31u+t
ver0.0001 2019.11.17
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31の倍数を除いた素数候補式は200560490130n+Pで、
Pは、(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)(11-1)(13-1)(17-1)(19-1)(23-1)(29-1)(31-1)=30656102400個ある。
x=200560490130j+Pで、x-2k=31のとき、
200560490130j+P-2k=31
200560490130l+(P-31)=2k
より、
mod({(P-31)^(n+1)-1},31）
の関係だけをかんがえればよい。
そこで、最初は
(P-31)^3-1
(P-31)^5-1
(P-31)^7-1
(P-31)^9-1
(P-31)^11-1
(P-31)^13-1
(P-31)^15-1
(P-31)^17-1
(P-31)^19-1
と計算してゆくわけだが、
(%i29) mod(2^3-1,31);
(%o29)
7
(%i30) mod(2^5-1,31);
(%o30)
0
(%i32) mod(2^7-1,31);
(%o32)
3
(%i33) mod(2^9-1,31);
(%o33)
15
(%i34) mod(2^11-1,31);
(%o34)
1
(%i35) mod(2^13-1,31);
(%o35)
7
(%i36) mod(2^15-1,31);
(%o36)
0
(%i37) mod(2^17-1,31);
(%o37)
3
(%i38) mod(2^19-1,31);
(%o38)
15
この関係は維持されるので、
(p-31)^13-1-{(P-31)^3-1}=(P-31)^13-(P-31)^3=(P-31)^3{(P-31)^10-1}=(P-31)^3{(P-31)^5+1}{(P-31)^5-1}
(p-31)^15-1-{(P-31)^5-1}=(P-31)^15-(P-31)^5=(P-31)^5{(P-31)^10-1}=(P-31)^5{(P-31)^5+1}{(P-31)^5-1}
(p-31)^17-1-{(P-31)^7-1}=(P-31)^17-(P-31)^7=(P-31)^7{(P-31)^10-1}=(P-31)^7{(P-31)^5+1}{(P-31)^5-1}
ここで、
{(P-31)^5+1}
{(P-31)^5-1}
に注目する。
さて、Pは31でわれないから、
(%i1) P:31*u+t;
(%o1)
31 u + t
とおくと、初式は
(%i41) factor((P-31)^3-1);
2
2
(%o41) (31 u + t - 32) (961 u + 62 t u - 1891 u + t - 61 t + 931)
(であるから、
(P-31)^3-1から
t-32
t^2-61t+931
に注目する。
また、(p-31)^13-1-{(P-31)^3-1}より間の
初式は、(P-31)^5-1となることもあり
初式は、(P-31)^7-1となることもあり
初式は、(P-31)^9-1となることもあり
初式は、(P-31)^11-1となることもある。
さて、循環するには、(P-31)^5+1か、(P-31)^5-1が31で割れなければならないから、
(%i42) factor((P-31)^5+1);
4
3
3 2 2
(%o42) (31 u + t - 30) (923521 u + 119164 t u - 3723875 u + 5766 t u
2
2
3 2
- 360375 t u + 5631460 u + 124 t u - 11625 t u + 363320 t u - 3785410 u
4 3 2
+ t - 125 t + 5860 t - 122110 t + 954305)
(%i43) factor((P-31)^5-1);
4
3
3 2 2
(%o43) (31 u + t - 32) (923521 u + 119164 t u - 3664293 u + 5766 t u
2
2
3 2
- 354609 t u + 5452714 u + 124 t u - 11439 t u + 351788 t u - 3606602 u
4 3 2
+ t - 123 t + 5674 t - 116342 t + 894661)
であるから、(P-31)^5+1より、
t-30
t^4- 125 t^3+ 5860 t^2- 122110 t + 954305
と(P-31)^5-1より、
t-32
t^4- 123 t^3+ 5674 t^2- 116342 t + 894661
に注目する。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=1であるなら、
初式は、(P-31)^3-1から
t-32=-31 t-32=-31より31の倍数である。
(%i46) t^2-61*t+931;
(%o46)
871
(%i47) mod(871,31);
(%o47)
3
より初式は、31で割り切れる。
また、(P-31)^5+1より、
t-30=-29
(%i48) t^4- 125*t^3+ 5860*t^2- 122110*t + 954305;
(%o48)
837931
(%i49) mod(837931,31);
(%o49)
1
より、31で割り切れない。
(P-31)^5-1より、
t-32=-31 t-32=-31より31の倍数である。
(%i50) t^4- 123*t^3+ 5674*t^2- 116342*t + 894661;
(%o50)
783871
(%i51) mod(783871,31);
(%o51)
5
より、31で割り切れる。
(P-31)^5-1が31の倍数であり、循環するが、初式(P-31)^3-1が31の倍数であるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=2であるなら、
(%i29) mod(2^3-1,31);
(%o29)
7
(%i30) mod(2^5-1,31);
(%o30)
0
(%i32) mod(2^7-1,31);
(%o32)
3
(%i33) mod(2^9-1,31);
(%o33)
15
(%i34) mod(2^11-1,31);
(%o34)
1
初式は、31で割り切れる場合がある。
また、(P-31)^5+1より、
t-30=-28
(%i53) t^4- 125*t^3+ 5860*t^2- 122110*t + 954305;
(%o53)
732541
(%i54) mod(73254,31);
(%o54)
1
より、31で割り切れない。
(P-31)^5-1より、
t-32=-30
(%i55) t^4- 123*t^3+ 5674*t^2- 116342*t + 894661;
(%o55)
683705
(%i56) mod(683705,31);
(%o56)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^5-1が31の倍数であり、循環するが、初式(P-31)^3-1が31の倍数であるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=3であるなら、
(%i8) mod(3^3-1,31);
(%o8)
26
(%i9) mod(3^5-1,31);
(%o9)
25
(%i10) mod(3^7-1,31);
(%o10)
16
(%i11) mod(3^9-1,31);
(%o11)
28
(%i12) mod(3^11-1,31);
(%o12)
12
(%i13) mod(3^13-1,31);
(%o13)
23
(%i14) mod(3^15-1,31);
(%o14)
29
(%i15) mod(3^17-1,31);
(%o15)
21
(%i16) mod(3^19-1,31);
(%o16)
11
(%i17) mod(3^21-1,31);
(%o17)
14
(%i18) mod(3^23-1,31);
(%o18)
10
(%i19) mod(3^25-1,31);
(%o19)
5
(%i20) mod(3^27-1,31);
(%o20)
22
(%i21) mod(3^29-1,31);
(%o21)
20
(%i22) mod(3^31-1,31);
(%o22)
2
(%i23) mod(3^33-1,31);
(%o23)
26
(%i24) mod(3^35-1,31);
(%o24)
25
(%i25) mod(3^36-1,31);
(%o25)
15
この関係は維持されるので、
(p-31)^33-1-{(P-31)^3-1}=(P-31)^33-(P-31)^3=(P-31)^3{(P-31)^30-1}=(P-31)^3{(P-31)^15+1}{(P-31)^15-1}
(p-31)^35-1-{(P-31)^5-1}=(P-31)^35-(P-31)^5=(P-31)^5{(P-31)^30-1}=(P-31)^5{(P-31)^15+1}{(P-31)^15-1}
(p-31)^37-1-{(P-31)^7-1}=(P-31)^37-(P-31)^7=(P-31)^7{(P-31)^30-1}=(P-31)^7{(P-31)^15+1}{(P-31)^15-1}
ここで、
{(P-31)^15+1}
{(P-31)^15-1}
に注目する。
また、初式は、いずれも31で割り切れない。
また、(P-31)^15+1より、
(%i2) factor((P-31)^15+1);
