x=109では、x-2=107,x-4=105(3x5x7),x-6=103,x-8=101,x-10=99(3x33),x-12=97,x-14=95(5x19),x-16=93(3x31) ,x-18=91(7x13),x-20=89,x-22=87(3x29),x-24=85(5x17),x-26=83,x-28=81(3^4),x-30=79,x-32=77(11x7) ,x-34=75(5^2x3),x-36=73,x-38=71,x-40=69(3x23),x-42=67,x-44=65(5x13),x-46=63(3x21),x-48=61 ,x-50=59,x-52=57(3x19),x-54=55(5x11),x-56=53,x-58=51(3x17),x-60=49(7x7),x-62=47 ,x-64=45(5x9),x-66=43,x-68=41,x-70=39(3x13),x-72=37,x-74=62(5x7),x-76=33(3x11),x-78=31 ,x-80=29,x-82=27(3x9),x-84=25(5x5),x-86=23,x-88=21(3x7),x-90=19,x-92=17,x-94=15(3x5),x-96=13 ,x-98=11,x-100=9(3x3),x-102=7,x-104=5,x-106=3が考えられます。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=107とすると、σ(x)の素因数分解に107が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=1なので、 {2^(n+1)-1}/(2-1)=107Pとおける。 2^m-1=107P=107P nは偶数なのでmは奇数。 (%i1) mod(2^3-1,107); (%o1) 7 (%i2) mod(2^5-1,107); (%o2) 31 (%i3) mod(2^7-1,107); (%o3) 20 (%i4) mod(2^9-1,107); (%o4) 83 (%i5) mod(2^11-1,107); (%o5) 14 (%i6) mod(2^13-1,107); (%o6) 59 (%i7) mod(2^15-1,107); (%o7) 25 (%i8) mod(2^17-1,107); (%o8) 103 (%i9) mod(2^19-1,107); (%o9) 94 (%i10) mod(2^21-1,107); (%o10) 58 (%i11) mod(2^23-1,107); (%o11) 21 (%i12) mod(2^25-1,107); (%o12) 87 (%i13) mod(2^27-1,107); (%o13) 30 (%i14) mod(2^29-1,107); (%o14) 16 (%i15) mod(2^31-1,107); (%o15) 67 (%i16) mod(2^33-1,107); (%o16) 57 (%i18) mod(2^35-1,107); (%o18) 17 (%i19) mod(2^37-1,107); (%o19) 71 (%i20) mod(2^39-1,107); (%o20) 73 (%i21) mod(2^41-1,107); (%o21) 81 (%i22) mod(2^43-1,107); (%o22) 6 (%i23) mod(2^45-1,107); (%o23) 27 (%i24) mod(2^47-1,107); (%o24) 4 (%i25) mod(2^49-1,107); (%o25) 19 (%i26) mod(2^51-1,107); (%o26) 79 (%i27) mod(2^53-1,107); (%o27) 105 (%i29) mod(2^55-1,107); (%o29) 102 (%i28) mod(2^57-1,107); (%o28) 90 (%i30) mod(2^59-1,107); (%o30) 42 (%i31) mod(2^61-1,107); (%o31) 64 (%i32) mod(2^63-1,107); (%o32) 45 (%i33) mod(2^65-1,107); (%o33) 76 (%i34) mod(2^67-1,107); (%o34) 93 (%i35) mod(2^69-1,107); (%o35) 54 (%i36) mod(2^71-1,107); (%o36) 5 (%i37) mod(2^73-1,107); (%o37) 23 (%i38) mod(2^75-1,107); (%o38) 95 (%i39) mod(2^77-1,107); (%o39) 62 (%i40) mod(2^79-1,107); (%o40) 37 (%i41) mod(2^81-1,107); (%o41) 44 (%i42) mod(2^83-1,107); (%o42) 72 (%i43) mod(2^85-1,107); (%o43) 77 (%i44) mod(2^87-1,107); (%o44) 97 (%i45) mod(2^89-1,107); (%o45) 70 (%i46) mod(2^91-1,107); (%o46) 69 (%i47) mod(2^93-1,107); (%o47) 65 (%i48) mod(2^95-1,107); (%o48) 49 (%i49) mod(2^97-1,107); (%o49) 92 (%i50) mod(2^99-1,107); (%o50) 50 (%i51) mod(2^101-1,107); (%o51) 96 (%i52) mod(2^103-1,107); (%o52) 66 (%i53) mod(2^105-1,107); (%o53) 53 (%i54) mod(2^107-1,107); (%o54) 1 (%i55) mod(2^109-1,107); (%o55) 7 (%i56) mod(2^111-1,107); (%o56) 31 より、0にならない。 よって、p(x-2)={2^(n+1)-1}/(2-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=107はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると107を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=105(=3x5x7)とすると、105は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、p(x-4)={4^(n+1)-1}/(4-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=103とすると、σ(x)の素因数分解に103が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、 {6^(n+1)-1}/(6-1)=103Pとおける。 6^m-1=5x103P=515P nは偶数なのでmは奇数。 (%i58) mod(6^3-1,515); (%o58) 215 (%i59) mod(6^5-1,515); (%o59) 50 (%i60) mod(6^7-1,515); (%o60) 290 (%i61) mod(6^9-1,515); (%o61) 175 (%i62) mod(6^11-1,515); (%o62) 155 (%i63) mod(6^13-1,515); (%o63) 465 (%i64) mod(6^17-1,515); (%o64) 355 (%i65) mod(6^19-1,515); (%o65) 455 (%i66) mod(6^21-1,515); (%o66) 450 (%i67) mod(6^23-1,515); (%o67) 270 (%i68) mod(6^25-1,515); (%o68) 485 (%i69) mod(6^27-1,515); (%o69) 500 (%i71) mod(6^29-1,515); (%o71) 10 (%i72) mod(6^31-1,515); (%o72) 395 (%i73) mod(6^33-1,515); (%o73) 350 (%i74) mod(6^35-1,515); (%o74) 275 (%i75) mod(6^37-1,515); (%o75) 150 (%i76) mod(6^39-1,515); (%o76) 285 (%i77) mod(6^41-1,515); (%o77) 510 (%i78) mod(6^43-1,515); (%o78) 370 (%i79) mod(6^45-1,515); (%o79) 480 (%i80) mod(6^47-1,515); (%o80) 320 (%i81) mod(6^49-1,515); (%o81) 225 (%i82) mod(6^51-1,515); (%o82) 410 (%i83) mod(6^53-1,515); (%o83) 375 (%i84) mod(6^55-1,515); (%o84) 145 (%i85) mod(6^57-1,515); (%o85) 105 (%i86) mod(6^59-1,515); (%o86) 210 (%i87) mod(6^61-1,515); (%o87) 385 (%i88) mod(6^63-1,515); (%o88) 505 (%i89) mod(6^67-1,515); (%o89) 180 (%i90) mod(6^69-1,515); (%o90) 335 (%i91) mod(6^71-1,515); (%o91) 250 (%i92) mod(6^73-1,515); (%o92) 280 (%i93) mod(6^75-1,515); (%o93) 330 (%i94) mod(6^77-1,515); (%o94) 70 (%i95) mod(6^79-1,515); (%o95) 495 (%i96) mod(6^81-1,515); (%o96) 345 (%i97) mod(6^83-1,515); (%o97) 95 (%i98) mod(6^85-1,515); (%o98) 365 (%i99) mod(6^87-1,515); (%o99) 300 (%i100) mod(6^89-1,515); (%o100) 20 (%i101) mod(6^91-1,515); (%o101) 240 (%i102) mod(6^93-1,515); (%o102) 435 (%i103) mod(6^95-1,515); (%o103) 245 (%i104) mod(6^97-1,515); (%o104) 100 (%i105) mod(6^99-1,515); (%o105) 30 (%i106) mod(6^101-1,515); (%o106) 85 (%i107) mod(6^103-1,515); (%o107) 5 (%i108) mod(6^107-1,515); (%o108) 50 (%i110) mod(6^109-1,515); (%o110) 290 (%i111) mod(6^111-1,515); (%o111) 175 (%i112) mod(6^113-1,515); (%o112) 155 (%i113) mod(6^115-1,515); (%o113) 