41u+t
ver0.0001 2019.11.18
,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41の倍数を除いた素数候補式は304250263527210n+Pで、
Pは、(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)(11-1)(13-1)(17-1)(19-1)(23-1)(29-1)(31-1)(37-1)(41-1)=44144787456000個ある。
x=304250263527210j+Pで、x-2k=41のとき、
304250263527210j+P-2k=41
304250263527210l+(P-41)=2k
より、
mod({(P-41)^(n+1)-1},41）
の関係だけをかんがえればよい。
そこで、最初は
(P-41)^3-1
(P-41)^5-1
(P-41)^7-1
(P-41)^9-1
(P-41)^11-1
(P-41)^13-1
(P-41)^15-1
(P-41)^17-1
(P-41)^19-1
と計算してゆくわけだが、
(%i9) mod(2^3-1,41);
(%o9)
7
(%i10) mod(2^5-1,41);
(%o10)
31
(%i11) mod(2^7-1,41);
(%o11)
4
(%i12) mod(2^9-1,41);
(%o12)
19
(%i13) mod(2^11-1,41);
(%o13)
38
(%i14) mod(2^13-1,41);
(%o14)
32
(%i15) mod(2^15-1,41);
(%o15)
8
(%i16) mod(2^17-1,41);
(%o16)
35
(%i17) mod(2^19-1,41);
(%o17)
20
(%i18) mod(2^21-1,41);
(%o18)
1
(%i19) mod(2^23-1,41);
(%o19)
7
(%i20) mod(2^25-1,41);
(%o20)
31
(%i21) mod(2^27-1,41);
(%o21)
4
この関係は維持されるので、
(p-41)^23-1-{(P-41)^3-1}=(P-41)^23-(P-41)^3=(P-41)^3{(P-41)^20-1}=(P-41)^3{(P-41)^10+1}{(P-41)^10-1}
(p-41)^25-1-{(P-41)^5-1}=(P-41)^25-(P-41)^5=(P-41)^5{(P-41)^20-1}=(P-41)^5{(P-41)^10+1}{(P-41)^10-1}
(p-41)^27-1-{(P-41)^7-1}=(P-41)^27-(P-41)^7=(P-41)^7{(P-41)^20-1}=(P-41)^7{(P-41)^10+1}{(P-41)^10-1}
ここで、
{(P-41)^10+1}
{(P-41)^10-1}={(P-41)^5+1}{(P-41)^5-1}
に注目する。
さて、Pは41でわれないから、
(%i1) P:41*u+t;
(%o1)
41 u + t
とおくと、初式は
(%i23) factor((P-41)^3-1);
2
2
(%o23) (41 u + t - 42) (1681 u + 82 t u - 3321 u + t - 81 t + 1641)
であるから、
(P-41)^3-1から
t-42
t^2-81t+1641
に注目する。
また、(p-41)^23-1-{(P-41)^3-1}より間の
初式は、(P-41)^5-1となることもあり
初式は、(P-41)^7-1となることもあり
初式は、(P-41)^9-1となることもあり
初式は、(P-41)^11-1となることもあり
初式は、(P-41)^13-1となることもあり
初式は、(P-41)^15-1となることもあり
初式は、(P-41)^17-1となることもあり
初式は、(P-41)^19-1となることもあり
初式は、(P-41)^21-1となることもある。
さて、循環するには、(P-41)^10+1か、(P-41)^5+1か、(P-41)^5-1が41で割れなければならないから、
(%i24) factor((P-41)^10+1);
2
2
(%o24) (1681 u + 82 t u - 3362 u + t - 82 t + 1682)
8
7
7
(7984925229121 u + 1558034191048 t u - 63879401832968 u
2
6
6
6
+ 133002918748 t u - 10906239337336 t u + 223573156311147 u
3
5
2
5
5
+ 6487947256 t u - 798017512488 t u + 32718022874802 t u
5
4
4
3 4
- 447127312205330 u + 197803270 t u - 32439736280 t u
2
4
4
4
+ 1995001394805 t u - 54527721000650 t u + 558873517300616 u
5
3
4
3
3
3
2 3
+ 3859576 t u - 791213080 t u + 64878094140 t u - 2659888829300 t u
3
3 6
2
5 2
+ 54524245590304 t u - 447060822049000 u + 47068 t u - 11578728 t u
4
2
3
2
2 2
+ 1186794405 t u - 64875337300 t u + 1994789472816 t u
2
2
7 6
- 32711767467000 t u + 223506671804658 u + 328 t u - 94136 t u
5
4
3
2
+ 11578482 t u - 791162650 t u + 32435601184 t u - 797847987000 t u
8
7
6 5
+ 10902764478276 t u - 63850912507204 u + t - 328 t + 47067 t - 3859330 t
4
3
2
+ 197778056 t - 6486569000 t + 132960542418 t - 1557339329444 t
+ 7980177948961)
(%i25) factor((P-41)^5+1);
4
3
3 2 2
(%o25) (41 u + t - 40) (2825761 u + 275684 t u - 11371965 u + 10086 t u
2
2
3 2
- 832095 t u + 17163010 u + 164 t u - 20295 t u + 837220 t u - 11513210 u
4 3 2
+ t - 165 t + 10210 t - 280810 t + 2896405)
(%i26) factor((P-41)^5-1);
4
3
3 2 2
(%o26) (41 u + t - 42) (2825761 u + 275684 t u - 11234123 u + 10086 t u
2
2
3 2
- 822009 t u + 16749484 u + 164 t u - 20049 t u + 817048 t u - 11099602 u
4 3 2
+ t - 163 t + 9964 t - 270722 t + 2758481)
であるから、(P-41)^10+1より、
t^2-82t+1682
t^8-328t^7+47067t^6-3859330t^5+197778056t^4-6486569000t^3+132960542418t^2-1557339329444t+7980177948961
と(P-41)^5+1より、
t-40
t^4-165t^3+10210t^2-280810t+2896405
と(P-41)^5-1より、
t-42
t^4-163t^3+9964t^2-270722t+2758481
に注目する。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=1であるなら、
初式は、(P-41)^3-1から
t-42=-41 t-42=-41より、41の倍数である。
(%i29) t^2-81*t+1641;
(%o29)
1561
(%i30) mod(1561,41);
(%o30)
3
より初式は、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i31) t^2-82*t+1682;
(%o31)
1601
(%i33) mod(1601,41);
(%o33)
2
(%i34) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o34)
6549506558401
(%i35) mod(6549506558401,41);
(%o35)
1
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-39
(%i36) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o36)
2625641
(%i37) mod(2625641,41);
(%o37)
1
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-41 t-42=-41より、41の倍数である。
(%i38) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o38)
2497561
(%i39) mod(2497561,41);
(%o39)
5
より、41で割り切れる。
(P-41)^5-1が41の倍数であり、循環するが、初式(P-41)^3-1が41の倍数であるから、
初式は41で割り切れ循環するので、41を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=2であるなら、
(%i9) mod(2^3-1,41);
(%o9)
7
(%i10) mod(2^5-1,41);
(%o10)
31
(%i11) mod(2^7-1,41);
(%o11)
4
(%i12) mod(2^9-1,41);
(%o12)
19
(%i13) mod(2^11-1,41);
(%o13)
38
(%i14) mod(2^13-1,41);
(%o14)
32
(%i15) mod(2^15-1,41);
(%o15)
8
(%i16) mod(2^17-1,41);
(%o16)
35
(%i17) mod(2^19-1,41);
(%o17)
20
(%i18) mod(2^21-1,41);
(%o18)
1
(%i19) mod(2^23-1,41);
(%o19)
7
(%i20) mod(2^25-1,41);
(%o20)
31
(%i21) mod(2^27-1,41);
(%o21)
4
2^23-1で繰り返すから、(P-41)^20-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
また、(P-41)^10+1より、
(%i41) t^2-82*t+1682;
(%o41)
1522
(%i42) mod(1522,41);
(%o42)
5
(%i43) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o43)
5348492828641
(%i44) mod(5348492828641,41);
(%o44)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5+1より、
t-40=-38
(%i45) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o45)
2374321
(%i46) mod(2374321,41);
(%o46)
11
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-40
(%i47) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o47)
2255605
(%i48) mod(2255605,41);
(%o48)
31
より、41で割り切れない。
(P-41)^10+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=3であるなら、
(%i50) mod(3^3-1,41);
(%o50)
26
(%i51) mod(3^5-1,41);
(%o51)
