x=131では、x-2=129(3x43),x-4=127が考えられます。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=129(=3x43)とすると、125は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=1なので、p(x-2)={2^(n+1)-1}/(2-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=127とすると、σ(x)の素因数分解に127が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、 {4^(n+1)-1}/(4-1)=127Pとおける。 4^m-1=3x127P=381P nは偶数なのでmは奇数。 (%i3) mod(4^3-1,381); (%o3) 63 (%i4) mod(4^5-1,381); (%o4) 261 (%i5) mod(4^7-1,381); (%o5) 0 (%i6) mod(4^9-1,381); (%o6) 15 (%i7) mod(4^11-1,381); (%o7) 255 (%i8) mod(4^13-1,381); (%o8) 285 (%i9) mod(4^15-1,381); (%o9) 3 (%i10) mod(4^17-1,381); (%o10) 63 (%i12) mod(4^19-1,381); (%o12) 261 より、0になるときがある。 よって、p(x-4)={4^(n+1)-1}/(4-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=127はある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると127を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=125(=5^3)とすると、125は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、p(x-6)={6^(n+1)-1}/(6-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=123(=3x41)とすると、123は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、p(x-8)={8^(n+1)-1}/(8-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=121(=11^2)とすると、121は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、p(x-10)={10^(n+1)-1}/(10-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=119(=7x17)とすると、119は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、p(x-12)={12^(n+1)-1}/(12-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=117(=3^2x13)とすると、117は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、p(x-14)={14^(n+1)-1}/(14-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=115(=5x23)とすると、115は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、p(x-16)={16^(n+1)-1}/(16-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=113とすると、σ(x)の素因数分解に113が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、 {18^(n+1)-1}/(18-1)=113Pとおける。 18^m-1=17x113P=1921P nは偶数なのでmは奇数。 (%i14) mod(18^3-1,1921); (%o14) 68 (%i15) mod(18^5-1,1921); (%o15) 1224 (%i16) mod(18^7-1,1921); (%o16) 1173 (%i17) mod(18^9-1,1921); (%o17) 17 (%i18) mod(18^11-1,1921); (%o18) 68 (%i19) mod(18^13-1,1921); (%o19) 1224 より、0にならない。 よって、p(x-18)={18^(n+1)-1}/(18-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=113はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると113を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=111(=3x37)とすると、111は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、p(x-20)={20^(n+1)-1}/(20-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=109とすると、σ(x)の素因数分解に109が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=11なので、 {22^(n+1)-1}/(22-1)=109Pとおける。 22^m-1=21x109P=2289P nは偶数なのでmは奇数。 (%i2) mod(22^3-1,2289); (%o2) 1491 (%i3) mod(22^5-1,2289); (%o3) 1092 (%i4) mod(22^7-1,2289); (%o4) 252 (%i5) mod(22^8-1,2289); (%o5) 987 (%i6) mod(22^9-1,2289); (%o6) 1134 (%i7) mod(22^11-1,2289); (%o7) 2268 (%i8) mod(22^13-1,2289); (%o8) 1764 (%i10) mod(22^15-1,2289); (%o10) 462 (%i11) mod(22^17-1,2289); (%o11) 2058 (%i12) mod(22^19-1,2289); (%o12) 840 (%i13) mod(22^21-1,2289); (%o13) 1890 (%i14) mod(22^23-1,2289); (%o14) 1932 (%i15) mod(22^25-1,2289); (%o15) 1659 (%i16) mod(22^27-1,2289); (%o16) 0 (%i17) mod(22^29-1,2289); (%o17) 483 (%i18) mod(22^31-1,2289); (%o18) 777 (%i19) mod(22^33-1,2289); (%o19) 1155 (%i20) mod(22^35-1,2289); (%o20) 987 (%i21) mod(22^37-1,2289); (%o21) 2079 (%i22) mod(22^39-1,2289); (%o22) 1848 (%i23) mod(22^41-1,2289); (%o23) 2205 (%i24) mod(22^43-1,2289); (%o24) 1029 (%i25) mod(22^45-1,2289); (%o25) 1806 (%i26) mod(22^47-1,2289); (%o26) 189 (%i27) mod(22^49-1,2289); (%o27) 399 (%i28) mod(22^51-1,2289); (%o28) 1323 (%i29) mod(22^53-1,2289); (%o29) 2184 (%i30) mod(22^55-1,2289); (%o30) 21 (%i31) mod(22^57-1,2289); (%o31) 1491 (%i32) mod(22^59-1,2289); (%o32) 1092 より、0になるときがある。 よって、p(x-22)={22^(n+1)-1}/(22-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=109はある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると109を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=107とすると、σ(x)の素因数分解に107が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=12なので、 {24^(n+1)-1}/(24-1)=107Pとおける。 24^m-1=23x107P=2461P nは偶数なのでmは奇数。 (%i35) mod(24^3-1,2461); (%o35) 1518 (%i36) mod(24^5-1,2461); (%o36) 1288 (%i37) mod(24^7-1,2461); (%o37) 1702 (%i38) mod(24^9-1,2461); (%o38) 1449 (%i39) mod(24^11-1,2461); (%o39) 920 (%i40) mod(24^13-1,2461); (%o40) 1380 (%i41) mod(24^15-1,2461); (%o41) 552 (%i42) mod(24^17-1,2461); (%o42) 1058 (%i43) mod(24^19-1,2461); (%o43) 2116 (%i44) mod(24^21-1,2461); (%o44) 1196 (%i45) mod(24^23-1,2461); (%o45) 391 (%i46) mod(24^25-1,2461); (%o46) 1840 (%i47) mod(24^27-1,2461); (%o47) 2185 (%i48) mod(24^29-1,2461); (%o48) 1564 (%i49) mod(24^31-1,2461); (%o49) 713 (%i50) mod(24^33-1,2461); (%o50) 276 (%i51) mod(24^35-1,2461); (%o51) 2047 (%i52) mod(24^37-1,2461); (%o52) 828 (%i53) mod(24^39-1,2461); (%o53) 69 (%i54) mod(24^41-1,2461); (%o54) 943 (%i55) mod(24^43-1,2461); (%o55) 2323 (%i56) mod(24^45-1,2461); (%o56) 2300 (%i57) mod(24^47-1,2461); (%o57) 1357 (%i58) mod(24^49-1,2461); (%o58) 2070 (%i59) mod(24^51-1,2461); (%o59) 1771 (%i60) mod(24^53-1,2461); (%o60) 1817 (%i61) mod(24^55-1,2461); (%o61) 1242 (%i62) mod(24^57-1,2461); (%o62) 2277 (%i63) mod(24^59-1,2461); (%o63) 414 (%i64) mod(24^61-1,2461); (%o64) 