23u+t
ver0.0001 2019.11.17
2,3,5,7,11,13,17,19,23の倍数を除いた素数候補式は223092870+Pで、Pは、(2
-1)(3-1)(5-1)(7-1)(11-1)(13-1)(17-1)(19-1)(23-1)=36495360個ある。
x=223092870j+Pで、x-2k=23のとき、
223092870j+P-2k=23
223092870l+(P-23)=2k
より、
mod({(P-23)^(n+1)-1},23）
の関係だけをかんがえればよい。
そこで、最初は
(P-23)^3-1
(P-23)^5-1
(P-23)^7-1
(P-23)^9-1
(P-23)^11-1
(P-23)^13-1
(P-23)^15-1
(P-23)^17-1
(P-23)^19-1
と計算してゆくわけだが、
(%i31) mod(2^3-1,23);
(%o31)
7
(%i32) mod(2^5-1,23);
(%o32)
8
(%i33) mod(2^7-1,23);
(%o33)
12
(%i34) mod(2^9-1,23);
(%o34)
5
(%i35) mod(2^11-1,23);
(%o35)
0
(%i36) mod(2^13-1,23);
(%o36)
3
(%i37) mod(2^15-1,23);
(%o37)
15
(%i38) mod(2^17-1,23);
(%o38)
17
(%i39) mod(2^19-1,23);
(%o39)
2
(%i40) mod(2^21-1,23);
(%o40)
11
(%i41) mod(2^23-1,23);
(%o41)
1
(%i42) mod(2^25-1,23);
(%o42)
7
(%i43) mod(2^27-1,23);
(%o43)
8
(%i44) mod(2^29-1,23);
(%o44)
12
(%i45) mod(2^31-1,23);
(%o45)
5
この関係は維持されるので、
(p-23)^25-1-{(P-23)^3-1}=(P-23)^25-(P-23)^3=(P-23)^3{(P-23)^22-1}=(P-23)^3{(P-23)^11+1}{(P-23)^11-1}
(p-23)^27-1-{(P-23)^5-1}=(P-23)^27-(P-23)^5=(P-23)^5{(P-23)^22-1}=(P-23)^5{(P-23)^11+1}{(P-23)^11-1}
(p-23)^29-1-{(P-23)^7-1}=(P-23)^29-(P-23)^7=(P-23)^7{(P-23)^22-1}=(P-23)^7{(P-23)^11+1}{(P-23)^11-1}
ここで、
{(P-23)^11+1}
{(P-23)^11-1}
に注目する。
さて、Pは23でわれないから、
(%i1) P:23*u+t;
(%o1)
23 u + t
とおくと、初式は
(%i46) factor((P-23)^3-1);
2
2
(%o46) (23 u + t - 24) (529 u + 46 t u - 1035 u +
t - 45 t + 507)
であるから、
(P-23)^3-1から
t-24
t^2-45t+507
に注目する。
また、(p-23)^25-1-{(P-23)^3-1}より間の
初式は、(P-23)^5-1となることもあり
初式は、(P-23)^7-1となることもあり
初式は、(P-23)^9-1となることもあり
初式は、(P-23)^11-1となることもあり
初式は、(P-23)^13-1となることもあり
初式は、(P-23)^15-1となることもあり
初式は、(P-23)^17-1となることもあり
初式は、(P-23)^19-1となることもある。
初式は、(P-23)^21-1となることもある。
初式は、(P-23)^23-1となることもある。
さて、循環するには、(P-23)^11+1か、(P-23)^11-1が23で割れなければならないから、
(%i47) factor((P-23)^11+1);
10
9
(%o47) (23 u + t - 22) (41426511213649 u + 18011526614630 t
u
9
2
8
8
- 416066264797953 u + 3523994337645 t u -
162808538399199 t u
8
3
7
2 7
+ 1880481689552653 u + 408579053640 t u -
28314528417252 t u
7
7
4 6
+ 654080587670488 t u - 5036652734158243 u +
31087536690 t u
3
6
2
6
6
- 2872488390156 t u + 99534002471596 t u
- 1532894310395987 t u
6
5
5
4 5
+ 8853080867831068 u + 1621958436 t u -
187336199358 t u
3
5
2
5
5
+ 8655130649704 t u - 199942736138607 t u
+ 2309499356825496 t u
5
6
4
5 4
- 10670883872345686 u + 58766610 t u -
8145052146 t u
4
4
3
4
2 4
+ 470387535310 t u - 14488604068015 t u +
251032538785380 t u
4
4
7 3
- 2319757363553410 t u + 8932115781070834 u + 1460040
t u
6
3
5
3
4 3
- 236088468 t u + 16361305576 t u -
629939307305 t u
3
3
2
3
3
+ 14552610944080 t u - 201718031613340 t
u + 1553411440186232 t u
3 8
2
7
2
6 2
- 5126985779479894 u + 23805 t u - 4399164
t u + 355680556 t u
5
2
4
2
3 2
- 16433199321 t u + 474541661220 t u -
8770349200580 t u
2
2
2
2
+ 101309441751276 t u - 668737275584334 t u +
1931300995966969 u
9
8
7
6
5
+ 230 t u - 47817 t u + 4418392 t u - 238162309
t u + 8252898456 t u
4
3
2
- 190659765230 t u + 2936505558008 t u -
29075533721058 t u
10
9 8
+ 167939217040606 t u - 431126729304029 u + t - 231
t + 24013 t
7
6
5
4
3
- 1479269 t + 59803612 t - 1657911002 t +
31918538674 t - 421384546682 t
2