37
(%i52) mod(3^7-1,41);
(%o52)
13
(%i53) mod(3^9-1,41);
(%o53)
2
(%i54) mod(3^11-1,41);
(%o54)
26
(%i55) mod(3^13-1,41);
(%o55)
37
(%i56) mod(3^15-1,41);
(%o56)
13
3^11-1で繰り返すから、(P-41)^8-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(%i2) factor((P-41)^4+1);
4
3
3 2
2
2
(%o2) 2825761 u + 275684 t u - 11303044 u + 10086 t u - 827052 t u
2
3
2
4 3
+ 16954566 u + 164 t u - 20172 t u + 827052 t u - 11303044 u + t - 164 t
2
+ 10086 t - 275684 t + 2825762
(%i3) factor((P-41)^2+1);
2
2
(%o3) 1681 u + 82 t u - 3362 u + t - 82 t + 1682
(%i4) factor((P-41)^2-1);
(%o4)
(41 u + t - 42) (41 u + t - 40)
より、(P-41)^4+1から、
t^4-164^t^3+10086t^2-275684t+2825762
(P-41)^2+1から、
t^2-82t+1682
(P-41)^2-1から、
t-42
t-40
である。
(P-41)^4+1より、
(%i57) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t+2825762;
(%o57)
2085137
(%i58) mod(2085137,41);
(%o58)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^2+1より、
(%i59) t^2-82*t+1682;
(%o59)
1445
(%i60) mod(1445,41);
(%o60)
10
より、41で割り切れない。
(P-41)^2-1より、
t-42=-39
t-40=-37
より、41で割り切れない。
(P-41)^4+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=4であるなら、
(%i62) mod(4^3-1,41);
(%o62)
22
(%i63) mod(4^5-1,41);
(%o63)
39
(%i64) mod(4^7-1,41);
(%o64)
24
(%i65) mod(4^9-1,41);
(%o65)
30
(%i66) mod(4^11-1,41);
(%o66)
3
(%i67) mod(4^13-1,41);
(%o67)
22
(%i68) mod(4^15-1,41);
(%o68)
39
(%i69) mod(4^17-1,41);
(%o69)
24
4^13-1で繰り返すから、(P-41)^10-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-36
(%i70) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o70)
1926221
(%i71) mod(1926221,41);
(%o71)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5-1より、
t-42=-38
(%i72) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o72)
1824841
(%i73) mod(1824841,41);
(%o73)
13
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=5であるなら、
(%i75) mod(5^3-1,41);
(%o75)
1
(%i76) mod(5^5-1,41);
(%o76)
8
(%i77) mod(5^7-1,41);
(%o77)
19
(%i78) mod(5^9-1,41);
(%o78)
7
(%i79) mod(5^11-1,41);
(%o79)
35
(%i80) mod(5^13-1,41);
(%o80)
38
(%i81) mod(5^15-1,41);
(%o81)
31
(%i82) mod(5^17-1,41);
(%o82)
20
(%i83) mod(5^19-1,41);
(%o83)
32
(%i84) mod(5^21-1,41);
(%o84)
4
(%i85) mod(5^23-1,41);
(%o85)
1
(%i86) mod(5^25-1,41);
(%o86)
8
(%i87) mod(5^27-1,41);
(%o87)
19
5^23-1で繰り返すから、(P-41)^20-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
また、(P-41)^10+1より、
(%i88) t^2-82*t+1682;
(%o88)
1297
(%i89) mod(1297,41);
(%o89)
26
(%i90) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o90)
2818934803441
(%i91) mod(2818934803441,41);
(%o91)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5+1より、
t-40=-35
(%i92) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o92)
1727605
(%i93) mod(1727605,41);
(%o93)
29
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-37
(%i94) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o94)
1634221
(%i95) mod(1634221,41);
(%o95)
2
より、41で割り切れない。
(P-41)^10+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=6であるなら、
(%i2) mod(6^3-1,41);
(%o2)
10
(%i3) mod(6^5-1,41);
(%o3)
26
(%i4) mod(6^7-1,41);
(%o4)
28
(%i5) mod(6^9-1,41);
(%o5)
18
(%i6) mod(6^11-1,41);
(%o6)
27
(%i7) mod(6^13-1,41);
(%o7)
23
(%i8) mod(6^15-1,41);
(%o8)
2
(%i9) mod(6^17-1,41);
(%o9)
25
(%i10) mod(6^19-1,41);
(%o10)
33
(%i11) mod(6^21-1,41);
(%o11)
34
(%i12) mod(6^23-1,41);
(%o12)
29
(%i13) mod(6^25-1,41);
(%o13)
13
(%i14) mod(6^27-1,41);
(%o14)
11
(%i15) mod(6^29-1,41);
(%o15)
21
(%i16) mod(6^31-1,41);
(%o16)
12
(%i17) mod(6^33-1,41);
(%o17)
16
(%i18) mod(6^35-1,41);
(%o18)
37
(%i19) mod(6^37-1,41);
(%o19)
14
(%i20) mod(6^39-1,41);
(%o20)
6
(%i21) mod(6^41-1,41);
(%o21)
5
(%i22) mod(6^43-1,41);
(%o22)
10
(%i23) mod(6^45-1,41);
(%o23)
26
(%i24) mod(6^47-1,41);
(%o24)
28
6^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^40-1より、
(P-41)^20+1
(P-41)^20-1={(P-41)^10+1}{(P-41)^5+1}{(P-41)^5-1}
である。
(P-41)^20+1は、
(%i2) factor((P-41)^20+1);
4
3
3 2
2
2
(%o2) (2825761 u + 275684 t u - 11303044 u + 10086 t u - 827052 t u
2
3
2
4 3
+ 16954566 u + 164 t u - 20172 t u + 827052 t u - 11303044 u + t - 164 t
2
16
+ 10086 t - 275684 t + 2825762) (63759030914653054346432641 u
15
15
+ 24881573039864606574217616 t u - 1020144494634448869542922256 u
2
14
14
+ 4551507263389867056259320 t u - 373223595597969098613264240 t u
14
3 13
+ 7651083709758366521571916920 u + 518057737296407632419760 t u
2
13
13
- 63721101687458138787630480 t u + 2612565169185783690292849680 t u
13
4 12
- 35705057312205710434002278960 u + 41065552346666458667420 t u
3
12
2 12
- 6734750584853299221456880 t u + 414187160968477902119598120 t u
12
12
- 11321115733138395991269015280 t u + 116041436242105068610141220539 u
5
11
4 11
+ 2403837210536573190288 t u - 492786628159997504009040 t u
3
11
2 11
+ 40408503509119795328741280 t u - 1656748643873911608478392480 t u
11
11
+ 33963347192811239593212064548 t u - 278499446764442657780823542916 u
6
10
5 10
+ 107488655755700427208 t u - 26442209315902305093168 t u
4
10
3 10
+ 2710326454879986272049720 t u - 148164512866772582872051360 t u
2
10
10
+ 4556058769767361408845520854 t u - 74719363766069981355830706636 t u
10
7 9
+ 510582318075351299382064307782 u + 3745249329466913840 t u
6
9
5 9
- 1074886557557004272080 t u + 132211046579511525465840 t u
4
9
3 9
- 9034421516266620906832400 t u + 370411282094907431613456980 t u
2
9
9
- 9112117532447558701930573980 t u + 124532272701305194971235197020 t u
9
8 8
- 729403308699663075642628475220 u + 102765987698787270 t u
7
8
6 8
- 33707243965202224560 t u + 4836989509006519224360 t u
5
8
4 8
- 396633139738534576397520 t u + 20327448407647359051958005 t u
3
8
2 8
- 666740307252260392824188340 t u + 13668176272094472618794106990 t u
8
8
