13u+t
ver0.0001 2019.11.17
2,3,5,7,11,13の倍数を除いた素数候補式は30030+Pで、Pは、(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)(11-1)(13-1)=5760個ある。
x=30030j+Pで、x-2k=13のとき、
30030j+P-2k=13
30030j+(P-13)=2k
より、
mod({(P-13)^(n+1)-1},13）
の関係だけをかんがえればよい。
{(P-13)^(n+1)-1}
そこで、最初は
(P-13)^3-1
(P-13)^5-1
(P-13)^7-1
(P-13)^9-1
(P-13)^11-1
(P-13)^13-1
(P-13)^15-1
(P-13)^17-1
(P-13)^19-1
と計算してゆくわけだが、
(P-13)^9-1-{(P-13)^3-1}=(P-13)^9-(P-13)^3=(P-13)^3(P^6-1)=(P-13)^3{(P-13)^3+1}{(P-13)^3-1}
(P-13)^11-1-{(P-13)^5-1}=(P-13)^11-(P-13)^5=(P-13)^5(P^6-1)=(P-13)^5{(P-13)^3+1}{(P-13)^3-1}
(P-13)^13-1-{(P-13)^7-1}=(P-13)^13-(P-13)^7=(P-13)^7(P^6-1)=(P-13)^7{(P-13)^3+1}{(P-13)^3-1}
この関係は維持されるので、
ここで、
{(P-13)^3+1}
{(P-13)^3-1}
にちゅうもくする。
さて、Pは13でわれないから、
(%i1) P:13*u+t;
(%o1)
13 u + t
とおくと、
(%i5) factor((P-13)^3+1);
2
2
(%o5) (13 u + t - 12) (169 u + 26 t u - 351 u + t - 27 t + 183)
(%i6) factor((P-13)^3-1);
2
2
(%o6) (13 u + t - 14) (169 u + 26 t u - 325 u + t - 25 t + 157)
であるから、
(P-13)^3+1から
t-12,t^2-27t+183
と
(P-13)^3-1から
t-14,t^2-25t+157
にちゅうもくする。
t=1であるなら、
(P-13)^3+1から
t-12=-11,t^2-27t+183=157
(P-13)^3-1から
t-14=-13,t^2-25t+157=133 t-14=-13より13で割れる。
(P-13)^3-1が13の倍数であり、循環するが、初式(P-13)^3-1が13の倍数であるから、
初式は13割り切れ循環するので、13を含むことがある。
t=2であるなら、
(P-13)^3+1から
t-12=-10,t^2-27t+183=133
(P-13)^3-1から
t-14=-12,t^2-25t+157=111
いすれも13で割れないから、循環しない。
したがって、
(P-13)^9-1-{(P-13)^3-1}=(P-13)^9-(P-13)^3=(P-13)^3(P^6-1)=(P-13)^3{(P-13)^3+1}{(P-13)^3-1}
(P-13)^11-1-{(P-13)^5-1}=(P-13)^11-(P-13)^5=(P-13)^5(P^6-1)=(P-13)^5{(P-13)^3+1}{(P-13)^3-1}
(P-13)^13-1-{(P-13)^7-1}=(P-13)^13-(P-13)^7=(P-13)^7(P^6-1)=(P-13)^7{(P-13)^3+1}{(P-13)^3-1}
は成り立たない。
そこで、
(%i15) mod(2^3-1,13);
(%o15)
7
(%i16) mod(2^5-1,13);
(%o16)
5
(%i17) mod(2^7-1,13);
(%o17)
10
(%i18) mod(2^9-1,13);
(%o18)
4
(%i19) mod(2^11-1,13);
(%o19)
6
(%i20) mod(2^13-1,13);
(%o20)
1
(%i21) mod(2^15-1,13);
(%o21)
7
(%i22) mod(2^17-1,13);
(%o22)
5
より、
(P-13)^15-1-{(P-13)^3-1}=(P-13)^15-(P-13)^3=(P-13)^3(P^12-1)=(P-13)^3{(P-13)^6+1}{(P-13)^6-1}
(P-13)^17-1-{(P-13)^5-1}=(P-13)^17-(P-13)^5=(P-13)^5(P^12-1)=(P-13)^5{(P-13)^6+1}{(P-13)^6-1}
(P-13)^19-1-{(P-13)^7-1}=(P-13)^19-(P-13)^7=(P-13)^7(P^12-1)=(P-13)^7{(P-13)^6+1}{(P-13)^6-1}
この関係は維持されるので、
ここで、
{(P-13)^6+1}
{(P-13)^6-1}
にちゅうもくする。
さて、Pは13でわれないから、
(%i1) P:13*u+t;
(%o1)
13 u + t
とおくと、
(%i2) factor((P-13)^6+1);
2
2
(%o2) (169 u + 26 t u - 338 u + t - 26 t + 170)
4
3
3 2
2
2 2
(28561 u + 8788 t u - 114244 u + 1014 t u - 26364 t u + 171197 u