465 (%i114) mod(6^117-1,515); (%o114) 295 (%i115) mod(6^119-1,515); (%o115) 355 (%i116) mod(6^121-1,515); (%o116) 455 (%i117) mod(6^123-1,515); (%o117) 450 (%i118) mod(6^125-1,515); (%o118) 270 (%i119) mod(6^127-1,515); (%o119) 485 (%i121) mod(6^129-1,515); (%o121) 500 (%i122) mod(6^131-1,515); (%o122) 10 (%i123) mod(6^133-1,515); (%o123) 395 (%i124) mod(6^135-1,515); (%o124) 350 (%i125) mod(6^137-1,515); (%o125) 275 (%i126) mod(6^139-1,515); (%o126) 150 (%i127) mod(6^141-1,515); (%o127) 285 (%i128) mod(6^143-1,515); (%o128) 510 (%i129) mod(6^147-1,515); (%o129) 480 (%i130) mod(6^149-1,515); (%o130) 320 (%i131) mod(6^151-1,515); (%o131) 225 (%i132) mod(6^153-1,515); (%o132) 410 (%i133) mod(6^155-1,515); (%o133) 375 (%i134) mod(6^157-1,515); (%o134) 145 (%i135) mod(6^159-1,515); (%o135) 105 (%i136) mod(6^161-1,515); (%o136) 210 (%i137) mod(6^163-1,515); (%o137) 385 (%i138) mod(6^165-1,515); (%o138) 505 (%i139) mod(6^167-1,515); (%o139) 190 (%i140) mod(6^169-1,515); (%o140) 180 (%i141) mod(6^171-1,515); (%o141) 335 (%i142) mod(6^173-1,515); (%o142) 250 (%i143) mod(6^175-1,515); (%o143) 280 (%i144) mod(6^177-1,515); (%o144) 330 (%i145) mod(6^179-1,515); (%o145) 70 (%i146) mod(6^181-1,515); (%o146) 495 (%i147) mod(6^183-1,515); (%o147) 345 (%i148) mod(6^185-1,515); (%o148) 95 (%i149) mod(6^187-1,515); (%o149) 365 (%i150) mod(6^189-1,515); (%o150) 300 (%i151) mod(6^191-1,515); (%o151) 20 (%i152) mod(6^193-1,515); (%o152) 240 (%i153) mod(6^195-1,515); (%o153) 435 (%i154) mod(6^197-1,515); (%o154) 245 (%i155) mod(6^199-1,515); (%o155) 100 (%i156) mod(6^201-1,515); (%o156) 30 (%i157) mod(6^203-1,515); (%o157) 85 (%i158) mod(6^205-1,515); (%o158) 5 (%i159) mod(6^207-1,515); (%o159) 215 (%i160) mod(6^209-1,515); (%o160) 50 より、0にならない。 よって、p(x-6)={6^(n+1)-1}/(6-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=103はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると103を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=101とすると、σ(x)の素因数分解に101が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、 {8^(n+1)-1}/(8-1)=101Pとおける。 8^m-1=7x101P=707P nは偶数なのでmは奇数。 (%i162) mod(8^3-1,707); (%o162) 511 (%i163) mod(8^5-1,707); (%o163) 245 (%i164) mod(8^7-1,707); (%o164) 189 (%i165) mod(8^9-1,707); (%o165) 140 (%i166) mod(8^11-1,707); (%o166) 539 (%i167) mod(8^13-1,707); (%o167) 623 (%i168) mod(8^15-1,707); (%o168) 343 (%i169) mod(8^17-1,707); (%o169) 98 (%i170) mod(8^19-1,707); (%o170) 679 (%i171) mod(8^21-1,707); (%o171) 392 (%i172) mod(8^23-1,707); (%o172) 406 (%i173) mod(8^25-1,707); (%o173) 595 (%i174) mod(8^27-1,707); (%o174) 672 (%i175) mod(8^29-1,707); (%o175) 651 (%i176) mod(8^31-1,707); (%o176) 14 (%i177) mod(8^33-1,707); (%o177) 252 (%i178) mod(8^35-1,707); (%o178) 637 (%i179) mod(8^37-1,707); (%o179) 532 (%i180) mod(8^39-1,707); (%o180) 175 (%i181) mod(8^41-1,707); (%o181) 658 (%i182) mod(8^43-1,707); (%o182) 462 (%i183) mod(8^45-1,707); (%o183) 644 (%i184) mod(8^47-1,707); (%o184) 273 (%i185) mod(8^49-1,707); (%o185) 567 (%i186) mod(8^51-1,707); (%o186) 294 (%i187) mod(8^53-1,707); (%o187) 497 (%i188) mod(8^55-1,707); (%o188) 56 (%i189) mod(8^57-1,707); (%o189) 112 (%i190) mod(8^59-1,707); (%o190) 161 (%i191) mod(8^61-1,707); (%o191) 469 (%i192) mod(8^63-1,707); (%o192) 385 (%i193) mod(8^65-1,707); (%o193) 665 (%i194) mod(8^67-1,707); (%o194) 203 (%i195) mod(8^69-1,707); (%o195) 329 (%i196) mod(8^71-1,707); (%o196) 616 (%i197) mod(8^73-1,707); (%o197) 602 (%i198) mod(8^75-1,707); (%o198) 413 (%i199) mod(8^77-1,707); (%o199) 336 (%i200) mod(8^79-1,707); (%o200) 357 (%i201) mod(8^81-1,707); (%o201) 287 (%i202) mod(8^83-1,707); (%o202) 49 (%i203) mod(8^85-1,707); (%o203) 371 (%i204) mod(8^87-1,707); (%o204) 476 (%i205) mod(8^89-1,707); (%o205) 126 (%i206) mod(8^91-1,707); (%o206) 350 (%i207) mod(8^93-1,707); (%o207) 546 (%i208) mod(8^95-1,707); (%o208) 364 (%i209) mod(8^97-1,707); (%o209) 28 (%i210) mod(8^99-1,707); (%o210) 441 (%i211) mod(8^101-1,707); (%o211) 7 (%i212) mod(8^103-1,707); (%o212) 511 (%i213) mod(8^105-1,707); (%o213) 245 より、0にならない。 よって、p(x-8)={8^(n+1)-1}/(8-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=101はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると101を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=99(=3x33)とすると、99は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、p(x-10)={10^(n+1)-1}/(10-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=97とすると、σ(x)の素因数分解に97が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、 {12^(n+1)-1}/(12-1)=97Pとおける。 12^m-1=11x97P=1067P nは偶数なのでmは奇数。 (%i215) mod(12^3-1,1067); (%o215) 660 (%i216) mod(12^5-1,1067); (%o216) 220 (%i217) mod(12^7-1,1067); (%o217) 880 (%i218) mod(12^9-1,1067); (%o218) 957 (%i219) mod(12^11-1,1067); (%o219) 308 (%i220) mod(12^13-1,1067); (%o220) 748 (%i221) mod(12^15-1,1067); (%o221) 88 (%i222) mod(12^17-1,1067); (%o222) 11 (%i223) mod(12^19-1,1067); (%o223) 660 (%i224) mod(12^21-1,1067); (%o224) 220 より、0にならない。 