19u+t
ver0.0001 2019.11.17
2,3,5,7,11,13,17,19の倍数を除いた素数候補式は9699690+Pで、Pは、(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)(11-1)(13-1)(17-1)(19-1)=1658880個ある。
x=9699690j+Pで、x-2k=19のとき、
9699690j+P-2k=19
9699690l+(P-19)=2k
より、
mod({(P-19)^(n+1)-1},19）
の関係だけをかんがえればよい。
そこで、最初は
(P-19)^3-1
(P-19)^5-1
(P-19)^7-1
(P-19)^9-1
(P-19)^11-1
(P-19)^13-1
(P-19)^15-1
(P-19)^19-1
(P-19)^19-1
と計算してゆくわけだが、
(%i27) mod(2^3-1,19);
(%o27)
7
(%i28) mod(2^5-1,19);
(%o28)
12
(%i29) mod(2^7-1,19);
(%o29)
13
(%i30) mod(2^9-1,19);
(%o30)
17
(%i31) mod(2^11-1,19);
(%o31)
14
(%i32) mod(2^13-1,19);
(%o32)
2
(%i33) mod(2^15-1,19);
(%o33)
11
(%i34) mod(2^17-1,19);
(%o34)
9
(%i35) mod(2^19-1,19);
(%o35)
1
(%i37) mod(2^21-1,19);
(%o37)
7
(%i36) mod(2^23-1,19);
(%o36)
12
(%i38) mod(2^25-1,19);
(%o38)
13
この関係は維持されるので、
(p-19)^21-1-{(P-19)^3-1}=(P-19)^21-(P-19)^3=(P-19)^3{(P-19)^18-1}=(P-19)^3{(P-19)^9+1}{(P-19)^9-1}
(p-19)^23-1-{(P-19)^5-1}=(P-19)^23-(P-19)^5=(P-19)^5{(P-19)^18-1}=(P-19)^5{(P-19)^9+1}{(P-19)^9-1}
(p-19)^25-1-{(P-19)^7-1}=(P-19)^25-(P-19)^7=(P-19)^7{(P-19)^18-1}=(P-19)^7{(P-19)^9+1}{(P-19)^9-1}
ここで、
{(P-19)^9+1}
{(P-19)^9-1}
に注目する。
さて、Pは19でわれないから、
(%i1) P:19*u+t;
(%o1)
19 u + t
とおくと、初式は
(%i41) factor((P-19)^3-1);
2
2
(%o41) (19 u + t - 20) (361 u + 38 t u - 703 u + t - 37 t + 343)
であるから、
(P-19)^3-1から
t-20
t^2-37t+343
に注目する。
また、(p-19)^21-1-{(P-19)^3-1}より間の
初式は、(P-19)^5-1となることもあり
初式は、(P-19)^7-1となることもあり
初式は、(P-19)^9-1となることもあり
初式は、(P-19)^11-1となることもあり
初式は、(P-19)^13-1となることもあり
初式は、(P-19)^15-1となることもあり
初式は、(P-19)^17-1となることもあり
初式は、(P-19)^19-1となることもある。
さて、循環するには、(P-19)^9+1か、(P-19)^9-1が19で割れなければならないから、
(%i42) factor((P-19)^9+1);
2
2
(%o42) (19 u + t - 18) (361 u + 38 t u - 741 u + t - 39 t + 381)
6
5
5
2
4
4
(47045881 u + 14856594 t u - 282275286 u + 1954815 t u - 74282970 t u
4 3
3
2
3
3
3
+ 705688215 u + 137180 t u - 7819260 t u + 148565940 t u - 940924479 u
4
2 3
2
2
2
2
2
+ 5415 t u - 411540 t u + 11728890 t u - 148567023 t u + 705708792 u
5
4
3
2
+ 114 t u - 10830 t u + 411540 t u - 7819317 t u + 74285136 t u
6
5
4
3 2
- 282295863 u + t - 114 t + 5415 t - 137181 t + 1954872 t - 14857677 t
+ 47052741)
(%i43) factor((P-19)^9-1);
2
2
(%o43) (19 u + t - 20) (361 u + 38 t u - 703 u + t - 37 t + 343)
6
5
5
2
4
4
(47045881 u + 14856594 t u - 282275286 u + 1954815 t u - 74282970 t u
4 3
3
2
3
3
3
+ 705688215 u + 137180 t u - 7819260 t u + 148565940 t u - 940910761 u
4
2 3
2
2
2
2
2
+ 5415 t u - 411540 t u + 11728890 t u - 148564857 t u + 705667638 u
5
4
3
2
+ 114 t u - 10830 t u + 411540 t u - 7819203 t u + 74280804 t u
6
5
4
3 2
- 282254709 u + t - 114 t + 5415 t - 137179 t + 1954758 t - 14855511 t
+ 47039023)
であるから、(P-19)^9+1より、
t-18
t^2-39t+381
t^6- 114 t^5+ 5415 t^4- 137181 t^3+ 1954872 t^2- 14857677 t + 47052741
と(P-19)^9-1より、
t-20
t^2-37t+343