2
2
(%o2) (31 u + t - 30) (961 u + 62 t u - 1953 u + t - 63 t + 993)
4
3
3 2
2
2 2
(923521 u + 119164 t u - 3723875 u + 5766 t u - 360375 t u + 5631460 u
3
2
4
3 2
+ 124 t u - 11625 t u + 363320 t u - 3785410 u + t - 125 t + 5860 t
8
7
7
- 122110 t + 954305) (852891037441 u + 220100912888 t u - 6795615685417 u
2
6
6
6
+ 24850103068 t u - 1534493864449 t u + 23688360749571 u
3
5
2
5
5
+ 1603232456 t u - 148499406237 t u + 4584844016046 t u
5
4
4
3
4
2 4
- 47184161829516 u + 64646470 t u - 7983839045 t u + 369745485165 t u
4
4
5
3
4 3
- 7610348682180 t u + 58739573349219 u + 1668296 t u - 257543195 t u
3
3
2
3
3
+ 15903031620 t u - 490990237560 t u + 7579299786996 t u
3 6
2
5
2
4 2
- 46799239230028 u + 26908 t u - 4984707 t u + 384750765 t u
3
2
2
2
2
- 15838394760 t u + 366740312274 t u - 4528958635164 t u
2
7
6
5
4
+ 23303464991774 u + 248 t u - 53599 t u + 4964526 t u - 255457980 t u
3
2
+ 7886888436 t u - 146095439844 t u + 1503449354308 t u - 6630679541764 u
8
7
6
5
4
3
+ t - 247 t + 26691 t - 1648116 t + 63603939 t - 1570918708 t
2
+ 24249183134 t - 213892888444 t + 825406158721)
(%i3) factor((P-31)^15-1);
2
2
(%o3) (31 u + t - 32) (961 u + 62 t u - 1891 u + t - 61 t + 931)
4
3
3 2
2
2 2
(923521 u + 119164 t u - 3664293 u + 5766 t u - 354609 t u + 5452714 u
3
2
4
3 2
+ 124 t u - 11439 t u + 351788 t u - 3606602 u + t - 123 t + 5674 t
8
7
7
- 116342 t + 894661) (852891037441 u + 220100912888 t u - 6850640913639 u
2
6
6
6
+ 24850103068 t u - 1546918915983 t u + 24073537347125 u
3
5
2
5
5
+ 1603232456 t u - 149701830579 t u + 4659394325250 t u
5
4
4
3
4
2 4
- 48339634363876 u + 64646470 t u - 8048485515 t u + 375757606875 t u
4
4
5
3
4 3
- 7796715219980 t u + 60665170045479 u + 1668296 t u - 259628565 t u
3
3
2
3
3
+ 16161617500 t u - 503013885160 t u + 7827763876836 t u
3 6
2
5
2
4 2
- 48724549575196 u + 26908 t u - 5025069 t u + 391006875 t u
3
2
2
2
2
- 16226254360 t u + 378762768234 t u - 4715278991148 t u
2
7
6
5
4
+ 24458422022670 u + 248 t u - 54033 t u + 5045250 t u - 261713780 t u
3
2
+ 8145435876 t u - 152105773908 t u + 1577962711140 t u - 7015569669124 u
8
7
6
5
4
3
+ t - 249 t + 27125 t - 1688476 t + 65688999 t - 1635545956 t
2
+ 25451011470 t - 226308699004 t + 880374069121)
より、(P-31)^15+1から、
t-30
t^2- 63 t + 993
t^8- 247 t^7+ 26691 t^6- 1648116 t^5+ 63603939 t^4- 1570918708 t^3+ 24249183134 t^2- 213892888444 t + 825406158721
より、(P-31)^15-1から、
t-32
t^2- 61 t + 931
t^8- 249 t^7+ 27125 t^6- 1688476 t^5+ 65688999 t^4- 1635545956 t^3 + 25451011470 t^2- 226308699004 t + 880374069121
に注目する。
(P-31)^15+1から、
t-30=-27
(%i6) t^2- 63*t + 993;
(%o6)
813
(%i7) mod(813,31);
(%o7)
7
(%i8) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o8)
364325687461
(%i9) mod(364325687461,31);
(%o9)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1から、
t-32=-29
(%i10) t^2- 61*t + 931;
(%o10)
757
(%i11) mod(757,31);
(%o11)
13
(%i12) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o12)
391277079901
(%i13) mod(391277079901,31);
(%o13)
4
より、31で割り切れない。
(P-31)^15+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31で割り切れないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=4であるなら、
(%i14) mod(4^3-1,31);
(%o14)
1
(%i16) mod(4^5-1,31);
(%o16)
0
(%i17) mod(4^7-1,31);
(%o17)
15
(%i18) mod(4^9-1,31);
(%o18)
7
(%i19) mod(4^11-1,31);
(%o19)
3
(%i20) mod(4^13-1,31);
(%o20)
1
(%i22) mod(4^15-1,31);
(%o22)
0
4^13-1で繰り返すから、(P-31)^10-1周期である。
初式は、31で割り切れる場合がある。
また、(P-31)^5+1より、
t-30=-26
(%i24) t^4- 125*t^3+ 5860*t^2- 122110*t + 954305;
(%o24)
551881
(%i25) mod(551881,31);
(%o25)
19
より、31で割り切れない。
(P-31)^5-1より、
t-32=-28
(%i26) t^4- 123*t^3+ 5674*t^2- 116342*t + 894661;
(%o26)
512461
(%i27) mod(512461,31);
(%o27)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^5-1が31の倍数であり、循環するが、初式が31の倍数の場合もあるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=5であるなら、
(%i29) mod(5^3-1,31);
(%o29)
0
(%i30) mod(5^5-1,31);
(%o30)
24
(%i31) mod(5^7-1,31);
(%o31)
4
(%i32) mod(5^9-1,31);
(%o32)
0
(%i33) mod(5^11-1,31);
(%o33)
24
5^9-1で繰り返すから、(P-31)^9-1周期である。
初式は、31で割り切れる場合がある。
この関係は維持されるので、
(p-31)^9-1-{(P-31)^3-1}=(P-31)^9-(P-31)^3=(P-31)^3{(P-31)^6-1}=(P-31)^3{(P-31)^3+1}{(P-31)^3-1}
(p-31)^11-1-{(P-31)^5-1}=(P-31)^11-(P-31)^5=(P-31)^5{(P-31)^6-1}=(P-31)^5{(P-31)^3+1}{(P-31)^3-1}