よって、p(x-12)={12^(n+1)-1}/(12-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=97はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると97を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=95(=5x19)とすると、95は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、p(x-14)={14^(n+1)-1}/(14-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=93(=3x31)とすると、93は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、p(x-16)={16^(n+1)-1}/(16-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=91(=7x13)とすると、91は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、p(x-18)={18^(n+1)-1}/(18-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=89とすると、σ(x)の素因数分解に89が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、 {20^(n+1)-1}/(20-1)=89Pとおける。 20^m-1=19x89P=1691P nは偶数なのでmは奇数。 (%i226) mod(20^3-1,1691); (%o226) 1235 (%i227) mod(20^5-1,1691); (%o227) 627 (%i228) mod(20^7-1,1691); (%o228) 931 (%i229) mod(20^9-1,1691); (%o229) 779 (%i230) mod(20^11-1,1691); (%o230) 855 (%i231) mod(20^13-1,1691); (%o231) 817 (%i232) mod(20^15-1,1691); (%o232) 836 (%i233) mod(20^17-1,1691); (%o233) 1672 (%i234) mod(20^19-1,1691); (%o234) 1254 (%i235) mod(20^21-1,1691); (%o235) 1463 (%i236) mod(20^23-1,1691); (%o236) 513 (%i237) mod(20^25-1,1691); (%o237) 988 (%i238) mod(20^27-1,1691); (%o238) 1596 (%i239) mod(20^29-1,1691); (%o239) 1292 (%i240) mod(20^31-1,1691); (%o240) 1444 (%i241) mod(20^33-1,1691); (%o241) 1368 (%i242) mod(20^35-1,1691); (%o242) 1406 (%i243) mod(20^37-1,1691); (%o243) 1387 (%i244) mod(20^39-1,1691); (%o244) 551 (%i245) mod(20^41-1,1691); (%o245) 969 (%i246) mod(20^43-1,1691); (%o246) 760 (%i247) mod(20^45-1,1691); (%o247) 19 (%i248) mod(20^47-1,1691); (%o248) 1235 (%i249) mod(20^49-1,1691); (%o249) 627 (%i250) mod(20^51-1,1691); (%o250) 931 (%i251) mod(20^53-1,1691); (%o251) 779 (%i252) mod(20^55-1,1691); (%o252) 855 (%i253) mod(20^57-1,1691); (%o253) 817 (%i254) mod(20^59-1,1691); (%o254) 836 (%i255) mod(20^61-1,1691); (%o255) 1672 (%i256) mod(20^63-1,1691); (%o256) 1254 (%i257) mod(20^65-1,1691); (%o257) 1463 (%i258) mod(20^67-1,1691); (%o258) 513 (%i259) mod(20^69-1,1691); (%o259) 988 (%i260) mod(20^71-1,1691); (%o260) 1596 (%i261) mod(20^73-1,1691); (%o261) 1292 (%i262) mod(20^75-1,1691); (%o262) 1444 (%i263) mod(20^77-1,1691); (%o263) 1368 (%i264) mod(20^79-1,1691); (%o264) 1406 (%i265) mod(20^81-1,1691); (%o265) 1387 (%i266) mod(20^83-1,1691); (%o266) 551 (%i267) mod(20^87-1,1691); (%o267) 760 (%i268) mod(20^89-1,1691); (%o268) 19 (%i269) mod(20^91-1,1691); (%o269) 1235 (%i270) mod(20^93-1,1691); (%o270) 627 より、0にならない。 よって、p(x-20)={20^(n+1)-1}/(20-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=89はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると89を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=87(=3x29)とすると、87は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=11なので、p(x-22)={22^(n+1)-1}/(22-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=85(=5x17)とすると、85は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=12なので、p(x-24)={24^(n+1)-1}/(24-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=83とすると、σ(x)の素因数分解に83が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=13なので、 {26^(n+1)-1}/(26-1)=83Pとおける。 26^m-1=25x83P=2075P nは偶数なのでmは奇数。 (%i272) mod(26^3-1,2075); (%o272) 975 (%i273) mod(26^5-1,2075); (%o273) 2000 (%i274) mod(26^7-1,2075); (%o274) 1850 (%i275) mod(26^9-1,2075); (%o275) 50 (%i276) mod(26^11-1,2075); (%o276) 1275 (%i277) mod(26^13-1,2075); (%o277) 1450 (%i278) mod(26^15-1,2075); (%o278) 1475 (%i279) mod(26^17-1,2075); (%o279) 1775 (%i280) mod(26^19-1,2075); (%o280) 1225 (%i281) mod(26^21-1,2075); (%o281) 850 (%i282) mod(26^23-1,2075); (%o282) 500 (%i283) mod(26^25-1,2075); (%o283) 450 (%i284) mod(26^27-1,2075); (%o284) 1925 (%i285) mod(26^29-1,2075); (%o285) 950 (%i286) mod(26^31-1,2075); (%o286) 1700 (%i287) mod(26^33-1,2075); (%o287) 325 (%i288) mod(26^35-1,2075); (%o288) 425 (%i289) mod(26^37-1,2075); (%o289) 1625 (%i290) mod(26^39-1,2075); (%o290) 1500 (%i291) mod(26^41-1,2075); (%o291) 0 (%i292) mod(26^43-1,2075); (%o292) 675 (%i293) mod(26^45-1,2075); (%o293) 475 (%i294) mod(26^47-1,2075); (%o294) 150 (%i295) mod(26^49-1,2075); (%o295) 400 (%i296) mod(26^51-1,2075); (%o296) 1325 (%i297) mod(26^53-1,2075); (%o297) 2050 (%i298) mod(26^55-1,2075); (%o298) 375 (%i299) mod(26^57-1,2075); (%o299) 1025 (%i300) mod(26^59-1,2075); (%o300) 525 (%i301) mod(26^61-1,2075); (%o301) 750 (%i302) mod(26^63-1,2075); (%o302) 1375 (%i303) mod(26^65-1,2075); (%o303) 575 (%i304) mod(26^67-1,2075); (%o304) 1350 (%i305) mod(26^69-1,2075); (%o305) 275 (%i306) mod(26^71-1,2075); (%o306) 1900 (%i307) mod(26^73-1,2075); (%o307) 650 (%i308) mod(26^75-1,2075); (%o308) 175 (%i309) mod(26^77-1,2075); (%o309) 700 (%i310) mod(26^79-1,2075); (%o310) 775 (%i311) mod(26^81-1,2075); (%o311) 1675 (%i312) mod(26^83-1,2075); (%o312) 25 (%i313) mod(26^85-1,2075); (%o313) 975 (%i314) mod(26^87-1,2075); (%o314) 2000 より、0になるときがある。 よって、p(x-26)={26^(n+1)-1}/(26-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=83はある。