17u+t
ver0.0001 2019.11.17
2,3,5,7,11,13,17の倍数を除いた素数候補式は510510+Pで、Pは、(2-1)(3-1)
(5-1)(7-1)(11-1)(13-1)(17-1)=92160個ある。
x=510510j+PでP=17u+tとすると、tは
(%i3) mod(103,17);
(%o3)
1
(%i5) mod(137,17);
(%o5)
1
(%i6) mod(239,17);
(%o6)
1
より、t=1を除いて、17を含まないようだ。
x=510510j+Pで、x-2k=17のとき、
510510j+P-2k=17
510510l+(P-17)=2k
より、
mod({(P-17)^(n+1)-1},17）
の関係だけをかんがえればよい。
そこで、最初は
(P-17)^3-1
(P-17)^5-1
(P-17)^7-1
(P-17)^9-1
(P-17)^11-1
(P-17)^13-1
(P-17)^15-1
(P-17)^17-1
(P-17)^19-1
と計算してゆくわけだが、
(%i7) mod(2^3-1,17);
(%o7)
7
(%i8) mod(2^5-1,17);
(%o8)
14
(%i9) mod(2^7-1,17);
(%o9)
8
(%i10) mod(2^9-1,17);
(%o10)
1
(%i11) mod(2^11-1,17);
(%o11)
7
(%i12) mod(2^13-1,17);
(%o12)
14
(%i13) mod(2^15-1,17);
(%o13)
8
この関係は維持されるので、
(p-17)^11-1-{(P-17)^3-1}=(P-17)^11-(P-17)^3=(P-17)^3{(P-17)^8-1}=(P-17)^3{(P-17)^4+1}{(P-17)^4-1}
(p-17)^13-1-{(P-17)^5-1}=(P-17)^13-(P-17)^3=(P-17)^5{(P-17)^8-1}=(P-17)^5{(P-17)^4+1}{(P-17)^4-1}
(p-17)^15-1-{(P-17)^7-1}=(P-17)^15-(P-17)^3=(P-17)^7{(P-17)^8-1}=(P-17)^7{(P-17)^4+1}{(P-17)^4-1}
ここで、
{(P-17)^4+1}
{(P-17)^4-1}
に注目する。
さて、Pは13でわれないから、
(%i1) P:13*u+t;
(%o1)
13 u + t
とおくと、初式は
(%i15) factor((P-17)^3-1);
2
2
(%o15) (17 u + t - 18) (289 u + 34 t u - 561 u
+ t - 33 t + 273)
であるから、
(P-17)^3-1から
t-18,t^2-33t+273
に注目する。
また、
(%i16) factor((P-17)^4+1);
4
3
3 2
2
2 2
(%o16) 83521 u + 19652 t u - 334084 u + 1734 t
u - 58956 t u + 501126 u
3
2
4
3 2
+ 68 t u - 3468 t u + 58956 t u - 334084 u + t
- 68 t + 1734 t - 19652 t
+ 83522
(%i17) factor((P-17)^4-1);
2
2
(%o17) (17 u + t - 18) (17 u + t - 16) (289 u + 34 t u - 578 u +
t - 34 t + 290)
であるから、(P-17)^4+1より、
t^4- 68 t^3 + 1734 t^2 - 19652 t +
83522
と(P-17)^4-1より、
t-18
t-16
t^2-34t+290
に注目する。
t=1であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-17 t-18=-17より17で割れる。
(%i19)t^2-33*t+273;
(%o19)
241
(%i20) mod(241,17);
(%o20)
3
初式は、17で割れる。
また、(P-17)^4+1より、
t^4- 68 t^3 + 1734 t^2 - 19652 t +
83522
であるから、
(%i21) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o21)
65537
(%i22) mod(65537,17);
(%o22)
2
より、17で割り切れない。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-17 t-18=-17より17で割れる。
t-16=-15
(%i23) t^2-34*t+290;
(%o23)
257
(%i24) mod(257,17);
(%o24)
2
より、17で割れる。
(P-17)^4-1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数であるから、
初式は17割り切れ循環するので、17を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=2であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-16
(%i26) t^2-33*t+273;
(%o26)
211
(%i27) mod(211,17);
(%o27)
7
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i28) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o28)
50626
(%i29) mod(50626,17);
(%o29)
0
より、17で割れる。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-16
t-16=-14
(%i30) t^2-34*t+290;
(%o30)
226
(%i31) mod(226,17);
(%o31)
5
より、17で割り切れない。
(P-17)^4+1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=3であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-15
(%i33) t^2-33*t+273;
(%o33)
183
(%i34) mod(183,17);
(%o34)
13
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i35) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o35)
38417
(%i36) mod(38417,17);
(%o36)
14
より、17で割り切れない。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-15
t-16=-13
(%i30) t^2-34*t+290;
(%o30)
226
(%i31) mod(226,17);
(%o31)
5
より、17で割り切れない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので循環しない。
そこで、P=17+3=20より、
(%i50) mod(20^3-1,17);
(%o50)
9
(%i51) mod(20^5-1,17);
(%o51)
4
(%i52) mod(20^7-1,17);
(%o52)
10
(%i53) mod(20^9-1,17);
(%o53)
13
(%i54) mod(20^11-1,17);
(%o54)