(p-31)^13-1-{(P-31)^7-1}=(P-31)^13-(P-31)^7=(P-31)^7{(P-31)^6-1}=(P-31)^7{(P-31)^3+1}{(P-31)^3-1}
ここで、
{(P-31)^3+1}
{(P-31)^3-1}
に注目する。
(%i2) factor((P-31)^3+1);
2
2
(%o2) (31 u + t - 30) (961 u + 62 t u - 1953 u + t - 63 t + 993)
(%i3) factor((P-31)^3-1);
2
2
(%o3) (31 u + t - 32) (961 u + 62 t u - 1891 u + t - 61 t + 931)
より、
(P-31)^3+1から、
t-30
t^2- 63 t + 993
(P-31)^3-1から、
t-32
t^2- 61 t + 931
(P-31)^3+1より、
t-30=-25
(%i38) t^2- 63*t + 993;
(%o38)
703
(%i39) mod(703,31);
(%o39)
21
より、31で割り切れない。
(P-31)^3-1から、
t-32=-27
(%i40) t^2- 61*t + 931;
(%o40)
651
(%i41) mod(651,31);
(%o41)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^3-1が31の倍数であり、循環するが、初式が31の倍数の場合もあるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=6であるなら、
(%i43) mod(6^3-1,31);
(%o43)
29
(%i44) mod(6^5-1,31);
(%o44)
25
(%i45) mod(6^7-1,31);
(%o45)
5
(%i46) mod(6^9-1,31);
(%o46)
29
(%i47) mod(6^11-1,31);
(%o47)
25
(%i48) mod(6^13-1,31);
(%o48)
5
6^9-1で繰り返すから、(P-31)^6-1周期である。
また、初式は、いずれも31で割り切れない。
(P-31)^3+1より、
t-30=-24
(%i49) t^2- 63*t + 993;
(%o49)
651
(%i50) mod(651,31);
(%o50)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^3-1から、
t-32=-26
(%i51) t^2- 61*t + 931;
(%o51)
601
(%i52) mod(601,31);
(%o52)
12
より、31で割り切れない。
(P-31)^3+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=7であるなら、
(%i54) mod(7^3-1,31);
(%o54)
1
(%i55) mod(7^5-1,31);
(%o55)
4
(%i56) mod(7^7-1,31);
(%o56)
27
(%i57) mod(7^9-1,31);
(%o57)
7
(%i58) mod(7^11-1,31);
(%o58)
19
(%i59) mod(7^13-1,31);
(%o59)
18
(%i60) mod(7^15-1,31);
(%o60)
0
(%i61) mod(7^17-1,31);
(%o61)
17
(%i62) mod(7^19-1,31);
(%o62)
13
(%i63) mod(7^21-1,31);
(%o63)
3
(%i64) mod(7^23-1,31);
(%o64)
9
(%i65) mod(7^25-1,31);
(%o65)
24
(%i66) mod(7^27-1,31);
(%o66)
15
(%i67) mod(7^29-1,31);
(%o67)
8
(%i68) mod(7^31-1,31);
(%o68)
6
(%i69) mod(7^33-1,31);
(%o69)
1
(%i70) mod(7^35-1,31);
(%o70)
4
(%i71) mod(7^37-1,31);
(%o71)
27
7^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、31で割り切れる場合がある。
(P-31)^15+1から、
t-30=-23
(%i72) t^2- 63*t + 993;
(%o72)
601
(%i73) mod(601,31);
(%o73)
12
(%i74) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o74)
105496487401
(%i75) mod(105496487401,31);
(%o75)
25
より、31で割り切れない。
(P-31)^15-1から、
t-32=-25
(%i10) t^2- 61*t + 931;
(%o10)
757
(%i11) mod(757,31);
(%o11)
13
(%i76) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o76)
114653477401
(%i77) mod(114653477401,31);
(%o77)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1が31の倍数であり、循環するが、初式が31の倍数の場合もあるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=8であるなら、
(%i79) mod(8^3-1,31);
(%o79)
15
(%i80) mod(8^5-1,31);
(%o80)
0
(%i81) mod(8^7-1,31);
(%o81)
1
(%i82) mod(8^9-1,31);
(%o82)
3
(%i83) mod(8^11-1,31);
(%o83)
7
(%i84) mod(8^13-1,31);
(%o84)
15
(%i85) mod(8^15-1,31);
(%o85)
0
(%i86) mod(8^17-1,31);
(%o86)
1
8^13-1で繰り返すから、(P-31)^10-1周期である。
初式は、31で割り切れる場合がある。
また、(P-31)^5+1より、
t-30=-22
(%i87) t^4- 125*t^3+ 5860*t^2- 122110*t + 954305;
(%o87)
292561
(%i88) mod(292561,31);
(%o88)
14
より、31で割り切れない。
(P-31)^5-1より、
t-32=-24
(%i89) t^4- 123*t^3+ 5674*t^2- 116342*t + 894661;
(%o89)
268181
(%i90) mod(268181,31);
(%o90)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^5-1が31の倍数であり、循環するが、初式が31の倍数の場合もあるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=9であるなら、
(%i92) mod(9^3-1,31);
(%o92)
15
(%i93) mod(9^5-1,31);
(%o93)
24
(%i94) mod(9^7-1,31);
(%o94)
9
(%i95) mod(9^9-1,31);
(%o95)
3
(%i96) mod(9^11-1,31);
(%o96)
13
(%i97) mod(9^13-1,31);
(%o97)
17
(%i98) mod(9^15-1,31);
(%o98)
0
(%i99) mod(9^17-1,31);
(%o99)
18
(%i100) mod(9^19-1,31);
(%o100)
19
(%i101) mod(9^21-1,31);
(%o101)
7
(%i102) mod(9^23-1,31);
(%o102)
27
(%i103) mod(9^25-1,31);
(%o103)
4
(%i104) mod(9^27-1,31);
(%o104)
1
(%i105) mod(9^29-1,31);
(%o105)
6
(%i106) mod(9^31-1,31);
(%o106)
8
(%i107) mod(9^33-1,31);
(%o107)
15
(%i108) mod(9^35-1,31);
(%o108)
24
9^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、31で割り切れる場合がある。
(P-31)^15+1から、
t-30=-21
(%i109) t^2- 63*t + 993;
(%o109)
507
(%i110) mod(507,31);
(%o110)
11
(%i111) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o111)
52386445651
(%i112) mod(52386445651,31);
(%o112)
18
より、31で割り切れない。
(P-31)^15-1から、
t-32=-23
(%i113) t^2- 61*t + 931;
(%o113)
463
(%i114) mod(463,31);
(%o114)
29
(%i115) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o115)
57364832911
(%i116) mod(57364832911,31);