3
2
4
3 2
+ 52 t u - 2028 t u + 26338 t u - 113906 u + t - 52 t + 1013 t - 8762 t
+ 28393)
(%i3) factor((P-13)^6-1);
2
2
(%o3) (13 u + t - 14) (13 u + t - 12) (169 u + 26 t u - 351 u + t - 27 t
2
2
+ 183) (169 u + 26 t u - 325 u + t - 25 t + 157)
であるから、
(P-13)^6+1から
t^2- 26 t + 170
t^4- 52 t^3+ 1013 t^2 - 8762 t + 28393
と
(P-13)^6-1から
t-14
t-12
t^2-27 t+183
t^2-25 t+157
にちゅうもくする。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=1であるなら、
(P-13)^3-1から
t-14=-13,t^2-25t+157=133 t-14=-13より13で割れる。
より13で割れる。
(P-13)^6+1から
t^2- 26 t + 170=145
(%i6) mod(145,13);
(%o6) 2
(%i7) t^4- 52* t^3+ 1013* t^2 - 8762* t + 28393;
(%o7)
20593
(%i8) mod(20593,13);
(%o8)
1
と
(P-13)^6-1から
t-14=-13, t-14=-13より13で割れる。
t-12=-11
(%i9) t^2-27*t+183;
(%o9)
157
(%i10) mod(157,13);
(%o10)
1
(%i11) t^2-25*t+157;
(%o11)
133
(%i12) mod(133,13);
(%o12)
3
より13で割れる。
これより、循環するが、初式
(P-13)^3-1から
t-14=-13,t^2-25t+157=133 t-14=-13より13で割れる。
より、13で割れる。
ゆえに、(P-13)^3-1は、13で割れる。
また、
よって、初式は、13で割れ、循環するので、13を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=2であるなら、
(P-13)^3-1から
t-14=-12,t^2-25t+157=111
13の倍数ではない。
(%i11) t^2-25*t+157;
(%o11)
133
(%i12) mod(133,13);
(%o12)
3
より13で割れない。
(P-13)^6+1から
(%i14) t^2- 26*t + 170;
(%o14)
122
(%i15) mod(122,13);
(%o15)
5
(%i4) t^4- 52* t^3+ 1013* t^2 - 8762* t + 28393;
(%o4)
14521
(%i5) mod(14521,13);
(%o5)
0
より13で割れる。
と
(P-13)^6-1から
t-14=-12
t-12=-10
(%i9) t^2-27*t+183;
(%o9)
157
(%i10) mod(157,13);
(%o10)
1
(%i11) t^2-25*t+157;
(%o11)
133
(%i12) mod(133,13);
(%o12)
3
より13で割れない。
(P-13)^6+1が13で割れるから、循環するが、初式(P-13)^3-1から
13で割れないので、循環するので、13を含むことがない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=3であるなら、
(P-13)^3-1から
t-14=-11
(%i7) t^2-25*t+157;
(%o7)
91
(%i8) mod(91,13);
(%o8)
0
より13で割れる。
(P-13)^6+1から
(%i9) t^2- 26*t + 170;
(%o9)
101
(%i10) mod(101,13);
(%o10)
10
(%i11) t^4- 52* t^3+ 1013* t^2 - 8762* t + 28393;
(%o11)
9901
(%i12) mod(9901,13);
(%o12)
8
より13で割れない。
(P-13)^6-1から
t-14=-11
t-12=-9
(%i13) t^2-27*t+183;
(%o13)
111
(%i14) mod(111,13);
(%o14)
7
(%i15) t^2-25*t+157;
(%o15)
91
(%i16) mod(91,13);
(%o16)
0
より13で割れる。
(P-13)^6-1が13で割れるから、循環するが、初式(P-13)^3-1から
13で割れるので、循環するので、13を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=4であるなら、
(P-13)^3-1から
t-14=-10
(%i18) t^2-25*t+157;
(%o18)
73
(%i19) mod(73,13);
(%o19)
8
より13で割れない。
(P-13)^6+1から
(%i20) t^2- 26*t + 170;
(%o20)
82
(%i21) mod(82,13);
(%o21)
4
(%i22) t^4- 52* t^3+ 1013* t^2 - 8762* t + 28393;