t^6- 114 t^5+ 5415 t^4- 137179 t^3+ 1954758 t^2- 14855511 t + 47039023
に注目する。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=1であるなら、
(P-19)^3-1から
t-20=-19 t-20=-19は19で割れる。
(%i45) t^2-37*t+343;
(%o45)
307
(%i46) mod(307,19);
(%o46)
3
初式は、19で割りきれる。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-17
(%i47) t^2-39*t+381;
(%o47)
343
(%i48) mod(343,19);
(%o48)
1
(%i49) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o49)
34018057
(%i50) mod(34018057,19);
(%o50)
1
より、19で割り切れない。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-19 t-20=-19は19で割れる。
(%i45) t^2-37*t+343;
(%o45)
307
(%i46) mod(307,19);
(%o46)
3
(%i51) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o51)
34006393
(%i52) mod(34006393,19);
(%o52)
3
より、19で割りきれる。
(P-19)^9-1が19の倍数であり、循環するが、初式(P-19)^3-1が19の倍数であるから、
初式は19割り切れ循環するので、19を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=2であるなら、
(%i27) mod(2^3-1,19);
(%o27)
7
(%i28) mod(2^5-1,19);
(%o28)
12
(%i29) mod(2^7-1,19);
(%o29)
13
(%i30) mod(2^9-1,19);
(%o30)
17
(%i31) mod(2^11-1,19);
(%o31)
14
(%i32) mod(2^13-1,19);
(%o32)
2
(%i33) mod(2^15-1,19);
(%o33)
11
(%i34) mod(2^17-1,19);
(%o34)
9
(%i35) mod(2^19-1,19);
(%o35)
1
初式は、19で割れない。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-16
(%i56) t^2-39*t+381;
(%o56)
307
(%i57) mod(307,19);
(%o57)
3
(%i58) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o58)
24142483
(%i59) mod(24142483,19);
(%o59)
0
より、19で割りきれる。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-18
(%i54) t^2-37*t+343;
(%o54)
273
(%i55) mod(273,19);
(%o55)
7
(%i60) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o60)
24132657
(%i61) mod(24132657,19);
(%o61)
16
より、19で割り切れない。
(P-19)^9+1が19の倍数であり、循環するが、初式がいずれも19の倍数でないから、
初式は19割れず循環するので、19を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=3であるなら、
(%i36) mod(3^3-1,19);
(%o36)
7
(%i37) mod(3^5-1,19);
(%o37)
14
(%i38) mod(3^7-1,19);
(%o38)
1
(%i39) mod(3^9-1,19);
(%o39)
17
(%i40) mod(3^11-1,19);
(%o40)
9
(%i41) mod(3^13-1,19);
(%o41)
13
(%i42) mod(3^15-1,19);
(%o42)
11
(%i43) mod(3^17-1,19);
(%o43)
12
(%i44) mod(3^19-1,19);
(%o44)
2
初式は、19で割れない。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-15
(%i65) t^2-39*t+381;
(%o65)
273
(%i66) mod(273,19);
(%o66)
7
(%i67) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o67)
16781313
(%i68) mod(16781313,19);
(%o68)
0
より、19で割りきれる。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-17
(%i63) t^2-37*t+343;
(%o63)
241
(%i64) mod(241,19);
(%o64)
13
(%i69) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o69)
16773121
(%i70) mod(16773121,19);
(%o70)
16
より、19で割り切れない。
(P-19)^9+1が19の倍数であり、循環するが、初式がいずれも19の倍数でないから、
初式は19割れず循環するので、19を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=4であるなら、
(%i45) mod(4^3-1,19);
(%o45)
6
(%i46) mod(4^5-1,19);
(%o46)
16
(%i47) mod(4^7-1,19);
(%o47)
5