(%o116)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1が31の倍数であり、循環するが、初式が31の倍数の場合もあるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=10であるなら、
(%i118) mod(10^3-1,31);
(%o118)
7
(%i119) mod(10^5-1,31);
(%o119)
24
(%i120) mod(10^7-1,31);
(%o120)
19
(%i121) mod(10^9-1,31);
(%o121)
15
(%i122) mod(10^11-1,31);
(%o122)
18
(%i123) mod(10^13-1,31);
(%o123)
8
(%i124) mod(10^15-1,31);
(%o124)
0
(%i125) mod(10^17-1,31);
(%o125)
6
(%i126) mod(10^19-1,31);
(%o126)
17
(%i127) mod(10^21-1,31);
(%o127)
1
(%i128) mod(10^23-1,31);
(%o128)
13
(%i129) mod(10^25-1,31);
(%o129)
4
(%i130) mod(10^27-1,31);
(%o130)
3
(%i131) mod(10^29-1,31);
(%o131)
27
(%i132) mod(10^31-1,31);
(%o132)
9
(%i133) mod(10^33-1,31);
(%o133)
7
(%i134) mod(10^35-1,31);
(%o134)
24
10^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、31で割り切れる場合がある。
(P-31)^15+1から、
t-30=-20
(%i135) t^2- 63*t + 993;
(%o135)
463
(%i136) mod(463,31);
(%o136)
29
(%i137) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o137)
36025669681
(%i138) mod(36025669681,31);
(%o138)
25
より、31で割り切れない。
(P-31)^15-1から、
t-32=-22
(%i139) t^2- 61*t + 931;
(%o139)
421
(%i140) mod(421,31);
(%o140)
18
(%i141) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o141)
39619660081
(%i142) mod(39619660081,31);
(%o142)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1が31の倍数であり、循環するが、初式が31の倍数の場合もあるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=11であるなら、
(%i144) mod(11^3-1,31);
(%o144)
28
(%i145) mod(11^5-1,31);
(%o145)
5
(%i146) mod(11^7-1,31);
(%o146)
12
(%i147) mod(11^9-1,31);
(%o147)
22
(%i148) mod(11^11-1,31);
(%o148)
23
(%i149) mod(11^13-1,31);
(%o149)
20
(%i150) mod(11^15-1,31);
(%o150)
29
(%i151) mod(11^17-1,31);
(%o151)
2
(%i152) mod(11^19-1,31);
(%o152)
21
(%i153) mod(11^21-1,31);
(%o153)
26
(%i154) mod(11^23-1,31);
(%o154)
11
(%i155) mod(11^25-1,31);
(%o155)
25
(%i156) mod(11^27-1,31);
(%o156)
14
(%i157) mod(11^29-1,31);
(%o157)
16
(%i158) mod(11^31-1,31);
(%o158)
10
(%i159) mod(11^33-1,31);
(%o159)
28
(%i160) mod(11^36-1,31);
(%o160)
3
11^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、いずれも31で割り切れない。
(P-31)^15+1から、
t-30=-19
(%i161) t^2- 63*t + 993;
(%o161)
421
(%i162) mod(421,31);
(%o162)
18
(%i163) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o163)
24323047981
(%i164) mod(24323047981,31);
(%o164)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1から、
t-32=-21
(%i165) t^2- 61*t + 931;
(%o165)
381
(%i166) mod(381,31);
(%o166)
9
(%i167) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o167)
26876632021
(%i168) mod(26876632021,31);
(%o168)
22
より、31で割り切れない。
(P-31)^15+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=12であるなら、
(%i170) mod(12^3-1,31);
(%o170)
22
(%i171) mod(12^5-1,31);
(%o171)
25
(%i172) mod(12^7-1,31);
(%o172)
23
(%i173) mod(12^9-1,31);
(%o173)
14
(%i174) mod(12^11-1,31);
(%o174)
20
(%i175) mod(12^13-1,31);
(%o175)
16
(%i176) mod(12^15-1,31);
(%o176)
29
(%i177) mod(12^17-1,31);
(%o177)
10
(%i178) mod(12^19-1,31);
(%o178)
2
(%i179) mod(12^21-1,31);
(%o179)
28
(%i181) mod(12^23-1,31);
(%o181)
21
(%i182) mod(12^25-1,31);
(%o182)
5
(%i183) mod(12^27-1,31);
(%o183)
26
(%i184) mod(12^29-1,31);
(%o184)
12
(%i185) mod(12^31-1,31);
(%o185)
11
(%i186) mod(12^33-1,31);
(%o186)
22
(%i187) mod(12^35-1,31);
(%o187)
25
12^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、いずれも31で割り切れない。
(P-31)^15+1から、
t-30=-18
(%i188) t^2- 63*t + 993;
(%o188)
381
(%i189) mod(381,31);
(%o189)
9
(%i190) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o190)
16092043921
(%i191) mod(16092043921,31);
(%o191)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1から、
t-32=-21
(%i192) t^2- 61*t + 931;
(%o192)
343
(%i193) mod(343,31);
(%o193)
2
(%i194) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o194)
17874821521
(%i195) mod(17874821521,31);
(%o195)
26
より、31で割り切れない。
(P-31)^15+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=13であるなら、
(%i198) mod(13^3-1,31);
(%o198)
26
(%i199) mod(13^5-1,31);
(%o199)
5
(%i200) mod(13^7-1,31);
(%o200)
21
(%i201) mod(13^9-1,31);
(%o201)
28
(%i202) mod(13^11-1,31);
(%o202)
2
(%i203) mod(13^13-1,31);
(%o203)
10
(%i204) mod(13^15-1,31);
(%o204)
29
(%i205) mod(13^17-1,31);
(%o205)
16
(%i206) mod(13^19-1,31);
(%o206)
20
(%i207) mod(13^21-1,31);
(%o207)
14
(%i208) mod(13^23-1,31);
(%o208)
23
(%i209) mod(13^25-1,31);