(%o22)
6481
(%i23) mod(6481,13);
(%o23)
7
より13で割れない。
(P-13)^6-1から
t-14=-10
t-12=-8
(%i24) t^2-27*t+183;
(%o24)
91
(%i25) mod(91,13);
(%o25)
0
(%i18) t^2-25*t+157;
(%o18)
73
(%i19) mod(73,13);
(%o19)
8
より13で割れる。
(P-13)^6-1が13で割れるから、循環するが、初式(P-13)^3-1から
13で割れないが、循環するので、13を含むことがない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=5であるなら、
(P-13)^3-1から
t-14=-9
(%i27) t^2-25*t+157;
(%o27)
57
(%i28) mod(57,13);
(%o28)
5
より13で割れない。
(P-13)^6+1から
(%i29) t^2- 26*t + 170;
(%o29)
65
(%i30) mod(65,13);
(%o30)
0
(%i31) t^4- 52* t^3+ 1013* t^2 - 8762* t + 28393;
(%o31)
4033
(%i32) mod(4033,13);
(%o32)
3
より13で割れる。
(P-13)^6-1から
t-14=-9
t-12=-7
(%i33) t^2-27*t+183;
(%o33)
73
(%i34) mod(73,13);
(%o34)
8
(%i27) t^2-25*t+157;
(%o27)
57
(%i28) mod(57,13);
(%o28)
5
より13で割れない。
(P-13)^6+1が13で割れるから、循環するが、初式(P-13)^3-1から
13で割れないが、循環するので、13を含むことがない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=6であるなら、
(P-13)^3-1から
t-14=-8
(%i36) t^2-25*t+157;
(%o36)
43
(%i37) mod(43,13);
(%o37)
4
より13で割れない。
(P-13)^6+1から
(%i38) t^2- 26*t + 170;
(%o38)
50
(%i39) mod(50,13);
(%o39)
11
(%i40) t^4- 52* t^3+ 1013* t^2 - 8762* t + 28393;
(%o40)
2353
(%i41) mod(2353,13);
(%o41)
0
より13で割れる。
(P-13)^6-1から
t-14=-8
t-12=-6
(%i42) t^2-27*t+183;
(%o42)
57
(%i43) mod(57,13);
(%o43)
5
(%i36) t^2-25*t+157;
(%o36)
43
(%i37) mod(43,13);
(%o37)
4
より13で割れない。
(P-13)^6+1が13で割れるから、循環するが、初式(P-13)^3-1から
13で割れないが、循環するので、13を含むことがない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=7であるなら、
(P-13)^3-1から
t-14=-7
(%i45) t^2-25*t+157;
(%o45)
31
(%i46) mod(31,13);
(%o46)
5
より13で割れない。
(P-13)^6+1から
(%i47) t^2- 26*t + 170;
(%o47)
37
(%i48) mod(37,13);
(%o48)
11
(%i49) t^4- 52* t^3+ 1013* t^2 - 8762* t + 28393;
(%o49)
1261
(%i50) mod(1261,13);
(%o50)
0
より13で割れる。
(P-13)^6-1から
t-14=-8
t-12=-6
(%i51) t^2-27*t+183;
(%o51)
43
(%i52) mod(43,13);
(%o52)
4
(%i45) t^2-25*t+157;
(%o45)
31
(%i46) mod(31,13);
(%o46)
5
より13で割れない。
(P-13)^6+1が13で割れるから、循環するが、初式(P-13)^3-1から
13で割れないが、循環するので、13を含むことがない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=8であるなら、
(P-13)^3-1から
t-14=-6
(%i54) t^2-25*t+157;
(%o54)
21
(%i55) mod(21,13);
(%o55)
8
より13で割れない。
(P-13)^6+1から
(%i56) t^2- 26*t + 170;
(%o56)
26
(%i57) mod(26,13);
(%o57)
0
(%i58) t^4- 52* t^3+ 1013* t^2 - 8762* t + 28393;
(%o58)
601
(%i59) mod(601,13);
(%o59)
3
より13で割れる。
(P-13)^6-1から
t-14=-6
t-12=-4
(%i60) t^2-27*t+183;
(%o60)
31
(%i61) mod(31,13);
(%o61)
5
(%i54) t^2-25*t+157;
(%o54)
21