(%i48) mod(4^9-1,19);
(%o48)
0
(%i49) mod(4^11-1,19);
(%o49)
15
(%i50) mod(4^13-1,19);
(%o50)
8
(%i51) mod(4^15-1,19);
(%o51)
10
(%i52) mod(4^17-1,19);
(%o52)
4
(%i53) mod(4^19-1,19);
(%o53)
3
初式は、19で割りきれることがある。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-14
(%i74) t^2-39*t+381;
(%o74)
241
(%i75) mod(241,19);
(%o75)
13
(%i76) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o76)
11394001
(%i77) mod(11394001,19);
(%o77)
5
より、19で割り切れない。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-16
(%i72) t^2-37*t+343;
(%o72)
211
(%i73) mod(211,19);
(%o73)
2
(%i78) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o78)
11387251
(%i79) mod(11387251,19);
(%o79)
0
より、19で割りきれる。
(P-19)^9-1が19の倍数であり、循環するが、初式(P-19)^9-1が19の倍数であるから、
初式は19割り切れ循環するので、19を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=5であるなら、
(%i55) mod(5^3-1,19);
(%o55)
10
(%i56) mod(5^5-1,19);
(%o56)
8
(%i57) mod(5^7-1,19);
(%o57)
15
(%i58) mod(5^9-1,19);
(%o58)
0
(%i59) mod(5^11-1,19);
(%o59)
5
(%i60) mod(5^13-1,19);
(%o60)
16
(%i61) mod(5^15-1,19);
(%o61)
6
(%i62) mod(5^17-1,19);
(%o62)
3
(%i63) mod(5^19-1,19);
(%o63)
4
初式は、19で割りきれる場合がある。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-13
(%i80) t^2-39*t+381;
(%o80)
211
(%i81) mod(211,19);
(%o81)
2
(%i85) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o85)
7532281
(%i86) mod(7532281,19);
(%o86)
16
より、19で割り切れない。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-15
(%i81) t^2-37*t+343;
(%o81)
183
(%i82) mod(183,19);
(%o82)
12
(%i87) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o87)
7526793
(%i88) mod(7526793,19);
(%o88)
0
より、19で割りきれる。
(P-19)^9-1が19の倍数であり、循環するが、初式(P-19)^9-1が19の倍数であるから、
初式は19割り切れ循環するので、19を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=6であるなら、
(%i64) mod(6^3-1,19);
(%o64)
6
(%i65) mod(6^5-1,19);
(%o65)
4
(%i66) mod(6^7-1,19);
(%o66)
8
(%i67) mod(6^9-1,19);
(%o67)
0
(%i68) mod(6^11-1,19);
(%o68)
16
(%i69) mod(6^13-1,19);
(%o69)
3
(%i70) mod(6^15-1,19);
(%o70)
10
(%i71) mod(6^17-1,19);
(%o71)
15
(%i72) mod(6^19-1,19);
(%o72)
5
初式は、19で割りきれる場合がある。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-12
(%i85) t^2-39*t+381;
(%o85)
183
(%i86) mod(183,19);
(%o86)
12
(%i87) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o87)
4829007
(%i88) mod( 4829007,19);
(%o88)
5
より、19で割り切れない。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-14
(%i89) t^2-37*t+343;
(%o89)
157
(%i90) mod(157,19);
(%o90)
5
(%i91) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o91)
4824613
(%i92) mod(4824613,19);
(%o92)
0
より、19で割りきれる。
(P-19)^9-1が19の倍数であり、循環するが、初式(P-19)^9-1が19の倍数であるから、
初式は19割り切れ循環するので、19を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=7であるなら、
(%i93) mod(7^3-1,19);
(%o93)
0
(%i94) mod(7^5-1,19);
(%o94)
10
(%i95) mod(7^7-1,19);
(%o95)
6
(%i96) mod(7^9-1,19);
(%o96)
0
(%i97) mod(7^11-1,19);