6
(%i55) mod(20^13-1,17);
(%o55)
11
(%i56) mod(20^15-1,17);
(%o56)
5
(%i57) mod(20^17-1,17);
(%o57)
2
(%i58) mod(20^19-1,17);
(%o58)
9
(%i59) mod(20^21-1,17);
(%o59)
4
(%i60) mod(20^23-1,17);
(%o60)
10
(%i61) mod(20^25-1,17);
(%o61)
13
より、この関係は維持されるので、
(p-17)^19-1-{(P-17)^3-1}=(P-17)^19-(P-17)^3=(P-17)^3{(P-17)^16-1}=(P-17)^3{(P-17)^8+1}{(P-17)^8-1}
(p-17)^21-1-{(P-17)^5-1}=(P-17)^21-(P-17)^5=(P-17)^5{(P-17)^16-1}=(P-17)^5{(P-17)^8+1}{(P-17)^8-1}
(p-17)^23-1-{(P-17)^7-1}=(P-17)^23-(P-17)^7=(P-17)^7{(P-17)^16-1}=(P-17)^7{(P-17)^8+1}{(P-17)^8-1}
ここで、
{(P-17)^8+1}
{(P-17)^8-1}={(P-17)^4+1}{(P-17)^4-1}
に注目する。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので(P-17)^8+1
を検討する。
(%i2) factor((P-17)^8+1);
8
7
7
2 6
(%o2) 815730721 u + 501988136 t u - 8533798312 u +
135150652 t u
6
6
3
5
2 5
- 4595122168 t u + 39058538428 u + 20792408 t
u - 1060412808 t u
5
5
4
4
3 4
+ 18027017736 t u - 102153100504 u + 1999270 t
u - 135950360 t u
2
4
4
4 5 3
+ 3466734180 t u - 39289654040 t u +
166981029670 u + 123032 t u
4
3
3
3
2
3
3
- 10457720 t u + 355562480 t u -
6044562160 t u + 51378778360 t u
3 6
2 5
2
4 2
- 174687846424 u + 4732 t u - 482664 t
u + 20513220 t u
3
2
2
2
2
2
- 464966320 t u + 5928320580 t u -
40312579944 t u + 114218976508 u
7
6
5
4
3
+ 104 t u - 12376 t u + 631176 t u - 17883320
t u + 304016440 t u
2
8
7 6
- 3100967688 t u + 17572150232 t u - 42675221992 u +
t - 136 t + 8092 t
5
4
3
2
- 275128 t + 5846470 t - 79511992 t + 675851932
t - 3282709384 t
+ 6975757442
より、
t^8-136t^7 +8092 t^6-275128t^5+5846470t^4- 79511992 t^3+ 675851932 t^2-
3282709384 t + 6975757442
より、
(%i4) t^8- 136*t^7+ 8092*t^6- 275128*t^5 + 5846470*t^4-
79511992*t^3+ 675851932*t^2- 3282709384*t + 6975757442;
(%o4)
1475789057
(%i5) mod(1475789057,17);
(%o5)
0
より、17で割れる。
(P-17)^8+1が17で割れるから、循環するが、初式(P-17)^3-1から
17で割れないので、循環するので、17を含むことがない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=4であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-14
(%i7) t^2-33*t+273;
(%o7)
157
(%i8) mod(157,17);
(%o8)
4
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i9) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o9)
28562
(%i10) mod(28562,17);
(%o10)
2
より、17で割り切れない。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-14
t-16=-12
(%i11) t^2-34*t+290;
(%o11)
170
(%i12) mod(170,17);
(%o12)
0
より、17で割れる。
(P-17)^4-1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=5であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-13
(%i14) t^2-33*t+273;
(%o14)
133
(%i15) mod(133,17);
(%o15)
14
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i16) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o16)
20737
(%i17) mod(20737,17);
(%o17)
14
より、17で割り切れない。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-13
t-16=-11
(%i18) t^2-34*t+290;
(%o18)
145
(%i19) mod(145,17);
(%o19)
9
より、17で割り切れない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので循環しない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので(P-17)^8+1
を検討する。
(%i20) t^8- 136*t^7+ 8092*t^6- 275128*t^5 + 5846470*t^4-
79511992*t^3+ 675851932*t^2- 3282709384*t + 6975757442;
(%o20)
429981697
(%i21) mod(429981697,17);
(%o21)
0
より、17で割れる。
(P-17)^8+1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=6であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-12
(%i23) t^2-33*t+273;
(%o23)
111
(%i24) mod(111,17);
(%o24)
9
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i25) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o25)
14642
(%i26) mod(14642,17);
(%o26)
