37u+t
ver0.0001 2019.11.17
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37の倍数を除いた素数候補式は7420738134810n+Pで、
Pは、(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)(11-1)(13-1)(17-1)(19-1)(23-1)(29-1)(31-1)=1103619686400個ある。
x=7420738134810j+Pで、x-2k=37のとき、
7420738134810j+P-2k=37
7420738134810l+(P-37)=2k
より、
mod({(P-37)^(n+1)-1},37）
の関係だけをかんがえればよい。
そこで、最初は
(P-37)^3-1
(P-37)^5-1
(P-37)^7-1
(P-37)^9-1
(P-37)^11-1
(P-37)^13-1
(P-37)^15-1
(P-37)^17-1
(P-37)^19-1
と計算してゆくわけだが、
(%i25) mod(2^3-1,37);
(%o25)
7
(%i26) mod(2^5-1,37);
(%o26)
31
(%i27) mod(2^7-1,37);
(%o27)
16
(%i28) mod(2^9-1,37);
(%o28)
30
(%i29) mod(2^11-1,37);
(%o29)
12
(%i30) mod(2^13-1,37);
(%o30)
14
(%i31) mod(2^15-1,37);
(%o31)
22
(%i32) mod(2^17-1,37);
(%o32)
17
(%i33) mod(2^19-1,37);
(%o33)
34
(%i34) mod(2^21-1,37);
(%o34)
28
(%i35) mod(2^23-1,37);
(%o35)
4
(%i37) mod(2^25-1,37);
(%o37)
19
(%i38) mod(2^27-1,37);
(%o38)
5
(%i39) mod(2^29-1,37);
(%o39)
23
(%i40) mod(2^31-1,37);
(%o40)
21
(%i41) mod(2^33-1,37);
(%o41)
13
(%i42) mod(2^35-1,37);
(%o42)
18
(%i43) mod(2^37-1,37);
(%o43)
1
(%i44) mod(2^39-1,37);
(%o44)
7
(%i45) mod(2^41-1,37);
(%o45)
31
(%i46) mod(2^43-1,37);
(%o46)
16
この関係は維持されるので、
(p-37)^39-1-{(P-37)^3-1}=(P-37)^39-(P-37)^3=(P-37)^3{(P-37)^36-1}=(P-37)^3{(P-37)^18+1}{(P-37)^18-1}
(p-37)^41-1-{(P-37)^5-1}=(P-37)^41-(P-37)^5=(P-37)^5{(P-37)^36-1}=(P-37)^5{(P-37)^18+1}{(P-37)^18-1}
(p-37)^43-1-{(P-37)^7-1}=(P-37)^43-(P-37)^7=(P-37)^7{(P-37)^36-1}=(P-37)^7{(P-37)^18+1}{(P-37)^18-1}
ここで、
{(P-37)^18+1}
{(P-37)^18-1}={(P-37)^9+1}{(P-37)^9-1}
に注目する。
さて、Pは37でわれないから、
(%i1) P:37*u+t;
(%o1)
37 u + t
とおくと、初式は
(%i47) factor((P-37)^3-1);
2
2
(%o47) (37 u + t - 38) (1369 u + 74 t u - 2701 u + t - 73 t + 1333)
(であるから、
(P-37)^3-1から
t-38
t^2-73t+1333
に注目する。
また、(p-37)^39-1-{(P-37)^3-1}より間の
初式は、(P-37)^5-1となることもあり
初式は、(P-37)^7-1となることもあり
初式は、(P-37)^9-1となることもあり
初式は、(P-37)^11-1となることもあり
初式は、(P-37)^13-1となることもあり
初式は、(P-37)^15-1となることもあり
初式は、(P-37)^17-1となることもあり
初式は、(P-37)^19-1となることもあり
初式は、(P-37)^21-1となることもあり
初式は、(P-37)^23-1となることもあり
初式は、(P-37)^25-1となることもあり
初式は、(P-37)^27-1となることもあり
初式は、(P-37)^29-1となることもあり
初式は、(P-37)^31-1となることもあり
初式は、(P-37)^33-1となることもあり
初式は、(P-37)^35-1となることもあり
初式は、(P-37)^37-1となることもある。
さて、循環するには、(P-37)^18+1か、(P-37)^9+1か、(P-37)^9-1が37で割れなければならないから、
(%i48) factor((P-37)^18+1);
2
2
(%o48) (1369 u + 74 t u - 2738 u + t - 74 t + 1370)
4
3
3 2
2
2
(1874161 u + 202612 t u - 7496644 u + 8214 t u - 607836 t u
2
3
2
4 3
+ 11243597 u + 148 t u - 16428 t u + 607762 t u - 7493906 u + t - 148 t
2
12
+ 8213 t - 202538 t + 1872793) (6582952005840035281 u
11
11
+ 2135011461353524956 t u - 78995424070080423372 u
2
10
10
+ 317366568579578034 t u - 23485126074888774516 t u
10
3 9
+ 434474832385442328546 u + 28591582754916940 t u
2
9
9
- 3173665685795780340 t u + 117425630374443872580 t u
9
4 8
- 1448249441284807761820 u + 1738677329690895 t u
3
8
2 8
- 257324244794252460 t u + 14281495586081011530 t u
8
8
- 352276891123331617740 t u + 3258561242890817464095 u
5
7
4
7
3 7
+ 75186046689336 t u - 13909418637527160 t u + 1029296979177009840 t u
2
7
7
- 38083988229549364080 t u + 704553782246663235480 t u
7
6
6
5 6
- 5213697988625307942552 u + 2370731201916 t u - 526302326825352 t u
4
6
3 6
+ 48682965231345060 t u - 2401692951413022960 t u
2
6
6
+ 66646979401711387140 t u - 986375295145328529672 t u
6
7
5
6 5
+ 6082647653393626873235 u + 54920413944 t u - 14224387211496 t u
5
5
4
5
3 5
+ 1578906980476056 t u - 97365930462690120 t u + 3602539427119534440 t u
2
5
5
- 79976375282053664568 t u + 986375295144912465930 t u
5
8
4
7 4
- 5213697988609913584098 u + 927709695 t u - 274602069720 t u
6
4
5
4
4 4
+ 35560968028740 t u - 2631511634126760 t u + 121707413078362650 t u
3
4
2 4
- 3602539427119534440 t u + 66646979401683274725 t u
4
4
9 3
- 704553782244582916770 t u + 3258561242852331567960 u + 11143660 t u
8
3
7
3
6 3
- 3710838780 t u + 549204139440 t u - 47414624038320 t u
5
3
4
3
3 3
+ 2631511634126760 t u - 97365930462690120 t u + 2401692951412009900 t u
2
3
3
- 38083988229436914420 t u + 352276891119170980320 t u
3 10
2
9
2
8 2
- 1448249441233493233640 u + 90354 t u - 33430980 t u + 5566258170 t u
7
2
6
2
5 2
- 549204139440 t u + 35560968028740 t u - 1578906980476056 t u
4
2
3 2
+ 48682965231324525 t u - 1029296979173970660 t u
2
2
2
+ 14281495585912337040 t u - 117425630370283235160 t u
2
11
10
9
+ 434474832346956432411 u + 444 t u - 180708 t u + 33430980 t u
8
7
6
- 3710838780 t u + 274602069720 t u - 14224387211496 t u
5
4
3
+ 526302326825130 t u - 13909418637486090 t u + 257324244791213280 t u
2
- 3173665685683330680 t u + 23485126072808455806 t u - 78995424054686064918 u
12
11
10
9
8
7
+ t - 444 t + 90354 t - 11143660 t + 927709695 t - 54920413944 t
6
5
4
+ 2370731201915 t - 75186046689114 t + 1738677329670360 t
3
2
- 28591582753903880 t + 317366568551465619 t - 2135011460937461214 t
+ 6582952003274308873)
(%i49) factor((P-37)^9+1);
2
2
(%o49) (37 u + t - 36) (1369 u + 74 t u - 2775 u + t - 75 t + 1407)
6
5
5
2 4
(2565726409 u + 416063742 t u - 15394358454 u + 28112415 t u
4
4
3
3
2 3
- 2080318710 t u + 38485896135 u + 1013060 t u - 112449660 t u
3
3 4
2
3 2
+ 4160637420 t u - 51314578833 u + 20535 t u - 3039180 t u
2
2
2
2
5 4
+ 168674490 t u - 4160641527 t u + 38486048094 u + 222 t u - 41070 t u
3
2
6 5
+ 3039180 t u - 112449771 t u + 2080326924 t u - 15394510413 u + t - 222 t
4
3
2
+ 20535 t - 1013061 t + 28112526 t - 416067849 t + 2565777063)
(%i50) factor((P-37)^9-1);
2
2
(%o50) (37 u + t - 38) (1369 u + 74 t u - 2701 u + t - 73 t + 1333)
6
5
5
2 4
(2565726409 u + 416063742 t u - 15394358454 u + 28112415 t u
4
4
3
3
2 3
- 2080318710 t u + 38485896135 u + 1013060 t u - 112449660 t u
3
3 4
2
3 2
+ 4160637420 t u - 51314477527 u + 20535 t u - 3039180 t u
2
2
2
2
5 4
+ 168674490 t u - 4160633313 t u + 38485744176 u + 222 t u - 41070 t u
3
2
6 5
+ 3039180 t u - 112449549 t u + 2080310496 t u - 15394206495 u + t - 222 t
4
3
2
+ 20535 t - 1013059 t + 28112304 t - 416059635 t + 2565675757)
であるから、(P-37)^18+1より、
t^2-74t+1370
t^4-148t^3+8213t^2-202538t +1872793
t^12- 444t^11+90354t^10-11143660t^9+927709695t^8-54920413944t^7
+2370731201915t^6-75186046689114t^5+1738677329670360t^4-28591582753903880t^3
+317366568551465619t^2-2135011460937461214t+6582952003274308873
と(P-37)^9+1より、
t-36
t^2-75t+1407
t^6-222t^5+20535t^4-1013061t^3+28112526t^2-416067849t+2565777063