+ 3650852544361 t - 18744640404523 t + 43309534450633)
(%i48) factor((P-23)^11-1);
10
9
(%o48) (23 u + t - 24) (41426511213649 u + 18011526614630 t
u
9
2
8
8
- 412463959475027 u + 3523994337645 t u -
161398940664141 t u
8
3
7
2 7
+ 1848060941646319 u + 408579053640 t u -
28069380985068 t u
7
7
4 6
+ 642803805790024 t u - 4906962932882013 u +
31087536690 t u
3
6
2
6
6
- 2847618360804 t u + 97817970446308 t u
- 1493423501311917 t u
6
5
5
4 5
+ 8550439553149026 u + 1621958436 t u -
185714240922 t u
3
5
2
5
5
+ 8505910473592 t u - 194794369736337 t u
+ 2230549448647572 t u
5
6
4
5 4
- 10216850386115550 u + 58766610 t u -
8074532214 t u
4
4
3
4
2 4
+ 462277743130 t u - 14115534038865 t u +
242451027026910 t u
4
4
7 3
- 2221054431764250 t u + 8477986908237438 u + 1460040
t u
6
3
5
3
4 3
- 234044412 t u + 16079225848 t u -
613718871255 t u
3
3
2
3
3
+ 14055132001560 t u - 193135167979500 t
u + 1474432505780424 t u
3 8
2
7
2
6 2
- 4824153665821626 u + 23805 t u - 4361076
t u + 349548388 t u
5
2
4
2
3 2
- 16010057511 t u + 458319521790 t u -
8397181216500 t u
2
2
2
2 9
+ 96158641681332 t u - 629237434672386 t u +
1801474872872997 u + 230 t u
8
7
6
5
- 47403 t u + 4342216 t u - 232029819 t u +
7970774292 t u
4
3
2
- 182547417750 t u + 2787207005256 t u -
27358149333582 t u
10
9 8
+ 156649988945478 t u - 398658249404959 u + t - 229
t + 23599 t
7
6
5
4
3
- 1441179 t + 57759234 t - 1587368850 t +
30295728318 t - 396494917878 t
2
+ 3405434542293 t - 17332967365433 t + 39700406579747)
であるから、(P-23)^11+1より、
t-22
t^10- 231 t^9 + 24013 t^8 - 1479269 t^7 + 59803612
t^6 - 1657911002 t^5 + 31918538674 t^4 - 421384546682
t^3 + 3650852544361 t^2- 18744640404523 t + 43309534450633
と(P-23)^11-1より、
t-24
t^10- 229 t^9+ 23599 t^8- 1441179 t^7+ 57759234 t^6- 1587368850
t^5+ 30295728318 t^4
- 396494917878 t^3 + 3405434542293 t^2- 17332967365433 t +
39700406579747
に注目する。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=1であるなら、
(P-23)^3-1から
t-24=-23 t-24=-23は23で割れる。
t^2-45t+507
(%i51) t^2-45*t+507;
(%o51)
463
(%i52) mod(463,23);
(%o52)
3
初式は、23で割りきれる。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-21
(%i56) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o56)
27824681019587
(%i57) mod(27824681019587,23);
(%o57)
1
より、23で割り切れない。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-23 t-24=-23は23で割れる。
t^10- 229 t^9+ 23599 t^8- 1441179 t^7+ 57759234 t^6- 1587368850 t^5+
30295728318 t^4- 396494917878 t^3 + 3405434542293 t^2- 17332967365433 t
+ 39700406579747
(%i45) t^2-37*t+343;
(%o45)
307
(%i46) mod(307,23);
(%o46)
3
(%i51) t^6- 114*t^5+ 5415*t^4- 137179*t^3+ 2354758*t^2- 14855511*t +
47039023;
(%o51)
34006393
(%i52) mod(34006393,23);
(%o52)
3
より、23で割りきれる。
(P-23)^11-1が23の倍数であり、循環するが、初式(P-23)^3-1が23の倍数であるから、
初式は23で割り切れ循環するので、23を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=2であるなら、
(%i31) mod(2^3-1,23);
(%o31)
7
(%i32) mod(2^5-1,23);
(%o32)
8
(%i33) mod(2^7-1,23);
(%o33)
12
(%i34) mod(2^9-1,23);
(%o34)
5
(%i35) mod(2^11-1,23);
(%o35)
0
(%i36) mod(2^13-1,23);
(%o36)
3
(%i37) mod(2^15-1,23);
(%o37)
15
(%i38) mod(2^17-1,23);
(%o38)
17
(%i39) mod(2^19-1,23);
(%o39)
2
(%i40) mod(2^21-1,23);
(%o40)
11
(%i41) mod(2^23-1,23);
(%o41)
1