5
より、17で割り切れない。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-12
t-16=-10
(%i27) t^2-34*t+290;
(%o27)
122
(%i28) mod(122,17);
(%o28)
3
より、17で割り切れない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので循環しない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので(P-17)^8+1
を検討する。
(%i29) t^8- 136*t^7+ 8092*t^6- 275128*t^5 + 5846470*t^4-
79511992*t^3+ 675851932*t^2- 3282709384*t + 6975757442;
(%o29)
214358882
(%i30) mod(214358882,17);
(%o30)
0
より、17で割れる。
(P-17)^8+1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=7であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-11
(%i2) t^2-33*t+273;
(%o2)
91
(%i3) mod(91,17);
(%o3)
6
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i4) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o4)
10001
(%i5) mod(10001,17);
(%o5)
5
より、17で割り切れない。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-11
t-16=-9
(%i6) t^2-34*t+290;
(%o6)
101
(%i7) mod(101,17);
(%o7)
16
より、17で割り切れない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので循環しない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので(P-17)^8+1
を検討する。
(%i8) t^8- 136*t^7+ 8092*t^6- 275128*t^5 + 5846470*t^4-
79511992*t^3+ 675851932*t^2- 3282709384*t + 6975757442;
(%o8)
100000001
(%i9) mod(100000001,17);
(%o9)
0
より、17で割れる。
(P-17)^8+1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=8であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-10
(%i11) t^2-33*t+273;
(%o11)
73
(%i12) mod(73,17);
(%o12)
5
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i13) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o13)
6562
(%i14) mod(6562,17);
(%o14)
0
より、17で割れる。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-10
t-16=-8
(%i15) t^2-34*t+290;
(%o15)
82
(%i16) mod(82,17);
(%o16)
14
より、17で割り切れない。
(P-17)^4+1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=9であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-9
(%i18) t^2-33*t+273;
(%o18)
57
(%i19) mod(57,17);
(%o19)
6
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i20) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o20)
4097
(%i21) mod(4097,17);
(%o21)
0
より、17で割れる。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-9
t-16=-7
(%i22) t^2-34*t+290;
(%o22)
65
(%i23) mod(65,17);
(%o23)
14
より、17で割り切れない。
(P-17)^4+1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=10であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-8
(%i25) t^2-33*t+273;
(%o25)
43
(%i26) mod(43,17);
(%o26)
9
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i27) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o27)
2402
(%i28) mod(1402,17);
(%o28)
8
より、17で割り切れない。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-8
t-16=-6
(%i29) t^2-34*t+290;
(%o29)
50
(%i30) mod(50,17);
(%o30)
16
より、17で割り切れない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので循環しない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので(P-17)^8+1
を検討する。
(%i31) t^8- 136*t^7+ 8092*t^6- 275128*t^5 + 5846470*t^4-
79511992*t^3+ 675851932*t^2- 3282709384*t + 6975757442;
(%o31)
5764802
(%i32) mod(5764802,17);
(%o32)
0
より、17で割れる。
(P-17)^8+1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=11であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-7
(%i34) t^2-33*t+273;
(%o34)
31
(%i35) mod(31,17);
(%o35)
14
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i36) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o36)
1297
(%i37) mod(1297,17);
(%o37)
5
より、17で割り切れない。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-7
t-16=-5
(%i38) t^2-34*t+290;
(%o38)
37
(%i39) mod(37,17);
