) mod(60^27-1,2773); (%o468) 531 (%i469) mod(60^29-1,2773); (%o469) 1829 (%i470) mod(60^31-1,2773); (%o470) 2124 (%i471) mod(60^33-1,2773); (%o471) 2065 (%i472) mod(60^35-1,2773); (%o472) 413 (%i473) mod(60^37-1,2773); (%o473) 1298 (%i474) mod(60^39-1,2773); (%o474) 1121 (%i475) mod(60^41-1,2773); (%o475) 1711 (%i476) mod(60^43-1,2773); (%o476) 1593 (%i477) mod(60^45-1,2773); (%o477) 1062 (%i478) mod(60^47-1,2773); (%o478) 59 (%i479) mod(60^49-1,2773); (%o479) 2478 (%i480) mod(60^51-1,2773); (%o480) 885 より、0にならない。 よって、p(x-60)={60^(n+1)-1}/(60-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=47はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると47を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-62=45(=5x9)とすると、45は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=31なので、p(x-62)={62^(n+1)-1}/(62-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-64=43とすると、σ(x)の素因数分解に43が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=32なので、 {64^(n+1)-1}/(64-1)=43Pとおける。 64^m-1=63x43P=2709P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i482) mod(64^3-1,2709); (%o482) 2079 (%i483) mod(64^5-1,2709); (%o483) 2583 (%i484) mod(64^7-1,2709); (%o484) 0 (%i485) mod(64^9-1,2709); (%o485) 1386 (%i486) mod(64^11-1,2709); (%o486) 378 (%i487) mod(64^13-1,2709); (%o487) 126 (%i488) mod(64^15-1,2709); (%o488) 63 (%i489) mod(64^17-1,2709); (%o489) 2079 (%i490) mod(64^19-1,2709); (%o490) 2583 より、0になるときがある。 よって、p(x-64)={64^(n+1)-1}/(64-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-64=43はある。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると43を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-66=41とすると、σ(x)の素因数分解に41が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=33なので、 {66^(n+1)-1}/(66-1)=41Pとおける。 66^m-1=65x41P=2665P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i492) mod(66^3-1,2665); (%o492) 2340 (%i493) mod(66^5-1,2665); (%o493) 1105 (%i494) mod(66^7-1,2665); (%o494) 2080 (%i495) mod(66^9-1,2665); (%o495) 1170 (%i496) mod(66^11-1,2665); (%o496) 65 (%i497) mod(66^13-1,2665); (%o497) 2340 (%i498) mod(66^15-1,2665); (%o498) 1105 より、0にならない。 よって、p(x-66)={66^(n+1)-1}/(66-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-66=41はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると41を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-68=39(=3x13)とすると、39は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=34なので、p(x-68)={68^(n+1)-1}/(68-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-70=37とすると、σ(x)の素因数分解に37が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=35なので、 {70^(n+1)-1}/(70-1)=37Pとおける。 70^m-1=69x37P=2553P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i502) mod(70^3-1,2553); (%o502) 897 (%i503) mod(70^5-1,2553); (%o503) 1380 (%i504) mod(70^7-1,2553); (%o504) 1449 (%i505) mod(70^9-1,2553); (%o505) 0 (%i506) mod(70^11-1,2553); (%o506) 2346 (%i507) mod(70^13-1,2553); (%o507) 1587 (%i508) mod(70^15-1,2553); (%o508) 2208 (%i509) mod(70^17-1,2553); (%o509) 1932 (%i510) mod(70^19-1,2553); (%o510) 69 (%i511) mod(70^21-1,2553); (%o511) 897 (%i512) mod(70^23-1,2553); (%o512) 1380 より、0になるときがある。 よって、p(x-70)={70^(n+1)-1}/(70-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-70=37はある。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると37を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-72=35(=5x7)とすると、35は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=36なので、p(x-72)={72^(n+1)-1}/(72-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-74=33(=3x11)とすると、33は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=37なので、p(x-74)={74^(n+1)-1}/(74-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-76=31とすると、σ(x)の素因数分解に31が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=38なので、 {76^(n+1)-1}/(76-1)=31Pとおける。 76^m-1=75x31P=2325P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i516) mod(76^3-1,2325); (%o516) 1875 (%i517) mod(76^5-1,2325); (%o517) 1275 (%i518) mod(76^7-1,2325); (%o518) 2250 (%i519) mod(76^9-1,2325); (%o519) 375 (%i520) mod(76^11-1,2325); (%o520) 225 (%i521) mod(76^13-1,2325); (%o521) 1050 (%i522) mod(76^15-1,2325); (%o522) 0 (%i523) mod(76^17-1,2325); (%o523) 1125 (%i524) mod(76^19-1,2325); (%o524) 750 (%i525) mod(76^21-1,2325); (%o525) 1650 (%i526) mod(76^23-1,2325); (%o526) 1350 (%i527) mod(76^25-1,2325); (%o527) 675 (%i528) mod(76^27-1,2325); (%o528) 900 (%i529) mod(76^29-1,2325); (%o529) 825 (%i530) mod(76^31-1,2325); (%o530) 75 (%i531) mod(76^33-1,2325); (%o531) 1875 (%i532) mod(76^35-1,2325); (%o532) 1275 より、0になるときがある。 