- 160112921421877260506918445780 t u + 820578716702657118742251208696 u
9
7
8 7
+ 2227988893198640 t u - 822127901590298160 t u
7
7
6 7
+ 134828975860808898240 t u - 12898638690684051264960 t u
5
7
4 7
+ 793266279322823767881288 t u - 32523917426939531357277480 t u
3
7
2 7
+ 888987074607770576832137040 t u - 15620772821646562000674970320 t u
7
7
+ 160112920332225779266780723648 t u - 729403295793346687712571869856 u
10
6
9
6
8 6
+ 38038834761928 t u - 15595922252390480 t u + 2877447655566043560 t u
7
6
6 6
- 314600943675220762560 t u + 22572617704307993394996 t u
5
6
4 6
- 1110572790188179119516792 t u + 37944570257648744133079020 t u
3
6
2 6
- 888987071150617349631908880 t u + 13668176125921712864237378848 t u
6
6
- 124532270013498214975317148512 t u + 510582298715876845245783065672 u
11
5
10
5
9 5
+ 506059885968 t u - 228233008571568 t u + 46787766757171440 t u
8
5
7 5
- 5754895311132087120 t u + 471901415421073032648 t u
6
5
5 5
- 27087141224101929744312 t u + 1110572788028743730724264 t u
4
5
3 5
- 32523917237217707913362520 t u + 666740298825449408011579456 t u
2
5
5
- 9112117318060844998193937696 t u + 74719360787689294426212155952 t u
5
12
4
11 4
- 278499429164920670651011230512 u + 5142885020 t u - 2530299429840 t u
10
4
9
4
8 4
+ 570582521428920 t u - 77979611261952400 t u + 7193619137516357205 t u
7
4
6 4
- 471901415054040587880 t u + 22572617642860644933420 t u
5
4
4 4
- 793266274078480680813720 t u + 20327448134922238049133520 t u
3
4
2 4
- 370411273091904268219265760 t u + 4556058584615200879647082680 t u
4
4
- 33963345020112276908659906160 t u + 116041425095741419174008509234 u
13
3
12
3
11 3
+ 38595760 t u - 20571540080 t u + 5060598859680 t u
10
3
9
3
8 3
- 760776695238560 t u + 77979611246789780 t u - 5754895305537080340 t u
7
3
6 3
+ 314600942757639650640 t u - 12898638602902124891280 t u
5
3
4 3
+ 396633134339946108275776 t u - 9034421294924494346811360 t u
3
3
2 3
+ 148164506816754500151124640 t u - 1656748537566452532129751520 t u
3
3
+ 11321114643486967724293513096 t u - 35705052348238291509242868872 u
14
2
13
2
12
2
11 2
+ 201720 t u - 115787280 t u
+ 30857310120 t u - 5060598859680 t u
10
2
9
2
8 2
+ 570582521317974 t u - 46787766711683580 t u + 2877447647173533390 t u
7
2
6 2
- 134828974943227786320 t u + 4836989443170074491168 t u
5
2
4 2
- 132211043340358453855776 t u + 2710326344208923783252280 t u
3
2
2 2
- 40408500916254939808042720 t u + 414187121103181746010738284 t u
2
2
- 2612564805968655476286063576 t u + 7651082220568230275293096396 u
15
14
13
12
+ 656 t u - 403440 t u + 115787280 t u - 20571540080 t u
11
10
9
+ 2530299429348 t u - 228233008349676 t u + 15595922206902620 t u
8
7
- 822127895995291380 t u + 33707243506411668928 t u
6
5
- 1074886531222426454112 t u + 26442208236184622275632 t u
4
3
- 492786596539694387902960 t u + 6734749936637101561150216 t u
2
- 63721092828503792104538136 t u + 373223522954547818306980312 t u
16
15
14
13
- 1020144223872629144539219208 u + t - 656 t + 201720 t - 38595760 t
12
11
10
9
+ 5142885019 t - 506059885476 t + 38038834650982 t - 2227988878036020 t
8
7
6
+ 102765986300035576 t - 3745249237708802976 t + 107488651366604155592 t
5
4
- 2403837056291192136112 t + 41065548394128668055794 t
3
2
- 518057665272388553695432 t + 4551506377494485589109516 t
- 24881566435917784013151688 t + 63759008351170738902649921)
より、(P-41)^20+1は、
t^4-164t^3+10086t^2-275684t + 2825762
t^16-656t^15+201720t^14-38595760t^13+5142885019t^12-506059885476t^11+38038834650982t^10-2227988878036020
t^9+102765986300035576t^8-3745249237708802976t^7+107488651366604155592t^6-2403837056291192136112t^5+41065548394128668055794t^4-518057665272388553695432t^3+4551506377494485589109516t^2-
24881566435917784013151688t+63759008351170738902649921
である。
(P-41)^20+1は、
(%i25) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o25)
1500626
(%i26) mod(1500626,41);
(%o26)
26
(%i45)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o45)
5070939395684240155140001
(%i46) mod(5070939395684240155140001,41);
(%o46)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i29) t^2-82*t+1682;
(%o29)
1226
(%i30) mod(1226,41);
(%o30)
37
(%i31) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o31)
2250038624401
(%i32) mod(2250038624401,41);
(%o32)
2
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-34
(%i33) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o33)
1544761
(%i34) mod(1544761,41);
(%o34)
4
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-36
(%i35) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o35)
1458941
(%i36) mod(1458941,41);
(%o36)
38
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=7であるなら、
(%i47) t:7;
(%o47)
7
(%i48) mod(7^3-1,41);
(%o48)
14
(%i49) mod(7^5-1,41);
(%o49)
37
(%i50) mod(7^7-1,41);
(%o50)
16
(%i51) mod(7^9-1,41);
(%o51)
12
(%i52) mod(7^11-1,41);
(%o52)
21
(%i53) mod(7^13-1,41);
(%o53)
11
(%i54) mod(7^15-1,41);
(%o54)
13
(%i55) mod(7^17-1,41);
(%o55)
29
(%i56) mod(7^19-1,41);
(%o56)
34
(%i57) mod(7^21-1,41);
(%o57)
33
(%i58) mod(7^23-1,41);
(%o58)
25
(%i59) mod(7^25-1,41);
(%o59)
2
(%i60) mod(7^27-1,41);
(%o60)
23
(%i61) mod(7^29-1,41);
(%o61)
27
(%i62) mod(7^31-1,41);
(%o62)
18
(%i63) mod(7^33-1,41);
(%o63)
28
(%i64) mod(7^35-1,41);
(%o64)
26
(%i65) mod(7^37-1,41);
(%o65)
10
(%i66) mod(7^39-1,41);
(%o66)
5
(%i67) mod(7^41-1,41);
(%o67)
6
(%i68) mod(7^43-1,41);
(%o68)
14
(%i69) mod(7^45-1,41);
(%o69)
37
(%i70) mod(7^47-1,41);
(%o70)
16
7^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i71) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o71)
1336337
(%i72) mod(1336337,41);
(%o72)
24
(%i73)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o73)