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると83を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=81(=3^4)とすると、81は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=14なので、p(x-28)={28^(n+1)-1}/(28-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=79とすると、σ(x)の素因数分解に79が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=15なので、 {30^(n+1)-1}/(30-1)=79Pとおける。 30^m-1=29x79P=2291P nは偶数なのでmは奇数。 (%i319) mod(30^3-1,2291); (%o319) 1798 (%i320) mod(30^5-1,2291); (%o320) 1653 (%i321) mod(30^7-1,2291); (%o321) 1740 (%i322) mod(30^9-1,2291); (%o322) 2146 (%i323) mod(30^11-1,2291); (%o323) 986 (%i324) mod(30^13-1,2291); (%o324) 1682 (%i325) mod(30^15-1,2291); (%o325) 348 (%i326) mod(30^17-1,2291); (%o326) 232 (%i327) mod(30^19-1,2291); (%o327) 1218 (%i328) mod(30^21-1,2291); (%o328) 2001 (%i329) mod(30^23-1,2291); (%o329) 1073 (%i330) mod(30^25-1,2291); (%o330) 2088 (%i331) mod(30^27-1,2291); (%o331) 1479 (%i332) mod(30^29-1,2291); (%o332) 928 (%i333) mod(30^31-1,2291); (%o333) 2175 (%i334) mod(30^33-1,2291); (%o334) 1885 (%i335) mod(30^35-1,2291); (%o335) 2059 (%i336) mod(30^37-1,2291); (%o336) 580 (%i337) mod(30^39-1,2291); (%o337) 551 (%i338) mod(30^41-1,2291); (%o338) 1943 (%i339) mod(30^43-1,2291); (%o339) 1566 (%i340) mod(30^45-1,2291); (%o340) 1334 (%i341) mod(30^47-1,2291); (%o341) 1015 (%i342) mod(30^49-1,2291); (%o342) 290 (%i343) mod(30^51-1,2291); (%o343) 725 (%i344) mod(30^53-1,2291); (%o344) 464 (%i345) mod(30^55-1,2291); (%o345) 1537 (%i346) mod(30^57-1,2291); (%o346) 435 (%i347) mod(30^59-1,2291); (%o347) 638 (%i348) mod(30^61-1,2291); (%o348) 58 (%i349) mod(30^63-1,2291); (%o349) 406 (%i350) mod(30^65-1,2291); (%o350) 2030 (%i351) mod(30^67-1,2291); (%o351) 1972 (%i352) mod(30^69-1,2291); (%o352) 174 (%i353) mod(30^71-1,2291); (%o353) 1711 (%i354) mod(30^73-1,2291); (%o354) 1247 (%i355) mod(30^75-1,2291); (%o355) 609 (%i356) mod(30^77-1,2291); (%o356) 1450 (%i357) mod(30^79-1,2291); (%o357) 29 (%i358) mod(30^81-1,2291); (%o358) 1798 (%i359) mod(30^83-1,2291); (%o359) 1653 より、0にならない。 よって、p(x-30)={30^(n+1)-1}/(30-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=79はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると79を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-32=77(=7x11)とすると、77は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=16なので、p(x-32)={32^(n+1)-1}/(32-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=75(=3x5^2)とすると、75は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=17なので、p(x-34)={34^(n+1)-1}/(34-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=73とすると、σ(x)の素因数分解に73が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=18なので、 {36^(n+1)-1}/(36-1)=73Pとおける。 36^m-1=35x73P=2555P nは偶数なのでmは奇数。 (%i361) mod(36^3-1,2555); (%o361) 665 (%i362) mod(36^5-1,2555); (%o362) 2100 (%i363) mod(36^7-1,2555); (%o363) 1820 (%i364) mod(36^9-1,2555); (%o364) 1750 (%i365) mod(36^11-1,2555); (%o365) 455 (%i366) mod(36^13-1,2555); (%o366) 770 (%i367) mod(36^15-1,2555); (%o367) 210 (%i368) mod(36^17-1,2555); (%o368) 70 (%i369) mod(36^19-1,2555); (%o369) 35 (%i370) mod(36^21-1,2555); (%o370) 665 (%i371) mod(36^23-1,2555); (%o371) 2100 より、0にならない。 よって、p(x-36)={36^(n+1)-1}/(36-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=73はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると73を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-38=71とすると、σ(x)の素因数分解に71が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=19なので、 {38^(n+1)-1}/(38-1)=71Pとおける。 38^m-1=37x71P=2627P nは偶数なのでmは奇数。 (%i373) mod(38^3-1,2627); (%o373) 2331 (%i374) mod(38^5-1,2627); (%o374) 2220 (%i375) mod(38^7-1,2627); (%o375) 2183 (%i376) mod(38^9-1,2627); (%o376) 1295 (%i377) mod(38^11-1,2627); (%o377) 999 (%i378) mod(38^13-1,2627); (%o378) 1776 (%i379) mod(38^15-1,2627); (%o379) 2035 (%i380) mod(38^17-1,2627); (%o380) 370 (%i381) mod(38^19-1,2627); (%o381) 2442 (%i382) mod(38^21-1,2627); (%o382) 2257 (%i383) mod(38^23-1,2627); (%o383) 444 (%i384) mod(38^25-1,2627); (%o384) 1591 (%i385) mod(38^27-1,2627); (%o385) 222 (%i386) mod(38^29-1,2627); (%o386) 1517 (%i387) mod(38^31-1,2627); (%o387) 1073 (%i388) mod(38^33-1,2627); (%o388) 925 (%i389) mod(38^35-1,2627); (%o389) 0 (%i390) mod(38^37-1,2627); (%o390) 1443 (%i391) mod(38^39-1,2627); (%o391) 1924 (%i392) mod(38^41-1,2627); (%o392) 333 (%i393) mod(38^43-1,2627); (%o393) 1554 (%i394) mod(38^45-1,2627); (%o394) 1961 (%i395) mod(38^47-1,2627); (%o395) 1221 (%i396) mod(38^49-1,2627); (%o396) 1850 (%i397) mod(38^51-1,2627); (%o397) 1184 (%i398) mod(38^53-1,2627); (%o398) 962 (%i399) mod(38^57-1,2627); (%o399) 1739 (%i400) mod(38^59-1,2627); (%o400) 1147 (%i401) mod(38^61-1,2627); (%o401) 74 (%i402) mod(38^63-1,2627); (%o402) 592 (%i403) mod(38^65-1,2627); (%o403) 2516 (%i404) mod(38^67-1,2627); (%o404) 1406 (%i405) mod(38^69-1,2627); (%o405) 1036 (%i406) mod(38^71-1,2627); (%o406) 37 (%i407) mod(38^73-1,2627); (%o407) 2331 (%i408) mod(38^75-1,2627); (%o408) 2220 より、0になるときがある。 よって、p(x-38)={38^(n+1)-1}/(38-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-38=71はある。