(%o97)
10
(%i98) mod(7^13-1,19);
(%o98)
6
(%i99) mod(7^15-1,19);
(%o99)
0
(%i100) mod(7^17-1,19);
(%o100)
10
(%i101) mod(7^19-1,19);
(%o101)
6
初式は、19で割りきれる場合がある。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-11
(%i103) t^2-39*t+381;
(%o103)
157
(%i104) mod(157,19);
(%o104)
5
(%i105) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o105)
2987713
(%i106) mod(2987713,19);
(%o106)
1
より、19で割り切れない。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-13
(%i107) t^2-37*t+343;
(%o107)
133
(%i108) mod(133,19);
(%o108)
0
(%i109) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o109)
2984257
(%i110) mod(2984257,19);
(%o110)
3
より、19で割りきれる。
(P-19)^9-1が19の倍数であり、循環するが、初式(P-19)^3-1が19の倍数であるから、
初式は19割り切れ循環するので、19を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=8であるなら、
(%i111) mod(8^3-1,19);
(%o111)
17
(%i112) mod(8^5-1,19);
(%o112)
11
(%i113) mod(8^7-1,19);
(%o113)
7
(%i114) mod(8^9-1,19);
(%o114)
17
(%i115) mod(8^11-1,19);
(%o115)
11
(%i116) mod(8^13-1,19);
(%o116)
7
(%i117) mod(8^15-1,19);
(%o117)
17
(%i118) mod(8^17-1,19);
(%o118)
11
(%i119) mod(8^19-1,19);
(%o119)
7
初式は、19で割れない。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-10
(%i122) t^2-39*t+381;
(%o122)
133
(%i123) mod(133,19);
(%o123)
0
(%i124) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o124)
1772893
(%i125) mod(1772893,19);
(%o125)
3
より、19で割りきれる。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-12
(%i126) t^2-37*t+343;
(%o126)
111
(%i127) mod(111,19);
(%o127)
16
(%i128) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o128)
1770231
(%i129) mod(1770231,19);
(%o129)
1
より、19で割り切れない。
(P-19)^9+1が19の倍数であり、循環するが、初式がいずれも19の倍数でないから、
初式は19割れず循環するので、19を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=9であるなら、
(%i130) mod(9^3-1,19);
(%o130)
6
(%i131) mod(9^5-1,19);
(%o131)
15
(%i132) mod(9^7-1,19);
(%o132)
3
(%i133) mod(9^9-1,19);
(%o133)
0
(%i134) mod(9^11-1,19);
(%o134)
4
(%i135) mod(9^13-1,19);
(%o135)
5
(%i136) mod(9^15-1,19);
(%o136)
10
(%i137) mod(9^17-1,19);
(%o137)
16
(%i138) mod(9^19-1,19);
(%o138)
8
初式は、19で割りきれる場合がある。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-9
(%i140) t^2-39*t+381;
(%o140)
111
(%i141) mod(111,19);
(%o141)
16
(%i142) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o142)
1001001
(%i143) mod(1001001,19);
(%o143)
5
より、19で割り切れない。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-11
(%i144) t^2-37*t+343;
(%o144)
91
(%i145) mod(91,19);
(%o145)
15
(%i146) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o146)
999001
(%i147) mod(999001,19);
(%o147)
0
より、19で割りきれる。
(P-19)^9-1が19の倍数であり、循環するが、初式(P-19)^9-1が19の倍数であるから、
初式は19割り切れ循環するので、19を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=10であるなら、
(%i148) mod(10^3-1,19);
(%o148)
11
(%i149) mod(10^5-1,19);
(%o149)
2
(%i150) mod(10^7-1,19);
(%o150)
14
(%i151) mod(10^9-1,19);