(%o39)
3
より、17で割り切れない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので循環しない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので(P-17)^8+1
を検討する。
(%i40) t^8- 136*t^7+ 8092*t^6- 275128*t^5 + 5846470*t^4-
79511992*t^3+ 675851932*t^2- 3282709384*t + 6975757442;
(%o40)
1679617
(%i41) mod(1679617,17);
(%o41)
0
より、17で割れる。
(P-17)^8+1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=12であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-6
(%i45) t^2-33*t+273;
(%o45)
21
(%i46) mod(21,17);
(%o46)
4
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i47) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o47)
626
(%i48) mod(626,17);
(%o48)
14
より、17で割り切れない。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-6
t-16=-4
(%i49) t^2-34*t+290;
(%o49)
26
(%i50) mod(26,17);
(%o50)
9
より、17で割り切れない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので循環しない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので(P-17)^8+1
を検討する。
(%i51) t^8- 136*t^7+ 8092*t^6- 275128*t^5 + 5846470*t^4-
79511992*t^3+ 675851932*t^2- 3282709384*t + 6975757442;
(%o51)
390626
(%i52) mod(390626,17);
(%o52)
0
より、17で割れる。
(P-17)^8+1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=13であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-5
(%i54) t^2-33*t+273;
(%o54)
13
(%i55) mod(13,17);
(%o55)
13
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i56) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o56)
257
(%i57) mod(257,17);
(%o57)
2
より、17で割り切れない。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-5
t-16=-3
(%i60) t^2-34*t+290;
(%o60)
17
(%i61) mod(17,17);
(%o61)
0
より、17で割れる。
(P-17)^4-1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=14であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-4
(%i63) t^2-33*t+273;
(%o63)
7
(%i64) mod(7,17);
(%o64)
7
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i65) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o65)
82
(%i66) mod(82,17);
(%o66)
14
より、17で割り切れない。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-4
t-16=-2
(%i67) t^2-34*t+290;
(%o67)
10
(%i68) mod(10,17);
(%o68)
10
より、17で割り切れない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので循環しない。
(P-17)^4+1,(P-17)^4-1ともに、17で割れないので(P-17)^8+1
を検討する。
(%i69) t^8- 136*t^7+ 8092*t^6- 275128*t^5 + 5846470*t^4-
79511992*t^3+ 675851932*t^2- 3282709384*t + 6975757442;
(%o69)
6562
(%i70) mod(6562,17);
(%o70)
0
より、17で割れる。
(P-17)^8+1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=15であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-3
(%i72) t^2-33*t+273;
(%o72)
3
(%i73) mod(3,17);
(%o73)
3
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i74) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o74)
17
(%i75) mod(17,17);
(%o75)
0
より、17で割れる。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-3
t-16=-1
(%i76) t^2-34*t+290;
(%o76)
5
(%i77) mod(5,17);
(%o77)
5
より、17で割り切れない。
(P-17)^4+1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=16であるなら、
(P-17)^3-1から
t-18=-2
(%i79) t^2-33*t+273;
(%o79)
1
(%i80) mod(1,17);
(%o80)
1
より、初式は、17で割り切れない。
また、(P-17)^4+1より、
(%i81) t^4- 68*t^3 + 1734*t^2 - 19652*t + 83522;
(%o81)
2
(%i82) mod(2,17);
(%o82)
2
より、17で割り切れない。
また、(P-17)^4-1より、
t-18=-2
t-16=-0 t-16=-0より、17で割り切れる。
(%i83) t^2-34*t+290;
(%o83)
2
(%i84) mod(2,17);
(%o84)
2
より、17で割れる。
(P-17)^4-1が17の倍数であり、循環するが、初式(P-17)^3-1が17の倍数でないから、
初式は17割れず循環するので、17を含まない。
以上から、x=510510n+Pと表せる素数のσ(x)の因数分解において、P=17u+tとするとき、
t=1のみ、17を含むことがあり、t=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16であるとき、決して17は含まない。