と(P-37)^9-1より、
t-38
t^2-73t*1333
t^6-222t^5+20535t^4-1013059t^3+28112304t^2-416059635t + 2565675757
に注目する。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=1であるなら、
初式は、(P-37)^3-1から
t-38=-37 t-38=-37より、37の倍数である。
(%i53) t^2-73*t+1333;
(%o53)
1261
(%i54) mod(1261,37);
(%o54)
3
より初式は、37で割り切れる。
また、(P-37)^18+1より、
(%i55) t^2-74*t+1370;
(%o55)
1297
(%i56) mod(1297,37);
(%o56)
2
(%i57)t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o57)
1678321
(%i58) mod(1678321,37);
(%o58)
1
(%i59) t^12-
444*t^11+90354*t^10-11143660*t^9+927709695*t^8-54920413944*t^7+2370731201915*t^6-75186046689114*t^5+1738677329670360*t^4-28591582753903880*t^3+317366568551465619*t^2-2135011460937461214*t+6582952003274308873;
(%o59)
4738381336144834561
(%i60) mod(4738381336144834561,37);
(%o60)
1
より、37で割り切れない。
(P-37)^9+1より、
t-36=-35
(%i61) t^2-75*t+1407;
(%o61)
1333
(%i62) mod(1333,37);
(%o62)
1
(%i63) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o63)
2176828993
(%i64) mod(2176828993,37);
(%o64)
1
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-37 t-38=-37より、37の倍数である。
%i53) t^2-73*t+1333;
(%o53)
1261
(%i54) mod(1261,37);
(%o54)
3
(%i65) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o65)
2176735681
(%i66) mod(2176735681,37);
(%o66)
3
より、37で割り切れる。
(P-37)^9-1が37の倍数であり、循環するが、初式(P-37)^3-1が37の倍数であるから、
初式は37で割り切れ循環するので、37を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=2であるなら、
(%i25) mod(2^3-1,37);
(%o25)
7
(%i26) mod(2^5-1,37);
(%o26)
31
(%i27) mod(2^7-1,37);
(%o27)
16
(%i28) mod(2^9-1,37);
(%o28)
30
(%i29) mod(2^11-1,37);
(%o29)
12
(%i30) mod(2^13-1,37);
(%o30)
14
(%i31) mod(2^15-1,37);
(%o31)
22
(%i32) mod(2^17-1,37);
(%o32)
17
(%i33) mod(2^19-1,37);
(%o33)
34
(%i34) mod(2^21-1,37);
(%o34)
28
(%i35) mod(2^23-1,37);
(%o35)
4
(%i37) mod(2^25-1,37);
(%o37)
19
(%i38) mod(2^27-1,37);
(%o38)
5
(%i39) mod(2^29-1,37);
(%o39)
23
(%i40) mod(2^31-1,37);
(%o40)
21
(%i41) mod(2^33-1,37);
(%o41)
13
(%i42) mod(2^35-1,37);
(%o42)
18
(%i43) mod(2^37-1,37);
(%o43)
1
(%i44) mod(2^39-1,37);
(%o44)
7
(%i45) mod(2^41-1,37);
(%o45)
31
(%i46) mod(2^43-1,37);
(%o46)
16
2^39-1で繰り返すから、(P-37)^36-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
また、(P-37)^18+1より、
(%i68) t^2-74*t+1370;
(%o68)
1226
(%i69) mod(1226,37);
(%o69)
5
(%i70) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o70)
1499401
(%i71) mod(1499401,37);
(%o71)
13
(%i72) t^12-
444*t^11+90354*t^10-11143660*t^9+927709695*t^8-54920413944*t^7+2370731201915*t^6-75186046689114*t^5+1738677329670360*t^4-28591582753903880*t^3+317366568551465619*t^2-2135011460937461214*t+6582952003274308873;
(%o72)
3379220506218375001
(%i73) mod(3379220506218375001,37);
(%o73)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9+1より、
t-36=-34
(%i74) t^2-75*t+1407;
(%o74)
1261
(%i75) mod(1261,37);
(%o75)
3
(%i76) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o76)
1838308501
(%i77) mod(1838308501,37);
(%o77)
20
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-36
(%i78) t^2-73*t+1333;
(%o78)
1191
(%i79) mod(1191,37);
(%o79)
7
(%i80) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o80)
1838222751
(%i81) mod(1838222751,37);
(%o81)
36
より、37で割り切れない。
(P-37)^18+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=3であるなら、
(%i1) mod(3^3-1,37);
(%o1)
26
(%i2) mod(3^5-1,37);
(%o2)
20
(%i3) mod(3^7-1,37);
(%o3)
3
(%i4) mod(3^9-1,37);
(%o4)
35
(%i5) mod(3^11-1,37);
(%o5)
27
(%i6) mod(3^13-1,37);
(%o6)
29
(%i7) mod(3^15-1,37);
(%o7)
10
(%i8) mod(3^17-1,37);
(%o8)
24
(%i9) mod(3^19-1,37);
(%o9)
2
(%i10) mod(3^21-1,37);
(%o10)
26
(%i11) mod(3^23-1,37);
(%o11)
20
(%i12) mod(3^25-1,37);
(%o12)
3
2^21-1で繰り返すから、(P-37)^18-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)^9+1より、
t-36=-33
(%i15) t^2-75*t+1407;
(%o15)
1191
(%i16) mod(1191,37);
(%o16)
7
(%i17) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o17)
1544843721
(%i18) mod(1544843721,37);
(%o18)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9-1より、
t-38=-35
(%i19) t^2-73*t+1333;
(%o19)
1123
(%i20) mod(1123,37);
(%o20)
13
(%i21) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o21)
1544765113
(%i22) mod(1544765113,37);
(%o22)
17
より、37で割り切れない。
(P-37)^9+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=4であるなら、
(%i24) mod(4^3-1,37);
(%o24)
26
(%i25) mod(4^5-1,37);
(%o25)
24
(%i26) mod(4^7-1,37);
(%o26)
29
(%i27) mod(4^9-1,37);
(%o27)
35
(%i28) mod(4^11-1,37);
(%o28)
20
(%i29) mod(4^13-1,37);
(%o29)
2
(%i30) mod(4^15-1,37);
(%o30)
10
(%i31) mod(4^17-1,37);
(%o31)
27
(%i32) mod(4^19-1,37);
(%o32)
3
(%i33) mod(4^21-1,37);
(%o33)
26
(%i34) mod(4^23-1,37);
(%o34)
24
(%i36) mod(4^25-1,37);
(%o36)
29
4^21-1で繰り返すから、(P-37)^18-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)^9+1より、
t-36=-32
(%i15) t^2-75*t+1407;
(%o15)
1191
(%i16) mod(1191,37);
(%o16)
7
(%i17) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o17)
1544843721
(%i18) mod(1544843721,37);
(%o18)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9-1より、
t-38=-34
(%i41) t^2-73*t+1333;
(%o41)
1057
(%i42) mod(1057,37);
(%o42)
21
(%i43) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o43)
1291432033
(%i44) mod(1291432033,37);
(%o44)
17
より、37で割り切れない。
(P-37)^9+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=5であるなら、
(%i46) mod(5^3-1,37);
(%o46)
13
(%i47) mod(5^5-1,37);
(%o47)
16
(%i48) mod(5^7-1,37);
(%o48)
17
(%i49) mod(5^9-1,37);
(%o49)
5
(%i50) mod(5^11-1,37);
(%o50)
1
(%i51) mod(5^13-1,37);
(%o51)
12
(%i52) mod(5^15-1,37);
(%o52)
28
(%i53) mod(5^17-1,37);
(%o53)
21
(%i54) mod(5^19-1,37);
(%o54)
31
(%i55) mod(5^21-1,37);
(%o55)
22
(%i56) mod(5^23-1,37);
(%o56)
19
(%i57) mod(5^25-1,37);
(%o57)
18
(%i58) mod(5^27-1,37);
(%o58)
30
(%i59) mod(5^29-1,37);
(%o59)
34
(%i60) mod(5^31-1,37);
(%o60)
23
(%i61) mod(5^33-1,37);
(%o61)
7
(%i62) mod(5^35-1,37);
(%o62)
14
(%i63) mod(5^37-1,37);
(%o63)
4
(%i64) mod(5^39-1,37);
(%o64)
13
(%i65) mod(5^41-1,37);
(%o65)
16
(%i66) mod(5^43-1,37);
(%o66)
17
5^39-1で繰り返すから、(P-37)^36-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
また、(P-37)^18+1より、
(%i67) t^2-74*t+1370;
(%o67)
1025
(%i68) mod(1025,37);
(%o68)
26
(%i69) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o69)
1047553
(%i70) mod(1047553,37);
(%o70)
9
(%i71) t^12-
444*t^11+90354*t^10-11143660*t^9+927709695*t^8-54920413944*t^7+2370731201915*t^6-75186046689114*t^5+1738677329670360*t^4-28591582753903880*t^3+317366568551465619*t^2-2135011460937461214*t+6582952003274308873;