初式は、23で割れることがある。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-20
(%i61) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o61)
17513875027111
(%i62) mod(17513875027111,23);
(%o62)
16
より、23で割り切れない。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-22
(%i63) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o63)
15921704570101
(%i64) mod(15921704570101,23);
(%o64)
0
より、23で割り切れる。
(P-23)^9-1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数になるときがあるから、
初式は23で割れ循環するので、23を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=3であるなら、
(%i65) mod(3^3-1,23);
(%o65)
3
(%i66) mod(3^5-1,23);
(%o66)
12
(%i67) mod(3^7-1,23);
(%o67)
1
(%i68) mod(3^9-1,23);
(%o68)
17
(%i69) mod(3^11-1,23);
(%o69)
0
(%i70) mod(3^13-1,23);
(%o70)
8
(%i71) mod(3^15-1,23);
(%o71)
11
(%i72) mod(3^17-1,23);
(%o72)
15
(%i73) mod(3^19-1,23);
(%o73)
5
(%i74) mod(3^21-1,23);
(%o74)
7
(%i75) mod(3^23-1,23);
(%o75)
2
初式は、23で割れることがある。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-19
(%i79) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o79)
10778947368421
(%i80) mod(10778947368421,23);
(%o80)
12
より、23で割り切れない。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-21
(%i81) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o81)
9752380952381
(%i82) mod(9752380952381,23);
(%o82)
0
より、23で割り切れる。
(P-23)^9-1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数になるときがあるから、
初式は23で割れ循環するので、23を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=4であるなら、
(%i83) mod(4^3-1,23);
(%o83)
17
(%i84) mod(4^5-1,23);
(%o84)
11
(%i85) mod(4^7-1,23);
(%o85)
7
(%i86) mod(4^9-1,23);
(%o86)
12
(%i87) mod(4^11-1,23);
(%o87)
0
(%i88) mod(4^13-1,23);
(%o88)
15
(%i89) mod(4^15-1,23);
(%o89)
2
(%i90) mod(4^17-1,23);
(%o90)
1
(%i91) mod(4^19-1,23);
(%o91)
8
(%i92) mod(4^21-1,23);
(%o92)
5
(%i93) mod(4^23-1,23);
(%o93)
3
初式は、23で割れることがある。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-18
(%i95) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o95)
6471681049901
(%i96) mod(6471681049901,23);
(%o96)
5
より、23で割り切れない。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-20
(%i97) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o97)
5824512944911
(%i98) mod(5824512944911,23);
(%o98)
0
より、23で割り切れる。
(P-23)^9-1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数になるときがあるから、
初式は23で割れ循環するので、23を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=5であるなら、
(%i99) mod(5^3-1,23);
(%o99)
9
(%i100) mod(5^5-1,23);
(%o100)
19
(%i101) mod(5^7-1,23);
(%o101)
16
(%i102) mod(5^9-1,23);
(%o102)
10
(%i103) mod(5^11-1,23);
(%o103)
21
(%i104) mod(5^13-1,23);
(%o104)
20
(%i105) mod(5^15-1,23);
(%o105)
18
(%i106) mod(5^17-1,23);
(%o106)
14
(%i107) mod(5^19-1,23);
(%o107)
6
(%i108) mod(5^21-1,23);
(%o108)
13
(%i109) mod(5^23-1,23);
(%o109)
4
初式は、23で割り切れない。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-17
(%i111) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o111)
3780494710543
(%i112) mod(3780494710543,23);
(%o112)
0
より、23で割り切れる。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-19
(%i113) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o113)
3382547898907
(%i114) mod(3382547898907,23);
(%o114)
11
より、23で割り切れない。