322 (%i65) mod(24^63-1,2461); (%o65) 1472 (%i66) mod(24^65-1,2461); (%o66) 1863 (%i67) mod(24^67-1,2461); (%o67) 667 (%i68) mod(24^69-1,2461); (%o68) 851 (%i69) mod(24^71-1,2461); (%o69) 1012 (%i70) mod(24^73-1,2461); (%o70) 230 (%i71) mod(24^75-1,2461); (%o71) 161 (%i72) mod(24^77-1,2461); (%o72) 2254 (%i73) mod(24^79-1,2461); (%o73) 1932 (%i74) mod(24^81-1,2461); (%o74) 1035 (%i75) mod(24^83-1,2461); (%o75) 1173 (%i76) mod(24^85-1,2461); (%o76) 1909 (%i77) mod(24^87-1,2461); (%o77) 92 (%i78) mod(24^89-1,2461); (%o78) 1886 (%i79) mod(24^91-1,2461); (%o79) 1610 (%i80) mod(24^93-1,2461); (%o80) 138 (%i81) mod(24^95-1,2461); (%o81) 1311 (%i82) mod(24^97-1,2461); (%o82) 184 (%i83) mod(24^99-1,2461); (%o83) 736 (%i84) mod(24^101-1,2461); (%o84) 1219 (%i85) mod(24^103-1,2461); (%o85) 1334 (%i86) mod(24^105-1,2461); (%o86) 1127 (%i87) mod(24^107-1,2461); (%o87) 23 (%i88) mod(24^109-1,2461); (%o88) 1518 (%i89) mod(24^111-1,2461); (%o89) 1288 より、0にならない。 よって、p(x-24)={24^(n+1)-1}/(24-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=107はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると107を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=105(=3x5x7)とすると、105は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=13なので、p(x-26)={26^(n+1)-1}/(26-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=103とすると、σ(x)の素因数分解に103が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=14なので、 {28^(n+1)-1}/(28-1)=103Pとおける。 28^m-1=27x103P=2781P nは偶数なのでmは奇数。 (%i81) mod(28^3-1,2781); (%o81) 2484 (%i82) mod(28^5-1,2781); (%o82) 1539 (%i83) mod(28^7-1,2781); (%o83) 405 (%i84) mod(28^9-1,2781); (%o84) 1269 (%i85) mod(28^11-1,2781); (%o85) 81 (%i86) mod(28^13-1,2781); (%o86) 324 (%i87) mod(28^15-1,2781); (%o87) 1728 (%i88) mod(28^17-1,2781); (%o88) 1188 (%i89) mod(28^19-1,2781); (%o89) 540 (%i90) mod(28^21-1,2781); (%o90) 1431 (%i91) mod(28^23-1,2781); (%o91) 1944 (%i92) mod(28^25-1,2781); (%o92) 891 (%i93) mod(28^27-1,2781); (%o93) 1296 (%i94) mod(28^29-1,2781); (%o94) 1782 (%i95) mod(28^31-1,2781); (%o95) 1809 (%i96) mod(28^33-1,2781); (%o96) 729 (%i97) mod(28^35-1,2781); (%o97) 2214 (%i98) mod(28^37-1,2781); (%o98) 1215 (%i99) mod(28^39-1,2781); (%o99) 2241 (%i100) mod(28^41-1,2781); (%o100) 135 (%i101) mod(28^43-1,2781); (%o101) 945 (%i102) mod(28^45-1,2781); (%o102) 1917 (%i103) mod(28^47-1,2781); (%o103) 1971 (%i104) mod(28^49-1,2781); (%o104) 2592 (%i105) mod(28^51-1,2781); (%o105) 0 (%i106) mod(28^53-1,2781); (%o106) 783 (%i107) mod(28^55-1,2781); (%o107) 54 (%i108) mod(28^57-1,2781); (%o108) 1404 (%i109) mod(28^59-1,2781); (%o109) 243 (%i110) mod(28^61-1,2781); (%o110) 2187 (%i111) mod(28^63-1,2781); (%o111) 2295 (%i112) mod(28^65-1,2781); (%o112) 756 (%i113) mod(28^67-1,2781); (%o113) 1134 (%i114) mod(28^69-1,2781); (%o114) 2700 (%i115) mod(28^71-1,2781); (%o115) 1242 (%i116) mod(28^73-1,2781); (%o116) 1161 (%i117) mod(28^75-1,2781); (%o117) 1620 (%i118) mod(28^77-1,2781); (%o118) 2727 (%i119) mod(28^79-1,2781); (%o119) 162 (%i120) mod(28^81-1,2781); (%o120) 2646 (%i121) mod(28^83-1,2781); (%o121) 621 (%i122) mod(28^85-1,2781); (%o122) 972 (%i123) mod(28^87-1,2781); (%o123) 837 (%i124) mod(28^89-1,2781); (%o124) 675 (%i125) mod(28^91-1,2781); (%o125) 1593 (%i126) mod(28^93-1,2781); (%o126) 1026 (%i127) mod(28^95-1,2781); (%o127) 1458 (%i128) mod(28^97-1,2781); (%o128) 864 (%i129) mod(28^99-1,2781); (%o129) 2376 (%i130) mod(28^101-1,2781); (%o130) 297 (%i131) mod(28^103-1,2781); (%o131) 27 (%i132) mod(28^105-1,2781); (%o132) 2484 (%i133) mod(28^107-1,2781); (%o133) 1539 より、0になるときがある。 よって、p(x-28)={28^(n+1)-1}/(28-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=103ある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると103を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=101とすると、σ(x)の素因数分解に101が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=15なので、 {30^(n+1)-1}/(30-1)=101Pとおける。 30^m-1=29x101P=2929P nは偶数なのでmは奇数。 (%i5) mod(30^3-1,2929); (%o5) 638 (%i6) mod(30^5-1,2929); (%o6) 1015 (%i7) mod(30^7-1,2929); (%o7) 551 (%i8) mod(30^9-1,2929); (%o8) 1798 (%i9) mod(30^11-1,2929); (%o9) 2291 (%i10) mod(30^13-1,2929); (%o10) 783 (%i11) mod(30^15-1,2929); (%o11) 2639 (%i12) mod(30^17-1,2929); (%o12) 580 (%i13) mod(30^19-1,2929); (%o13) 1537 (%i14) mod(30^21-1,2929); (%o14) 1711 (%i15) mod(30^23-1,2929); (%o15) 145 (%i16) mod(30^25-1,2929); (%o16) 2523 (%i17) mod(30^27-1,2929); (%o17) 1624 (%i18) mod(30^29-1,2929); (%o18) 928 (%i19) mod(30^31-1,2929); (%o19) 1334 (%i20) mod(30^33-1,2929); (%o20) 609 (%i21) mod(30^35-1,2929); (%o21) 1276 (%i22) mod(30^37-1,2929); (%o22) 1131 (%i23) mod(30^39-1,2929); (%o23) 2436 (%i24) mod(30^41-1,2929); (%o24) 2407 (%i25) mod(30^43-1,2929); (%o25) 2668 (%i26) mod(30^45-1,2929); (%o26) 319 (%i27) mod(30^47-1,2929); (%o27) 957 (%i28) mod(30^49-1,2929); (%o28) 1073 (%i29) mod(30^51-1,2929); (%o29) 29 (%i30) mod(30^53-1,2929); (%o30) 638 (%i31) mod(30^55-1,2929); (%o31) 1015 より、0にならない。 よって、p(x-30)={30^(n+1)-1}/(30-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=101はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると101を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-32=99(=3x33)とすると、99は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=16なので、p(x-32)={32^(n+1)-1}/(32-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=97とすると、σ(x)の素因数分解に97が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=17なので、 {34^(n+1)-1}/(34-1)=97Pとおける。 