(%o71)
1152921503533105153
(%i72) mod(1152921503533105153,37);
(%o72)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9+1より、
t-36=-31
(%i73) t^2-75*t+1407;
(%o73)
1057
(%i74)
mod(1057,37);(%o74)
21
(%i75) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o75)
1073774593
(%i76) mod(1073774593,37);
(%o76)
35
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-33
(%i77) t^2-73*t+1333;
(%o77)
993
(%i78) mod(993,37);
(%o78)
31
(%i79) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o79)
1073709057
(%i80) mod(1073709057,37);
(%o80)
26
より、37で割り切れない。
(P-37)^18+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=6であるなら、
(%i82) mod(6^3-1,37);
(%o82)
30
(%i83) mod(6^5-1,37);
(%o83)
5
(%i84) mod(6^7-1,37);
(%o84)
30
(%i85) mod(6^9-1,37);
(%o85)
5
6^7-1で繰り返すから、(P-37)^4-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(p-37)^7-1-{(P-37)^3-1}=(P-37)^7-(P-37)^3=(P-37)^3{(P-37)^4-1}=(P-37)^3{(P-37)^2+1}{(P-37)^2-1}
(p-37)^9-1-{(P-37)^5-1}=(P-37)^9-(P-37)^5=(P-37)^5{(P-37)^4-1}=(P-37)^5{(P-37)^2+1}{(P-37)^2-1}
より、
(%i2) factor((P-37)^2+1);
2
2
(%o2) 1369 u + 74 t u - 2738 u + t - 74 t + 1370
(%i3) factor((P-37)^2-1);
(%o3)
(37 u + t - 38) (37 u + t - 36)
したがって、
(P-37)^2+1より、
(%i86) t^2-74*t+1370;
(%o86)
962
(%i87) mod(962,37);
(%o87)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^2-1より、
t-38=-32
t-36=-30
より、37で割り切れない。
(P-37)^2+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=7であるなら、
(%i89) mod(7^3-1,37);
(%o89)
9
(%i90) mod(7^5-1,37);
(%o90)
8
(%i91) mod(7^7-1,37);
(%o91)
33
(%i92) mod(7^9-1,37);
(%o92)
0
(%i93) mod(7^11-1,37);
(%o93)
11
(%i94) mod(7^13-1,37);
(%o94)
32
(%i95) mod(7^15-1,37);
(%o95)
25
(%i96) mod(7^17-1,37);
(%o96)
15
(%i97) mod(7^19-1,37);
(%o97)
6
(%i98) mod(7^21-1,37);
(%o98)
9
(%i99) mod(7^23-1,37);
(%o99)
8
(%i100) mod(7^25-1,37);
(%o100)
33
7^21-1で繰り返すから、(P-37)^18-1周期である。
また、初式は、37で割り切れる場合がある。
(P-37)^9+1より、
t-36=-29
(%i101) t^2-75*t+1407;
(%o101)
931
(%i102) mod(931,37);
(%o102)
6
(%i103) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o103)
729027001
(%i104) mod(729027001,37);
(%o104)
17
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-31
(%i105) t^2-73*t+1333;
(%o105)
871
(%i106) mod(871,37);
(%o106)
20
(%i107) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o107)
728973001
(%i108) mod(728973001,37);
(%o108)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9-1が37の倍数であり、循環するが、初式が37の倍数である場合があるから、
初式は37で割り切れ循環するので、37を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=8であるなら、
(%i110) mod(8^3-1,37);
(%o110)
30
(%i111) mod(8^5-1,37);
(%o111)
22
(%i112) mod(8^7-1,37);
(%o112)
28
(%i114) mod(8^9-1,37);
(%o114)
5
(%i115) mod(8^11-1,37);
(%o115)
13
(%i116) mod(8^13-1,37);
(%o116)
7
(%i117) mod(8^15-1,37);
(%o117)
30
(%i118) mod(8^17-1,37);
(%o118)
22
(%i119) mod(8^19-1,37);
(%o119)
28
8^15-1で繰り返すから、(P-37)^12-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(p-37)^15-1-{(P-37)^3-1}=(P-37)^15-(P-37)^3=(P-37)^3{(P-37)^12-1}=(P-37)^3{(P-37)^6+1}{(P-37)^6-1}
(p-37)^17-1-{(P-37)^5-1}=(P-37)^17-(P-37)^5=(P-37)^5{(P-37)^12-1}=(P-37)^5{(P-37)^6+1}{(P-37)^6-1}
より、
(%i4) factor((P-37)^6+1);
2
2
(%o4) (1369 u + 74 t u - 2738 u + t - 74 t + 1370)
4
3
3 2
2
2
(1874161 u + 202612 t u - 7496644 u + 8214 t u - 607836 t u
2
3
2
4 3
+ 11243597 u + 148 t u - 16428 t u + 607762 t u - 7493906 u + t - 148 t
2
+ 8213 t - 202538 t + 1872793)
(%i6) factor((P-37)^6-1);
2
2
(%o6) (37 u + t - 38) (37 u + t - 36) (1369 u + 74 t u - 2775 u + t - 75 t
2
2
+ 1407) (1369 u + 74 t u - 2701 u + t - 73 t + 1333)
したがって、
(P-37)^6+1より、
(%i126) t^2-74*t+1370;
(%o126)
842
(%i127) mod(842,37);
(%o127)
28
(%i134) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o134)
706441
(%i135) mod(706441,37);
(%o135)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^6+1より、
t-38=-30
t-36=-28
(%i132) t^2-75*t+1407;
(%o132)
871
(%i133) mod(871,37);
(%o133)
20
(%i130) t^2-73*t+1333;
(%o130)
813
(%i131) mod(813,37);
(%o131)
36
より、37で割り切れない。
(P-37)^6+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=9であるなら、
(%i137) mod(9^3-1,37);
(%o137)
25
(%i138) mod(9^5-1,37);
(%o138)
33
(%i139) mod(9^7-1,37);
(%o139)
15
(%i140) mod(9^9-1,37);
(%o140)
0
(%i141) mod(9^11-1,37);
(%o141)
6
(%i142) mod(9^13-1,37);
(%o142)
11
(%i143) mod(9^15-1,37);
(%o143)
9
(%i144) mod(9^17-1,37);
(%o144)
32
(%i145) mod(9^19-1,37);
(%o145)
8
(%i146) mod(9^21-1,37);
(%o146)
25
(%i147) mod(9^23-1,37);
(%o147)
33
(%i148) mod(9^25-1,37);
(%o148)
15
9^21-1で繰り返すから、(P-37)^18-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)^9+1より、
t-36=-27
(%i149) t^2-75*t+1407;
(%o149)
813
(%i150) mod(813,37);
(%o150)
36
(%i151) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o151)
481912257
(%i152) mod(481912257,37);
(%o152)
22
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-29
(%i153) t^2-73*t+1333;
(%o153)
757
(%i154) mod(757,37);
(%o154)
17
(%i155) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o155)
481868353
(%i156) mod(481868353,37);
(%o156)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9-1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=10であるなら、
(%i158) mod(10^3-1,37);
(%o158)
0
(%i159) mod(10^5-1,37);
(%o159)
25
(%i160) mod(10^7-1,37);
(%o160)
9
(%i161) mod(10^9-1,37);
(%o161)
0
(%i162) mod(10^11-1,37);
(%o162)
25
(%i163) mod(10^13-1,37);
(%o163)
9
10^9-1で繰り返すから、(P-37)^6-1周期である。
また、初式は、37で割り切る場合がある。
したがって、
(%i8) factor((P-37)^3+1);
2
2
(%o8) (37 u + t - 36) (1369 u + 74 t u - 2775 u + t - 75 t + 1407)
(%i9) factor((P-37)^3-1);
2
2
(%o9) (37 u + t - 38) (1369 u + 74 t u - 2701 u + t - 73 t + 1333)
(P-37)^3+1より、
t-36=-26
(%i164) t^2-75*t+1407;
(%o164)
757
(%i165) mod(757,37);
(%o165)
17
より、37で割り切れない。
(P-37)^3-1より、
t-38=^28
(%i166) t^2-73*t+1333;
(%o166)
703
(%i167) mod(703,37);
(%o167)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^3-1が37の倍数であり、循環するが、初式が37の倍数である場合があるから、
初式は37で割り切れ循環するので、37を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=11であるなら、
(%i2) mod(11^3-1,37);
(%o2)
35
(%i3) mod(11^5-1,37);
(%o3)
26
(%i4) mod(11^7-1,37);
(%o4)
10
(%i5) mod(11^9-1,37);
(%o5)
35
(%i6) mod(11^11-1,37);
(%o6)
26
(%i7) mod(11^13-1,37);
(%o7)
10
11^9-1で繰り返すから、(P-37)^6-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)^3+1より、
t-36=-25
(%i8) t^2-75*t+1407;
(%o8)
703
(%i9) mod(703,37);
(%o9)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^3-1より、
t-38=^27
(%i10) t^2-73*t+1333;
(%o10)