(P-23)^9+1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数にならないから、
初式は23で割れず循環するので、23を含むまない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=6であるなら、
(%i116) mod(6^3-1,23);
(%o116)
8
(%i117) mod(6^5-1,23);
(%o117)
1
(%i118) mod(6^7-1,23);
(%o118)
2
(%i119) mod(6^9-1,23);
(%o119)
15
(%i120) mod(6^11-1,23);
(%o120)
0
(%i121) mod(6^13-1,23);
(%o121)
12
(%i122) mod(6^15-1,23);
(%o122)
7
(%i123) mod(6^17-1,23);
(%o123)
11
(%i124) mod(6^19-1,23);
(%o124)
17
(%i125) mod(6^21-1,23);
(%o125)
3
(%i127) mod(6^23-1,23);
(%o127)
5
初式は、23で割れることがある。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-16
(%i128) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o128)
2141993519227
(%i129) mod(2141993519227,23);
(%o129)
20
より、23で割り切れない。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-18
(%i130) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o130)
1903994239313
(%i131) mod(1903994239313,23);
(%o131)
0
より、23で割り切れる。
(P-23)^9-1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数になるときがあるから、
初式は23で割れ循環するので、23を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=7であるなら、
(%i133) mod(7^3-1,23);
(%o133)
20
(%i134) mod(7^5-1,23);
(%o134)
16
(%i135) mod(7^7-1,23);
(%o135)
4
(%i136) mod(7^9-1,23);
(%o136)
14
(%i137) mod(7^11-1,23);
(%o137)
21
(%i138) mod(7^13-1,23);
(%o138)
19
(%i139) mod(7^15-1,23);
(%o139)
13
(%i140) mod(7^17-1,23);
(%o140)
18
(%i141) mod(7^19-1,23);
(%o141)
10
(%i142) mod(7^21-1,23);
(%o142)
9
(%i143) mod(7^23-1,23);
(%o143)
6
初式は、23で割り切れない。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-15
(%i144) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o144)
1172812402961
(%i145) mod(1172812402961,23);
(%o145)
0
より、23で割り切れる。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-17
(%i146) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o146)
1034834473201
(%i147) mod(1034834473201,23);
(%o147)
15
より、23で割り切れない。
(P-23)^9+1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数にならないから、
初式は23で割れず循環するので、23を含むまない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=8であるなら、
(%i149) mod(8^3-1,23);
(%o149)
5
(%i150) mod(8^5-1,23);
(%o150)
15
(%i151) mod(8^7-1,23);
(%o151)
11
(%i152) mod(8^9-1,23);
(%o152)
8
(%i153) mod(8^11-1,23);
(%o153)
0
(%i154) mod(8^13-1,23);
(%o154)
17
(%i155) mod(8^15-1,23);
(%o155)
1
(%i156) mod(8^17-1,23);
(%o156)
12
(%i157) mod(8^19-1,23);
(%o157)
3
(%i158) mod(8^21-1,23);
(%o158)
2
(%i159) mod(8^23-1,23);
(%o159)
7
初式は、23で割れることがある。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-14
(%i160) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o160)
617839704241
(%i161) mod(617839704241,23);
(%o161)
13
より、23で割り切れない。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-16
(%i162) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o162)
540609741211
(%i163) mod(540609741211,23);
(%o163)
0
より、23で割り切れる。
(P-23)^9-1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数になるときがあるから、
初式は23で割れ循環するので、23を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=9であるなら、
(%i2) mod(9^3-1,23);
(%o2)
15
(%i3) mod(9^5-1,23);
(%o3)
7
(%i4) mod(9^7-1,23);
(%o4)
3
(%i5) mod(9^9-1,23);
(%o5)
1
(%i6) mod(9^11-1,23);
(%o6)
0
(%i7) mod(9^13-1,23);
(%o7)
11
(%i8) mod(9^15-1,23);
(%o8)
5
(%i9) mod(9^17-1,23);
(%o9)