3189057484344805992238321
(%i74) mod(3189057484344805992238321,41);
(%o74)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i75) t^2-82*t+1682;
(%o75)
1157
(%i76) mod(1157,41);
(%o76)
9
(%i77) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o77)
1784250435661
(%i78) mod(1784250435661,41);
(%o78)
33
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-33
(%i79) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o79)
1376831
(%i80) mod(1376831,41);
(%o80)
10
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-35
(%i81) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o81)
1298155
(%i82) mod(1298155,41);
(%o82)
13
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=8であるなら、
(%i84) mod(8^3-1,41);
(%o84)
19
(%i85) mod(8^5-1,41);
(%o85)
8
(%i86) mod(8^7-1,41);
(%o86)
1
(%i87) mod(8^9-1,41);
(%o87)
4
(%i88) mod(8^11-1,41);
(%o88)
32
(%i89) mod(8^13-1,41);
(%o89)
20
(%i90) mod(8^15-1,41);
(%o90)
31
(%i91) mod(8^17-1,41);
(%o91)
38
(%i92) mod(8^19-1,41);
(%o92)
35
(%i93) mod(8^21-1,41);
(%o93)
7
(%i94) mod(8^23-1,41);
(%o94)
19
(%i95) mod(8^25-1,41);
(%o95)
8
(%i96) mod(8^27-1,41);
(%o96)
1
8^23-1で繰り返すから、(P-41)^20-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
また、(P-41)^10+1より、
(%i97) t^2-82*t+1682;
(%o97)
1090
(%i98) mod(1090,41);
(%o98)
24
(%i99) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o99)
1405118335105
(%i100) mod(1405118335105,41);
(%o100)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5+1より、
t-40=-32
(%i101) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o101)
1222981
(%i102) mod(1222981,41);
(%o102)
33
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-34
(%i103) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o103)
1151041
(%i104) mod(1151041,41);
(%o104)
7
より、41で割り切れない。
(P-41)^10+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=9であるなら、
(%i106) mod(9^3-1,41);
(%o106)
31
(%i107) mod(9^5-1,41);
(%o107)
8
(%i108) mod(9^7-1,41);
(%o108)
31
(%i109) mod(9^9-1,41);
(%o109)
8
(%i110) mod(9^11-1,41);
(%o110)
31
(%i111) mod(9^13-1,41);
(%o111)
8
9^7-1で繰り返すから、(P-41)^4-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
したがって、(P-41)^4-1より、
(P-41)^2+1
(P-41)^2-1={(P-41)+1}{(P-41)-1}
から、
(%i3) factor((P-41)^2+1);
2
2
(%o3) 1681 u + 82 t u - 3362 u + t - 82 t + 1682
(%i4) factor((P-41)+1);
(%o4)
41 u + t - 40
(%i5) factor((P-41)-1);
(%o5)
41 u + t - 42
よって、(P-41)^2+1は、
t^2-82t+1682
(P-41)+1は、
t-40
(P-41)-1は、
t-42
である。
(P-41)^2+1より、
(%i112) t^2-82*t+1682;
(%o112)
1025
(%i113) mod(1025,41);
(%o113)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)+1より、
t-40=-31
より、41で割り切れない。
(P-41)-1より、
t-42=-33
より、41で割り切れない。
(P-41)^2+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=10であるなら、
(%i115) mod(10^3-1,41);
(%o115)
15
(%i116) mod(10^5-1,41);
(%o116)
0
(%i117) mod(10^7-1,41);
(%o117)
17
(%i118) mod(10^9-1,41);
(%o118)
36
(%i119) mod(10^11-1,41);
(%o119)
9
(%i121) mod(10^13-1,41);
(%o121)
15
(%i122) mod(10^15-1,41);
(%o122)
0
(%i123) mod(10^17-1,41);
(%o123)
17
10^13-1で繰り返すから、(P-41)^10-1周期である。
また、初式は、41で割り切れる場合がある。
(P-41)^5+1より、
t-40=-30
(%i124) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o124)
954305
(%i125) mod(954305,41);
(%o125)
30
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-32
(%i126) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o126)
894661
(%i127) mod(894661,41);
(%o127)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5-1が41の倍数であり、循環するが、初式が41の倍数になるときがあるから、
初式は41で割り切れ循環するので、41を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=11であるなら、
(%i2) mod(11^3-1,41);
(%o2)
18
(%i3) mod(11^5-1,41);
(%o3)
2
(%i4) mod(11^7-1,41);
(%o4)
34
(%i5) mod(11^9-1,41);
(%o5)
11
(%i6) mod(11^11-1,41);
(%o6)
16
(%i7) mod(11^13-1,41);
(%o7)
6
(%i8) mod(11^15-1,41);
(%o8)
26
(%i9) mod(11^17-1,41);
(%o9)
27
(%i10) mod(11^19-1,41);
(%o10)
25
(%i11) mod(11^21-1,41);
(%o11)
29
(%i12) mod(11^23-1,41);
(%o12)
21
(%i13) mod(11^25-1,41);
(%o13)
37
(%i14) mod(11^27-1,41);
(%o14)
5
(%i15) mod(11^29-1,41);
(%o15)
28
(%i16) mod(11^31-1,41);
(%o16)
23
(%i17) mod(11^33-1,41);
(%o17)
33
(%i18) mod(11^35-1,41);
(%o18)
13
(%i19) mod(11^37-1,41);
(%o19)
12
(%i20) mod(11^39-1,41);
(%o20)
14
(%i21) mod(11^41-1,41);
(%o21)
10
(%i22) mod(11^43-1,41);
(%o22)
18
(%i23) mod(11^45-1,41);
(%o23)
2
(%i24) mod(11^47-1,41);
(%o24)
34
11^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i25) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o25)
810001
(%i26) mod(810001,41);
(%o26)
5
(%i27)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o27)
430466678559656099190001
(%i28) mod(430466678559656099190001,41);
(%o28)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i29) t^2-82*t+1682;
(%o29)
901
(%i30) mod(901,41);
(%o30)
40
(%i31) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o31)
655371809101
(%i32) mod(655371809101,41);
(%o32)
31
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-29
(%i33) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o33)
837931
(%i34) mod(837931,41);
(%o34)
14
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-31
(%i35) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o35)
783871
(%i36) mod(783871,41);
(%o36)
33
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=12であるなら、
(%i38) mod(12^3-1,41);
(%o38)
5
(%i39) mod(12^5-1,41);
(%o39)
2
(%i40) mod(12^7-1,41);
(%o40)
21
(%i41) mod(12^9-1,41);
(%o41)
10
(%i42) mod(12^11-1,41);
(%o42)
25
(%i43) mod(12^13-1,41);
(%o43)
12
(%i44) mod(12^15-1,41);
(%o44)
26
(%i45) mod(12^17-1,41);
(%o45)
33
(%i46) mod(12^19-1,41);
(%o46)
16
(%i47) mod(12^21-1,41);
(%o47)
28
(%i48) mod(12^23-1,41);
(%o48)
34
(%i49) mod(12^25-1,41);
(%o49)
37
(%i50) mod(12^27-1,41);