34^m-1=33x97P=3201P nは偶数なのでmは奇数。 (%i33) mod(34^3-1,3201); (%o33) 891 (%i34) mod(34^5-1,3201); (%o34) 429 (%i35) mod(34^7-1,3201); (%o35) 924 (%i36) mod(34^9-1,3201); (%o36) 165 (%i37) mod(34^11-1,3201); (%o37) 3036 (%i38) mod(34^13-1,3201); (%o38) 2475 (%i39) mod(34^15-1,3201); (%o39) 561 (%i40) mod(34^17-1,3201); (%o40) 3069 (%i41) mod(34^19-1,3201); (%o41) 2211 (%i42) mod(34^21-1,3201); (%o42) 2673 (%i43) mod(34^23-1,3201); (%o43) 2178 (%i44) mod(34^25-1,3201); (%o44) 2937 (%i45) mod(34^27-1,3201); (%o45) 66 (%i46) mod(34^29-1,3201); (%o46) 627 (%i47) mod(34^31-1,3201); (%o47) 2541 (%i48) mod(34^33-1,3201); (%o48) 33 (%i49) mod(34^35-1,3201); (%o49) 891 (%i50) mod(34^37-1,3201); (%o50) 429 より、0にならない。 よって、p(x-34)={34^(n+1)-1}/(34-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=97はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると97を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=95(=5x19)とすると、95は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=18なので、p(x-36)={36^(n+1)-1}/(36-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-38=93(=3x31)とすると、93は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=19なので、p(x-38)={38^(n+1)-1}/(38-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=91(=7x13)とすると、91は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=20なので、p(x-40)={40^(n+1)-1}/(40-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=89とすると、σ(x)の素因数分解に89が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=21なので、 {42^(n+1)-1}/(42-1)=89Pとおける。 42^m-1=41x89P=3649P nは偶数なのでmは奇数。 (%i111) mod(42^3-1,3649); (%o111) 1107 (%i112) mod(42^5-1,3649); (%o112) 2296 (%i113) mod(42^7-1,3649); (%o113) 1517 (%i114) mod(42^9-1,3649); (%o114) 3034 (%i115) mod(42^11-1,3649); (%o115) 656 (%i116) mod(42^13-1,3649); (%o116) 2214 (%i117) mod(42^15-1,3649); (%o117) 2829 (%i118) mod(42^17-1,3649); (%o118) 287 (%i119) mod(42^19-1,3649); (%o119) 820 (%i120) mod(42^21-1,3649); (%o120) 3239 (%i121) mod(42^23-1,3649); (%o121) 1025 (%i122) mod(42^25-1,3649); (%o122) 3608 (%i123) mod(42^27-1,3649); (%o123) 2419 (%i124) mod(42^29-1,3649); (%o124) 3198 (%i125) mod(42^31-1,3649); (%o125) 1681 (%i126) mod(42^33-1,3649); (%o126) 410 (%i127) mod(42^35-1,3649); (%o127) 2501 (%i128) mod(42^37-1,3649); (%o128) 1886 (%i129) mod(42^39-1,3649); (%o129) 779 (%i130) mod(42^41-1,3649); (%o130) 246 (%i131) mod(42^43-1,3649); (%o131) 1476 (%i132) mod(42^45-1,3649); (%o132) 41 (%i133) mod(42^47-1,3649); (%o133) 1107 (%i134) mod(42^49-1,3649); (%o134) 2296 より、0にならない。 よって、p(x-42)={42^(n+1)-1}/(42-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=89はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると89を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-44=87(=3x29)とすると、87は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=22なので、p(x-44)={44^(n+1)-1}/(44-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-46=85(=5x17)とすると、85は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=23なので、p(x-46)={46^(n+1)-1}/(46-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=83とすると、σ(x)の素因数分解に83が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=24なので、 {48^(n+1)-1}/(48-1)=83Pとおける。 48^m-1=47x83P=3901P nは偶数なのでmは奇数。 (%i136) mod(48^3-1,3901); (%o136) 1363 (%i137) mod(48^5-1,3901); (%o137) 2350 (%i138) mod(48^7-1,3901); (%o138) 2115 (%i139) mod(48^9-1,3901); (%o139) 2914 (%i140) mod(48^11-1,3901); (%o140) 2538 (%i141) mod(48^13-1,3901); (%o141) 2256 (%i142) mod(48^15-1,3901); (%o142) 94 (%i143) mod(48^17-1,3901); (%o143) 423 (%i144) mod(48^19-1,3901); (%o144) 1645 (%i145) mod(48^21-1,3901); (%o145) 611 (%i146) mod(48^23-1,3901); (%o146) 1786 (%i147) mod(48^25-1,3901); (%o147) 1692 (%i148) mod(48^27-1,3901); (%o148) 3572 (%i149) mod(48^29-1,3901); (%o149) 1081 (%i150) mod(48^31-1,3901); (%o150) 188 (%i151) mod(48^33-1,3901); (%o151) 2444 (%i152) mod(48^35-1,3901); (%o152) 235 (%i153) mod(48^37-1,3901); (%o153) 1504 (%i154) mod(48^39-1,3901); (%o154) 3431 (%i155) mod(48^41-1,3901); (%o155) 0 (%i156) mod(48^43-1,3901); (%o156) 2303 (%i157) mod(48^45-1,3901); (%o157) 3055 (%i158) mod(48^47-1,3901); (%o158) 3619 (%i159) mod(48^49-1,3901); (%o159) 141 (%i160) mod(48^51-1,3901); (%o160) 3384 (%i161) mod(48^53-1,3901); (%o161) 940 (%i162) mod(48^55-1,3901); (%o162) 3008 (%i163) mod(48^57-1,3901); (%o163) 658 (%i164) mod(48^59-1,3901); (%o164) 846 (%i165) mod(48^61-1,3901); (%o165) 987 (%i166) mod(48^63-1,3901); (%o166) 2068 (%i167) mod(48^65-1,3901); (%o167) 3854 (%i168) mod(48^67-1,3901); (%o168) 3243 (%i169) mod(48^69-1,3901); (%o169) 3760 (%i170) mod(48^71-1,3901); (%o170) 1222 (%i171) mod(48^73-1,3901); (%o171) 1269 (%i172) mod(48^75-1,3901); (%o172) 329 (%i173) mod(48^77-1,3901); (%o173) 3525 (%i174) mod(48^79-1,3901); (%o174) 2021 (%i175) mod(48^81-1,3901); (%o175) 893 (%i176) mod(48^83-1,3901); (%o176) 47 (%i192) mod(48^85-1,3901); (%o192) 1363 (%i178) mod(48^87-1,3901); (%o178) 2350 より、0になるときがある。 よって、p(x-48)={48^(n+1)-1}/(48-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=83はある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると83を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-50=81(=3^4)とすると、81は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=25なので、p(x-50)={50^(n+1)-1}/(50-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=79とすると、σ(x)の素因数分解に79が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=26なので、 {52^(n+1)-1}/(52-1)=79Pとおける。 