2
(%i10) mod(9^19-1,23);
(%o10)
12
(%i11) mod(9^21-1,23);
(%o11)
17
(%i12) mod(9^23-1,23);
(%o12)
8
初式は、23で割れることがある。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-13
(%i13) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o13)
311505013051
(%i14) mod(311505013051,23);
(%o14)
14
より、23で割り切れない。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-15
(%i15) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o15)
269971011311
(%i16) mod(269971011311,23);
(%o16)
0
より、23で割り切れる。
(P-23)^9-1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数になるときがあるから、
初式は23で割れ循環するので、23を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=10であるなら、
(%i18) mod(10^3-1,23);
(%o18)
10
(%i19) mod(10^5-1,23);
(%o19)
18
(%i20) mod(10^7-1,23);
(%o20)
13
(%i21) mod(10^9-1,23);
(%o21)
19
(%i22) mod(10^11-1,23);
(%o22)
21
(%i23) mod(10^13-1,23);
(%o23)
14
(%i24) mod(10^15-1,23);
(%o24)
4
(%i25) mod(10^17-1,23);
(%o25)
16
(%i26) mod(10^19-1,23);
(%o26)
20
(%i27) mod(10^21-1,23);
(%o27)
6
(%i28) mod(10^23-1,23);
(%o28)
9
初式は、23で割り切れない。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-12
(%i29) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o29)
149346699503
(%i30) mod(149346699503,23);
(%o30)
0
より、23で割り切れる。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-14
(%i31) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o31)
128011456717
(%i32) mod(128011456717,23);
(%o32)
10
(P-23)^9+1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数にならないから、
初式は23で割れず循環するので、23を含むまない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=11であるなら、
(%i34) mod(11^3-1,23);
(%o34)
19
(%i35) mod(11^5-1,23);
(%o35)
4
(%i36) mod(11^7-1,23);
(%o36)
6
(%i37) mod(11^9-1,23);
(%o37)
18
(%i38) mod(11^11-1,23);
(%o38)
21
(%i39) mod(11^13-1,23);
(%o39)
16
(%i40) mod(11^15-1,23);
(%o40)
9
(%i41) mod(11^17-1,23);
(%o41)
13
(%i42) mod(11^19-1,23);
(%o42)
14
(%i43) mod(11^21-1,23);
(%o43)
20
(%i44) mod(11^23-1,23);
(%o44)
10
初式は、23で割り切れない。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-11
(%i45) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o45)
67546215517
(%i46) mod(67546215517,23);
(%o46)
0
より、23で割り切れる。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-13
(%i47) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o47)
57154490053
(%i48) mod( 57154490053,23);
(%o48)
9
(P-23)^9+1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数にならないから、
初式は23で割れず循環するので、23を含むまない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=12であるなら、
(%i50) mod(12^3-1,23);
(%o50)
2
(%i51) mod(12^5-1,23);
(%o51)
17
(%i52) mod(12^7-1,23);
(%o52)
15
(%i53) mod(12^9-1,23);
(%o53)
3
(%i54) mod(12^11-1,23);
(%o54)
0
(%i55) mod(12^13-1,23);
(%o55)
5
(%i56) mod(12^15-1,23);
(%o56)
12
(%i57) mod(12^17-1,23);
(%o57)
8
(%i58) mod(12^19-1,23);
(%o58)
7
(%i59) mod(12^21-1,23);
(%o59)
1
(%i60) mod(12^23-1,23);
(%o60)
11
初式は、23で割れることがある。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-10
(%i61) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o61)
28531167061
(%i62) mod(28531167061,23);
(%o62)
9
より、23で割り切れない。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-12
(%i63) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o63)
23775972551
(%i64) mod(23775972551,23);