よって、p(x-76)={76^(n+1)-1}/(76-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-76=31はある。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると31を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-78=29とすると、σ(x)の素因数分解に29が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=39なので、 {78^(n+1)-1}/(78-1)=29Pとおける。 78^m-1=77x29P=2233P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i534) mod(78^3-1,2233); (%o534) 1155 (%i535) mod(78^5-1,2233); (%o535) 1386 (%i536) mod(78^7-1,2233); (%o536) 0 (%i537) mod(78^9-1,2233); (%o537) 1617 (%i538) mod(78^11-1,2233); (%o538) 847 (%i539) mod(78^13-1,2233); (%o539) 1001 (%i540) mod(78^15-1,2233); (%o540) 77 (%i541) mod(78^17-1,2233); (%o541) 1155 (%i542) mod(78^19-1,2233); (%o542) 1386 より、0になるときがある。 よって、p(x-78)={78^(n+1)-1}/(78-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-78=29はある。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると29を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-80=27(3x9)とすると、27は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=40なので、p(x-80)={80^(n+1)-1}/(80-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-82=25(5x5)とすると、25は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=41なので、p(x-82)={82^(n+1)-1}/(82-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-84=23とすると、σ(x)の素因数分解に23が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=42なので、 {84^(n+1)-1}/(84-1)=23Pとおける。 84^m-1=83x23P=1909P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i545) mod(84^3-1,1909); (%o545) 913 (%i546) mod(84^5-1,1909); (%o546) 581 (%i547) mod(84^7-1,1909); (%o547) 332 (%i548) mod(84^9-1,1909); (%o548) 1577 (%i549) mod(84^11-1,1909); (%o549) 1079 (%i550) mod(84^13-1,1909); (%o550) 1660 (%i551) mod(84^15-1,1909); (%o551) 664 (%i552) mod(84^17-1,1909); (%o552) 1826 (%i553) mod(84^19-1,1909); (%o553) 1743 (%i554) mod(84^21-1,1909); (%o554) 249 (%i555) mod(84^23-1,1909); (%o555) 83 (%i556) mod(84^25-1,1909); (%o556) 913 (%i557) mod(84^27-1,1909); (%o557) 581 より、0にならない。 よって、p(x-84)={84^(n+1)-1}/(84-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-84=23はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると23を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-86=21(3x7)とすると、21は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=43なので、p(x-86)={86^(n+1)-1}/(86-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-88=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=44なので、 {88^(n+1)-1}/(88-1)=19Pとおける。 88^m-1=87x19P=1653P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i559) mod(88^3-1,1653); (%o559) 435 (%i560) mod(88^5-1,1653); (%o560) 957 (%i561) mod(88^7-1,1653); (%o561) 87 (%i562) mod(88^9-1,1653); (%o562) 435 (%i563) mod(88^11-1,1653); (%o563) 957 より、0にならない。 よって、p(x-88)={88^(n+1)-1}/(88-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-88=19はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると19を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-90=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=45なので、 {90^(n+1)-1}/(90-1)=17Pとおける。 90^m-1=89x17P=1513P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i565) mod(90^3-1,1513); (%o565) 1246 (%i566) mod(90^5-1,1513); (%o566) 1424 (%i567) mod(90^7-1,1513); (%o567) 1335 (%i568) mod(90^9-1,1513); (%o568) 623 (%i569) mod(90^11-1,1513); (%o569) 979 (%i570) mod(90^13-1,1513); (%o570) 801 (%i571) mod(90^15-1,1513); (%o571) 890 (%i572) mod(90^17-1,1513); (%o572) 89 (%i573) mod(90^19-1,1513); (%o573) 1246 (%i574) mod(90^21-1,1513); (%o574) 1424 より、0にならない。 よって、p(x-90)={90^(n+1)-1}/(90-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-90=17はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-92=15(3x5)とすると、15は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=46なので、p(x-92)={92^(n+1)-1}/(92-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-94=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=47なので、 {94^(n+1)-1}/(94-1)=13Pとおける。 (%i576) mod(94^3-1,1209); (%o576) 0 (%i577) mod(94^5-1,1209); (%o577) 372 (%i578) mod(94^7-1,1209); (%o578) 93 (%i579) mod(94^9-1,1209); (%o579) 0 (%i580) mod(94^11-1,1209); (%o580) 372 より、0になるときがある。 よって、p(x-94)={94^(n+1)-1}/(94-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-94=13はある。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると13を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-96=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=48なので、 {96^(n+1)-1}/(96-1)=11Pとおける。 