(%o209)
25
(%i210) mod(13^27-1,31);
(%o210)
22
(%i211) mod(13^29-1,31);
(%o211)
11
(%i212) mod(13^31-1,31);
(%o212)
12
(%i213) mod(13^33-1,31);
(%o213)
26
(%i214) mod(13^35-1,31);
(%o214)
5
13^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、いずれも31で割り切れない。
(P-31)^15+1から、
t-30=-17
(%i215) t^2- 63*t + 993;
(%o215)
343
(%i216) mod(343,31);
(%o216)
2
(%i217) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o217)
10409530951
(%i218) mod(10409530951,31);
(%o218)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1から、
t-32=-19
(%i219) t^2- 61*t + 931;
(%o219)
307
(%i220) mod(307,31);
(%o220)
28
(%i221) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o221)
11630180251
(%i222) mod(11630180251,31);
(%o222)
27
より、31で割り切れない。
(P-31)^15+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=14であるなら、
(%i223) mod(14^3-1,31);
(%o223)
15
(%i224) mod(14^5-1,31);
(%o224)
4
(%i225) mod(14^7-1,31);
(%o225)
18
(%i226) mod(14^9-1,31);
(%o226)
3
(%i227) mod(14^11-1,31);
(%o227)
8
(%i228) mod(14^13-1,31);
(%o228)
27
(%i229) mod(14^15-1,31);
(%o229)
0
(%i230) mod(14^17-1,31);
(%o230)
9
(%i231) mod(14^19-1,31);
(%o231)
6
(%i232) mod(14^21-1,31);
(%o232)
7
(%i233) mod(14^23-1,31);
(%o233)
17
(%i234) mod(14^25-1,31);
(%o234)
24
(%i235) mod(14^27-1,31);
(%o235)
1
(%i236) mod(14^29-1,31);
(%o236)
19
(%i237) mod(14^31-1,31);
(%o237)
13
(%i238) mod(14^33-1,31);
(%o238)
15
(%i239) mod(14^35-1,31);
(%o239)
4
14^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、31で割り切れる場合がある。
(P-31)^15+1から、
t-30=-16
(%i240) t^2- 63*t + 993;
(%o240)
343
(%i241) mod(343,31);
(%o241)
2
(%i242) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o242)
10409530951
(%i243) mod(10409530951,31);
(%o243)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1から、
t-32=-18
(%i244) t^2- 61*t + 931;
(%o244)
307
(%i245) mod(307,31);
(%o245)
28
(%i246) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o246)
11630180251
(%i247) mod(11630180251,31);
(%o247)
27
より、31で割り切れない。
(P-31)^15+1が31の倍数であり、循環するが、初式が31の倍数である場合があるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=15であるなら、
(%i249) mod(15^3-1,31);
(%o249)
26
(%i250) mod(15^5-1,31);
(%o250)
29
(%i251) mod(15^7-1,31);
(%o251)
22
(%i252) mod(15^9-1,31);
(%o252)
28
(%i253) mod(15^11-1,31);
(%o253)
14
(%i254) mod(15^13-1,31);
(%o254)
26
(%i255) mod(15^15-1,31);
(%o255)
29
(%i256) mod(15^17-1,31);
(%o256)
22
15^13-1で繰り返すから、(P-31)^10-1周期である。
初式は、いずれも31で割り切れない。
また、(P-31)^5+1より、
t-30=-15
(%i257) t^4- 125*t^3+ 5860*t^2- 122110*t + 954305;
(%o257)
69905
(%i258) mod(69905,31);
(%o258)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^5-1より、
t-32=-17
(%i259) t^4- 123*t^3+ 5674*t^2- 116342*t + 894661;
(%o259)
61681
(%i260) mod(61681,31);
(%o260)
22
より、31で割り切れない。
(P-31)^5+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=16であるなら、
(%i262) mod(16^3-1,31);
(%o262)
3
(%i263) mod(16^5-1,31);
(%o263)
0
(%i264) mod(16^7-1,31);
(%o264)
7
(%i265) mod(16^9-1,31);
(%o265)
1
(%i266) mod(16^11-1,31);
(%o266)
15
(%i267) mod(16^13-1,31);
(%o267)
3
(%i268) mod(16^15-1,31);
(%o268)
0
(%i269) mod(16^17-1,31);
(%o269)
7
16^13-1で繰り返すから、(P-31)^10-1周期である。
初式は、31で割り切れる場合がある。
また、(P-31)^5+1より、
t-30=-14
(%i270) t^4- 125*t^3+ 5860*t^2- 122110*t + 954305;
(%o270)
54241
(%i271) mod(54241,31);
(%o271)
22
より、31で割り切れる。
(P-31)^5-1より、
t-32=-16
(%i272) t^4- 123*t^3+ 5674*t^2- 116342*t + 894661;
(%o272)
47461
(%i273) mod(47461,31);
(%o273)
0
より、31で割り切れない。
(P-31)^5-1が31の倍数であり、循環するが、初式が31の倍数の場合があるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=17であるなら、
(%i275) mod(17^3-1,31);
(%o275)
14
(%i276) mod(17^5-1,31);
(%o276)
25
(%i277) mod(17^7-1,31);
(%o277)
11
(%i278) mod(17^9-1,31);
(%o278)
26
(%i279) mod(17^11-1,31);
(%o279)
21
(%i280) mod(17^13-1,31);
(%o280)
2
(%i281) mod(17^15-1,31);
(%o281)
29
(%i282) mod(17^17-1,31);
(%o282)
20
(%i283) mod(17^19-1,31);
(%o283)
23
(%i284) mod(17^21-1,31);
(%o284)
22
(%i285) mod(17^23-1,31);
(%o285)
12
(%i287) mod(17^25-1,31);
(%o287)
5
(%i288) mod(17^27-1,31);
(%o288)
28
(%i289) mod(17^29-1,31);
(%o289)
10
(%i290) mod(17^31-1,31);
(%o290)
16
(%i291) mod(17^33-1,31);
(%o291)
14
(%i292) mod(17^35-1,31);
(%o292)
25
17^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、いずれも31で割り切れない。
(P-31)^15+1から、
t-30=-17
(%i293) t^2- 63*t + 993;
(%o293)
211
(%i294) mod(211,31);
(%o294)