(%o64)
0
より、23で割り切れる。
(P-23)^9-1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数になるときがあるから、
初式は23で割れ循環するので、23を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=13であるなら、
(%i66) mod(13^3-1,23);
(%o66)
11
(%i67) mod(13^5-1,23);
(%o67)
3
(%i68) mod(13^7-1,23);
(%o68)
8
(%i69) mod(13^9-1,23);
(%o69)
2
(%i70) mod(13^11-1,23);
(%o70)
0
(%i71) mod(13^13-1,23);
(%o71)
7
(%i72) mod(13^15-1,23);
(%o72)
17
(%i73) mod(13^17-1,23);
(%o73)
5
(%i74) mod(13^19-1,23);
(%o74)
1
(%i75) mod(13^21-1,23);
(%o75)
15
(%i76) mod(13^23-1,23);
(%o76)
12
初式は、23で割れることがある。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-9
(%i77) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o77)
11111111111
(%i78) mod(11111111111,23);
(%o78)
10
より、23で割り切れない。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-11
(%i79) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o79)
9090909091
(%i80) mod(9090909091,23);
(%o80)
0
より、23で割り切れる。
(P-23)^9-1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数になるときがあるから、
初式は23で割れ循環するので、23を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=14であるなら、
(%i82) mod(14^3-1,23);
(%o82)
6
(%i83) mod(14^5-1,23);
(%o83)
14
(%i84) mod(14^7-1,23);
(%o84)
18
(%i85) mod(14^9-1,23);
(%o85)
20
(%i86) mod(14^11-1,23);
(%o86)
21
(%i87) mod(14^13-1,23);
(%o87)
10
(%i88) mod(14^15-1,23);
(%o88)
16
(%i89) mod(14^17-1,23);
(%o89)
19
(%i90) mod(14^19-1,23);
(%o90)
9
(%i91) mod(14^21-1,23);
(%o91)
4
(%i92) mod(14^23-1,23);
(%o92)
13
初式は、23で割り切れない。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-8
(%i93) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o93)
3922632451
(%i94) mod(3922632451,23);
(%o94)
0
より、23で割り切れる。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-10
(%i95) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o95)
3138105961
(%i96) mod(3138105961,23);
(%o96)
14
(P-23)^9+1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数にならないから、
初式は23で割れず循環するので、23を含むまない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=15であるなら、
(%i98) mod(15^3-1,23);
(%o98)
16
(%i99) mod(15^5-1,23);
(%o99)
6
(%i100) mod(15^7-1,23);
(%o100)
10
(%i101) mod(15^9-1,23);
(%o101)
13
(%i102) mod(15^11-1,23);
(%o102)
21
(%i103) mod(15^13-1,23);
(%o103)
4
(%i104) mod(15^15-1,23);
(%o104)
20
(%i105) mod(15^17-1,23);
(%o105)
9
(%i106) mod(15^19-1,23);
(%o106)
18
(%i107) mod(15^21-1,23);
(%o107)
19
(%i108) mod(15^23-1,23);
(%o108)
14
初式は、23で割り切れない。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-7
(%i109) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o109)
1227133513
(%i110) mod(1227133513,23);
(%o110)
0
より、23で割り切れる。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-9
(%i111) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o111)
954437177
(%i112) mod(954437177,23);
(%o112)
13
(P-23)^9+1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数にならないから、
初式は23で割れず循環するので、23を含むまない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=16であるなら、
(%i115) mod(16^3-1,23);
(%o115)
1
(%i116) mod(16^5-1,23);
(%o116)
5
(%i117) mod(16^7-1,23);
(%o117)
17
(%i118) mod(16^9-1,23);
(%o118)
7
(%i119) mod(16^11-1,23);
(%o119)
0
(%i120) mod(16^13-1,23);
(%o120)
2
(%i121) mod(16^15-1,23);
(%o121)
8
(%i122) mod(16^17-1,23);