(%i55) mod(21,13);
(%o55)
8
より13で割れない。
(P-13)^6+1が13で割れるから、循環するが、初式(P-13)^3-1から
13で割れないが、循環するので、13を含むことがない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=9であるなら、
(P-13)^3-1から
t-14=-5
(%i63) t^2-25*t+157;
(%o63)
13
(%i64) mod(13,13);
(%o64)
0
より13で割れる。
(P-13)^6+1から
(%i65) t^2- 26*t + 170;
(%o65)
17
(%i66) mod(17,13);
(%o66)
4
(%i67) t^4- 52* t^3+ 1013* t^2 - 8762* t + 28393;
(%o67)
241
(%i68) mod(241,13);
(%o68)
7
より13で割れない。
(P-13)^6-1から
t-14=-5
t-12=-3
(%i69) t^2-27*t+183;
(%o69)
21
(%i70) mod(21,13);
(%o70)
8
(%i63) t^2-25*t+157;
(%o63)
13
(%i64) mod(13,13);
(%o64)
0
より13で割れる。
(P-13)^6-1が13で割れるから、循環するが、初式(P-13)^3-1から
13で割れるので、循環するので、13を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=10であるなら、
(P-13)^3-1から
t-14=-4
(%i72) t^2-25*t+157;
(%o72)
7
(%i73) mod(7,13);
(%o73)
7
より13で割れない。
(P-13)^6+1から
(%i74) t^2- 26*t + 170;
(%o74)
10
(%i75) mod(10,13);
(%o75)
10
(%i76) t^4- 52* t^3+ 1013* t^2 - 8762* t + 28393;
(%o76)
73
(%i77) mod(73,13);
(%o77)
8
より13で割れない。
(P-13)^6-1から
t-14=-4
t-12=-2
(%i78) t^2-27*t+183;
(%o78)
13
(%i79) mod(13,13);
(%o79)
0
(%i72) t^2-25*t+157;
(%o72)
7
(%i73) mod(7,13);
(%o73)
7
より13で割れる。
(P-13)^6-1が13で割れるから、循環するが、初式(P-13)^3-1から
13で割れないが、循環するので、13を含むことがない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=11であるなら、
(P-13)^3-1から
t-14=-3
(%i81) t^2-25*t+157;
(%o81)
3
(%i82) mod(3,13);
(%o82)
3
より13で割れない。
(P-13)^6+1から
(%i83) t^2- 26*t + 170;
(%o83)
5
(%i84) mod(5,13);
(%o84)
5
(%i85) t^4- 52* t^3+ 1013* t^2 - 8762* t + 28393;
(%o85)
13
(%i86) mod(13,13);
(%o86)
0
より13で割れる。
(P-13)^6-1から
t-14=-3
t-12=-1
(%i87) t^2-27*t+183;
(%o87)
7
(%i88) mod(7,13);
(%o88)
7
(%i81) t^2-25*t+157;
(%o81)
3
(%i82) mod(3,13);
(%o82)
3
より13で割れない。
(P-13)^6+1が13で割れるから、循環するが、初式(P-13)^3-1から
13で割れないが、循環するので、13を含むことがない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=12であるなら、
(P-13)^3-1から
t-14=-2
(%i90) t^2-25*t+157;
(%o90)
1
(%i91) mod(1,13);
(%o91)
1
より13で割れない。
(P-13)^6+1から
(%i92) t^2- 26*t + 170;
(%o92)
2
(%i93) mod(2,13);
(%o93)
2
(%i94) t^4- 52* t^3+ 1013* t^2 - 8762* t + 28393;
(%o94)
1
(%i95) mod(1,13);
(%o95)
1
より13で割れない。
(P-13)^6-1から
t-14=-2
t-12=-0 t-12=0より、13で割り切れる。
(%i96) t^2-27*t+183;
(%o96)
3
(%i97) mod(3,13);
(%o97)
3
(%i90) t^2-25*t+157;
(%o90)
1
(%i91) mod(1,13);
(%o91)
1
より13で割れる。
(P-13)^6-1が13で割れるから、循環するが、初式(P-13)^3-1から
13で割れないが、循環するので、13を含むことがない。
以上から、x=30030n+Pと表せる素数のσ(x)の因数分解において、P=13+tとするとき、
t=1,3,9のみ、13を含むことがあり、t=2,4,5,6,7,8,10,11,12であるとき、決して13は含まない。