651
(%i11) mod(651,37);
(%o11)
22
より、37で割り切れない。
(P-37)^3+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=12であるなら、
(%i13) mod(12^3-1,37);
(%o13)
25
(%i14) mod(12^5-1,37);
(%o14)
6
(%i15) mod(12^7-1,37);
(%o15)
8
(%i16) mod(12^9-1,37);
(%o16)
0
(%i17) mod(12^11-1,37);
(%o17)
32
(%i18) mod(12^13-1,37);
(%o18)
15
(%i19) mod(12^15-1,37);
(%o19)
9
(%i20) mod(12^17-1,37);
(%o20)
33
(%i21) mod(12^19-1,37);
(%o21)
11
(%i22) mod(12^21-1,37);
(%o22)
25
(%i23) mod(12^23-1,37);
(%o23)
6
(%i24) mod(12^25-1,37);
(%o24)
8
12^21-1で繰り返すから、(P-37)^18-1周期である。
また、初式は、37で割り切る場合がある。
(P-37)^9+1より、
t-36=-24
(%i25) t^2-75*t+1407;
(%o25)
651
(%i26) mod(651,37);
(%o26)
22
(%i27) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o27)
244156251
(%i28) mod(244156251,37);
(%o28)
22
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-26
(%i29) t^2-73*t+1333;
(%o29)
601
(%i30) mod(601,37);
(%o30)
9
(%i31) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o31)
244125001
(%i32) mod(244125001,37);
(%o32)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9-1が37の倍数であり、循環するが、初式が37の倍数である場合があるから、
初式は37で割り切れ循環するので、37を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=13であるなら、
(%i34) mod(13^3-1,37);
(%o34)
13
(%i35) mod(13^5-1,37);
(%o35)
34
(%i36) mod(13^7-1,37);
(%o36)
31
(%i37) mod(13^9-1,37);
(%o37)
5
(%i38) mod(13^11-1,37);
(%o38)
14
(%i39) mod(13^13-1,37);
(%o39)
18
(%i40) mod(13^15-1,37);
(%o40)
28
(%i41) mod(13^17-1,37);
(%o41)
16
(%i42) mod(13^19-1,37);
(%o42)
23
(%i43) mod(13^21-1,37);
(%o43)
22
(%i44) mod(13^23-1,37);
(%o44)
1
(%i45) mod(13^25-1,37);
(%o45)
4
(%i46) mod(13^27-1,37);
(%o46)
30
(%i47) mod(13^29-1,37);
(%o47)
21
(%i48) mod(13^31-1,37);
(%o48)
17
(%i49) mod(13^33-1,37);
(%o49)
7
(%i50) mod(13^35-1,37);
(%o50)
19
(%i51) mod(13^37-1,37);
(%o51)
12
(%i52) mod(13^39-1,37);
(%o52)
13
(%i53) mod(13^41-1,37);
(%o53)
34
(%i54) mod(13^43-1,37);
(%o54)
31
13^39-1で繰り返すから、(P-37)^36-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
また、(P-37)^18+1より、
(%i55) t^2-74*t+1370;
(%o55)
577
(%i56) mod(577,37);
(%o56)
22
(%i57) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o57)
331201
(%i58) mod(331201,37);
(%o58)
14
(%i59) t^12-
444*t^11+90354*t^10-11143660*t^9+927709695*t^8-54920413944*t^7+2370731201915*t^6-75186046689114*t^5+1738677329670360*t^4-28591582753903880*t^3+317366568551465619*t^2-2135011460937461214*t+6582952003274308873;
(%o59)
36520347244953601
(%i60) mod(36520347244953601,37);
(%o60)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9+1より、
t-36=-31
(%i61) t^2-75*t+1407;
(%o61)
601
(%i62) mod(601,37);
(%o62)
9
(%i63) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o63)
191116801
(%i64) mod(191116801,37);
(%o64)
35
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-33
(%i65) t^2-73*t+1333;
(%o65)
553
(%i66) mod(553,37);
(%o66)
35
(%i67) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o67)
191089153
(%i68) mod(191089153,37);
(%o68)
26
より、37で割り切れない。
(P-37)^18+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=14であるなら、
(%i70) mod(14^3-1,37);
(%o70)
5
(%i71) mod(14^5-1,37);
(%o71)
28
(%i72) mod(14^7-1,37);
(%o72)
22
(%i73) mod(14^9-1,37);
(%o73)
30
(%i74) mod(14^11-1,37);
(%o74)
7
(%i75) mod(14^13-1,37);
(%o75)
13
(%i76) mod(14^15-1,37);
(%o76)
5
(%i77) mod(14^17-1,37);
(%o77)
28
(%i78) mod(14^19-1,37);
(%o78)
22
14^15-1で繰り返すから、(P-37)^12-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)^6+1より、
(%i79) t^2-74*t+1370;
(%o79)
530
(%i80) mod(530,37);
(%o80)
12
(%i81) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o81)
279313
(%i82) mod(279313,37);
(%o82)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^6+1より、
t-38=-24
t-36=-22
(%i83) t^2-75*t+1407;
(%o83)
553
(%i84) mod(553,37);
(%o84)
35
(%i85) t^2-73*t+1333;
(%o85)
507
(%i86) mod(507,37);
(%o86)
26
より、37で割り切れない。
(P-37)^6+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=15であるなら、
(%i88) mod(15^3-1,37);
(%o88)
7
(%i89) mod(15^5-1,37);
(%o89)
23
(%i90) mod(15^7-1,37);
(%o90)
34
(%i91) mod(15^9-1,37);
(%o91)
30
(%i92) mod(15^11-1,37);
(%o92)
18
(%i93) mod(15^13-1,37);
(%o93)
19
(%i94) mod(15^15-1,37);
(%o94)
22
(%i95) mod(15^17-1,37);
(%o95)
31
(%i96) mod(15^19-1,37);
(%o96)
21
(%i97) mod(15^21-1,37);
(%o97)
28
(%i98) mod(15^23-1,37);
(%o98)
12
(%i99) mod(15^25-1,37);
(%o99)
1
(%i100) mod(15^27-1,37);
(%o100)
5
(%i101) mod(15^29-1,37);
(%o101)
17
(%i102) mod(15^31-1,37);
(%o102)
16
(%i103) mod(15^33-1,37);
(%o103)
13
(%i104) mod(15^35-1,37);
(%o104)
4
(%i105) mod(15^37-1,37);
(%o105)
14
(%i106) mod(15^39-1,37);
(%o106)
7
(%i107) mod(15^41-1,37);
(%o107)
23
(%i108) mod(15^43-1,37);
(%o108)
34
15^39-1で繰り返すから、(P-37)^36-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
また、(P-37)^18+1より、
(%i109) t^2-74*t+1370;
(%o109)
485
(%i110) mod(485,37);
(%o110)
4
(%i111) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o111)
233773
(%i112) mod(233773,37);
(%o112)
7
(%i113) t^12-
444*t^11+90354*t^10-11143660*t^9+927709695*t^8-54920413944*t^7+2370731201915*t^6-75186046689114*t^5+1738677329670360*t^4-28591582753903880*t^3+317366568551465619*t^2-2135011460937461214*t+6582952003274308873;
(%o113)
12855002517669313
(%i114) mod(12855002517669313,37);
(%o114)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9+1より、
t-36=-21
(%i115) t^2-75*t+1407;
(%o115)
507
(%i116) mod(507,37);
(%o116)
26
(%i117) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o117)
113390553
(%i118) mod(113390553,37);
(%o118)
20
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-23
(%i119) t^2-73*t+1333;
(%o119)
463
(%i120) mod(463,37);
(%o120)
19
(%i121) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o121)
113369257
(%i122) mod(113369257,37);
(%o122)
36
より、37で割り切れない。
(P-37)^18+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=16であるなら、
(%i124) mod(16^3-1,37);
(%o124)
25
(%i125) mod(16^5-1,37);
(%o125)
32
(%i126) mod(16^7-1,37);
(%o126)
11
(%i127) mod(16^9-1,37);
(%o127)
0
(%i128) mod(16^11-1,37);
(%o128)
33
(%i129) mod(16^13-1,37);
(%o129)
8
(%i130) mod(16^15-1,37);
(%o130)
9
(%i131) mod(16^17-1,37);
(%o131)
6
(%i132) mod(16^19-1,37);
(%o132)
15
(%i133) mod(16^21-1,37);
(%o133)
25
(%i134) mod(16^23-1,37);
(%o134)
32
(%i135) mod(16^25-1,37);
(%o135)
11
16^21-1で繰り返すから、(P-37)^18-1周期である。
また、初式は、37で割り切る場合がある。
(P-37)^9+1より、
t-36=-20
(%i136) t^2-75*t+1407;
(%o136)
463
(%i137) mod(463,37);
(%o137)
19
(%i138) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o138)