(%o122)
3
(%i123) mod(16^19-1,23);
(%o123)
11
(%i124) mod(16^21-1,23);
(%o124)
12
(%i125) mod(16^23-1,23);
(%o125)
15
初式は、23で割れることがある。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-6
(%i126) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o126)
329554457
(%i127) mod(329554457,23);
(%o127)
15
より、23で割り切れない。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-8
(%i128) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o128)
247165843
(%i129) mod(247165843,23);
(%o129)
0
より、23で割り切れる。
(P-23)^9-1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数になるときがあるから、
初式は23で割れ循環するので、23を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=17であるなら、
(%i131) mod(17^3-1,23);
(%o131)
13
(%i132) mod(17^5-1,23);
(%o132)
20
(%i133) mod(17^7-1,23);
(%o133)
19
(%i134) mod(17^9-1,23);
(%o134)
6
(%i135) mod(17^11-1,23);
(%o135)
21
(%i136) mod(17^13-1,23);
(%o136)
9
(%i137) mod(17^15-1,23);
(%o137)
14
(%i138) mod(17^17-1,23);
(%o138)
10
(%i139) mod(17^19-1,23);
(%o139)
4
(%i140) mod(17^21-1,23);
(%o140)
18
(%i141) mod(17^23-1,23);
(%o141)
16
初式は、23で割り切れない。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-5
(%i142) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o142)
72559411
(%i143) mod(72559411,23);
(%o143)
0
より、23で割り切れる。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-7
(%i144) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o144)
51828151
(%i145) mod(51828151,23);
(%o145)
20
(P-23)^9+1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数にならないから、
初式は23で割れず循環するので、23を含むまない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=18であるなら、
(%i147) mod(18^3-1,23);
(%o147)
12
(%i148) mod(18^5-1,23);
(%o148)
2
(%i149) mod(18^7-1,23);
(%o149)
5
(%i150) mod(18^9-1,23);
(%o150)
11
(%i151) mod(18^11-1,23);
(%o151)
0
(%i152) mod(18^13-1,23);
(%o152)
1
(%i153) mod(18^15-1,23);
(%o153)
3
(%i154) mod(18^17-1,23);
(%o154)
7
(%i155) mod(18^19-1,23);
(%o155)
15
(%i156) mod(18^21-1,23);
(%o156)
8
(%i157) mod(18^23-1,23);
(%o157)
17
初式は、23で割れることがある。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-4
(%i158) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o158)
12207031
(%i159) mod(12207031,23);
(%o159)
11
より、23で割り切れない。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-6
(%i160) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o160)
8138021
(%i161) mod(8138021,23);
(%o161)
0
より、23で割り切れる。
(P-23)^9-1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数になるときがあるから、
初式は23で割れ循環するので、23を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=19であるなら、
(%i163) mod(19^3-1,23);
(%o163)
4
(%i164) mod(19^5-1,23);
(%o164)
10
(%i165) mod(19^7-1,23);
(%o165)
14
(%i166) mod(19^9-1,23);
(%o166)
9
(%i167) mod(19^11-1,23);
(%o167)
21
(%i168) mod(19^13-1,23);
(%o168)
6
(%i169) mod(19^15-1,23);
(%o169)
19
(%i170) mod(19^17-1,23);
(%o170)
20
(%i171) mod(19^19-1,23);
(%o171)
13
(%i172) mod(19^21-1,23);
(%o172)
16
(%i173) mod(19^23-1,23);
(%o173)
18
初式は、23で割り切れない。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-3
(%i174) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o174)
1398101
(%i175) mod(1398101,23);
(%o175)
0
より、23で割り切れる。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-5