25
(%i295) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o295)
1370877691
(%i296) mod(1370877691,31);
(%o296)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1から、
t-32=-19
(%i297) t^2- 61*t + 931;
(%o297)
183
(%i298) mod(183,31);
(%o298)
28
(%i299) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o299)
1580623591
(%i300) mod(1580623591,31);
(%o300)
24
より、31で割り切れない。
(P-31)^15+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=18であるなら、
(%i2) mod(18^3-1,31);
(%o2)
3
(%i3) mod(18^5-1,31);
(%o3)
24
(%i4) mod(18^7-1,31);
(%o4)
8
(%i5) mod(18^9-1,31);
(%o5)
1
(%i6) mod(18^11-1,31);
(%o6)
27
(%i7) mod(18^13-1,31);
(%o7)
19
(%i8) mod(18^15-1,31);
(%o8)
0
(%i9) mod(18^17-1,31);
(%o9)
13
(%i10) mod(18^19-1,31);
(%o10)
9
(%i11) mod(18^21-1,31);
(%o11)
15
(%i12) mod(18^23-1,31);
(%o12)
6
(%i13) mod(18^25-1,31);
(%o13)
4
(%i14) mod(18^27-1,31);
(%o14)
7
(%i15) mod(18^29-1,31);
(%o15)
18
(%i16) mod(18^31-1,31);
(%o16)
17
(%i17) mod(18^33-1,31);
(%o17)
3
(%i18) mod(18^35-1,31);
(%o18)
24
18^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、31で割り切れる場合がある。
(P-31)^15+1から、
t-30=-12
(%i19) t^2- 63*t + 993;
(%o19)
183
(%i20) mod(183,31);
(%o20)
28
(%i21) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o21)
753327121
(%i22) mod(753327121,31);
(%o22)
27
より、31で割り切れない。
(P-31)^15-1から、
t-32=-14
(%i23) t^2- 61*t + 931;
(%o23)
157
(%i24) mod(157,31);
(%o24)
2
(%i25) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o25)
878077201
(%i26) mod(878077201,31);
(%o26)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1が31の倍数であり、循環するが、初式が31の倍数である場合があるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=19であるなら、
(%i28) mod(19^3-1,31);
(%o28)
7
(%i29) mod(19^5-1,31);
(%o29)
4
(%i30) mod(19^7-1,31);
(%o30)
6
(%i31) mod(19^9-1,31);
(%o31)
15
(%i32) mod(19^11-1,31);
(%o32)
9
(%i33) mod(19^13-1,31);
(%o33)
13
(%i34) mod(19^15-1,31);
(%o34)
0
(%i35) mod(19^17-1,31);
(%o35)
19
(%i36) mod(19^19-1,31);
(%o36)
27
(%i37) mod(19^21-1,31);
(%o37)
1
(%i38) mod(19^23-1,31);
(%o38)
8
(%i39) mod(19^25-1,31);
(%o39)
24
(%i40) mod(19^27-1,31);
(%o40)
3
(%i41) mod(19^29-1,31);
(%o41)
17
(%i42) mod(19^31-1,31);
(%o42)
18
(%i43) mod(19^33-1,31);
(%o43)
7
(%i44) mod(19^35-1,31);
(%o44)
4
19^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、31で割り切れる場合がある。
(P-31)^15+1から、
t-30=-11
(%i45) t^2- 63*t + 993;
(%o45)
157
(%i46) mod(157,31);
(%o46)
2
(%i47) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o47)
394379701
(%i48) mod(394379701,31);
(%o48)
26
より、31で割り切れない。
(P-31)^15-1から、
t-32=-13
(%i49) t^2- 61*t + 931;
(%o49)
133
(%i50) mod(133,31);
(%o50)
9
(%i51) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o51)
465542221
(%i52) mod(465542221,31);
(%o52)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1が31の倍数であり、循環するが、初式が31の倍数である場合があるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=20であるなら、
(%i54) mod(20^3-1,31);
(%o54)
1
(%i55) mod(20^5-1,31);
(%o55)
24
(%i56) mod(20^7-1,31);
(%o56)
17
(%i57) mod(20^9-1,31);
(%o57)
7
(%i58) mod(20^11-1,31);
(%o58)
6
(%i59) mod(20^13-1,31);
(%o59)
9
(%i60) mod(20^15-1,31);
(%o60)
0
(%i61) mod(20^17-1,31);
(%o61)
27
(%i62) mod(20^19-1,31);
(%o62)
8
(%i63) mod(20^21-1,31);
(%o63)
3
(%i64) mod(20^23-1,31);
(%o64)
18
(%i65) mod(20^25-1,31);
(%o65)
4
(%i66) mod(20^27-1,31);
(%o66)
15
(%i67) mod(20^29-1,31);
(%o67)
13
(%i68) mod(20^31-1,31);
(%o68)
19
(%i69) mod(20^33-1,31);
(%o69)
1
(%i70) mod(20^35-1,31);
(%o70)
24
20^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、31で割り切れる場合がある。
(P-31)^15+1から、
t-30=-10
(%i71) t^2- 63*t + 993;
(%o71)
133
(%i72) mod(133,31);
(%o72)
9
(%i73) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o73)
195019441
(%i74) mod(195019441,31);
(%o74)
22
より、31で割り切れない。
(P-31)^15-1から、
t-32=-12
(%i75) t^2- 61*t + 931;
(%o75)
111
(%i76) mod(111,31);
(%o76)
18
(%i77) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o77)
233669041
(%i78) mod(233669041,31);
(%o78)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1が31の倍数であり、循環するが、初式が31の倍数である場合があるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=21であるなら、
(%i80) mod(21^3-1,31);
(%o80)
22
(%i81) mod(21^5-1,31);
(%o81)
5
(%i82) mod(21^7-1,31);
(%o82)
10
(%i83) mod(21^9-1,31);
(%o83)
14
(%i84) mod(21^11-1,31);
(%o84)
11
(%i85) mod(21^13-1,31);
(%o85)
21
(%i86) mod(21^15-1,31);
(%o86)
29