(%o50)
18
(%i51) mod(12^29-1,41);
(%o51)
29
(%i52) mod(12^31-1,41);
(%o52)
14
(%i53) mod(12^33-1,41);
(%o53)
27
(%i54) mod(12^35-1,41);
(%o54)
13
(%i55) mod(12^37-1,41);
(%o55)
6
(%i56) mod(12^39-1,41);
(%o56)
23
(%i57) mod(12^41-1,41);
(%o57)
11
(%i58) mod(12^43-1,41);
(%o58)
5
(%i59) mod(12^45-1,41);
(%o59)
2
(%i60) mod(12^47-1,41);
(%o60)
21
12^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i61) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o61)
707282
(%i62) mod(707282,41);
(%o62)
32
(%i63)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o63)
250246119866064389024161
(%i64) mod(250246119866064389024161,41);
(%o64)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i65) t^2-82*t+1682;
(%o65)
842
(%i66) mod(842,41);
(%o66)
22
(%i67) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o67)
499652296081
(%i68) mod(499652296081,41);
(%o68)
34
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-28
(%i69) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o69)
732541
(%i70) mod(732541,41);
(%o70)
35
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-30
(%i71) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o71)
683705
(%i72) mod(683705,41);
(%o72)
30
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=13であるなら、
(%i74) mod(13^3-1,41);
(%o74)
23
(%i75) mod(13^5-1,41);
(%o75)
37
(%i76) mod(13^7-1,41);
(%o76)
25
(%i77) mod(13^9-1,41);
(%o77)
6
(%i78) mod(13^11-1,41);
(%o78)
34
(%i79) mod(13^13-1,41);
(%o79)
10
(%i80) mod(13^15-1,41);
(%o80)
13
(%i81) mod(13^17-1,41);
(%o81)
28
(%i82) mod(13^19-1,41);
(%o82)
21
(%i83) mod(13^21-1,41);
(%o83)
27
(%i84) mod(13^23-1,41);
(%o84)
16
(%i85) mod(13^25-1,41);
(%o85)
2
(%i86) mod(13^27-1,41);
(%o86)
14
(%i87) mod(13^29-1,41);
(%o87)
33
(%i88) mod(13^31-1,41);
(%o88)
5
(%i89) mod(13^33-1,41);
(%o89)
29
(%i90) mod(13^35-1,41);
(%o90)
26
(%i91) mod(13^37-1,41);
(%o91)
11
(%i92) mod(13^39-1,41);
(%o92)
18
(%i93) mod(13^41-1,41);
(%o93)
12
(%i94) mod(13^43-1,41);
(%o94)
23
(%i95) mod(13^45-1,41);
(%o95)
37
(%i96) mod(13^47-1,41);
(%o96)
25
13^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i97) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o97)
614657
(%i98) mod(614657,41);
(%o98)
26
(%i99)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o99)
142734117728787658940161
(%i100) mod(142734117728787658940161,41);
(%o100)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i101) t^2-82*t+1682;
(%o101)
785
(%i102) mod(785,41);
(%o102)
6
(%i103) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o103)
377320721905
(%i104) mod(377320721905,41);
(%o104)
29
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-27
(%i105) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o105)
637421
(%i106) mod(637421,41);
(%o106)
35
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-29
(%i107) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o107)
593461
(%i108) mod(593461,41);
(%o108)
27
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=14であるなら、
(%i110) mod(14^3-1,41);
(%o110)
37
(%i111) mod(14^5-1,41);
(%o111)
26
(%i112) mod(14^7-1,41);
(%o112)
2
(%i113) mod(14^9-1,41);
(%o113)
13
(%i114) mod(14^11-1,41);
(%o114)
37
(%i115) mod(14^13-1,41);
(%o115)
26
(%i116) mod(14^15-1,41);
(%o116)
2
(%i117) mod(14^17-1,41);
(%o117)
13
(%i118) mod(14^19-1,41);
(%o118)
37
(%i119) mod(14^21-1,41);
(%o119)
26
(%i120) mod(14^23-1,41);
(%o120)
2
(%i121) mod(14^25-1,41);
(%o121)
13
(%i122) mod(14^27-1,41);
(%o122)
37
(%i123) mod(14^29-1,41);
(%o123)
26
(%i124) mod(14^31-1,41);
(%o124)
2
14^27-1で繰り返すから、(P-41)^24-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^24-1より、
(P-41)^12+1
(P-41)^12-1={(P-41)^6+1}{(P-41)^3+1}{(P-41)^3-1}
である。
(P-41)^12+1,(P-41)^6+1,(P-41)^3+1,(P-41)^3-1は、
(%i2) factor((P-41)^12+1);
4
3
3 2
2
2
(%o2) (2825761 u + 275684 t u - 11303044 u + 10086 t u - 827052 t u
2
3
2
4 3
+ 16954566 u + 164 t u - 20172 t u + 827052 t u - 11303044 u + t - 164 t
2
8
7
+ 10086 t - 275684 t + 2825762) (7984925229121 u + 1558034191048 t u
7
2
6
6
- 63879401832968 u + 133002918748 t u - 10906239337336 t u
6
3
5
2 5
+ 223577906415388 u + 6487947256 t u - 798017512488 t u
5
5
4 4
+ 32718718012008 t u - 447155812830776 u + 197803270 t u
3
4
2
4
4
- 32439736280 t u + 1995043781220 t u - 54531196686680 t u
4
5
3
4
3
3 3
+ 558944763212709 u + 3859576 t u - 791213080 t u + 64879472560 t u
2
3
3
3 6 2
- 2660058374960 t u + 54531196410996 t u - 447155801527732 u + 47068 t u
5
2
4
2
3
2
2 2
- 11578728 t u + 1186819620 t u - 64879472560 t u + 1995043771134 t u
2
2
7 6
- 32718717184956 t u + 223577889460822 u + 328 t u - 94136 t u
5
4
3
2
+ 11578728 t u - 791213080 t u + 32439736116 t u - 798017492316 t u
8
7
6 5
+ 10906238510284 t u - 63879390529924 u + t - 328 t + 47068 t - 3859576 t
4
3
2
+ 197803269 t - 6487947092 t + 133002908662 t - 1558033915364 t
+ 7984922403361)
(%i3) factor((P-41)^6+1);
2
2
(%o3) (1681 u + 82 t u - 3362 u + t - 82 t + 1682)
4
3
3 2
2
2
(2825761 u + 275684 t u - 11303044 u + 10086 t u - 827052 t u
2
3
2
4 3
+ 16952885 u + 164 t u - 20172 t u + 826970 t u - 11299682 u + t - 164 t
2
+ 10085 t - 275602 t + 2824081)
(%i4) factor((P-41)^3+1);
2
2
(%o4) (41 u + t - 40) (1681 u + 82 t u - 3403 u + t - 83 t + 1723)
(%i5) factor((P-41)^3-1);
2
2
(%o5) (41 u + t - 42) (1681 u + 82 t u - 3321 u + t - 81 t + 1641)
より、(P-41)^12+1は、
t^4-164t^3+10086t^2-275684t + 2825762
t^8-328t^7+47068t^6-3859576t^5+197803269t^4-6487947092t^3+133002908662t^2-1558033915364t+7984922403361
(P-41)^6+1は、
t^2-82t+1682
t^4-164t^3+10085t^2-275602t+2824081
(P-41)^3+1は、
t-40
t^2-83t+1723
(P-41)^3-1は、
t-42
t^2-81t+1641
である。
(P-41)^12+1より、