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると71を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=69(=3x23)とすると、69は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=20なので、p(x-40)={40^(n+1)-1}/(40-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=67とすると、σ(x)の素因数分解に67が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=21なので、 {42^(n+1)-1}/(42-1)=67Pとおける。 42^m-1=41x67P=2747P nは偶数なのでmは奇数。 (%i412) mod(42^3-1,2747); (%o412) 2665 (%i413) mod(42^5-1,2747); (%o413) 2706 (%i414) mod(42^7-1,2747); (%o414) 861 (%i415) mod(42^9-1,2747); (%o415) 1476 (%i416) mod(42^11-1,2747); (%o416) 1271 (%i417) mod(42^13-1,2747); (%o417) 2255 (%i418) mod(42^15-1,2747); (%o418) 1927 (%i419) mod(42^17-1,2747); (%o419) 205 (%i420) mod(42^19-1,2747); (%o420) 779 (%i421) mod(42^21-1,2747); (%o421) 2419 (%i422) mod(42^23-1,2747); (%o422) 41 (%i423) mod(42^25-1,2747); (%o423) 2665 (%i424) mod(42^27-1,2747); (%o424) 2706 より、0にならない。 よって、p(x-42)={42^(n+1)-1}/(42-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=67はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると67を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-44=65(=5x13)とすると、65は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=22なので、p(x-44)={44^(n+1)-1}/(44-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-46=63(=3x21)とすると、63は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=23なので、p(x-46)={46^(n+1)-1}/(46-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=61とすると、σ(x)の素因数分解に61が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=24なので、 {48^(n+1)-1}/(48-1)=61Pとおける。 48^m-1=47x61P=2867P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i426) mod(48^3-1,2867); (%o426) 1645 (%i427) mod(48^5-1,2867); (%o427) 2209 (%i428) mod(48^7-1,2867); (%o428) 47 (%i429) mod(48^9-1,2867); (%o429) 1645 (%i430) mod(48^11-1,2867); (%o430) 2209 (%i431) mod(48^13-1,2867); (%o431) 47 より、0にならない。 よって、p(x-48)={48^(n+1)-1}/(48-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=61はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると61を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-50=59とすると、σ(x)の素因数分解に59が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=25なので、 {50^(n+1)-1}/(50-1)=59Pとおける。 50^m-1=49x59P=2891P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i433) mod(50^3-1,2891); (%o433) 686 (%i434) mod(50^5-1,2891); (%o434) 245 (%i435) mod(50^7-1,2891); (%o435) 2107 (%i436) mod(50^9-1,2891); (%o436) 2597 (%i437) mod(50^11-1,2891); (%o437) 1813 (%i438) mod(50^13-1,2891); (%o438) 1911 (%i439) mod(50^15-1,2891); (%o439) 1176 (%i440) mod(50^17-1,2891); (%o440) 2352 (%i441) mod(50^19-1,2891); (%o441) 2205 (%i442) mod(50^21-1,2891); (%o442) 1862 (%i443) mod(50^23-1,2891); (%o443) 98 (%i444) mod(50^25-1,2891); (%o444) 1764 (%i445) mod(50^27-1,2891); (%o445) 833 (%i446) mod(50^29-1,2891); (%o446) 588 (%i447) mod(50^31-1,2891); (%o447) 980 (%i448) mod(50^33-1,2891); (%o448) 931 (%i449) mod(50^35-1,2891); (%o449) 2744 (%i450) mod(50^37-1,2891); (%o450) 2156 (%i451) mod(50^39-1,2891); (%o451) 784 (%i452) mod(50^41-1,2891); (%o452) 2401 (%i453) mod(50^43-1,2891); (%o453) 392 (%i454) mod(50^45-1,2891); (%o454) 2450 (%i455) mod(50^47-1,2891); (%o455) 1470 (%i456) mod(50^49-1,2891); (%o456) 147 (%i457) mod(50^51-1,2891); (%o457) 2842 (%i458) mod(50^53-1,2891); (%o458) 1421 (%i459) mod(50^55-1,2891); (%o459) 1960 (%i460) mod(50^57-1,2891); (%o460) 2254 (%i461) mod(50^59-1,2891); (%o461) 49 (%i462) mod(50^61-1,2891); (%o462) 686 (%i463) mod(50^63-1,2891); (%o463) 245 より、0にならない。 よって、p(x-50)={50^(n+1)-1}/(50-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-50=59はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると59を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=57(=3x19)とすると、57は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=26なので、p(x-52)={52^(n+1)-1}/(52-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=55(=5x11)とすると、55は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=27なので、p(x-54)={54^(n+1)-1}/(54-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-56=53とすると、σ(x)の素因数分解に53が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=28なので、 {56^(n+1)-1}/(56-1)=53Pとおける。 56^m-1=55x53P=2915P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i2) mod(56^3-1,2915); (%o2) 715 (%i3) mod(56^5-1,2915); (%o3) 825 (%i4) mod(56^7-1,2915); (%o4) 1815 (%i5) mod(56^9-1,2915); (%o5) 1980 (%i6) mod(56^11-1,2915); (%o6) 550 (%i7) mod(56^13-1,2915); (%o7) 2255 (%i8) mod(56^15-1,2915); (%o8) 110 (%i9) mod(56^17-1,2915); (%o9) 1210 (%i10) mod(56^19-1,2915); (%o10) 2365 (%i11) mod(56^21-1,2915); (%o11) 1100 (%i13) mod(56^23-1,2915); (%o13) 1375 (%i14) mod(56^25-1,2915); (%o14) 935 (%i15) mod(56^27-1,2915); (%o15) 2805 (%i16) mod(56^29-1,2915); (%o16) 2145 (%i17) mod(56^31-1,2915); (%o17) 2035 (%i18) mod(56^33-1,2915); (%o18) 1045 (%i19) mod(56^35-1,2915); (%o19) 880 (%i20) mod(56^37-1,2915); (%o20) 2310 (%i21) mod(56^39-1,2915); (%o21) 605 (%i22) mod(56^41-1,2915); (%o22) 2750 (%i23) mod(56^43-1,2915); (%o23) 1650 (%i24) mod(56^45-1,2915); (%o24) 495 (%i25) mod(56^47-1,2915); (%o25) 1760 (%i26) mod(56^49-1,2915); (%o26) 1485 (%i27) mod(56^51-1,2915); (%o27) 1925 (%i28) mod(56^53-1,2915); (%o28) 55 (%i29) mod(56^55-1,2915); (%o29) 715 (%i30) mod(56^57-1,2915); (%o30) 825 より、0にならない。 