(%i87) mod(21^17-1,31);
(%o87)
23
(%i88) mod(21^19-1,31);
(%o88)
12
(%i89) mod(21^21-1,31);
(%o89)
28
(%i90) mod(21^23-1,31);
(%o90)
16
(%i91) mod(21^25-1,31);
(%o91)
25
(%i92) mod(21^27-1,31);
(%o92)
26
(%i93) mod(21^29-1,31);
(%o93)
2
(%i94) mod(21^31-1,31);
(%o94)
20
(%i95) mod(21^33-1,31);
(%o95)
22
(%i96) mod(21^35-1,31);
(%o96)
5
21^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、いずれも31で割り切れない。
(P-31)^15+1から、
t-30=-9
(%i97) t^2- 63*t + 993;
(%o97)
111
(%i98) mod(111,31);
(%o98)
18
(%i99) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o99)
90090991
(%i100) mod(90090991,31);
(%o100)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1から、
t-32=-11
(%i101) t^2- 61*t + 931;
(%o101)
91
(%i102) mod(91,31);
(%o102)
29
(%i103) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o103)
109889011
(%i104) mod(109889011,31);
(%o104)
25
より、31で割り切れない。
(P-31)^15+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=22であるなら、
(%i106) mod(22^3-1,31);
(%o106)
14
(%i107) mod(22^5-1,31);
(%o107)
5
(%i108) mod(22^7-1,31);
(%o108)
20
(%i109) mod(22^9-1,31);
(%o109)
26
(%i110) mod(22^11-1,31);
(%o110)
16
(%i111) mod(22^13-1,31);
(%o111)
12
(%i112) mod(22^15-1,31);
(%o112)
29
(%i113) mod(22^17-1,31);
(%o113)
11
(%i114) mod(22^19-1,31);
(%o114)
10
(%i115) mod(22^21-1,31);
(%o115)
22
(%i116) mod(22^23-1,31);
(%o116)
2
(%i117) mod(22^25-1,31);
(%o117)
25
(%i118) mod(22^27-1,31);
(%o118)
28
(%i119) mod(22^29-1,31);
(%o119)
23
(%i120) mod(22^31-1,31);
(%o120)
21
(%i121) mod(22^33-1,31);
(%o121)
14
(%i122) mod(22^35-1,31);
(%o122)
5
22^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、いずれも31で割り切れない。
(P-31)^15+1から、
t-30=-8
(%i123) t^2- 63*t + 993;
(%o123)
91
(%i124) mod(91,31);
(%o124)
29
(%i125) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o125)
38316961
(%i126) mod(38316961,31);
(%o126)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1から、
t-32=-10
(%i127) t^2- 61*t + 931;
(%o127)
73
(%i128) mod(73,31);
(%o128)
11
(%i129) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o129)
47763361
(%i130) mod(47763361,31);
(%o130)
18
(%i131) mod(18,31);
(%o131)
18
より、31で割り切れない。
(P-31)^15+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=23であるなら、
(%i133) mod(23^3-1,31);
(%o133)
14
(%i134) mod(23^5-1,31);
(%o134)
29
(%i135) mod(23^7-1,31);
(%o135)
28
(%i136) mod(23^9-1,31);
(%o136)
26
(%i137) mod(23^11-1,31);
(%o137)
22
(%i138) mod(23^13-1,31);
(%o138)
14
(%i139) mod(23^15-1,31);
(%o139)
29
(%i140) mod(23^17-1,31);
(%o140)
28
23^13-1で繰り返すから、(P-31)^10-1周期である。
初式は、いずれも31で割り切れない。
また、(P-31)^5+1より、
t-30=-7
(%i141) t^4- 125*t^3+ 5860*t^2- 122110*t + 954305;
(%o141)
4681
(%i142) mod(4681,31);
(%o142)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^5-1より、
t-32=-9
(%i143) t^4- 123*t^3+ 5674*t^2- 116342*t + 894661;
(%o143)
3641
(%i144) mod(3641,31);
(%o144)
14
より、31で割り切れない。
(P-31)^5+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=24であるなら、
(%i146) mod(24^3-1,31);
(%o146)
28
(%i147) mod(24^5-1,31);
(%o147)
25
(%i148) mod(24^7-1,31);
(%o148)
2
(%i149) mod(24^9-1,31);
(%o149)
22
(%i150) mod(24^11-1,31);
(%o150)
10
(%i151) mod(24^13-1,31);
(%o151)
11
(%i152) mod(24^15-1,31);
(%o152)
29
(%i153) mod(24^17-1,31);
(%o153)
12
(%i154) mod(24^19-1,31);
(%o154)
16
(%i155) mod(24^21-1,31);
(%o155)
26
(%i156) mod(24^23-1,31);
(%o156)
20
(%i157) mod(24^25-1,31);
(%o157)
5
(%i158) mod(24^27-1,31);
(%o158)
14
(%i159) mod(24^29-1,31);
(%o159)
21
(%i160) mod(24^31-1,31);
(%o160)
23
(%i161) mod(24^33-1,31);
(%o161)
28
(%i162) mod(24^35-1,31);
(%o162)
25
24^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、いずれも31で割り切れない。
(P-31)^15+1から、
t-30=-6
(%i163) t^2- 63*t + 993;
(%o163)
57
(%i164) mod(57,31);
(%o164)
26
(%i165) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o165)
4956001
(%i166) mod(4956001,31);
(%o166)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1から、
t-32=-8
(%i167) t^2- 61*t + 931;
(%o167)
43
(%i168) mod(43,31);
(%o168)
12
(%i169) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o169)
6568801
(%i170) mod(6568801,31);
(%o170)
25
より、31で割り切れない。
(P-31)^15+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=25であるなら、
(%i172) mod(25^3-1,31);
(%o172)
0
(%i173) mod(25^5-1,31);
(%o173)
4
(%i174) mod(25^7-1,31);
(%o174)
24
(%i175) mod(25^9-1,31);
(%o175)
0
(%i176) mod(25^11-1,31);
(%o176)