52^m-1=51x79P=4029P nは偶数なのでmは奇数。 (%i194) mod(52^3-1,4029); (%o194) 3621 (%i195) mod(52^5-1,4029); (%o195) 3417 (%i196) mod(52^7-1,4029); (%o196) 3774 (%i197) mod(52^9-1,4029); (%o197) 2142 (%i198) mod(52^11-1,4029); (%o198) 969 (%i199) mod(52^13-1,4029); (%o199) 0 (%i200) mod(52^15-1,4029); (%o200) 2703 (%i201) mod(52^17-1,4029); (%o201) 3009 (%i202) mod(52^19-1,4029); (%o202) 459 (%i203) mod(52^21-1,4029); (%o203) 2907 (%i204) mod(52^23-1,4029); (%o204) 2652 (%i205) mod(52^25-1,4029); (%o205) 2091 (%i206) mod(52^27-1,4029); (%o206) 51 (%i207) mod(52^29-1,4029); (%o207) 3621 (%i208) mod(52^31-1,4029); (%o208) 3417 (%i209) mod(52^33-1,4029); (%o209) 3774 (%i211) mod(52^35-1,4029); (%o211) 2142 (%i210) mod(52^37-1,4029); (%o210) 969 (%i213) mod(52^39-1,4029); (%o213) 0 (%i214) mod(52^41-1,4029); (%o214) 2703 (%i215) mod(52^43-1,4029); (%o215) 3009 (%i216) mod(52^45-1,4029); (%o216) 459 (%i217) mod(52^47-1,4029); (%o217) 2907 (%i218) mod(52^49-1,4029); (%o218) 2652 (%i219) mod(52^51-1,4029); (%o219) 2091 (%i220) mod(52^53-1,4029); (%o220) 51 (%i221) mod(52^55-1,4029); (%o221) 3621 (%i222) mod(52^57-1,4029); (%o222) 3417 より、0になるときがある。 よって、p(x-52)={52^(n+1)-1}/(52-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=79はある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると79を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=77(=7x11)とすると、77は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=27なので、p(x-54)={54^(n+1)-1}/(54-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-56=75(=3x5^2)とすると、75は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=28なので、p(x-56)={56^(n+1)-1}/(56-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-58=73とすると、σ(x)の素因数分解に73が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=29なので、 {58^(n+1)-1}/(58-1)=73Pとおける。 58^m-1=57x73P=4161P nは偶数なのでmは奇数。 (%i224) mod(58^3-1,4161); (%o224) 3705 (%i225) mod(58^5-1,4161); (%o225) 627 (%i226) mod(58^7-1,4161); (%o226) 2964 (%i227) mod(58^9-1,4161); (%o227) 342 (%i228) mod(58^11-1,4161); (%o228) 1254 (%i229) mod(58^13-1,4161); (%o229) 2565 (%i230) mod(58^15-1,4161); (%o230) 2109 (%i231) mod(58^17-1,4161); (%o231) 3534 (%i232) mod(58^19-1,4161); (%o232) 3762 (%i233) mod(58^21-1,4161); (%o233) 969 (%i234) mod(58^23-1,4161); (%o234) 855 (%i235) mod(58^25-1,4161); (%o235) 171 (%i236) mod(58^27-1,4161); (%o236) 228 (%i237) mod(58^29-1,4161); (%o237) 570 (%i238) mod(58^31-1,4161); (%o238) 2622 (%i239) mod(58^33-1,4161); (%o239) 2451 (%i240) mod(58^35-1,4161); (%o240) 1425 (%i241) mod(58^37-1,4161); (%o241) 3591 (%i242) mod(58^39-1,4161); (%o242) 4104 (%i243) mod(58^41-1,4161); (%o243) 3021 (%i244) mod(58^43-1,4161); (%o244) 684 (%i245) mod(58^45-1,4161); (%o245) 3306 (%i246) mod(58^47-1,4161); (%o246) 2394 (%i247) mod(58^49-1,4161); (%o247) 1083 (%i248) mod(58^51-1,4161); (%o248) 1539 (%i249) mod(58^53-1,4161); (%o249) 114 (%i250) mod(58^55-1,4161); (%o250) 4047 (%i251) mod(58^57-1,4161); (%o251) 2679 (%i252) mod(58^59-1,4161); (%o252) 2793 (%i253) mod(58^61-1,4161); (%o253) 3477 (%i254) mod(58^63-1,4161); (%o254) 3420 (%i255) mod(58^65-1,4161); (%o255) 3078 (%i256) mod(58^67-1,4161); (%o256) 1026 (%i257) mod(58^69-1,4161); (%o257) 1197 (%i258) mod(58^71-1,4161); (%o258) 2223 (%i259) mod(58^73-1,4161); (%o259) 57 (%i260) mod(58^75-1,4161); (%o260) 3705 (%i261) mod(58^77-1,4161); (%o261) 627 より、0にならない。 よって、p(x-58)={58^(n+1)-1}/(58-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-58=73はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると73を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=71とすると、σ(x)の素因数分解に71が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=30なので、 {60^(n+1)-1}/(60-1)=71Pとおける。 60^m-1=59x71P=4189P nは偶数なのでmは奇数。 (%i263) mod(60^3-1,4189); (%o263) 2360 (%i264) mod(60^5-1,4189); (%o264) 118 (%i265) mod(60^7-1,4189); (%o265) 1121 (%i266) mod(60^9-1,4189); (%o266) 1003 (%i267) mod(60^11-1,4189); (%o267) 3481 (%i268) mod(60^13-1,4189); (%o268) 1711 (%i269) mod(60^15-1,4189); (%o269) 1180 (%i270) mod(60^17-1,4189); (%o270) 3953 (%i271) mod(60^19-1,4189); (%o271) 177 (%i272) mod(60^21-1,4189); (%o272) 4071 (%i273) mod(60^23-1,4189); (%o273) 1888 (%i274) mod(60^25-1,4189); (%o274) 1652 (%i275) mod(60^27-1,4189); (%o275) 2419 (%i276) mod(60^29-1,4189); (%o276) 3068 (%i277) mod(60^31-1,4189); (%o277) 2006 (%i278) mod(60^33-1,4189); (%o278) 3363 (%i279) mod(60^35-1,4189); (%o279) 0 (%i280) mod(60^37-1,4189); (%o280) 3599 (%i281) mod(60^39-1,4189); (%o281) 3422 (%i282) mod(60^41-1,4189); (%o282) 2950 (%i283) mod(60^43-1,4189); (%o283) 295 (%i284) mod(60^45-1,4189); (%o284) 1593 (%i285) mod(60^47-1,4189); (%o285) 3658 (%i286) mod(60^49-1,4189); (%o286) 2183 (%i287) mod(60^51-1,4189); (%o287) 3835 (%i288) mod(60^53-1,4189); (%o288) 2655 (%i289) mod(60^55-1,4189); (%o289) 2301 (%i290) mod(60^57-1,4189); (%o290) 1357 (%i291) mod(60^59-1,4189); (%o291) 236 (%i292) mod(60^61-1,4189); (%o292) 2832 (%i293) mod(60^63-1,4189); (%o293) 2773 (%i294) mod(60^65-1,4189); (%o294) 4012 (%i295) mod(60^67-1,4189); (%o295) 3127 (%i296) mod(60^69-1,4189); (%o296) 767 (%i297) mod(60^71-1,4189); (%o297) 59 (%i298) mod(60^73-1,4189); (%o298) 2360 (%i299) mod(60^75-1,4189); (%o299) 118 より、0になるときがある。 