11u+t

ver0.0001  2019.11.17

2,3,5,7,11の倍数を除いた素数候補式は2310+Pで、Pは、(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)(11-1)=480個ある。
x=210j+Pで、x-2k=11のとき、
210j+P-2k=11
210j+(P-11)=2k
より、
mod({(P-11)^(n+1)-1},11）
の関係だけをかんがえればよい。
{(P-11)^(n+1)-1}
そこで、最初は
(P-11)^3-1
(P-11)^5-1
(P-11)^7-1
(P-11)^9-1
と計算してゆくわけだが、
(P-11)^9-1-{(P-11)^3-1}=(P-11)^9-(P-11)^3=(P-11)^3(P^6-1)=(P-11)^3{(P-11)^3+1}{(P-11)^3-1}
(P-11)^11-1-{(P-11)^5-1}=(P-11)^11-(P-11)^5=(P-11)^5(P^6-1)=(P-11)^5{(P-11)^3+1}{(P-11)^3-1}
(P-11)^13-1-{(P-11)^7-1}=(P-11)^13-(P-11)^7=(P-11)^7(P^6-1)=(P-11)^7{(P-11)^3+1}{(P-11)^3-1}
この関係は維持されるので、
ここで、
{(P-11)^3+1}
{(P-11)^3-1}
にちゅうもくする。

さて、Pは11でわれないから、
(%i1) P:11*u+t;
(%o1)                              11 u + t
とおくと、
(%i3) factor((P-11)^3+1);
                                2                     2
(%o3)     (11 u + t - 10) (121 u  + 22 t u - 253 u + t  - 23 t + 133)
(%i2) factor((P-11)^3-1);
                                2                     2
(%o2)     (11 u + t - 12) (121 u  + 22 t u - 231 u + t  - 21 t + 111)
であるから、
(P-11)^3+1から
t-10,t^2-23t+133
と
(P-11)^3-1から
t-12,t^2-21t+111
にちゅうもくする。


(P-11)^3+1から
t-10=-9,t^2-23t+133=111　　
(P-11)^3-1から
t-12=-11,t^2-21t+111=91　　t-12=-11より11で割れる。
(P-11)^3+1が11の倍数であり、循環するが、初式(P-11)^3-1が11の倍数であるから、
初式は割り切れず循環するので、11を含むことがある。

t=2であるなら、
(P-11)^3+1から
t-10=-8,t^2-23t+133=91
(P-11)^3-1から
t-12=-10,t^2-21t+111=73　　
いすれも11で割れないから、循環しない。

したがって、
(P-11)^9-1-{(P-11)^3-1}=(P-11)^9-(P-11)^3=(P-11)^3(P^6-1)=(P-11)^3{(P-11)^3+1}{(P-11)^3-1}
(P-11)^11-1-{(P-11)^5-1}=(P-11)^11-(P-11)^5=(P-11)^5(P^6-1)=(P-11)^5{(P-11)^3+1}{(P-11)^3-1}
(P-11)^13-1-{(P-11)^7-1}=(P-11)^13-(P-11)^7=(P-11)^7(P^6-1)=(P-11)^7{(P-11)^3+1}{(P-11)^3-1}
は成り立たない。
そこで、
(P-11)^13-1-{(P-11)^3-1}=(P-11)^13-(P-11)^3=(P-11)^3(P^10-1)=(P-11)^3{(P-11)^5+1}{(P-11)^5-1}
(P-11)^15-1-{(P-11)^5-1}=(P-11)^15-(P-11)^5=(P-11)^5(P^10-1)=(P-11)^5{(P-11)^5+1}{(P-11)^5-1}
(P-11)^17-1-{(P-11)^7-1}=(P-11)^17-(P-11)^7=(P-11)^7(P^10-1)=(P-11)^7{(P-11)^5+1}{(P-11)^5-1}
この関係は維持されるので、
ここで、
{(P-11)^5+1}
{(P-11)^5-1}
にちゅうもくする。

さて、Pは11でわれないから、
(%i1) P:11*u+t;
(%o1)                              11 u + t
とおくと、
(%i2) factor((P-11)^5+1);
                              4           3          3        2  2            2
(%o2) (11 u + t - 10) (14641 u  + 5324 t u  - 59895 u  + 726 t  u  - 16335 t u
          2       3           2                            4       3        2
 + 91960 u  + 44 t  u - 1485 t  u + 16720 t u - 62810 u + t  - 45 t  + 760 t
 - 5710 t + 16105)
(%i3) factor((P-11)^5-1);
                              4           3          3        2  2            2
(%o3) (11 u + t - 12) (14641 u  + 5324 t u  - 57233 u  + 726 t  u  - 15609 t u
          2       3           2                            4       3        2
 + 83974 u  + 44 t  u - 1419 t  u + 15268 t u - 54802 u + t  - 43 t  + 694 t
 - 4982 t + 13421)
であるから、
(P-11)^5+1から
t-10,t^4-45t^3+760t^2-5710t+16105
と
(P-11)^5-1から
t-12,t^4-43t^3+694t^2-4982t+13421
にちゅうもくする。


＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

t=1であるなら、

(P-11)^5+1から
t-10=-9
(%i18) t^4-45*t^3+760*t^2-5710*t+16105;
(%o18)                               11111
(%i19) mod(11111,11);
(%o19)                                 1
より、11で割れない。
また、
(P-11)^5-1から
t-12=-11　　　t-12=-11より、11で割れる。　　
(%i20) t^4-43*t^3+694*t^2-4982*t+13421;
(%o20)                               9091
(%i21) mod(9091,11);
(%o21)                                 5
より、11で割れる。
これより、循環するが、初式
(P-11)^3-1から
t-12=-11,t^2-21t+111=91　　t-12=-11より11で割れる。
より、11で割れる。
ゆえに、(P-11)^3-1は、11で割れる。
初式は割りきれ循環するので、11を含むことがある。



＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

t=2であるなら、
(P-11)^3-1から
t-12=-10,t^2-21t+111=73　　
いずれも11の倍数ではない。

(P-11)^5+1から
t-10=-8
(%i25) t^4-45*t^3+760*t^2-5710*t+16105;
(%o25)                               7381
(%i26) mod(7381,11);
(%o26)                                 0
より、11で割れる。

また、
(P-11)^5-1から
t-12=-10
(%i27) t^4-43*t^3+694*t^2-4982*t+13421;
(%o27)                               5905
(%i28) mod(5905,11);
(%o28)                                 9
より、11で割れない。
これより、循環するが、初式
(P-11)^3-1から
t-12=-10,t^2-21t+111=73　　
より、11で割れない。
また、(P-11)^5-1も11で割れない。
(P-11)^3-1、(P-11)^5-1より、いずれも11で割れず、循環するので、11を含まない。



＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

t=3であるなら、
(P-11)^3-1から
t-10=-7,t^2-21t+111=57　　
いずれも11の倍数ではない。

(P-11)^5+1から
t-10=-7
(%i14) t^4-45*t^3+760*t^2-5710*t+16105;
(%o14)                               4681
(%i15) mod(4681,11);
(%o15)                                 6

また、
(P-11)^5-1から
t-12=-9
(%i16) t^4-43*t^3+694*t^2-4982*t+13421;
(%o16)                               3641
(%i17) mod(3641,11);
(%o17)                                 0
より、11で割れる。
これより、循環するが、初式
(P-11)^3-1から
t-12=-9,t^2-21t+111=57　　
いずれも11の倍数ではない。
より、11で割れない。
ゆえに、(P-11)^3-1は、11で割れない。
しかし、(P-11)^5-1から11で割れる。
(P-11)^5-1から11で割れ循環するので、11を含むことがある。



＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

t=4であるなら、
(P-11)^3-1から
t-12=-8,t^2-21t+111=43　　
いずれも11の倍数ではない。

(P-11)^5+1から
t-10=-6
(%i20)  t^4-45*t^3+760*t^2-5710*t+16105;
(%o20)                               2801
(%i21) mod(2801,11);
(%o21)                                 7

また、
(P-11)^5-1から
t-12=-8
(%i22) t^4-43*t^3+694*t^2-4982*t+13421;
(%o22)                               2101
(%i23) mod(2101,11);
(%o23)                                 0
より、11で割れる。
これより、循環するが、初式
(P-11)^3-1から
t-12=-8,t^2-21t+111=43　　
いずれも11の倍数ではない。
より、11で割れない。
ゆえに、(P-11)^3-1は、11で割れない。
しかし、(P-11)^5-1から11で割れる。
(P-11)^5-1から11で割れ循環するので、11を含むことがある。



＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

t=5であるなら、
(P-11)^3-1から
t-12=-7,t^2-21t+111=31　　
いずれも11の倍数ではない。

(P-11)^5+1から
t-10=-5
(%i3) t^4-45*t^3+760*t^2-5710*t+16105;
(%o3)                                1555
(%i4) mod(1555,11);
(%o4)                                  4

また、
(P-11)^5-1から
t-12=-7
(%i5) t^4-43*t^3+694*t^2-4982*t+13421;
(%o5)                                1111
(%i6) mod(1111,11);
(%o6)                                  0
より、11で割れる。
これより、循環するが、初式
(P-11)^3-1から
t-12=-7,t^2-21t+111=31　　
いずれも11の倍数ではない。
より、11で割れない。
ゆえに、(P-11)^3-1は、11で割れない。
しかし、(P-11)^5-1から11で割れる。
(P-11)^5-1から11で割れ循環するので、11を含むことがある。



＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

t=6であるなら、
(P-11)^3-1から
t-12=-6,t^2-21t+111=21　　
いずれも11の倍数ではない。

(P-11)^5+1から
t-10=-4
(%i9) t^4-45*t^3+760*t^2-5710*t+16105;
(%o9)                                 781
(%i10) mod(781,11);
(%o10)                                 0
より、11で割れる。
また、
(P-11)^5-1から
t-12=-6
(%i11) t^4-43*t^3+694*t^2-4982*t+13421;
(%o11)                                521
(%i12) mod(521,11);
(%o12)                                 4
より、11で割れない。
これより、循環するが、初式
(P-11)^3-1から
t-12=-6,t^2-21t+111=21　　
いずれも11の倍数ではない。
より、11で割れない。
ゆえに、(P-11)^3-1は、11で割れない。
また、(P-11)^5-1も11で割れない。
(P-11)^3-1、(P-11)^5-1より、いずれも11で割れず、循環するので、11を含まない。



＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

t=7であるなら、
(P-11)^3-1から
t-12=-5,t^2-21t+111=13　　
いずれも11の倍数ではない。

(P-11)^5+1から
t-10=-3
(%i17) t^4-45*t^3+760*t^2-5710*t+16105;
(%o17)                                341
(%i18) mod(341,11);
(%o18)                                 0
より、11で割れる。
また、
(P-11)^5-1から
t-12=-5
(%i19) t^4-43*t^3+694*t^2-4982*t+13421;
(%o19)                                205
(%i20) mod(205,11);
(%o20)                                 7
より、11で割れない。
これより、循環するが、初式
(P-11)^3-1から
t-12=-5,t^2-21t+111=13　　
いずれも11の倍数ではない。
より、11で割れない。
ゆえに、(P-11)^3-1は、11で割れない。
また、(P-11)^5-1も11で割れない。
(P-11)^3-1、(P-11)^5-1より、いずれも11で割れず、循環するので、11を含まない。



＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

t=8であるなら、
(P-11)^3-1から
t-12=-4,t^2-21t+111=7　　
いずれも11の倍数ではない。

(P-11)^5+1から
t-10=-2
(%i23) t^4-45*t^3+760*t^2-5710*t+16105;
(%o23)                                121
(%i24) mod(121,11);
(%o24)                                 0
より、11で割れる。
また、
(P-11)^5-1から
t-12=-4
(%i25) t^4-43*t^3+694*t^2-4982*t+13421;
(%o25)                                61
(%i26) mod(61,11);
(%o26)                                 6
より、11で割れない。
これより、循環するが、初式
(P-11)^3-1から
t-12=-4,t^2-21t+111=7　　
いずれも11の倍数ではない。
より、11で割れない。
ゆえに、(P-11)^3-1は、11で割れない。
また、(P-11)^5-1も11で割れない。
(P-11)^3-1、(P-11)^5-1より、いずれも11で割れず、循環するので、11を含まない。



＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊


t=9であるなら、
(P-11)^3-1から
t-12=-3,t^2-21t+111=3　　
いずれも11の倍数ではない。

(P-11)^5+1から
t-10=-1
(%i29) t^4-45*t^3+760*t^2-5710*t+16105;
(%o29)                                31
(%i30) mod(31,11);
(%o30)                                 9
より、11で割れない。
また、
(P-11)^5-1から
t-12=-3
(%i31) t^4-43*t^3+694*t^2-4982*t+13421;
(%o31)                                11
(%i32) mod(11,11);
(%o32)                                 0
より、11で割れる。
これより、循環するが、初式
(P-11)^3-1から
t-12=-3,t^2-21t+111=3　　
いずれも11の倍数ではない。
より、11で割れない。
ゆえに、(P-11)^3-1は、11で割れない。
しかし、(P-11)^5-1から11で割れる。
(P-11)^5-1から11で割れ循環するので、11を含むことがある。



＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊


t=10であるなら、
(P-11)^3-1から
t-12=-2,t^2-21t+111=1　　
いずれも11の倍数ではない。

(P-11)^5+1から
t-10=0 t-10=0より、11で割れる。
(%i35) t^4-45*t^3+760*t^2-5710*t+16105;
(%o35)                                 5
(%i36) mod(5,11);
(%o36)                                 5
より、11で割れる。
また、
(P-11)^5-1から
t-12=-2
(%i37) t^4-43*t^3+694*t^2-4982*t+13421;
(%o37)                                 1
(%i38) mod(1,11);
(%o38)                                 1
より、11で割れない。
これより、循環するが、初式
(P-11)^3-1から
t-12=-2,t^2-21t+111=1　　
いずれも11の倍数ではない。
より、11で割れない。
ゆえに、(P-11)^3-1は、11で割れない。
また、(P-11)^5-1も11で割れない。
(P-11)^3-1、(P-11)^5-1より、いずれも11で割れず、循環するので、11を含まない。

以上より、x=210n+Pと表せる素数のσ(x^n)の因数分解において、Pが11u+tのt=2,6,7,8,10とき、σ(x^n)を素因数分解した時、11を含まず、t=1,3,4,5,9の時、σ(x^n)を素因数分解した時、11を含むことがある。

また、210n+Pにおいて、2x3x5x7x11n+11u+tであるから、 11u'+tつまり、11u+tである。

したがって、x=11u+tと表せる素数のσ(x^n)の因数分解において、t=2,6,7,8,10とき、σ(x^n)を素因数分解した時、11を含まず、t=1,3,4,5,9の時、σ(x^n)を素因数分解した時、11を含むことがある。