85775383
(%i139) mod(85775383,37);
(%o139)
22
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-22
(%i140) t^2-73*t+1333;
(%o140)
421
(%i141) mod(421,37);
(%o141)
14
(%i142) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o142)
85756861
(%i143) mod(85756861,37);
(%o143)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9-1が37の倍数であり、循環するが、初式が37の倍数である場合があるから、
初式は37で割り切れ循環するので、37を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=17であるなら、
(%i2) mod(17^3-1,37);
(%o2)
28
(%i3) mod(17^5-1,37);
(%o3)
18
(%i4) mod(17^7-1,37);
(%o4)
14
(%i5) mod(17^9-1,37);
(%o5)
5
(%i6) mod(17^11-1,37);
(%o6)
31
(%i7) mod(17^13-1,37);
(%o7)
34
(%i8) mod(17^15-1,37);
(%o8)
13
(%i9) mod(17^17-1,37);
(%o9)
12
(%i10) mod(17^19-1,37);
(%o10)
19
(%i11) mod(17^21-1,37);
(%o11)
7
(%i12) mod(17^23-1,37);
(%o12)
17
(%i13) mod(17^25-1,37);
(%o13)
21
(%i14) mod(17^27-1,37);
(%o14)
30
(%i15) mod(17^29-1,37);
(%o15)
4
(%i16) mod(17^31-1,37);
(%o16)
1
(%i17) mod(17^33-1,37);
(%o17)
22
(%i18) mod(17^35-1,37);
(%o18)
23
(%i19) mod(17^37-1,37);
(%o19)
16
(%i20) mod(17^39-1,37);
(%o20)
28
(%i21) mod(17^41-1,37);
(%o21)
18
(%i22) mod(17^43-1,37);
(%o22)
14
17^39-1で繰り返すから、(P-37)^36-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
また、(P-37)^18+1より、
(%i23) t^2-74*t+1370;
(%o23)
401
(%i24) mod(401,37);
(%o24)
31
(%i25) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o25)
159601
(%i26) mod(159601,37);
(%o26)
20
(%i27) t^12-
444*t^11+90354*t^10-11143660*t^9+927709695*t^8-54920413944*t^7+2370731201915*t^6-75186046689114*t^5+1738677329670360*t^4-28591582753903880*t^3+317366568551465619*t^2-2135011460937461214*t+6582952003274308873;
(%o27)
4095999936000001
(%i28) mod(4095999936000001,37);
(%o28)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9+1より、
t-36=-19
(%i29) t^2-75*t+1407;
(%o29)
421
(%i30) mod(421,37);
(%o30)
14
(%i31) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o31)
64008001
(%i32) mod(64008001,37);
(%o32)
36
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-21
(%i33) t^2-73*t+1333;
(%o33)
381
(%i34) mod(381,37);
(%o34)
11
(%i35) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o35)
63992001
(%i36) mod(63992001,37);
(%o36)
20
より、37で割り切れない。
(P-37)^18+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=18であるなら、
(%i38) mod(18^3-1,37);
(%o38)
22
(%i39) mod(18^5-1,37);
(%o39)
14
(%i40) mod(18^7-1,37);
(%o40)
12
(%i41) mod(18^9-1,37);
(%o41)
30
(%i42) mod(18^11-1,37);
(%o42)
16
(%i43) mod(18^13-1,37);
(%o43)
31
(%i44) mod(18^15-1,37);
(%o44)
7
(%i45) mod(18^17-1,37);
(%o45)
1
(%i46) mod(18^19-1,37);
(%o46)
18
(%i47) mod(18^21-1,37);
(%o47)
13
(%i48) mod(18^23-1,37);
(%o48)
21
(%i49) mod(18^25-1,37);
(%o49)
23
(%i50) mod(18^27-1,37);
(%o50)
5
(%i51) mod(18^29-1,37);
(%o51)
19
(%i52) mod(18^31-1,37);
(%o52)
4
(%i53) mod(18^33-1,37);
(%o53)
28
(%i54) mod(18^35-1,37);
(%o54)
34
(%i55) mod(18^37-1,37);
(%o55)
17
(%i56) mod(18^39-1,37);
(%o56)
22
(%i57) mod(18^41-1,37);
(%o57)
14
(%i58) mod(18^43-1,37);
(%o58)
12
18^39-1で繰り返すから、(P-37)^36-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
また、(P-37)^18+1より、
(%i59) t^2-74*t+1370;
(%o59)
362
(%i60) mod(362,37);
(%o60)
29
(%i61) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o61)
129961
(%i62) mod(129961,37);
(%o62)
17
(%i63) t^12-
444*t^11+90354*t^10-11143660*t^9+927709695*t^8-54920413944*t^7+2370731201915*t^6-75186046689114*t^5+1738677329670360*t^4-28591582753903880*t^3+317366568551465619*t^2-2135011460937461214*t+6582952003274308873;
(%o63)
2213314872020281
(%i64) mod(2213314872020281,37);
(%o64)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9+1より、
t-36=-18
(%i65) t^2-75*t+1407;
(%o65)
381
(%i66) mod(381,37);
(%o66)
11
(%i67) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o67)
47052741
(%i68) mod(47052741,37);
(%o68)
26
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-20
(%i69) t^2-73*t+1333;
(%o69)
343
(%i70) mod(343,37);
(%o70)
10
(%i71) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o71)
47039023
(%i72) mod(47039023,37);
(%o72)
35
より、37で割り切れない。
(P-37)^18+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=19であるなら、
(%i74) mod(19^3-1,37);
(%o74)
13
(%i75) mod(19^5-1,37);
(%o75)
21
(%i76) mod(19^7-1,37);
(%o76)
23
(%i77) mod(19^9-1,37);
(%o77)
5
(%i78) mod(19^11-1,37);
(%o78)
19
(%i79) mod(19^13-1,37);
(%o79)
4
(%i80) mod(19^15-1,37);
(%o80)
28
(%i81) mod(19^17-1,37);
(%o81)
34
(%i82) mod(19^19-1,37);
(%o82)
17
(%i83) mod(19^21-1,37);
(%o83)
22
(%i84) mod(19^23-1,37);
(%o84)
14
(%i85) mod(19^25-1,37);
(%o85)
12
(%i86) mod(19^27-1,37);
(%o86)
30
(%i87) mod(19^29-1,37);
(%o87)
16
(%i88) mod(19^31-1,37);
(%o88)
31
(%i89) mod(19^33-1,37);
(%o89)
7
(%i90) mod(19^35-1,37);
(%o90)
1
(%i91) mod(19^37-1,37);
(%o91)
18
(%i92) mod(19^39-1,37);
(%o92)
13
(%i93) mod(19^41-1,37);
(%o93)
21
(%i94) mod(19^43-1,37);
(%o94)
23
19^39-1で繰り返すから、(P-37)^36-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
また、(P-37)^18+1より、
(%i95) t^2-74*t+1370;
(%o95)
325
(%i96) mod(325,37);
(%o96)
29
(%i97) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o97)
104653
(%i98) mod(104653,37);
(%o98)
17
(%i99) t^12-
444*t^11+90354*t^10-11143660*t^9+927709695*t^8-54920413944*t^7+2370731201915*t^6-75186046689114*t^5+1738677329670360*t^4-28591582753903880*t^3+317366568551465619*t^2-2135011460937461214*t+6582952003274308873;
(%o99)
1156831347413953
(%i100) mod(1156831347413953,37);
(%o100)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9+1より、
t-36=-17
(%i101) t^2-75*t+1407;
(%o101)
343
(%i102) mod(343,37);
(%o102)
10
(%i105) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o105)
34018057
(%i106) mod(34018057,37);
(%o106)
35
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-19
(%i107) t^2-73*t+1333;
(%o107)
307
(%i108) mod(307,37);
(%o108)
11
(%i109) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o109)
34006393
(%i110) mod(34006393,37);
(%o110)
26
より、37で割り切れない。
(P-37)^18+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=20であるなら、
(%i112) mod(20^3-1,37);
(%o112)
7
(%i113) mod(20^5-1,37);
(%o113)
17
(%i114) mod(20^7-1,37);
(%o114)
21
(%i115) mod(20^9-1,37);
(%o115)
30
(%i116) mod(20^11-1,37);
(%o116)
4
(%i117) mod(20^13-1,37);
(%o117)
1
(%i118) mod(20^15-1,37);
(%o118)
22
(%i119) mod(20^17-1,37);
(%o119)
23
(%i120) mod(20^19-1,37);
(%o120)
16
(%i121) mod(20^21-1,37);
(%o121)
28
(%i122) mod(20^23-1,37);
(%o122)
18
(%i123) mod(20^25-1,37);