よって、p(x-60)={60^(n+1)-1}/(60-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=71はある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると71を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-62=69(=3x23)とすると、69は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=31なので、p(x-62)={62^(n+1)-1}/(62-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-64=67とすると、σ(x)の素因数分解に67が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=32なので、 {64^(n+1)-1}/(64-1)=67Pとおける。 64^m-1=63x67P=4221P nは偶数なのでmは奇数。 (%i301) mod(64^3-1,4221); (%o301) 441 (%i302) mod(64^5-1,4221); (%o302) 3843 (%i303) mod(64^7-1,4221); (%o303) 693 (%i304) mod(64^9-1,4221); (%o304) 1890 (%i305) mod(64^11-1,4221); (%o305) 0 (%i306) mod(64^13-1,4221); (%o306) 4095 (%i307) mod(64^15-1,4221); (%o307) 2961 (%i308) mod(64^17-1,4221); (%o308) 1197 (%i309) mod(64^19-1,4221); (%o309) 2205 (%i310) mod(64^21-1,4221); (%o310) 2835 (%i311) mod(64^23-1,4221); (%o311) 63 (%i312) mod(64^25-1,4221); (%o312) 441 (%i313) mod(64^27-1,4221); (%o313) 3843 より、0になるときがある。 よって、p(x-64)={64^(n+1)-1}/(64-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-64=67はある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると67を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-66=65(=5x13)とすると、65は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=33なので、p(x-66)={66^(n+1)-1}/(66-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-68=63(=3x21)とすると、63は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=34なので、p(x-68)={68^(n+1)-1}/(68-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-70=61とすると、σ(x)の素因数分解に61が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=35なので、 {70^(n+1)-1}/(70-1)=61Pとおける。 70^m-1=69x61P=4209P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i315) mod(70^3-1,4209); (%o315) 2070 (%i316) mod(70^5-1,4209); (%o316) 0 (%i317) mod(70^7-1,4209); (%o317) 690 (%i318) mod(70^9-1,4209); (%o318) 1863 (%i319) mod(70^11-1,4209); (%o319) 69 (%i320) mod(70^13-1,4209); (%o320) 2070 (%i321) mod(70^15-1,4209); (%o321) 0 より、0になるときがある。 よって、p(x-70)={70^(n+1)-1}/(70-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-70=61はある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると61を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-72=59とすると、σ(x)の素因数分解に59が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=36なので、 {72^(n+1)-1}/(72-1)=59Pとおける。 72^m-1=71x59P=4189P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i323) mod(72^3-1,4189); (%o323) 426 (%i324) mod(72^5-1,4189); (%o324) 1775 (%i325) mod(72^7-1,4189); (%o325) 3550 (%i326) mod(72^9-1,4189); (%o326) 1917 (%i327) mod(72^11-1,4189); (%o327) 2414 (%i328) mod(72^13-1,4189); (%o328) 2627 (%i329) mod(72^15-1,4189); (%o329) 923 (%i330) mod(72^17-1,4189); (%o330) 1988 (%i331) mod(72^19-1,4189); (%o331) 1846 (%i332) mod(72^21-1,4189); (%o332) 2982 (%i333) mod(72^23-1,4189); (%o333) 2272 (%i334) mod(72^25-1,4189); (%o334) 3763 (%i335) mod(72^27-1,4189); (%o335) 213 (%i336) mod(72^29-1,4189); (%o336) 3479 (%i337) mod(72^31-1,4189); (%o337) 2485 (%i338) mod(72^33-1,4189); (%o338) 2059 (%i339) mod(72^35-1,4189); (%o339) 1278 (%i340) mod(72^37-1,4189); (%o340) 3337 (%i341) mod(72^39-1,4189); (%o341) 3621 (%i342) mod(72^41-1,4189); (%o342) 1349 (%i343) mod(72^43-1,4189); (%o343) 2769 (%i344) mod(72^45-1,4189); (%o344) 3976 (%i345) mod(72^47-1,4189); (%o345) 2698 (%i346) mod(72^49-1,4189); (%o346) 355 (%i347) mod(72^51-1,4189); (%o347) 2343 (%i348) mod(72^53-1,4189); (%o348) 3195 (%i349) mod(72^55-1,4189); (%o349) 568 (%i350) mod(72^57-1,4189); (%o350) 639 (%i351) mod(72^59-1,4189); (%o351) 71 (%i352) mod(72^61-1,4189); (%o352) 426 (%i353) mod(72^63-1,4189); (%o353) 1775 より、0にならない。 よって、p(x-72)={72^(n+1)-1}/(72-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-72=59はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると59を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-74=57(=3x19)とすると、57は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=37なので、p(x-74)={74^(n+1)-1}/(74-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-76=55(=5x11)とすると、55は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=38なので、p(x-76)={76^(n+1)-1}/(76-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-78=53とすると、σ(x)の素因数分解に53が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=39なので、 {78^(n+1)-1}/(78-1)=53Pとおける。 78^m-1=77x53P=4081P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i356) mod(78^3-1,4081); (%o356) 1155 (%i357) mod(78^5-1,4081); (%o357) 1540 (%i358) mod(78^7-1,4081); (%o358) 1386 (%i359) mod(78^9-1,4081); (%o359) 3080 (%i360) mod(78^11-1,4081); (%o360) 770 (%i361) mod(78^13-1,4081); (%o361) 1694 (%i362) mod(78^15-1,4081); (%o362) 3773 (%i363) mod(78^17-1,4081); (%o363) 1309 (%i364) mod(78^19-1,4081); (%o364) 3927 (%i365) mod(78^21-1,4081); (%o365) 3696 (%i366) mod(78^23-1,4081); (%o366) 2156 (%i367) mod(78^25-1,4081); (%o367) 2772 (%i368) mod(78^27-1,4081); (%o368) 77 (%i369) mod(78^29-1,4081); (%o369) 1155 (%i370) mod(78^31-1,4081); (%o370) 1540 より、0にならない。 