(%i125) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t+2825762;
(%o125)
531442
(%i126) mod(531442,41);
(%o126)
0
(%i127) t^8-328*t^7+47068*t^6-3859576*t^5+197803269*t^4-6487947092*t^3+133002908662*t^2-1558033915364*t+7984922403361;
(%o127)
282429005041
(%i128) mod(282429005041,41);
(%o128)
3
より、41で割り切れる。
(P-41)^6+1より、
(%i129) t^2-82*t+1682;
(%o129)
730
(%i130) mod(730,41);
(%o130)
33
(%i131) t^4-164*t^3+10085*t^2-275602*t+2824081;
(%o131)
530713
(%i132) mod(530713,41);
(%o132)
9
より、41で割り切れない。
(P-41)^3+1より、
t-40=-26
(%i133) t^2-83*t+1723;
(%o133)
757
(%i134) mod(757,41);
(%o134)
19
より、41で割り切れない。
(P-41)^3-1より、
t-42=-28
(%i135) t^2-81*t+1641;
(%o135)
703
(%i136) mod(703,41);
(%o136)
6
より、41で割り切れない。
(P-41)^12+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=15であるなら、
(%i138) mod(15^3-1,41);
(%o138)
12
(%i139) mod(15^5-1,41);
(%o139)
13
(%i140) mod(15^7-1,41);
(%o140)
33
(%i141) mod(15^9-1,41);
(%o141)
23
(%i142) mod(15^11-1,41);
(%o142)
28
(%i143) mod(15^13-1,41);
(%o143)
5
(%i144) mod(15^15-1,41);
(%o144)
37
(%i145) mod(15^17-1,41);
(%o145)
21
(%i146) mod(15^19-1,41);
(%o146)
29
(%i147) mod(15^21-1,41);
(%o147)
25
(%i148) mod(15^23-1,41);
(%o148)
27
(%i149) mod(15^25-1,41);
(%o149)
26
(%i150) mod(15^27-1,41);
(%o150)
6
(%i151) mod(15^29-1,41);
(%o151)
16
(%i152) mod(15^31-1,41);
(%o152)
11
(%i153) mod(15^33-1,41);
(%o153)
34
(%i154) mod(15^35-1,41);
(%o154)
2
(%i155) mod(15^37-1,41);
(%o155)
18
(%i156) mod(15^39-1,41);
(%o156)
10
(%i157) mod(15^41-1,41);
(%o157)
14
(%i158) mod(15^43-1,41);
(%o158)
12
(%i159) mod(15^45-1,41);
(%o159)
13
(%i160) mod(15^47-1,41);
(%o160)
33
15^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i161) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o161)
456977
(%i162) mod(456977,41);
(%o162)
32
(%i163)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o163)
43608647470681038985201
(%i164) mod(43608647470681038985201,41);
(%o164)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i165) t^2-82*t+1682;
(%o165)
677
(%i166) mod(677,41);
(%o166)
21
(%i167) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o167)
208518605101
(%i168) mod(208518605101,41);
(%o168)
25
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-25
(%i169) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o169)
475255
(%i170) mod(475255,41);
(%o170)
24
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-27
(%i172) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o172)
440051
(%i173) mod(440051,41);
(%o173)
39
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=16であるなら、
(%i175) mod(16^3-1,41);
(%o175)
36
(%i176) mod(16^5-1,41);
(%o176)
0
(%i177) mod(16^7-1,41);
(%o177)
9
(%i178) mod(16^9-1,41);
(%o178)
17
(%i179) mod(16^11-1,41);
(%o179)
15
(%i180) mod(16^13-1,41);
(%o180)
36
(%i181) mod(16^15-1,41);
(%o181)
0
(%i183) mod(16^17-1,41);
(%o183)
9
16^13-1で繰り返すから、(P-41)^10-1周期である。
また、初式は、41で割り切れる場合がある。
(P-41)^5+1より、
t-40=-24
(%i184) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o184)
406901
(%i185) mod(406901,41);
(%o185)
17
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-26
(%i186) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o186)
375601
(%i187) mod(375601,41);
(%o187)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5-1が41の倍数であり、循環するが、初式が41の倍数になるときがあるから、
初式は41で割り切れ循環するので、41を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=17であるなら、
(%i189) mod(17^3-1,41);
(%o189)
33
(%i190) mod(17^5-1,41);
(%o190)
26
(%i191) mod(17^7-1,41);
(%o191)
12
(%i192) mod(17^9-1,41);
(%o192)
25
(%i193) mod(17^11-1,41);
(%o193)
10
(%i194) mod(17^13-1,41);
(%o194)
21
(%i195) mod(17^15-1,41);
(%o195)
2
(%i196) mod(17^17-1,41);
(%o196)
5
(%i197) mod(17^19-1,41);
(%o197)
11
(%i198) mod(17^21-1,41);
(%o198)
23
(%i199) mod(17^23-1,41);
(%o199)
6
(%i200) mod(17^25-1,41);
(%o200)
13
(%i201) mod(17^27-1,41);
(%o201)
27
(%i202) mod(17^29-1,41);
(%o202)
14
(%i203) mod(17^31-1,41);
(%o203)
29
(%i204) mod(17^33-1,41);
(%o204)
18
(%i205) mod(17^35-1,41);
(%o205)
37
(%i206) mod(17^37-1,41);
(%o206)
34
(%i207) mod(17^39-1,41);
(%o207)
28
(%i208) mod(17^41-1,41);
(%o208)
16
(%i209) mod(17^43-1,41);
(%o209)
33
(%i210) mod(17^45-1,41);
(%o210)
26
(%i211) mod(17^47-1,41);
(%o211)
12
17^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i212) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o212)
331777
(%i213) mod(331777,41);
(%o213)
5
(%i214)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o214)
12116538270707745484801
(%i215) mod(12116538270707745484801,41);
(%o215)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i216) t^2-82*t+1682;
(%o216)
577
(%i217) mod(577,41);
(%o217)
3
(%i218) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o218)
109884542401
(%i219) mod(109884542401,41);
(%o219)
11
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-23
(%i220) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o220)
346201
(%i221) mod(346201,41);
(%o221)
38
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-25
(%i222) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o222)
318505
(%i223) mod(318505,41);
(%o223)
17
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=18であるなら、
(%i226) mod(18^3-1,41);
(%o226)
9
(%i227) mod(18^5-1,41);
(%o227)
0
(%i228) mod(18^7-1,41);
(%o228)
36
(%i229) mod(18^9-1,41);
(%o229)
15
(%i230) mod(18^11-1,41);
(%o230)
17
(%i231) mod(18^13-1,41);
(%o231)
9
(%i232) mod(18^15-1,41);
(%o232)
0
(%i233) mod(18^17-1,41);
(%o233)
36
18^13-1で繰り返すから、(P-41)^10-1周期である。
また、初式は、41で割り切れる場合がある。
(P-41)^5+1より、
t-40=-22
(%i234) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o234)
292561
(%i235) mod(292561,41);
(%o235)
26
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-24