(%o123)
14
(%i124) mod(20^27-1,37);
(%o124)
5
(%i125) mod(20^29-1,37);
(%o125)
31
(%i126) mod(20^31-1,37);
(%o126)
34
(%i127) mod(20^33-1,37);
(%o127)
13
(%i128) mod(20^35-1,37);
(%o128)
12
(%i129) mod(20^37-1,37);
(%o129)
19
(%i130) mod(20^39-1,37);
(%o130)
7
(%i131) mod(20^41-1,37);
(%o131)
17
(%i132) mod(20^43-1,37);
(%o132)
21
20^39-1で繰り返すから、(P-37)^36-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
また、(P-37)^18+1より、
(%i133) t^2-74*t+1370;
(%o133)
290
(%i134) mod(290,37);
(%o134)
31
(%i135) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o135)
83233
(%i136) mod(83233,37);
(%o136)
20
(%i137) t^12-
444*t^11+90354*t^10-11143660*t^9+927709695*t^8-54920413944*t^7+2370731201915*t^6-75186046689114*t^5+1738677329670360*t^4-28591582753903880*t^3+317366568551465619*t^2-2135011460937461214*t+6582952003274308873;
(%o137)
582622213092193
(%i138) mod(582622213092193,37);
(%o138)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9+1より、
t-36=-16
(%i139) t^2-75*t+1407;
(%o139)
307
(%i140) mod(307,37);
(%o140)
11
(%i141) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o141)
24142483
(%i142) mod(24142483,37);
(%o142)
20
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-18
(%i143) t^2-73*t+1333;
(%o143)
273
(%i144) mod(273,37);
(%o144)
14
(%i145) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o145)
24132657
(%i146) mod(24132657,37);
(%o146)
36
より、37で割り切れない。
(P-37)^18+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=21であるなら、
(%i148) mod(21^3-1,37);
(%o148)
10
(%i149) mod(21^5-1,37);
(%o149)
3
(%i150) mod(21^7-1,37);
(%o150)
24
(%i151) mod(21^9-1,37);
(%o151)
35
(%i152) mod(21^11-1,37);
(%o152)
2
(%i153) mod(21^13-1,37);
(%o153)
27
(%i154) mod(21^15-1,37);
(%o154)
26
(%i155) mod(21^17-1,37);
(%o155)
29
(%i156) mod(21^19-1,37);
(%o156)
20
(%i157) mod(21^21-1,37);
(%o157)
10
(%i158) mod(21^23-1,37);
(%o158)
3
(%i159) mod(21^25-1,37);
(%o159)
24
21^21-1で繰り返すから、(P-37)^18-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)^9+1より、
t-36=-15
(%i161) t^2-75*t+1407;
(%o161)
273
(%i162) mod(273,37);
(%o162)
14
(%i163) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o163)
16781313
(%i164) mod(16781313,37);
(%o164)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9-1より、
t-38=-17
(%i165) t^2-73*t+1333;
(%o165)
241
(%i166) mod(241,37);
(%o166)
19
(%i167) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o167)
16773121
(%i168) mod(16773121,37);
(%o168)
22
より、37で割り切れない。
(P-37)^9+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=22であるなら、
(%i170) mod(22^3-1,37);
(%o170)
28
(%i171) mod(22^5-1,37);
(%o171)
12
(%i172) mod(22^7-1,37);
(%o172)
1
(%i173) mod(22^9-1,37);
(%o173)
5
(%i174) mod(22^11-1,37);
(%o174)
17
(%i175) mod(22^13-1,37);
(%o175)
16
(%i176) mod(22^15-1,37);
(%o176)
13
(%i177) mod(22^17-1,37);
(%o177)
4
(%i178) mod(22^19-1,37);
(%o178)
14
(%i179) mod(22^21-1,37);
(%o179)
7
(%i180) mod(22^23-1,37);
(%o180)
23
(%i181) mod(22^25-1,37);
(%o181)
34
(%i182) mod(22^27-1,37);
(%o182)
30
(%i183) mod(22^29-1,37);
(%o183)
18
(%i184) mod(22^31-1,37);
(%o184)
19
(%i185) mod(22^33-1,37);
(%o185)
22
(%i186) mod(22^35-1,37);
(%o186)
31
(%i187) mod(22^37-1,37);
(%o187)
21
(%i188) mod(22^39-1,37);
(%o188)
28
(%i189) mod(22^41-1,37);
(%o189)
12
(%i190) mod(22^43-1,37);
(%o190)
1
22^39-1で繰り返すから、(P-37)^36-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
また、(P-37)^18+1より、
(%i191) t^2-74*t+1370;
(%o191)
226
(%i192) mod(226,37);
(%o192)
4
(%i193) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o193)
50401
(%i194) mod(50401,37);
(%o194)
7
(%i195) t^12-
444*t^11+90354*t^10-11143660*t^9+927709695*t^8-54920413944*t^7+2370731201915*t^6-75186046689114*t^5+1738677329670360*t^4-28591582753903880*t^3+317366568551465619*t^2-2135011460937461214*t+6582952003274308873;
(%o195)
129746326500001
(%i196) mod(129746326500001,37);
(%o196)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9+1より、
t-36=-14
(%i197) t^2-75*t+1407;
(%o197)
241
(%i198) mod(241,37);
(%o198)
19
(%i199) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o199)
11394001
(%i200) mod(11394001,37);
(%o200)
36
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-16
(%i201) t^2-73*t+1333;
(%o201)
211
(%i202) mod(211,37);
(%o202)
26
(%i203) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o203)
11387251
(%i204) mod(11387251,37);
(%o204)
20
より、37で割り切れない。
(P-37)^18+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=23であるなら、
(%i206) mod(23^3-1,37);
(%o206)
30
(%i207) mod(23^5-1,37);
(%o207)
7
(%i208) mod(23^7-1,37);
(%o208)
13
(%i209) mod(23^9-1,37);
(%o209)
5
(%i210) mod(23^11-1,37);
(%o210)
28
(%i211) mod(23^13-1,37);
(%o211)
22
(%i212) mod(23^15-1,37);
(%o212)
30
(%i213) mod(23^17-1,37);
(%o213)
7
(%i214) mod(23^19-1,37);
(%o214)
13
23^15-1で繰り返すから、(P-37)^12-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)^6+1より、
(%i215) t^2-74*t+1370;
(%o215)
197
(%i216) mod(197,37);
(%o216)
12
(%i217) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o217)
38221
(%i218) mod(38221,37);
(%o218)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^6+1より、
t-38=-15
t-36=-13
(%i219) t^2-75*t+1407;
(%o219)
211
(%i220) mod(211,37);
(%o220)
26
(%i221) t^2-73*t+1333;
(%o221)
183
(%i222) mod(183,37);
(%o222)
35
より、37で割り切れない。
(P-37)^6+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=24であるなら、
(%i224) mod(24^3-1,37);
(%o224)
22
(%i225) mod(24^5-1,37);
(%o225)
1
(%i226) mod(24^7-1,37);
(%o226)
4
(%i227) mod(24^9-1,37);
(%o227)
30
(%i228) mod(24^11-1,37);
(%o228)
21
(%i229) mod(24^13-1,37);
(%o229)
17
(%i230) mod(24^15-1,37);
(%o230)
7
(%i231) mod(24^17-1,37);
(%o231)
19
(%i232) mod(24^19-1,37);
(%o232)
12
(%i233) mod(24^21-1,37);
(%o233)
13
(%i234) mod(24^23-1,37);
(%o234)
34
(%i235) mod(24^25-1,37);
(%o235)
31
(%i236) mod(24^27-1,37);
(%o236)
5
(%i237) mod(24^29-1,37);
(%o237)
14
(%i238) mod(24^31-1,37);
(%o238)
18
(%i239) mod(24^33-1,37);
(%o239)
28
(%i240) mod(24^35-1,37);
(%o240)
16
(%i241) mod(24^37-1,37);
(%o241)
23
(%i242) mod(24^39-1,37);
(%o242)
22
(%i243) mod(24^41-1,37);
(%o243)
1
(%i244) mod(24^43-1,37);
(%o244)
4
24^39-1で繰り返すから、(P-37)^36-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
また、(P-37)^18+1より、
(%i245) t^2-74*t+1370;
(%o245)
170
(%i246) mod(170,37);
(%o246)
22
(%i247) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o247)
28393
(%i248) mod(28393,37);
(%o248)
14
(%i249) t^12-