よって、p(x-78)={78^(n+1)-1}/(78-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-78=53はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると53を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-80=51(=3x17)とすると、51は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=40なので、p(x-80)={80^(n+1)-1}/(80-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-82=49(=7x7)とすると、49は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=41なので、p(x-82)={82^(n+1)-1}/(82-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-84=47とすると、σ(x)の素因数分解に47が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=42なので、 {84^(n+1)-1}/(84-1)=47Pとおける。 84^m-1=83x47P=3901P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i372) mod(84^3-1,3901); (%o372) 3652 (%i373) mod(84^5-1,3901); (%o373) 1660 (%i374) mod(84^7-1,3901); (%o374) 1411 (%i375) mod(84^9-1,3901); (%o375) 3818 (%i376) mod(84^11-1,3901); (%o376) 2656 (%i377) mod(84^13-1,3901); (%o377) 3486 (%i378) mod(84^15-1,3901); (%o378) 664 (%i379) mod(84^17-1,3901); (%o379) 3237 (%i380) mod(84^19-1,3901); (%o380) 3071 (%i381) mod(84^21-1,3901); (%o381) 2075 (%i382) mod(84^23-1,3901); (%o382) 0 (%i383) mod(84^25-1,3901); (%o383) 3154 (%i384) mod(84^27-1,3901); (%o384) 2573 (%i385) mod(84^29-1,3901); (%o385) 2988 (%i386) mod(84^31-1,3901); (%o386) 1577 (%i387) mod(84^33-1,3901); (%o387) 913 (%i388) mod(84^35-1,3901); (%o388) 830 (%i389) mod(84^37-1,3901); (%o389) 332 (%i390) mod(84^39-1,3901); (%o390) 1245 (%i391) mod(84^41-1,3901); (%o391) 2822 (%i392) mod(84^43-1,3901); (%o392) 581 (%i393) mod(84^45-1,3901); (%o393) 2739 (%i394) mod(84^47-1,3901); (%o394) 83 (%i395) mod(84^49-1,3901); (%o395) 3652 (%i396) mod(84^51-1,3901); (%o396) 1660 より、0になるときがある。 よって、p(x-84)={84^(n+1)-1}/(84-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-84=47はある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると47を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-86=45(=5x9)とすると、45は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=43なので、p(x-86)={86^(n+1)-1}/(86-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-88=43とすると、σ(x)の素因数分解に43が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=44なので、 {88^(n+1)-1}/(88-1)=43Pとおける。 88^m-1=87x43P=3741P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i2) mod(88^3-1,3741); (%o2) 609 (%i3) mod(88^5-1,3741); (%o3) 2697 (%i4) mod(88^7-1,3741); (%o4) 3567 (%i5) mod(88^9-1,3741); (%o5) 3306 (%i6) mod(88^11-1,3741); (%o6) 2262 (%i7) mod(88^13-1,3741); (%o7) 1827 (%i8) mod(88^15-1,3741); (%o8) 87 (%i9) mod(88^17-1,3741); (%o9) 609 (%i10) mod(88^19-1,3741); (%o10) 2697 より、0にならない。 よって、p(x-88)={88^(n+1)-1}/(88-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-88=43はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると41を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-90=41とすると、σ(x)の素因数分解に41が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=45なので、 {90^(n+1)-1}/(90-1)=41Pとおける。 90^m-1=89x41P=3649P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i12) mod(90^3-1,3649); (%o12) 2848 (%i13) mod(90^5-1,3649); (%o13) 623 (%i14) mod(90^7-1,3649); (%o14) 534 (%i15) mod(90^9-1,3649); (%o15) 2136 (%i16) mod(90^11-1,3649); (%o16) 2492 (%i17) mod(90^13-1,3649); (%o17) 3382 (%i18) mod(90^15-1,3649); (%o18) 1958 (%i19) mod(90^17-1,3649); (%o19) 2047 (%i20) mod(90^19-1,3649); (%o20) 445 (%i21) mod(90^21-1,3649); (%o21) 89 (%i22) mod(90^23-1,3649); (%o22) 2848 (%i23) mod(90^25-1,3649); (%o23) 623 より、0にならない。 よって、p(x-90)={90^(n+1)-1}/(90-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-90=41はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると41を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-92=39(=3x13)とすると、39は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=46なので、p(x-92)={92^(n+1)-1}/(92-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-94=37とすると、σ(x)の素因数分解に37が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=47なので、 {94^(n+1)-1}/(94-1)=37Pとおける。 94^m-1=93x37P=3441P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i25) mod(94^3-1,3441); (%o25) 1302 (%i26) mod(94^5-1,3441); (%o26) 3162 (%i27) mod(94^7-1,3441); (%o27) 465 (%i28) mod(94^9-1,3441); (%o28) 2139 (%i29) mod(94^11-1,3441); (%o29) 744 (%i30) mod(94^13-1,3441); (%o30) 186 (%i31) mod(94^15-1,3441); (%o31) 651 (%i32) mod(94^17-1,3441); (%o32) 837 (%i33) mod(94^19-1,3441); (%o33) 2976 (%i34) mod(94^21-1,3441); (%o34) 1767 (%i35) mod(94^23-1,3441); (%o35) 3348 (%i36) mod(94^25-1,3441); (%o36) 2604 (%i37) mod(94^27-1,3441); (%o37) 930 (%i38) mod(94^29-1,3441); (%o38) 2325 (%i39) mod(94^31-1,3441); (%o39) 2883 (%i40) mod(94^33-1,3441); (%o40) 2418 (%i41) mod(94^35-1,3441); (%o41) 2232 (%i42) mod(94^37-1,3441); (%o42) 93 (%i43) mod(94^39-1,3441); (%o43) 1302 (%i44) mod(94^41-1,3441); (%o44) 3162 より、0にならない。 よって、p(x-94)={94^(n+1)-1}/(94-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-94=37はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると37を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-96=35(=5x7)とすると、35は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=48なので、p(x-96)={96^(n+1)-1}/(96-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-98=33(=3x11)とすると、33は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=49なので、p(x-98)={98^(n+1)-1}/(98-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-100=31とすると、σ(x)の素因数分解に31が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=50なので、 {100^(n+1)-1}/(100-1)=31Pとおける。 