(%o151)
17
(%i152) mod(10^11-1,19);
(%o152)
13
(%i153) mod(10^13-1,19);
(%o153)
12
(%i154) mod(10^15-1,19);
(%o154)
7
(%i155) mod(10^17-1,19);
(%o155)
1
(%i156) mod(10^19-1,19);
(%o156)
9
初式は、19で割れない。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-8
(%i158) t^2-39*t+381;
(%o158)
91
(%i159) mod(91,19);
(%o159)
15
(%i160) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o160)
532171
(%i161) mod(532171,19);
(%o161)
0
より、19で割りきれる。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-10
(%i162) t^2-37*t+343;
(%o162)
73
(%i163) mod(73,19);
(%o163)
16
(%i164) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o164)
530713
(%i165) mod(530713,19);
(%o165)
5
より、19で割り切れない。
(P-19)^9+1が19の倍数であり、循環するが、初式がいずれも19の倍数でないから、
初式は19割れず循環するので、19を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=11であるなら、
(%i166) mod(11^3-1,19);
(%o166)
0
(%i167) mod(11^5-1,19);
(%o167)
6
(%i168) mod(11^7-1,19);
(%o168)
10
(%i169) mod(11^9-1,19);
(%o169)
0
(%i170) mod(11^11-1,19);
(%o170)
6
(%i171) mod(11^13-1,19);
(%o171)
10
(%i172) mod(11^15-1,19);
(%o172)
0
(%i173) mod(11^17-1,19);
(%o173)
6
(%i174) mod(11^19-1,19);
(%o174)
10
初式は、19で割りきれる場合がある。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-7
(%i176) t^2-39*t+381;
(%o176)
73
(%i177) mod(73,19);
(%o177)
16
(%i178) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o178)
262657
(%i179) mod(262657,19);
(%o179)
1
より、19で割り切れない。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-9
(%i180) t^2-37*t+343;
(%o180)
57
(%i181) mod(57,19);
(%o181)
0
(%i182) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o182)
261633
(%i183) mod(261633,19);
(%o183)
3
より、19で割りきれる。
(P-19)^9-1が19の倍数であり、循環するが、初式(P-19)^3-1が19の倍数であるから、
初式は19割り切れ循環するので、19を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=12であるなら、
(%i184) mod(12^3-1,19);
(%o184)
17
(%i185) mod(12^5-1,19);
(%o185)
7
(%i186) mod(12^7-1,19);
(%o186)
11
(%i187) mod(12^9-1,19);
(%o187)
17
(%i188) mod(12^11-1,19);
(%o188)
7
(%i189) mod(12^13-1,19);
(%o189)
11
(%i190) mod(12^15-1,19);
(%o190)
17
(%i191) mod(12^17-1,19);
(%o191)
7
(%i192) mod(12^19-1,19);
(%o192)
11
初式は、19で割れない。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-6
(%i194) t^2-39*t+381;
(%o194)
57
(%i195) mod(57,19);
(%o195)
0
(%i196) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o196)
117993
(%i197) mod(117993,19);
(%o197)
3
より、19で割りきれる。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-8
(%i198) t^2-37*t+343;
(%o198)
43
(%i199) mod(43,19);
(%o199)
5
(%i200) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o200)
117307
(%i201) mod(117307,19);
(%o201)
1
より、19で割り切れない。
(P-19)^9+1が19の倍数であり、循環するが、初式がいずれも19の倍数でないから、
初式は19割れず循環するので、19を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=13であるなら、
(%i202) mod(13^3-1,19);
(%o202)
11
(%i203) mod(13^5-1,19);
(%o203)
13
(%i204) mod(13^7-1,19);