よって、p(x-56)={56^(n+1)-1}/(56-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-56=53はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると53を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-58=51(=3x17)とすると、51は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=29なので、p(x-58)={58^(n+1)-1}/(58-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=49(=7x7)とすると、49は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=30なので、p(x-60)={60^(n+1)-1}/(60-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-62=47とすると、σ(x)の素因数分解に47が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=31なので、 {62^(n+1)-1}/(62-1)=47Pとおける。 62^m-1=61x47P=2867P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i34) mod(62^3-1,2867); (%o34) 366 (%i35) mod(62^5-1,2867); (%o35) 183 (%i36) mod(62^7-1,2867); (%o36) 2013 (%i37) mod(62^9-1,2867); (%o37) 915 (%i38) mod(62^11-1,2867); (%o38) 427 (%i39) mod(62^13-1,2867); (%o39) 2440 (%i40) mod(62^15-1,2867); (%o40) 2379 (%i41) mod(62^17-1,2867); (%o41) 122 (%i42) mod(62^19-1,2867); (%o42) 2623 (%i43) mod(62^21-1,2867); (%o43) 549 (%i44) mod(62^23-1,2867); (%o44) 1220 (%i45) mod(62^25-1,2867); (%o45) 244 (%i46) mod(62^27-1,2867); (%o46) 1403 (%i47) mod(62^29-1,2867); (%o47) 1281 (%i48) mod(62^31-1,2867); (%o48) 2501 (%i49) mod(62^33-1,2867); (%o49) 1769 (%i50) mod(62^35-1,2867); (%o50) 488 (%i51) mod(62^37-1,2867); (%o51) 1830 (%i52) mod(62^39-1,2867); (%o52) 2745 (%i53) mod(62^41-1,2867); (%o53) 2196 (%i54) mod(62^43-1,2867); (%o54) 1952 (%i55) mod(62^45-1,2867); (%o55) 1525 (%i56) mod(62^47-1,2867); (%o56) 61 (%i57) mod(62^49-1,2867); (%o57) 366 (%i58) mod(62^51-1,2867); (%o58) 183 より、0にならない。 よって、p(x-62)={62^(n+1)-1}/(62-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-62=47はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると47を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-64=45(=5x9)とすると、45は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=32なので、p(x-64)={64^(n+1)-1}/(64-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-66=43とすると、σ(x)の素因数分解に43が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=33なので、 {66^(n+1)-1}/(66-1)=43Pとおける。 66^m-1=65x43P=2795P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i2) mod(66^3-1,2795); (%o2) 2405 (%i3) mod(66^5-1,2795); (%o3) 2080 (%i4) mod(66^7-1,2795); (%o4) 650 (%i5) mod(66^9-1,2795); (%o5) 1625 (%i6) mod(66^11-1,2795); (%o6) 325 (%i7) mod(66^13-1,2795); (%o7) 195 (%i8) mod(66^15-1,2795); (%o8) 1300 (%i9) mod(66^17-1,2795); (%o9) 1690 (%i10) mod(66^19-1,2795); (%o10) 1170 (%i11) mod(66^21-1,2795); (%o11) 0 (%i12) mod(66^23-1,2795); (%o12) 1560 (%i13) mod(66^25-1,2795); (%o13) 2275 (%i14) mod(66^27-1,2795); (%o14) 390 (%i15) mod(66^29-1,2795); (%o15) 1040 (%i16) mod(66^31-1,2795); (%o16) 1105 (%i17) mod(66^33-1,2795); (%o17) 1950 (%i18) mod(66^35-1,2795); (%o18) 1755 (%i19) mod(66^37-1,2795); (%o19) 2015 (%i20) mod(66^39-1,2795); (%o20) 2600 (%i21) mod(66^41-1,2795); (%o21) 1820 (%i22) mod(66^43-1,2795); (%o22) 65 (%i23) mod(66^45-1,2795); (%o23) 2405 (%i24) mod(66^47-1,2795); (%o24) 2080 より、0になるときがある。 よって、p(x-66)={66^(n+1)-1}/(66-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-66=43はある。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると43を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-68=41とすると、σ(x)の素因数分解に41が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=34なので、 {68^(n+1)-1}/(68-1)=41Pとおける。 68^m-1=67x41P=2747P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i26) mod(68^3-1,2747); (%o26) 1273 (%i27) mod(68^5-1,2747); (%o27) 1407 (%i28) mod(68^7-1,2747); (%o28) 201 (%i29) mod(68^9-1,2747); (%o29) 67 (%i30) mod(68^11-1,2747); (%o30) 1273 (%i31) mod(68^13-1,2747); (%o31) 1407 より、0にならない。 よって、p(x-68)={68^(n+1)-1}/(68-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-68=41はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると41を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-70=39(=3x13)とすると、39は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=35なので、p(x-70)={70^(n+1)-1}/(70-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-72=37とすると、σ(x)の素因数分解に37が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=36なので、 {72^(n+1)-1}/(72-1)=37Pとおける。 72^m-1=71x37P=2627P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i33) mod(72^3-1,2627); (%o33) 213 (%i34) mod(72^5-1,2627); (%o34) 781 (%i35) mod(72^7-1,2627); (%o35) 426 (%i36) mod(72^9-1,2627); (%o36) 1633 (%i37) mod(72^11-1,2627); (%o37) 1207 (%i38) mod(72^13-1,2627); (%o38) 2130 (%i39) mod(72^15-1,2627); (%o39) 568 (%i40) mod(72^17-1,2627); (%o40) 2201 (%i41) mod(72^19-1,2627); (%o41) 852 (%i42) mod(72^21-1,2627); (%o42) 710 (%i43) mod(72^23-1,2627); (%o43) 142 (%i44) mod(72^25-1,2627); (%o44) 497 (%i45) mod(72^27-1,2627); (%o45) 1917 (%i46) mod(72^29-1,2627); (%o46) 2343 (%i47) mod(72^31-1,2627); (%o47) 1420 (%i48) mod(72^33-1,2627); (%o48) 355 (%i49) mod(72^35-1,2627); (%o49) 1349 (%i50) mod(72^37-1,2627); (%o50) 71 (%i51) mod(72^39-1,2627); (%o51) 213 (%i52) mod(72^41-1,2627); (%o52) 781 より、0にならない。 