100^m-1=99x31P=3069P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i67) mod(100^3-1,3069); (%o67) 2574 (%i68) mod(100^5-1,3069); (%o68) 1089 (%i69) mod(100^7-1,3069); (%o69) 1980 (%i70) mod(100^9-1,3069); (%o70) 2673 (%i71) mod(100^11-1,3069); (%o71) 2871 (%i72) mod(100^13-1,3069); (%o72) 297 (%i73) mod(100^15-1,3069); (%o73) 0 (%i74) mod(100^17-1,3069); (%o74) 792 (%i75) mod(100^19-1,3069); (%o75) 2772 (%i76) mod(100^21-1,3069); (%o76) 1584 (%i77) mod(100^23-1,3069); (%o77) 1683 (%i78) mod(100^25-1,3069); (%o78) 396 (%i79) mod(100^27-1,3069); (%o79) 1782 (%i80) mod(100^29-1,3069); (%o80) 2178 (%i81) mod(100^31-1,3069); (%o81) 99 (%i82) mod(100^33-1,3069); (%o82) 2574 (%i83) mod(100^35-1,3069); (%o83) 1089 より、0になるときがある。 よって、p(x-100)={100^(n+1)-1}/(100-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-100=31はある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると31を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-102=29とすると、σ(x)の素因数分解に29が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=51なので、 {102^(n+1)-1}/(102-1)=29Pとおける。 102^m-1=101x29P=2929P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i85) mod(102^3-1,2929); (%o85) 909 (%i86) mod(102^5-1,2929); (%o86) 1111 (%i87) mod(102^7-1,2929); (%o87) 2626 (%i88) mod(102^9-1,2929); (%o88) 808 (%i89) mod(102^11-1,2929); (%o89) 1818 (%i90) mod(102^13-1,2929); (%o90) 606 (%i91) mod(102^15-1,2929); (%o91) 303 (%i92) mod(102^17-1,2929); (%o92) 2424 (%i93) mod(102^19-1,2929); (%o93) 2222 (%i94) mod(102^21-1,2929); (%o94) 707 (%i95) mod(102^23-1,2929); (%o95) 2525 (%i96) mod(102^25-1,2929); (%o96) 1515 (%i97) mod(102^27-1,2929); (%o97) 2727 (%i98) mod(102^29-1,2929); (%o98) 101 (%i99) mod(102^31-1,2929); (%o99) 909 (%i100) mod(102^33-1,2929); (%o100) 1111 より、0にならない。 よって、p(x-102)={102^(n+1)-1}/(102-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-102=29はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると29を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-104=27(3x9)とすると、27は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=52なので、p(x-104)={104^(n+1)-1}/(104-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-106=25(5x5)とすると、25は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=53なので、p(x-106)={106^(n+1)-1}/(106-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-108=23とすると、σ(x)の素因数分解に23が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=54なので、 {108^(n+1)-1}/(108-1)=23Pとおける。 108^m-1=107x23P=2461P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i102) mod(108^3-1,2461); (%o102) 2140 (%i103) mod(108^5-1,2461); (%o103) 856 (%i104) mod(108^7-1,2461); (%o104) 1926 (%i105) mod(108^9-1,2461); (%o105) 214 (%i106) mod(108^11-1,2461); (%o106) 0 (%i107) mod(108^13-1,2461); (%o107) 1819 (%i108) mod(108^15-1,2461); (%o108) 2354 (%i109) mod(108^17-1,2461); (%o109) 1498 (%i110) mod(108^19-1,2461); (%o110) 1391 (%i111) mod(108^21-1,2461); (%o111) 1070 (%i112) mod(108^23-1,2461); (%o112) 107 (%i113) mod(108^25-1,2461); (%o113) 2140 (%i114) mod(108^27-1,2461); (%o114) 856 より、0になるときがある。 よって、p(x-108)={108^(n+1)-1}/(108-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-108=23はある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると23を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-110=21(3x7)とすると、21は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=55なので、p(x-110)={110^(n+1)-1}/(110-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-112=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=56なので、 {112^(n+1)-1}/(112-1)=19Pとおける。 112^m-1=111x19P=2109P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i116) mod(112^3-1,2109); (%o116) 333 (%i117) mod(112^5-1,2109); (%o117) 1221 (%i118) mod(112^7-1,2109); (%o118) 555 (%i119) mod(112^9-1,2109); (%o119) 0 (%i120) mod(112^11-1,2109); (%o120) 1998 (%i121) mod(112^13-1,2109); (%o121) 1554 (%i122) mod(112^15-1,2109); (%o122) 1887 (%i123) mod(112^17-1,2109); (%o123) 1110 (%i124) mod(112^19-1,2109); (%o124) 111 (%i125) mod(112^21-1,2109); (%o125) 333 (%i126) mod(112^23-1,2109); (%o126) 1221 より、0になるときがある。 よって、p(x-112)={112^(n+1)-1}/(112-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-112=19はある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると19を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-114=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=57なので、 {114^(n+1)-1}/(114-1)=17Pとおける。 114^m-1=113x17P=1921P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i128) mod(114^3-1,1921); (%o128) 452 (%i129) mod(114^5-1,1921); (%o129) 1243 (%i130) mod(114^7-1,1921); (%o130) 1808 (%i131) mod(114^9-1,1921); (%o131) 565 (%i132) mod(114^11-1,1921); (%o132) 226 (%i133) mod(114^13-1,1921); (%o133) 1356 (%i134) mod(114^15-1,1921); (%o134) 791 (%i135) mod(114^17-1,1921); (%o135) 113 (%i136) mod(114^19-1,1921); (%o136) 452 (%i137) mod(114^21-1,1921); (%o137) 1243 より、0にならない。 よって、p(x-114)={114^(n+1)-1}/(114-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-114=17はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-116=15(3x5)とすると、15は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=58なので、p(x-116)={116^(n+1)-1}/(116-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-118=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=59なので、 {118^(n+1)-1}/(118-1)=13Pとおける。 