(%o204)
9
(%i205) mod(13^9-1,19);
(%o205)
17
(%i206) mod(13^11-1,19);
(%o206)
1
(%i207) mod(13^13-1,19);
(%o207)
14
(%i208) mod(13^15-1,19);
(%o208)
7
(%i209) mod(13^17-1,19);
(%o209)
2
(%i210) mod(13^19-1,19);
(%o210)
12
初式は、19で割れない。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-5
(%i212) t^2-39*t+381;
(%o212)
43
(%i213) mod(43,19);
(%o213)
5
(%i214) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o214)
46873
(%i215) mod(46873,19);
(%o215)
0
より、19で割りきれる。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-7
(%i216) t^2-37*t+343;
(%o216)
31
(%i217) mod(31,19);
(%o217)
12
(%i218) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o218)
46441
(%i219) mod(46441,19);
(%o219)
5
より、19で割り切れない。
(P-19)^9+1が19の倍数であり、循環するが、初式がいずれも19の倍数でないから、
初式は19割れず循環するので、19を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=14であるなら、
(%i220) mod(14^3-1,19);
(%o220)
7
(%i221) mod(14^5-1,19);
(%o221)
9
(%i222) mod(14^7-1,19);
(%o222)
2
(%i223) mod(14^9-1,19);
(%o223)
17
(%i224) mod(14^11-1,19);
(%o224)
12
(%i225) mod(14^13-1,19);
(%o225)
1
(%i226) mod(14^15-1,19);
(%o226)
11
(%i227) mod(14^17-1,19);
(%o227)
14
(%i228) mod(14^19-1,19);
(%o228)
13
初式は、19で割れない。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-4
(%i230) t^2-39*t+381;
(%o230)
31
(%i231) mod(31,19);
(%o231)
12
(%i232) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o232)
15751
(%i233) mod(15751,19);
(%o233)
0
より、19で割りきれる。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-6
(%i234) t^2-37*t+343;
(%o234)
21
(%i235) mod(21,19);
(%o235)
2
(%i236) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o236)
15501
(%i237) mod(15501,19);
(%o237)
16
より、19で割り切れない。
(P-19)^9+1が19の倍数であり、循環するが、初式がいずれも19の倍数でないから、
初式は19割れず循環するので、19を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=15であるなら、
(%i238) mod(15^3-1,19);
(%o238)
11
(%i239) mod(15^5-1,19);
(%o239)
1
(%i240) mod(15^7-1,19);
(%o240)
12
(%i241) mod(15^9-1,19);
(%o241)
17
(%i242) mod(15^11-1,19);
(%o242)
2
(%i243) mod(15^13-1,19);
(%o243)
9
(%i244) mod(15^15-1,19);
(%o244)
7
(%i245) mod(15^17-1,19);
(%o245)
13
(%i246) mod(15^19-1,19);
(%o246)
14
初式は、19で割れない。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-3
(%i248) t^2-39*t+381;
(%o248)
21
(%i249) mod(21,19);
(%o249)
2
(%i250) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o250)
4161
(%i251) mod(4161,19);
(%o251)
0
より、19で割りきれる。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-5
(%i252) t^2-37*t+343;
(%o252)
13
(%i253) mod(13,19);
(%o253)
13
(%i254) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o254)
4033
(%i255) mod(4033,19);
(%o255)
5
より、19で割り切れない。
(P-19)^9+1が19の倍数であり、循環するが、初式がいずれも19の倍数でないから、
初式は19割れず循環するので、19を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=16であるなら、
(%i256) mod(16^3-1,19);
(%o256)
10
(%i257) mod(16^5-1,19);
(%o257)
3