444*t^11+90354*t^10-11143660*t^9+927709695*t^8-54920413944*t^7+2370731201915*t^6-75186046689114*t^5+1738677329670360*t^4-28591582753903880*t^3+317366568551465619*t^2-2135011460937461214*t+6582952003274308873;
(%o249)
23298080295673
(%i250) mod(23298080295673,37);
(%o250)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9+1より、
t-36=-12
(%i251) t^2-75*t+1407;
(%o251)
183
(%i252) mod(183,37);
(%o252)
35
(%i253) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o253)
4829007
(%i254) mod(4829007,37);
(%o254)
26
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-14
(%i255) t^2-73*t+1333;
(%o255)
157
(%i256) mod(157,37);
(%o256)
9
(%i257) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o257)
4824613
(%i258) mod(4824613,37);
(%o258)
35
より、37で割り切れない。
(P-37)^18+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=25であるなら、
(%i260) mod(25^3-1,37);
(%o260)
10
(%i261) mod(25^5-1,37);
(%o261)
29
(%i262) mod(25^7-1,37);
(%o262)
27
(%i263) mod(25^9-1,37);
(%o263)
35
(%i264) mod(25^11-1,37);
(%o264)
3
(%i265) mod(25^13-1,37);
(%o265)
20
(%i266) mod(25^15-1,37);
(%o266)
26
(%i267) mod(25^17-1,37);
(%o267)
2
(%i268) mod(25^19-1,37);
(%o268)
24
(%i269) mod(25^21-1,37);
(%o269)
10
(%i270) mod(25^23-1,37);
(%o270)
29
(%i271) mod(25^25-1,37);
(%o271)
27
25^21-1で繰り返すから、(P-37)^18-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)^9+1より、
t-36=-11
(%i272) t^2-75*t+1407;
(%o272)
157
(%i273) mod(157,37);
(%o273)
9
(%i274) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o274)
2987713
(%i275) mod(2987713,37);
(%o275)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9-1より、
t-38=-13
(%i276) t^2-73*t+1333;
(%o276)
133
(%i277) mod(133,37);
(%o277)
22
(%i278) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o278)
2984257
(%i279) mod(2984257,37);
(%o279)
22
より、37で割り切れない。
(P-37)^9+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=26であるなら、
(%i2) mod(26^3-1,37);
(%o2)
0
(%i3) mod(26^5-1,37);
(%o3)
9
(%i4) mod(26^7-1,37);
(%o4)
25
(%i5) mod(26^9-1,37);
(%o5)
0
(%i6) mod(26^11-1,37);
(%o6)
9
(%i7) mod(26^13-1,37);
(%o7)
25
26^9-1で繰り返すから、(P-37)^6-1周期である。
また、初式は、37で割り切れる場合がある。
(P-37)^3+1より、
t-36=-10
(%i10) t^2-75*t+1407;
(%o10)
133
(%i11) mod(133,37);
(%o11)
22
より、37で割り切れない。
(P-37)^3-1より、
t-38=^12
(%i12) t^2-73*t+1333;
(%o12)
111
(%i13) mod(111,37);
(%o13)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^3-1が37の倍数であり、循環するが、初式が37で割り切れる場合があるから、
初式は37で割り切れ循環するので、37を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=27であるなら、
(%i15) mod(27^3-1,37);
(%o15)
35
(%i16) mod(27^5-1,37);
(%o16)
10
(%i17) mod(27^7-1,37);
(%o17)
26
(%i18) mod(27^9-1,37);
(%o18)
35
(%i19) mod(27^11-1,37);
(%o19)
10
(%i20) mod(27^13-1,37);
(%o20)
26
(%i21) mod(27^15-1,37);
(%o21)
35
27^9-1で繰り返すから、(P-37)^6-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)^3+1より、
t-36=-9
(%i22) t^2-75*t+1407;
(%o22)
111
(%i23) mod(111,37);
(%o23)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^3-1より、
t-38=^11
(%i24) t^2-73*t+1333;
(%o24)
91
(%i25) mod(91,37);
(%o25)
17
より、37で割り切れない。
(P-37)^3+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=28であるなら、
(%i27) mod(28^3-1,37);
(%o27)
10
(%i28) mod(28^5-1,37);
(%o28)
2
(%i29) mod(28^7-1,37);
(%o29)
20
(%i30) mod(28^9-1,37);
(%o30)
35
(%i31) mod(28^11-1,37);
(%o31)
29
(%i32) mod(28^13-1,37);
(%o32)
24
(%i33) mod(28^15-1,37);
(%o33)
26
(%i34) mod(28^17-1,37);
(%o34)
3
(%i35) mod(28^19-1,37);
(%o35)
27
(%i36) mod(28^21-1,37);
(%o36)
10
(%i37) mod(28^23-1,37);
(%o37)
2
(%i38) mod(28^25-1,37);
(%o38)
20
28^21-1で繰り返すから、(P-37)^18-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)^9+1より、
t-36=-8
(%i39) t^2-75*t+1407;
(%o39)
91
(%i40) mod(91,37);
(%o40)
17
(%i41) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o41)
532171
(%i42) mod(532171,37);
(%o42)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9-1より、
t-38=-10
(%i43) t^2-73*t+1333;
(%o43)
73
(%i44) mod(73,37);
(%o44)
36
(%i45) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o45)
530713
(%i46) mod(530713,37);
(%o46)
22
より、37で割り切れない。
(P-37)^9+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=29であるなら、
(%i48) mod(29^3-1,37);
(%o48)
5
(%i49) mod(29^5-1,37);
(%o49)
13
(%i50) mod(29^7-1,37);
(%o50)
7
(%i51) mod(29^9-1,37);
(%o51)
30
(%i52) mod(29^11-1,37);
(%o52)
22
(%i53) mod(29^13-1,37);
(%o53)
28
(%i54) mod(29^15-1,37);
(%o54)
5
(%i55) mod(29^17-1,37);
(%o55)
13
(%i56) mod(29^19-1,37);
(%o56)
7
29^15-1で繰り返すから、(P-37)^12-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)^6+1より、
(%i57) t^2-74*t+1370;
(%o57)
65
(%i58) mod(65,37);
(%o58)
28
(%i59) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o59)
4033
(%i60) mod(4033,37);
(%o60)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^6+1より、
t-38=-9
t-36=-7
(%i61) t^2-75*t+1407;
(%o61)
73
(%i62) mod(73,37);
(%o62)
36
(%i63) t^2-73*t+1333;
(%o63)
57
(%i64) mod(57,37);
(%o64)
20
より、37で割り切れない。
(P-37)^6+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=30であるなら、
(%i66) mod(30^3-1,37);
(%o66)
26
(%i67) mod(30^5-1,37);
(%o67)
27
(%i68) mod(30^7-1,37);
(%o68)
2
(%i69) mod(30^9-1,37);
(%o69)
35
(%i70) mod(30^11-1,37);
(%o70)
24
(%i71) mod(30^13-1,37);
(%o71)
3
(%i72) mod(30^15-1,37);
(%o72)
10
(%i73) mod(30^17-1,37);
(%o73)
20
(%i74) mod(30^19-1,37);
(%o74)
29
(%i75) mod(30^21-1,37);
(%o75)
26
(%i76) mod(30^23-1,37);
(%o76)
27
(%i77) mod(30^25-1,37);
(%o77)
2
30^21-1で繰り返すから、(P-37)^18-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)^9+1より、
t-36=-6
(%i78) t^2-75*t+1407;
(%o78)
57
(%i79) mod(57,37);
(%o79)
20
(%i80) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o80)
117993
(%i81) mod(117993,37);
(%o81)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9-1より、
t-38=-8
(%i82) t^2-73*t+1333;
(%o82)
43
(%i83) mod(43,37);
(%o83)
6
(%i84) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o84)
117307
(%i85) mod(117307,37);
(%o85)
17
より、37で割り切れない。
(P-37)^9+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=31であるなら、
(%i87) mod(31^3-1,37);
(%o87)
5
(%i88) mod(31^5-1,37);
(%o88)
30
(%i89) mod(31^7-1,37);
(%o89)
5
(%i90) mod(31^9-1,37);
(%o90)
30
31^7-1で繰り返すから、(P-37)^4-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)^2+1より、
(%i91) t^2-74*t+1370;
(%o91)
37
(%i92) mod(37,37);
(%o92)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^2-1より、
t-38=-7
t-36=-5
より、37で割り切れない。
(P-37)^2+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=32であるなら、
(%i94) mod(32^3-1,37);
(%o94)
22
(%i95) mod(32^5-1,37);
(%o95)
19