(%i236) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o236)
268181
(%i237) mod(268181,41);
(%o237)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5-1が41の倍数であり、循環するが、初式が41の倍数になるときがあるから、
初式は41で割り切れ循環するので、41を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=19であるなら、
(%i239) mod(19^3-1,41);
(%o239)
11
(%i240) mod(19^5-1,41);
(%o240)
26
(%i241) mod(19^7-1,41);
(%o241)
29
(%i242) mod(19^9-1,41);
(%o242)
5
(%i243) mod(19^11-1,41);
(%o243)
33
(%i244) mod(19^13-1,41);
(%o244)
14
(%i245) mod(19^15-1,41);
(%o245)
2
(%i246) mod(19^17-1,41);
(%o246)
16
(%i247) mod(19^19-1,41);
(%o247)
27
(%i248) mod(19^21-1,41);
(%o248)
21
(%i249) mod(19^23-1,41);
(%o249)
28
(%i250) mod(19^25-1,41);
(%o250)
13
(%i251) mod(19^27-1,41);
(%o251)
10
(%i252) mod(19^29-1,41);
(%o252)
34
(%i253) mod(19^31-1,41);
(%o253)
6
(%i254) mod(19^33-1,41);
(%o254)
25
(%i255) mod(19^35-1,41);
(%o255)
37
(%i256) mod(19^37-1,41);
(%o256)
23
(%i257) mod(19^39-1,41);
(%o257)
12
(%i258) mod(19^41-1,41);
(%o258)
18
(%i259) mod(19^43-1,41);
(%o259)
11
(%i260) mod(19^45-1,41);
(%o260)
26
(%i261) mod(19^47-1,41);
(%o261)
29
19^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i262) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o262)
234257
(%i263) mod(234257,41);
(%o263)
24
(%i264)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o264)
3011348641391309733361
(%i265) mod(3011348641391309733361,41);
(%o265)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i266) t^2-82*t+1682;
(%o266)
485
(%i267) mod(485,41);
(%o267)
34
(%i268) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o268)
54762727405
(%i269) mod(54762727405,41);
(%o269)
7
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-21
(%i270) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o270)
245411
(%i271) mod(245411,41);
(%o271)
26
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-23
(%i272) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o272)
224071
(%i273) mod(224071,41);
(%o273)
6
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=20であるなら、
(%i275) mod(20^3-1,41);
(%o275)
4
(%i276) mod(20^5-1,41);
(%o276)
31
(%i277) mod(20^7-1,41);
(%o277)
7
(%i278) mod(20^9-1,41);
(%o278)
1
(%i279) mod(20^11-1,41);
(%o279)
20
(%i280) mod(20^13-1,41);
(%o280)
35
(%i281) mod(20^15-1,41);
(%o281)
8
(%i282) mod(20^17-1,41);
(%o282)
32
(%i283) mod(20^19-1,41);
(%o283)
38
(%i284) mod(20^21-1,41);
(%o284)
19
(%i285) mod(20^23-1,41);
(%o285)
4
(%i286) mod(20^25-1,41);
(%o286)
31
(%i287) mod(20^27-1,41);
(%o287)
7
20^23-1で繰り返すから、(P-41)^20-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
また、(P-41)^10+1より、
(%i288) t^2-82*t+1682;
(%o288)
442
(%i289) mod(442,41);
(%o289)
32
(%i290) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o290)
37737287281
(%i291) mod(37737287281,41);
(%o291)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5+1より、
t-40=-20
(%i292) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o292)
204205
(%i293) mod(204205,41);
(%o293)
25
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-22
(%i294) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o294)
185641
(%i295) mod(185641,41);
(%o295)
34
より、41で割り切れない。
(P-41)^10+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=21であるなら、
(%i2) mod(21^3-1,41);
(%o2)
35
(%i3) mod(21^5-1,41);
(%o3)
8
(%i4) mod(21^7-1,41);
(%o4)
32
(%i5) mod(21^9-1,41);
(%o5)
38
(%i6) mod(21^11-1,41);
(%o6)
19
(%i7) mod(21^13-1,41);
(%o7)
4
(%i8) mod(21^15-1,41);
(%o8)
31
(%i9) mod(21^17-1,41);
(%o9)
7
(%i10) mod(21^19-1,41);
(%o10)
1
(%i11) mod(21^21-1,41);
(%o11)
20
(%i12) mod(21^23-1,41);
(%o12)
35
(%i13) mod(21^25-1,41);
(%o13)
8
(%i14) mod(21^27-1,41);
(%o14)
32
21^23-1で繰り返すから、(P-41)^20-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
また、(P-41)^10+1より、
(%i15) t^2-82*t+1682;
(%o15)
401
(%i16) mod(401,41);
(%o16)
32
(%i17) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o17)
25536159601
(%i18) mod(25536159601,41);
(%o18)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5+1より、
t-40=-19
(%i19) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o19)
168421
(%i20) mod(168421,41);
(%o20)
34
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-21
(%i22) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o22)
152381
(%i23) mod(152381,41);
(%o23)
25
より、41で割り切れない。
(P-41)^10+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=22であるなら、
(%i25) mod(22^3-1,41);
(%o25)
28
(%i26) mod(22^5-1,41);
(%o26)
13
(%i27) mod(22^7-1,41);
(%o27)
10
(%i28) mod(22^9-1,41);
(%o28)
34
(%i29) mod(22^11-1,41);
(%o29)
6
(%i30) mod(22^13-1,41);
(%o30)
25
(%i31) mod(22^15-1,41);
(%o31)
37
(%i32) mod(22^17-1,41);
(%o32)
23
(%i33) mod(22^19-1,41);
(%o33)
12
(%i34) mod(22^21-1,41);
(%o34)
18
(%i35) mod(22^23-1,41);
(%o35)
11
(%i36) mod(22^25-1,41);
(%o36)
26
(%i37) mod(22^27-1,41);
(%o37)
29
(%i38) mod(22^29-1,41);
(%o38)
5
(%i39) mod(22^31-1,41);
(%o39)
33
(%i40) mod(22^33-1,41);
(%o40)
14
(%i41) mod(22^35-1,41);
(%o41)
2
(%i42) mod(22^37-1,41);
(%o42)
16
(%i43) mod(22^39-1,41);
(%o43)
27
(%i44) mod(22^41-1,41);
(%o44)
21
(%i45) mod(22^43-1,41);
(%o45)
28
(%i46) mod(22^45-1,41);
(%o46)
13
(%i47) mod(22^47-1,41);
(%o47)
10
22^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i48) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o48)
130322
(%i49) mod(130322,41);
(%o49)
24
(%i50)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o50)
288439200269685534241
(%i51) mod(288439200269685534241,41);
(%o51)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i52) t^2-82*t+1682;
(%o52)
362
(%i53) mod(362,41);
(%o53)
34
(%i54) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o54)
16936647121
(%i55) mod(16936647121,41);
(%o55)
7