4
(%i177) mod(25^13-1,31);
(%o177)
24
25^9-1で繰り返すから、(P-31)^6-1周期である。
初式は、31で割り切れる場合がある。
(P-31)^3+1より、
t-30=-5
(%i178) t^2- 63*t + 993;
(%o178)
43
(%i179) mod(43,31);
(%o179)
12
より、31で割り切れない。
(P-31)^3-1から、
t-32=-7
(%i180) t^2- 61*t + 931;
(%o180)
31
(%i181) mod(31,31);
(%o181)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^3-1が31の倍数であり、循環するが、初式が31の倍数になるときがあるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=26であるなら、
(%i183) mod(26^3-1,31);
(%o183)
29
(%i184) mod(26^5-1,31);
(%o184)
5
(%i185) mod(26^7-1,31);
(%o185)
25
(%i186) mod(26^9-1,31);
(%o186)
29
(%i187) mod(26^11-1,31);
(%o187)
5
26^9-1で繰り返すから、(P-31)^6-1周期である。
初式は、いずれも31で割り切れない。
(P-31)^3+1より、
t-30=-4
(%i188) t^2- 63*t + 993;
(%o188)
31
(%i189) mod(31,31);
(%o189)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^3-1から、
t-32=-6
(%i190) t^2- 61*t + 931;
(%o190)
21
(%i191) mod(21,31);
(%o191)
21
より、31で割り切れない。
(P-31)^3+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=27であるなら、
(%i193) mod(27^3-1,31);
(%o193)
28
(%i194) mod(27^5-1,31);
(%o194)
29
(%i195) mod(27^7-1,31);
(%o195)
14
(%i196) mod(27^9-1,31);
(%o196)
22
(%i197) mod(27^11-1,31);
(%o197)
26
(%i198) mod(27^13-1,31);
(%o198)
28
(%i199) mod(27^15-1,31);
(%o199)
29
27^13-1で繰り返すから、(P-31)^10-1周期である。
初式は、いずれも31で割り切れない。
また、(P-31)^5+1より、
t-30=-3
(%i200) t^4- 125*t^3+ 5860*t^2- 122110*t + 954305;
(%o200)
341
(%i201) mod(341,31);
(%o201)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^5-1より、
t-32=-5
(%i202) t^4- 123*t^3+ 5674*t^2- 116342*t + 894661;
(%o202)
205
(%i203) mod(205,31);
(%o203)
19
より、31で割り切れない。
(P-31)^5+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=28であるなら、
(%i205) mod(28^3-1,31);
(%o205)
3
(%i206) mod(28^5-1,31);
(%o206)
4
(%i207) mod(28^7-1,31);
(%o207)
13
(%i208) mod(28^9-1,31);
(%o208)
1
(%i209) mod(28^11-1,31);
(%o209)
17
(%i210) mod(28^13-1,31);
(%o210)
6
(%i211) mod(28^15-1,31);
(%o211)
0
(%i212) mod(28^17-1,31);
(%o212)
8
(%i213) mod(28^19-1,31);
(%o213)
18
(%i214) mod(28^21-1,31);
(%o214)
15
(%i215) mod(28^23-1,31);
(%o215)
19
(%i216) mod(28^25-1,31);
(%o216)
24
(%i217) mod(28^27-1,31);
(%o217)
7
(%i218) mod(28^29-1,31);
(%o218)
9
(%i219) mod(28^31-1,31);
(%o219)
27
(%i220) mod(28^33-1,31);
(%o220)
3
(%i221) mod(28^35-1,31);
(%o221)
4
28^33-1で繰り返すから、(P-31)^30-1周期である。
初式は、31で割り切れる場合がある。
(P-31)^15+1から、
t-30=-2
(%i222) t^2- 63*t + 993;
(%o222)
13
(%i223) mod(13,31);
(%o223)
13
(%i224) t^8- 247*t^7+ 26691*t^6- 1648116*t^5+ 63603939*t^4- 1570918708*t^3+ 24249183134*t^2- 213892888444*t + 825406158721;
(%o224)
4561
(%i225) mod(4561,31);
(%o225)
4
より、31で割り切れない。
(P-31)^15-1から、
t-32=-4
(%i226) t^2- 61*t + 931;
(%o226)
7
(%i227) mod(7,31);
(%o227)
7
(%i228) t^8- 249*t^7+ 27125*t^6- 1688476*t^5+ 65688999*t^4- 1635545956*t^3 + 25451011470*t^2- 226308699004*t + 880374069121;
(%o228)
8401
(%i229) mod(8401,31);
(%o229)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^15-1が31の倍数であり、循環するが、初式が31の倍数である場合があるから、
初式は31で割り切れ循環するので、31を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=29であるなら、
(%i230) mod(29^3-1,31);
(%o230)
22
(%i231) mod(29^5-1,31);
(%o231)
29
(%i232) mod(29^7-1,31);
(%o232)
26
(%i233) mod(29^9-1,31);
(%o233)
14
(%i234) mod(29^11-1,31);
(%o234)
28
(%i235) mod(29^13-1,31);
(%o235)
22
(%i236) mod(29^15-1,31);
(%o236)
29
29^13-1で繰り返すから、(P-31)^10-1周期である。
初式は、いずれも31で割り切れない。
また、(P-31)^5+1より、
t-30=-1
(%i238) t^4- 125*t^3+ 5860*t^2- 122110*t + 954305;
(%o238)
31
(%i239) mod(31,31);
(%o239)
0
より、31で割り切れる。
(P-31)^5-1より、
t-32=-3
(%i240) t^4- 123*t^3+ 5674*t^2- 116342*t + 894661;
(%o240)
11
(%i241) mod(11,31);
(%o241)
11
より、31で割り切れない。
(P-31)^5+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=30であるなら、
(%i243) mod(30^3-1,31);
(%o243)
29
(%i244) mod(30^5-1,31);
(%o244)
29
(%i246) mod(30^7-1,31);
(%o246)
29
(%i247) mod(30^9-1,31);
(%o247)
29
(%i248) mod(30^11-1,31);
(%o248)
29
30^9-1で繰り返すから、(P-31)^6-1周期である。
初式は、いずれも31で割り切れない。
(P-31)^3+1より、
t-30=-0 t-30=-0より、31の倍数である。
(%i249) t^2- 63*t + 993;
(%o249)
3
(%i250) mod(3,31);
(%o250)
3
より、31で割り切れる。
(P-31)^3-1から、
t-32=-2
(%i251) t^2- 61*t + 931;
(%o251)
1
(%i252) mod(1,31);
(%o252)
1
より、31で割り切れない。
(P-31)^3+1が31の倍数であり、循環するが、初式がいずれも31の倍数でないから、
初式は31で割り切れず循環するので、31を含まない。
以上から、x=200560490130n+Pと表せる素数のσ(x)の因数分解において、P=31u+tとするとき、
t=3,6,11,12,13,15,17,21,22,23,24,26,27,29,30ならσ(x)を素因数分解したら31を含まない。