96^m-1=95x11P=1045P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i582) mod(96^3-1,1045); (%o582) 665 (%i583) mod(96^5-1,1045); (%o583) 570 (%i584) mod(96^7-1,1045); (%o584) 760 (%i585) mod(96^9-1,1045); (%o585) 380 (%i586) mod(96^11-1,1045); (%o586) 95 (%i587) mod(96^13-1,1045); (%o587) 665 (%i588) mod(96^15-1,1045); (%o588) 570 より、0にならない。 よって、p(x-96)={96^(n+1)-1}/(96-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-96=11はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると11を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-98=9(3x3)とすると、9は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=49なので、p(x-98)={98^(n+1)-1}/(98-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-100=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=50なので、 {100^(n+1)-1}/(100-1)=7Pとおける。 100^m-1=99x7P=693P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i590) mod(100^3-1,693); (%o590) 0 (%i591) mod(100^5-1,693); (%o591) 297 (%i592) mod(100^7-1,693); (%o592) 99 (%i593) mod(100^9-1,693); (%o593) 0 (%i594) mod(100^11-1,693); (%o594) 297 より、0になるときがある。 よって、p(x-100)={100^(n+1)-1}/(100-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-100=7はある。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると7を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-102=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=51なので、 {102^(n+1)-1}/(102-1)=5Pとおける。 102^m-1=101x5P=505P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i595) mod(102^3-1,505); (%o595) 202 (%i596) mod(102^5-1,505); (%o596) 101 (%i597) mod(102^7-1,505); (%o597) 202 (%i598) mod(102^9-1,505); (%o598) 101 より、0にならない。 よって、p(x-102)={102^(n+1)-1}/(102-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-102=5はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると5を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-104=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=52なので、 {104^(n+1)-1}/(104-1)=3Pとおける。 104^m-1=103x3P=309P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i599) mod(104^3-1,309); (%o599) 103 (%i600) mod(104^5-1,309); (%o600) 103 (%i601) mod(104^7-1,309); (%o601) 103 (%i602) mod(104^9-1,309); (%o602) 103 より、0にならない。 よって、p(x-104)={104^(n+1)-1}/(104-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-104=3はない。 つまり、x=107なら、σ(x)を素因数分解すると3を含まない。 (x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=107なら、σ(x)を素因数分解した時、 ,101,97,89,83,79,73,61,53,47,41,23,19,17,11,5,3は現れない、と言える。 (%i603) x:107; (%o603) 107 (%i604) factor(1+x+x^2); (%o604) 7 13 127 (%i605) factor(1+x+x^2+x^3+x^4); (%o605) 211 627091 (%i606) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6); (%o606) 29 43 1214826131 (%i607) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8); (%o607) 7 13 37 127 40560312889 (%i608) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10); (%o608) 67 2531 715903 1635665747 (%i609) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12); (%o609) 131 119809 50066017 2893206707 (%i610) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14); (%o610) 7 13 31 127 211 421 627091 1304214048451 (%i611) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16); (%o611) 298001434996696772340986314384801 (%i612) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18); (%o612) 191 419 2699 10831 109517 13316360427798188521 (%i613) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20); 2 (%o613) 7 13 29 43 127 8447041 1214826131 37733329859307727 (%i614) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22); (%o614) 2898050293273 154317473175739320798279261750709 (%i615) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24); (%o615) 211 7901 108401 627091 45181454037244659701655250094701 (%i616) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26); (%o616) 7 13 37 127 379 40560312889 4134782990629 2156830753382320771027 (%i617) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28); (%o617) 59 2895449386759 14461801802737 271664751851817471952561915133 (%i618) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30); (%o618) 2357 257112557633 2665621722030067963 4756744811420477568753648619 (%i619) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32); (%o619) 7 13 67 127 2531 44221 715903 1635665747 866900865297476058451997759974880269 (%i620) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32+x^33+x^34); (%o620) 29 43 71 211 627091 1214826131 101209715741 15640271959858771 44710332307207297921