(%i258) mod(16^7-1,19);
(%o258)
16
(%i259) mod(16^9-1,19);
(%o259)
0
(%i260) mod(16^11-1,19);
(%o260)
8
(%i261) mod(16^13-1,19);
(%o261)
4
(%i262) mod(16^15-1,19);
(%o262)
6
(%i263) mod(16^17-1,19);
(%o263)
5
(%i264) mod(16^19-1,19);
(%o264)
15
初式は、19で割りきれる場合がある。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-2
(%i266) t^2-39*t+381;
(%o266)
13
(%i267) mod(13,19);
(%o267)
13
(%i268) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o268)
757
(%i269) mod(757,19);
(%o269)
16
より、19で割り切れない。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-4
(%i270) t^2-37*t+343;
(%o270)
7
(%i271) mod(7,19);
(%o271)
7
(%i272) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o272)
703
(%i273) mod(703,19);
(%o273)
0
より、19で割りきれる。
(P-19)^9-1が19の倍数であり、循環するが、初式(P-19)^9-1が19の倍数であるから、
初式は19割り切れ循環するので、19を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=17であるなら、
(%i274) mod(17^3-1,19);
(%o274)
10
(%i275) mod(17^5-1,19);
(%o275)
5
(%i276) mod(17^7-1,19);
(%o276)
4
(%i277) mod(17^9-1,19);
(%o277)
0
(%i278) mod(17^11-1,19);
(%o278)
3
(%i279) mod(17^13-1,19);
(%o279)
15
(%i280) mod(17^15-1,19);
(%o280)
6
(%i281) mod(17^17-1,19);
(%o281)
8
(%i282) mod(17^19-1,19);
(%o282)
16
初式は、19で割りきれる場合がある。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-1
(%i284) t^2-39*t+381;
(%o284)
7
(%i285) mod(7,19);
(%o285)
7
(%i286) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o286)
73
(%i287) mod(73,19);
(%o287)
16
より、19で割り切れない。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-3
(%i288) t^2-37*t+343;
(%o288)
3
(%i289) mod(3,19);
(%o289)
3
(%i290) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o290)
57
(%i291) mod(57,19);
(%o291)
0
より、19で割りきれる。
(P-19)^9-1が19の倍数であり、循環するが、初式(P-19)^9-1が19の倍数であるから、
初式は19割り切れ循環するので、19を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=18であるなら、
(%i292) mod(18^3-1,19);
(%o292)
17
(%i293) mod(18^5-1,19);
(%o293)
17
(%i294) mod(18^7-1,19);
(%o294)
17
(%i295) mod(18^9-1,19);
(%o295)
17
(%i296) mod(18^11-1,19);
(%o296)
17
(%i297) mod(18^13-1,19);
(%o297)
17
(%i298) mod(18^15-1,19);
(%o298)
17
(%i299) mod(18^17-1,19);
(%o299)
17
(%i300) mod(18^19-1,19);
(%o300)
17
(初式は、19で割れない。
また、(P-19)^9+1より、
t-18=-0 t-18=0より、19で割り切れる。
(%i302) t^2-39*t+381;
(%o302)
3
(%i303) mod(3,19);
(%o303)
3
(%i304) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137181*t^3+ 1954872*t^2- 14857677*t + 47052741;
(%o304)
3
(%i305) mod(3,19);
(%o305)
3
より、19で割りきれる。
また、(P-19)^9-1より、
t-20=-2
(%i306) t^2-37*t+343;
(%o306)
1
(%i307) mod(1,19);
(%o307)
1
(%i308) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 1954758*t^2- 14855511*t + 47039023;
(%o308)
1
(%i309) mod(1,19);
(%o309)
1
より、19で割り切れない。
(P-19)^9+1が19の倍数であり、循環するが、初式がいずれも19の倍数でないから、
初式は19割れず循環するので、19を含まない。
以上から、x=9699690n+Pと表せる素数のσ(x)の因数分解において、P=19u+tとするとき、
t=2,3,8,10,12,13,14,15,18ならσ(x)を素因数分解したら19を含まない。