(%i96) mod(32^7-1,37);
(%o96)
18
(%i97) mod(32^9-1,37);
(%o97)
30
(%i98) mod(32^11-1,37);
(%o98)
34
(%i99) mod(32^13-1,37);
(%o99)
23
(%i100) mod(32^15-1,37);
(%o100)
7
(%i101) mod(32^17-1,37);
(%o101)
14
(%i102) mod(32^19-1,37);
(%o102)
4
(%i103) mod(32^21-1,37);
(%o103)
13
(%i104) mod(32^23-1,37);
(%o104)
16
(%i105) mod(32^25-1,37);
(%o105)
17
(%i106) mod(32^27-1,37);
(%o106)
5
(%i107) mod(32^29-1,37);
(%o107)
1
(%i108) mod(32^31-1,37);
(%o108)
12
(%i109) mod(32^33-1,37);
(%o109)
28
(%i110) mod(32^35-1,37);
(%o110)
21
(%i111) mod(32^37-1,37);
(%o111)
31
(%i112) mod(32^39-1,37);
(%o112)
22
(%i113) mod(32^41-1,37);
(%o113)
19
(%i114) mod(32^43-1,37);
(%o114)
18
32^39-1で繰り返すから、(P-37)^36-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
また、(P-37)^18+1より、
(%i115) t^2-74*t+1370;
(%o115)
26
(%i116) mod(26,37);
(%o116)
26
(%i117) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o117)
601
(%i118) mod(601,37);
(%o118)
9
(%i119) t^12-
444*t^11+90354*t^10-11143660*t^9+927709695*t^8-54920413944*t^7+2370731201915*t^6-75186046689114*t^5+1738677329670360*t^4-28591582753903880*t^3+317366568551465619*t^2-2135011460937461214*t+6582952003274308873;
(%o119)
244125001
(%i120) mod(244125001,37);
(%o120)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9+1より、
t-36=-4
(%i121) t^2-75*t+1407;
(%o121)
31
(%i122) mod(31,37);
(%o122)
31
(%i123) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o123)
15751
(%i124) mod(15751,37);
(%o124)
26
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-6
(%i125) t^2-73*t+1333;
(%o125)
21
(%i126) mod(21,37);
(%o126)
21
(%i127) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o127)
15501
(%i128) mod(15501,37);
(%o128)
35
より、37で割り切れない。
(P-37)^18+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=33であるなら、
(%i130) mod(33^3-1,37);
(%o130)
9
(%i131) mod(33^5-1,37);
(%o131)
11
(%i132) mod(33^7-1,37);
(%o132)
6
(%i133) mod(33^9-1,37);
(%o133)
0
(%i134) mod(33^11-1,37);
(%o134)
15
(%i135) mod(33^13-1,37);
(%o135)
33
(%i136) mod(33^15-1,37);
(%o136)
25
(%i137) mod(33^17-1,37);
(%o137)
8
(%i138) mod(33^19-1,37);
(%o138)
32
(%i139) mod(33^21-1,37);
(%o139)
9
(%i140) mod(33^23-1,37);
(%o140)
11
(%i141) mod(33^25-1,37);
(%o141)
6
33^21-1で繰り返すから、(P-37)^18-1周期である。
また、初式は、37で割り切れる場合がある。
(P-37)^9+1より、
t-36=-3
(%i142) t^2-75*t+1407;
(%o142)
21
(%i143) mod(21,37);
(%o143)
21
(%i144) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o144)
4161
(%i145) mod(4161,37);
(%o145)
17
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-5
(%i146) t^2-73*t+1333;
(%o146)
13
(%i147) mod(13,37);
(%o147)
13
(%i148) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o148)
4033
(%i149) mod(4033,37);
(%o149)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9-1が37の倍数であり、循環するが、初式が37で割り切れる場合があるから、
初式は37で割り切れ循環するので、37を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=34であるなら、
(%i151) mod(34^3-1,37);
(%o151)
9
(%i152) mod(34^5-1,37);
(%o152)
15
(%i153) mod(34^7-1,37);
(%o153)
32
(%i154) mod(34^9-1,37);
(%o154)
0
(%i155) mod(34^11-1,37);
(%o155)
8
(%i156) mod(34^13-1,37);
(%o156)
6
(%i157) mod(34^15-1,37);
(%o157)
25
(%i158) mod(34^17-1,37);
(%o158)
11
(%i159) mod(34^19-1,37);
(%o159)
33
(%i160) mod(34^21-1,37);
(%o160)
9
(%i161) mod(34^23-1,37);
(%o161)
15
(%i162) mod(34^25-1,37);
34^21-1で繰り返すから、(P-37)^18-1周期である。
また、初式は、37で割り切れる場合がある。
(P-37)^9+1より、
t-36=-2
(%i163) t^2-75*t+1407;
(%o163)
13
(%i164) mod(13,37);
(%o164)
13
(%i165) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o165)
757
(%i166) mod(757,37);
(%o166)
17
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-4
(%i167) t^2-73*t+1333;
(%o167)
7
(%i168) mod(7,37);
(%o168)
7
(%i169) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o169)
703
(%i170) mod(703,37);
(%o170)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9-1が37の倍数であり、循環するが、初式が37で割り切れる場合があるから、
初式は37で割り切れ循環するので、37を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=35であるなら、
(%i172) mod(35^3-1,37);
(%o172)
28
(%i173) mod(35^5-1,37);
(%o173)
4
(%i174) mod(35^7-1,37);
(%o174)
19
(%i175) mod(35^9-1,37);
(%o175)
5
(%i176) mod(35^11-1,37);
(%o176)
23
(%i177) mod(35^13-1,37);
(%o177)
21
(%i178) mod(35^15-1,37);
(%o178)
13
(%i179) mod(35^17-1,37);
(%o179)
18
(%i180) mod(35^19-1,37);
(%o180)
1
(%i181) mod(35^21-1,37);
(%o181)
7
(%i182) mod(35^23-1,37);
(%o182)
31
(%i183) mod(35^25-1,37);
(%o183)
16
(%i184) mod(35^27-1,37);
(%o184)
30
(%i185) mod(35^29-1,37);
(%o185)
12
(%i186) mod(35^31-1,37);
(%o186)
14
(%i187) mod(35^33-1,37);
(%o187)
22
(%i188) mod(35^35-1,37);
(%o188)
17
(%i189) mod(35^37-1,37);
(%o189)
34
(%i190) mod(35^39-1,37);
(%o190)
28
(%i191) mod(35^41-1,37);
(%o191)
4
(%i192) mod(35^43-1,37);
(%o192)
19
35^39-1で繰り返すから、(P-37)^36-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
また、(P-37)^18+1より、
(%i193) t^2-74*t+1370;
(%o193)
5
(%i194) mod(5,37);
(%o194)
5
(%i195) t^4-148*t^3+8213*t^2-202538*t+1872793;
(%o195)
13
(%i196) mod(13,37);
(%o196)
13
(%i197) t^12-
444*t^11+90354*t^10-11143660*t^9+927709695*t^8-54920413944*t^7+2370731201915*t^6-75186046689114*t^5+1738677329670360*t^4-28591582753903880*t^3+317366568551465619*t^2-2135011460937461214*t+6582952003274308873;
(%o197)
4033
(%i198) mod(4033,37);
(%o198)
0
より、37で割り切れる。
(P-37)^9+1より、
t-36=-1
(%i199) t^2-75*t+1407;
(%o199)
7
(%i200) mod(7,37);
(%o200)
7
(%i201) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013061*t^3+28112526*t^2-416067849*t+2565777063;
(%o201)
73
(%i202) mod(73,37);
(%o202)
36
より、37で割り切れない。
(P-37)^9-1より、
t-38=-3
(%i203) t^2-73*t+1333;
(%o203)
3
(%i204) mod(3,37);
(%o204)
3
(%i205) t^6-222*t^5+20535*t^4-1013059*t^3+28112304*t^2-416059635*t+2565675757;
(%o205)
57
(%i206) mod(57,37);
(%o206)
20
より、37で割り切れない。
(P-37)^18+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=36であるなら、
(%i208) mod(36^3-1,37);
(%o208)
35
(%i210) mod(36^5-1,37);
(%o210)
35
(%i211) mod(36^7-1,37);
(%o211)
35
(%i212) mod(36^9-1,37);
(%o212)
35
8^5-1で繰り返すから、(P-37)^2-1周期である。
また、初式は、いずれも37で割り切れない。
(P-37)+1より、
(%i4) factor((P-37)+1);
(%o4)
37 u + t - 36
t-36=0 t-36=0より、37の倍数である。
より、37で割り切れる。
(P-37)-1より、
(%i5) factor((P-37)-1);
(%o5)
37 u + t - 38
t-38=-2
より、37で割り切れない。
(P-37)+1が37の倍数であり、循環するが、初式がいずれも37の倍数でないから、
初式は37で割り切れず循環するので、37を含まない。
以上から、x=7420738134810n+Pと表せる素数のσ(x^n)の因数分解において、P=37u+tとするとき、
t=2,3,4,5,6,8,11,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,24,25,27,28,29.30,31,32,35,36ならσ(x^n)を素因数分解したら37を含まない。