118^m-1=117x13P=1521P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i139) mod(118^3-1,1521); (%o139) 351 (%i140) mod(118^5-1,1521); (%o140) 585 (%i141) mod(118^7-1,1521); (%o141) 819 (%i142) mod(118^9-1,1521); (%o142) 1053 (%i143) mod(118^11-1,1521); (%o143) 1287 (%i144) mod(118^13-1,1521); (%o144) 0 (%i145) mod(118^15-1,1521); (%o145) 234 (%i146) mod(118^17-1,1521); (%o146) 468 (%i147) mod(118^19-1,1521); (%o147) 702 (%i148) mod(118^21-1,1521); (%o148) 936 (%i149) mod(118^23-1,1521); (%o149) 1170 (%i150) mod(118^25-1,1521); (%o150) 1404 (%i151) mod(118^27-1,1521); (%o151) 117 (%i152) mod(118^29-1,1521); (%o152) 351 (%i153) mod(118^31-1,1521); (%o153) 585 より、0になるときがある。 よって、p(x-118)={118^(n+1)-1}/(118-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-118=13はある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると13を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-120=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=60なので、 {120^(n+1)-1}/(120-1)=11Pとおける。 120^m-1=119x11P=1309P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i155) mod(120^3-1,1309); (%o155) 119 (%i156) mod(120^5-1,1309); (%o156) 119 (%i157) mod(120^7-1,1309); (%o157) 119 (%i158) mod(120^9-1,1309); (%o158) 119 より、0にならない。 よって、p(x-120)={120^(n+1)-1}/(120-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-120=11はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると11を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-122=9(3x3)とすると、9は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=61なので、p(x-122)={122^(n+1)-1}/(122-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-124=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=62なので、 {124^(n+1)-1}/(124-1)=7Pとおける。 124^m-1=123x7P=861P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i160) mod(124^3-1,861); (%o160) 369 (%i161) mod(124^5-1,861); (%o161) 492 (%i162) mod(124^7-1,861); (%o162) 123 (%i163) mod(124^9-1,861); (%o163) 369 (%i164) mod(124^11-1,861); (%o164) 492 より、0にならない。 よって、p(x-124)={124^(n+1)-1}/(124-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-124=7はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると7を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-126=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=63なので、 {126^(n+1)-1}/(126-1)=5Pとおける。 126^m-1=125x5P=625P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i166) mod(126^3-1,625); (%o166) 375 (%i167) mod(126^5-1,625); (%o167) 0 (%i168) mod(126^7-1,625); (%o168) 250 (%i169) mod(126^9-1,625); (%o169) 500 (%i170) mod(126^11-1,625); (%o170) 125 (%i171) mod(126^13-1,625); (%o171) 375 (%i172) mod(126^15-1,625); (%o172) 0 より、0になるときがある。 よって、p(x-126)={126^(n+1)-1}/(126-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-126=5はある。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると5を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-128=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=64なので、 {128^(n+1)-1}/(128-1)=3Pとおける。 128^m-1=127x3P=381P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i174) mod(128^3-1,381); (%o174) 127 (%i175) mod(128^5-1,381); (%o175) 127 (%i176) mod(128^7-1,381); (%o176) 127 (%i177) mod(128^9-1,381); (%o177) 127 より、0にならない。 よって、p(x-128)={128^(n+1)-1}/(128-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-128=3はない。 つまり、x=131なら、σ(x)を素因数分解すると3を含まない。 (x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=131なら、σ(x)を素因数分解した時、 ,113,107,101,97,89,73,59,53,43,41,37,29,17,11,7,3は現れない、と言える。 (%i178) x:131; (%o178) 131 (%i179) factor(1+x+x^2); (%o179) 17293 (%i180) factor(1+x+x^2+x^3+x^4); (%o180) 5 61 973001 (%i181) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6); (%o181) 127 189967 211093 (%i182) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8); (%o182) 19 17293 395533 672499 (%i183) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10); (%o183) 23 67 353 1453 15401 123210869 (%i184) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12); (%o184) 13 79 25061845458479893445539 (%i185) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14); (%o185) 5 31 61 6451 17293 973001 430381781941 (%i186) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16); (%o186) 167517083 291092780479 155445494017421 (%i187) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18); (%o187) 571 139941921745500859 1627898501375482741 (%i188) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20); (%o188) 127 3529 17293 25033 189967 211093 15319459 18729225187 (%i189) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22); (%o189) 47 139 277 21169179259842295601898786882680246643293 (%i190) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24); 2 (%o190) 5 61 973001 20445701 36254846791951 597706294226466999151 (%i191) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26); (%o191) 19 109 17293 41149 395533 672499 28780447234245960962131495502293 (%i192) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28); (%o192) 2843 3307 526164866263 39137341485253710171777890765049533146343 (%i193) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30); (%o193) 3322513949711572917671544532994959521608519126596370982543640981 (%i194) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32); (%o194) 23 67 331 353 859 1453 2179 15401 17293 17359 123210869 405884171023 503608390572917323 (%i195) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32+x^33+x^34); (%o195) 5 61 71 127 8821 16451 189967 211093 973001 6544651 9601259037634552018478079724676971