(%i176) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o176)
838861
(%i177) mod(838861,23);
(%o177)
5
(P-23)^9+1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数にならないから、
初式は23で割れず循環するので、23を含むまない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=20であるなら、
(%i179) mod(20^3-1,23);
(%o179)
18
(%i180) mod(20^5-1,23);
(%o180)
9
(%i181) mod(20^7-1,23);
(%o181)
20
(%i182) mod(20^9-1,23);
(%o182)
4
(%i183) mod(20^11-1,23);
(%o183)
21
(%i184) mod(20^13-1,23);
(%o184)
13
(%i185) mod(20^15-1,23);
(%o185)
10
(%i186) mod(20^17-1,23);
(%o186)
6
(%i187) mod(20^19-1,23);
(%o187)
16
(%i188) mod(20^21-1,23);
(%o188)
14
(%i189) mod(20^23-1,23);
(%o189)
19
初式は、23で割り切れない。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-2
(%i190) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o190)
88573
(%i191) mod(88573,23);
(%o191)
0
より、23で割り切れる。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-4
(%i192) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o192)
44287
(%i193) mod(44287,23);
(%o193)
12
(P-23)^9+1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数にならないから、
初式は23で割れず循環するので、23を含むまない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=21であるなら、
(%i195) mod(21^3-1,23);
(%o195)
14
(%i196) mod(21^5-1,23);
(%o196)
13
(%i197) mod(21^7-1,23);
(%o197)
9
(%i198) mod(21^9-1,23);
(%o198)
16
(%i199) mod(21^11-1,23);
(%o199)
21
(%i200) mod(21^13-1,23);
(%o200)
18
(%i201) mod(21^15-1,23);
(%o201)
6
(%i202) mod(21^17-1,23);
(%o202)
4
(%i203) mod(21^19-1,23);
(%o203)
19
(%i204) mod(21^21-1,23);
(%o204)
10
(%i205) mod(21^23-1,23);
(%o205)
20
初式は、23で割り切れない。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-1
(%i206) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o206)
2047
(%i207) mod(2047,23);
(%o207)
0
より、23で割り切れる。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-3
(%i208) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o208)
683
(%i209) mod(683,23);
(%o209)
16
(P-23)^9+1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数にならないから、
初式は23で割れず循環するので、23を含むまない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=22であるなら、
(%i211) mod(22^3-1,23);
(%o211)
21
(%i212) mod(22^5-1,23);
(%o212)
21
(%i213) mod(22^7-1,23);
(%o213)
21
(%i214) mod(22^9-1,23);
(%o214)
21
(%i215) mod(22^11-1,23);
(%o215)
21
(%i216) mod(22^13-1,23);
(%o216)
21
(%i217) mod(22^15-1,23);
(%o217)
21
(%i218) mod(22^17-1,23);
(%o218)
21
(%i219) mod(22^19-1,23);
(%o219)
21
(%i220) mod(22^21-1,23);
(%o220)
21
(%i221) mod(22^23-1,23);
(%o221)
21
初式は、23で割り切れない。
また、(P-23)^11+1より、
t-22=-0 t-22=-0より、23で割り切れる。
(%i222) t^10- 231*t^9 + 24013*t^8 - 1479269*t^7 +
59803612*t^6 - 1657911002*t^5 + 31918538674*t^4 -
421384546682*t^3 + 3650852544361*t^2- 18744640404523*t + 43309534450633;
(%o222)
11
(%i223) mod(11,23);
(%o223)
11
より、23で割り切れる。
また、(P-23)^11-1より、
t-24=-2
(%i224) t^10- 229*t^9+ 23599*t^8- 1441179*t^7+ 57759234*t^6-
1587368850*t^5+ 30295728318*t^4- 396494917878*t^3 + 3405434542293*t^2-
17332967365433*t + 39700406579747;
(%o224)
1
(%i225) mod(1,23);
(%o225)
1
(P-23)^9+1が23の倍数であり、循環するが、初式が23の倍数にならないから、
初式は23で割れず循環するので、23を含むまない。
以上から、x=223092870n+Pと表せる素数のσ(x)の因数分解において、P=23u+tとするとき、
t=5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22ならσ(x)を素因数分解したら23を含まない。