よって、p(x-72)={72^(n+1)-1}/(72-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-72=37はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると37を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-74=35(=5x7)とすると、35は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=37なので、p(x-74)={74^(n+1)-1}/(74-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-76=33(=3x11)とすると、33は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=38なので、p(x-76)={76^(n+1)-1}/(76-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-78=31とすると、σ(x)の素因数分解に31が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=39なので、 {78^(n+1)-1}/(78-1)=31Pとおける。 78^m-1=77x31P=2387P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i56) mod(78^3-1,2387); (%o56) 1925 (%i57) mod(78^5-1,2387); (%o57) 0 (%i58) mod(78^7-1,2387); (%o58) 1309 (%i59) mod(78^9-1,2387); (%o59) 2233 (%i60) mod(78^11-1,2387); (%o60) 77 (%i61) mod(78^13-1,2387); (%o61) 1925 (%i62) mod(78^15-1,2387); (%o62) 0 (%i63) mod(78^17-1,2387); (%o63) 1309 より、0になるときがある。 よって、p(x-78)={78^(n+1)-1}/(78-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-78=31はある。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると31を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-80=29とすると、σ(x)の素因数分解に29が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=40なので、 {80^(n+1)-1}/(80-1)=29Pとおける。 80^m-1=79x29P=2291P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i65) mod(80^3-1,2291); (%o65) 1106 (%i66) mod(80^5-1,2291); (%o66) 1027 (%i67) mod(80^7-1,2291); (%o67) 1738 (%i68) mod(80^9-1,2291); (%o68) 2212 (%i69) mod(80^11-1,2291); (%o69) 237 (%i70) mod(80^13-1,2291); (%o70) 1975 (%i71) mod(80^15-1,2291); (%o71) 79 (%i72) mod(80^17-1,2291); (%o72) 1106 (%i73) mod(80^19-1,2291); (%o73) 1027 より、0にならない。 よって、p(x-80)={80^(n+1)-1}/(80-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-80=29はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると29を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-82=27(3x9)とすると、27は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=41なので、p(x-82)={82^(n+1)-1}/(82-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-84=25(5x5)とすると、25は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=42なので、p(x-84)={84^(n+1)-1}/(84-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-86=23とすると、σ(x)の素因数分解に23が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=43なので、 {86^(n+1)-1}/(86-1)=23Pとおける。 86^m-1=85x23P=1955P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i75) mod(86^3-1,1955); (%o75) 680 (%i76) mod(86^5-1,1955); (%o76) 595 (%i77) mod(86^7-1,1955); (%o77) 1445 (%i78) mod(86^9-1,1955); (%o78) 765 (%i79) mod(86^11-1,1955); (%o79) 1700 (%i80) mod(86^13-1,1955); (%o80) 170 (%i81) mod(86^15-1,1955); (%o81) 1785 (%i82) mod(86^17-1,1955); (%o82) 1275 (%i83) mod(86^19-1,1955); (%o83) 510 (%i84) mod(86^21-1,1955); (%o84) 340 (%i85) mod(86^23-1,1955); (%o85) 85 (%i86) mod(86^25-1,1955); (%o86) 680 (%i87) mod(86^27-1,1955); (%o87) 595 より、0にならない。 よって、p(x-86)={86^(n+1)-1}/(86-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-86=23はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると23を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-88=21(3x7)とすると、21は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=44なので、p(x-88)={88^(n+1)-1}/(88-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-90=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=45なので、 {90^(n+1)-1}/(90-1)=19Pとおける。 90^m-1=89x19P=1691P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i90) mod(90^3-1,1691); (%o90) 178 (%i91) mod(90^5-1,1691); (%o91) 712 (%i92) mod(90^7-1,1691); (%o92) 534 (%i93) mod(90^9-1,1691); (%o93) 1157 (%i94) mod(90^11-1,1691); (%o94) 1513 (%i96) mod(90^13-1,1691); (%o96) 267 (%i97) mod(90^15-1,1691); (%o97) 1246 (%i98) mod(90^17-1,1691); (%o98) 356 (%i99) mod(90^19-1,1691); (%o99) 89 (%i100) mod(90^21-1,1691); (%o100) 178 (%i101) mod(90^23-1,1691); (%o101) 712 より、0にならない。 よって、p(x-90)={90^(n+1)-1}/(90-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-90=19はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると19を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-92=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=46なので、 {92^(n+1)-1}/(92-1)=17Pとおける。 92^m-1=91x17P=1547P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i103) mod(92^3-1,1547); (%o103) 546 (%i104) mod(92^5-1,1547); (%o104) 1183 (%i105) mod(92^7-1,1547); (%o105) 1456 (%i106) mod(92^9-1,1547); (%o106) 910 (%i107) mod(92^11-1,1547); (%o107) 455 (%i108) mod(92^13-1,1547); (%o108) 1365 (%i109) mod(92^15-1,1547); (%o109) 1092 (%i110) mod(92^17-1,1547); (%o110) 91 (%i111) mod(92^19-1,1547); (%o111) 546 (%i112) mod(92^21-1,1547); (%o112) 1183 より、0にならない。 よって、p(x-92)={92^(n+1)-1}/(92-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-92=17はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-94=15(3x5)とすると、15は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=47なので、p(x-94)={94^(n+1)-1}/(94-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-96=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=48なので、 {96^(n+1)-1}/(96-1)=13Pとおける。 