3u+t
ver0.0001 2019.11.17
2,3の倍数を除いた素数候補式は6n+Pで、Pは、(2-1)(3-1)=2個ある。
(2-1)(3-1)の意味は、
自然数は2n,2n+1と表せるから2の倍数でないのは2n+1だから(2-1)
自然数は3n,3n+1,3n+2と表せるから3の倍数でないのは3n+1,3n+2だから(3-1)
である。
x=6j+Pで、x-2k=3のとき、
6j+P-2k=3
6l+(P-3)=2k
より、
mod({(P-3)^(n+1)-1},3）
の関係だけをかんがえればよい。
そこで、最初は
(P-3)^3-1
(P-3)^5-1
(P-3)^7-1
(P-3)^9-1
と計算してゆくわけだが、
(%i1) mod(2^3-1,3);
(%o1)
1
(%i2) mod(2^5-1,3);
(%o2)
1
(%i3) mod(2^7-1,3);
(%o3)
1
(%i4) mod(2^9-1,3);
(%o4)
1
この関係は維持されるので、
(p-3)^5-1-{(P-3)^3-1}=(P-3)^5-(P-3)^3=(P-3)^3{(P-3)^2-1}=(P-3)^3{(P-3)+1}{(P-3)-1}
(p-3)^7-1-{(P-3)^5-1}=(P-3)^7-(P-3)^5=(P-3)^5{(P-3)^2-1}=(P-3)^5{(P-3)+1}{(P-3)-1}
(p-3)^9-1-{(P-3)^7-1}=(P-3)^9-(P-3)^7=(P-3)^7{(P-3)^2-1}=(P-3)^7{(P-3)+1}{(P-3)-1}
ここで、
{(P-3)+1}
{(P-3)-1}
に注目する。
さて、Pは3でわれないから、
(%i1) P:3*u+t;
(%o1)
3 u + t
とおくと、初式は
(%i6) factor((P-3)^3-1);
2
2
(%o6) (3 u + t - 4) (9 u + 6 t u - 15 u + t - 5 t + 7)
であるから、
(P-3)^3-1から
t-4
t^2-5t+7
に注目する。
さて、循環するには、(P-3)+1か、(P-3)-1が3で割れなければならないから、
(%i7) factor((P-3)+1);
(%o7)
3 u + t - 2
(%i8) factor((P-3)-1);
(%o8)
3 u + t - 4
であるから、(P-3)+1より、
t-2
と(P-3)1-1より、
t-4
に注目する。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=1であるなら、
(P-3)^3-1から
t-4=-3 t-4=-3より、3の倍数である。
(%i14) t^2-5*t+7;
(%o14)
3
(%i15) mod(3,3);
(%o15)
0
初式は、3で割りきれる。
また、(P-3)+1より、
t-2=-1
より、3で割り切れない。
また、(P-3)-1より、
t-4=-3 t-4=-3は3で割れる。
より、3で割りきれる。
(P-3)-1が3の倍数であり、循環するが、初式(P-3)^3-1が3の倍数であるから、
初式は3で割り切れ循環するので、3を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=2であるなら、
(%i1) mod(2^3-1,3);
(%o1)
1
(%i2) mod(2^5-1,3);
(%o2)
1
(%i3) mod(2^7-1,3);
(%o3)
1
(%i4) mod(2^9-1,3);
(%o4)
1
2^5-1で繰り返すから、(P-3)^2-1周期である。
また、初式は、いずれも3で割れない。
また、(P-3)^2-1={(P-3)+1}{(P-3)-1}
である。
(P-3)+1より、
t-2=-0 t-2=-0より、3の倍数である。
より、3で割り切れる。
また、(P-3)-1より、
t-4=-2
より、3で割り切れない。
(P-3)+1が3の倍数であり、循環するが、初式がいずれも3の倍数で割り切れないから、
初式は3で割れず循環するので、3を含まない。
以上から、x=6n+Pと表せる素数のσ(x)の因数分解において、P=3u+tとするとき、
t=2ならσ(x)を素因数分解したら3を含まない。
また、x=6n+Pより、x=6n+3u+t=3(2n+u)+t=3u'+tより、x=3u+tともかける。
したがって、x=3u+tと表せる素数のσ(x^n)の因数分解において、t=2ならσ(x^n)を
素因数分解したら3を含まない。