96^m-1=95x13P=1235P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i116) mod(96^3-1,1235); (%o116) 475 (%i117) mod(96^5-1,1235); (%o117) 95 (%i118) mod(96^7-1,1235); (%o118) 475 (%i119) mod(96^9-1,1235); (%o119) 95 より、0にならない。 よって、p(x-96)={96^(n+1)-1}/(96-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-96=13はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると13を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-98=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=49なので、 {98^(n+1)-1}/(98-1)=11Pとおける。 98^m-1=97x11P=1067P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i121) mod(98^3-1,1067); (%o121) 97 (%i122) mod(98^5-1,1067); (%o122) 97 (%i123) mod(98^7-1,1067); (%o123) 97 (%i124) mod(98^9-1,1067); (%o124) 97 より、0にならない。 よって、p(x-98)={98^(n+1)-1}/(98-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-98=11はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると11を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-100=9(3x3)とすると、9は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=50なので、p(x-100)={100^(n+1)-1}/(100-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-102=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=51なので、 {102^(n+1)-1}/(102-1)=7Pとおける。 102^m-1=101x7P=707P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i125) mod(102^3-1,707); (%o125) 0 (%i126) mod(102^5-1,707); (%o126) 505 (%i127) mod(102^7-1,707); (%o127) 101 (%i128) mod(102^9-1,707); (%o128) 0 (%i129) mod(102^11-1,707); (%o129) 505 (%i130) mod(102^13-1,707); (%o130) 101 より、0になるときがある。 よって、p(x-102)={102^(n+1)-1}/(102-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-102=7はある。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると7を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-104=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=52なので、 {104^(n+1)-1}/(104-1)=5Pとおける。 104^m-1=105x5P=525P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i131) mod(104^3-1,525); (%o131) 313 (%i132) mod(104^5-1,525); (%o132) 523 (%i133) mod(104^7-1,525); (%o133) 208 (%i134) mod(104^9-1,525); (%o134) 418 (%i135) mod(104^11-1,525); (%o135) 103 (%i136) mod(104^13-1,525); (%o136) 313 (%i137) mod(104^15-1,525); (%o137) 523 より、0にならない。 よって、p(x-104)={104^(n+1)-1}/(104-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-104=5はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると5を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-106=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=53なので、 {106^(n+1)-1}/(106-1)=3Pとおける。 106^m-1=105x3P=315P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i138) mod(106^3-1,315); (%o138) 0 (%i139) mod(106^5-1,315); (%o139) 210 (%i140) mod(106^7-1,315); (%o140) 105 (%i141) mod(106^9-1,315); (%o141) 0 (%i143) mod(106^11-1,315); (%o143) 210 (%i144) mod(106^13-1,315); (%o144) 105 (%i145) mod(106^15-1,315); (%o145) 0 より、0になるときがある。 よって、p(x-106)={106^(n+1)-1}/(106-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-106=3はある。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると3を含む。 (x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=107なら、σ(x)を素因数分解した時、 ,107,103,101,97,89,79,73,67,61,59,53,47,41,37,29,23,19,17,13,11,5は現れない、と言える。 (%i146) x:109; (%o146) 109 (%i147) factor(1+x+x^2); (%o147) 3 7 571 (%i148) factor(1+x+x^2+x^3+x^4); (%o148) 31 191 24061 (%i149) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6); (%o149) 113 281 53306107 (%i150) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8); 2 (%o150) 3 7 571 8803 63504919 (%i151) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10); (%o151) 9967 23971944503021153 (%i152) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12); (%o152) 292631 9700639967080761011 (%i153) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14); (%o153) 3 7 31 191 571 5851 24061 3374267262211 (%i154) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16); (%o154) 400706797255068758036954693985521 (%i155) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18); (%o155) 1787 2664128404134007786366568953129253 (%i156) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20); 2 (%o156) 3 7 43 113 281 421 571 977047 53306107 22508757442543 (%i157) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22); (%o157) 5521 7039 454297 38064235872382907707458203006837 (%i158) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24); (%o158) 31 191 4801 24061 393401 315696107101 93992579148143730601 (%i159) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26); 3 (%o159) 3 7 571 3079 8803 30133 121447 63504919 457824529 304801990738057 (%i160) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28); (%o160) 7193 73951 22601114563 93747720530583417795580950351920580529 (%i161) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30); (%o161) 373 209623 118912328583511 1440200751174422889911703613921323318079 (%i162) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32); (%o162) 3 7 571 9967 23971944503021153 55529984431635298564528081661674952795401 (%i163) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32+x^33+x^34); (%o163) 31 71 113 191 211 281 4691 24061 53306107 66405431 1679667702197080936565260916958281