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-18
(%i56) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o56)
137561
(%i57) mod(137561,41);
(%o57)
6
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-20
(%i58) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o58)
123805
(%i59) mod(123805,41);
(%o59)
26
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=23であるなら、
(%i61) mod(23^3-1,41);
(%o61)
30
(%i62) mod(23^5-1,41);
(%o62)
39
(%i63) mod(23^7-1,41);
(%o63)
3
(%i64) mod(23^9-1,41);
(%o64)
24
(%i65) mod(23^11-1,41);
(%o65)
22
(%i66) mod(23^13-1,41);
(%o66)
30
(%i67) mod(23^15-1,41);
(%o67)
39
(%i68) mod(23^17-1,41);
(%o68)
3
23^13-1で繰り返すから、(P-41)^10-1周期である。
また、初式は、41で割り切れる場合がある。
(P-41)^5+1より、
t-40=-17
(%i69) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o69)
111151
(%i70) mod(111151,41);
(%o70)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5-1より、
t-42=-19
(%i71) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o71)
99451
(%i72) mod(99451,41);
(%o72)
26
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1が41の倍数であり、循環するが、初式が41の倍数になるときがあるから、
初式は41で割り切れ循環するので、41を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=24であるなら、
(%i74) mod(24^3-1,41);
(%o74)
6
(%i75) mod(24^5-1,41);
(%o75)
13
(%i76) mod(24^7-1,41);
(%o76)
27
(%i77) mod(24^9-1,41);
(%o77)
14
(%i78) mod(24^11-1,41);
(%o78)
29
(%i79) mod(24^13-1,41);
(%o79)
18
(%i80) mod(24^15-1,41);
(%o80)
37
(%i81) mod(24^17-1,41);
(%o81)
34
(%i82) mod(24^19-1,41);
(%o82)
28
(%i83) mod(24^21-1,41);
(%o83)
16
(%i84) mod(24^23-1,41);
(%o84)
33
(%i85) mod(24^25-1,41);
(%o85)
26
(%i86) mod(24^27-1,41);
(%o86)
12
(%i87) mod(24^29-1,41);
(%o87)
25
(%i88) mod(24^31-1,41);
(%o88)
10
(%i89) mod(24^33-1,41);
(%o89)
21
(%i90) mod(24^35-1,41);
(%o90)
2
(%i91) mod(24^37-1,41);
(%o91)
5
(%i92) mod(24^39-1,41);
(%o92)
11
(%i93) mod(24^41-1,41);
(%o93)
23
(%i94) mod(24^43-1,41);
(%o94)
6
(%i95) mod(24^45-1,41);
(%o95)
13
(%i96) mod(24^47-1,41);
(%o96)
27
24^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i97) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o97)
83522
(%i98) mod(83522,41);
(%o98)
5
(%i99)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o99)
48660609260405312641
(%i100) mod(48660609260405312641,41);
(%o100)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i101) t^2-82*t+1682;
(%o101)
290
(%i102) mod(290,41);
(%o102)
3
(%i103) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o103)
6951703105
(%i104) mod(6951703105,41);
(%o104)
11
(より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-16
(%i105) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o105)
88741
(%i106) mod(88741,41);
(%o106)
17
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-18
(%i107) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o107)
78881
(%i108) mod(78881,41);
(%o108)
38
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=25であるなら、
(%i110) mod(25^3-1,41);
(%o110)
3
(%i111) mod(25^5-1,41);
(%o111)
39
(%i112) mod(25^7-1,41);
(%o112)
30
(%i113) mod(25^9-1,41);
(%o113)
22
(%i114) mod(25^11-1,41);
(%o114)
24
(%i115) mod(25^13-1,41);
(%o115)
3
(%i116) mod(25^15-1,41);
(%o116)
39
(%i117) mod(25^17-1,41);
(%o117)
30
25^13-1で繰り返すから、(P-41)^10-1周期である。
また、初式は、41で割り切れる場合がある。
(P-41)^5+1より、
t-40=-15
(%i121) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o121)
69905
(%i122) mod(69905,41);
(%o122)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5-1より、
t-42=-17
(%i123) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o123)
61681
(%i124) mod(61681,41);
(%o124)
17
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1が41の倍数であり、循環するが、初式が41の倍数になるときがあるから、
初式は41で割り切れ循環するので、41を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=26であるなら、
(%i126) mod(26^3-1,41);
(%o126)
27
(%i127) mod(26^5-1,41);
(%o127)
26
(%i128) mod(26^7-1,41);
(%o128)
6
(%i129) mod(26^9-1,41);
(%o129)
16
(%i130) mod(26^11-1,41);
(%o130)
11
(%i131) mod(26^13-1,41);
(%o131)
34
(%i132) mod(26^15-1,41);
(%o132)
2
(%i133) mod(26^17-1,41);
(%o133)
18
(%i134) mod(26^19-1,41);
(%o134)
10
(%i135) mod(26^21-1,41);
(%o135)
14
(%i136) mod(26^23-1,41);
(%o136)
12
(%i137) mod(26^25-1,41);
(%o137)
13
(%i138) mod(26^27-1,41);
(%o138)
33
(%i139) mod(26^29-1,41);
(%o139)
23
(%i140) mod(26^31-1,41);
(%o140)
28
(%i141) mod(26^33-1,41);
(%o141)
5
(%i142) mod(26^35-1,41);
(%o142)
37
(%i143) mod(26^37-1,41);
(%o143)
21
(%i144) mod(26^39-1,41);
(%o144)
29
(%i145) mod(26^41-1,41);
(%o145)
25
(%i146) mod(26^43-1,41);
(%o146)
27
(%i147) mod(26^45-1,41);
(%o147)
26
(%i148) mod(26^47-1,41);
(%o148)
6
26^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i149) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o149)
50626
(%i150) mod(50626,41);
(%o150)
32
(%i151)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o151)
6568278611937840001
(%i152) mod(6568278611937840001,41);
(%o152)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i153) t^2-82*t+1682;
(%o153)
226
(%i154) mod(226,41);
(%o154)
21
(%i155) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o155)
2551550401
(%i156) mod(2551550401,41);
(%o156)
25
(より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-14
(%i157) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o157)
54241
(%i158) mod(54241,41);
(%o158)
39
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-16
(%i159) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o159)
47461
(%i160) mod(47461,41);
(%o160)
24
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=27であるなら、
(%i162) mod(27^3-1,41);
(%o162)
2
(%i163) mod(27^5-1,41);
(%o163)
13
(%i164) mod(27^7-1,41);
(%o164)
37
(%i165) mod(27^9-1,41);
(%o165)
26
(%i166) mod(27^11-1,41);
(%o166)
2
(%i167) mod(27^13-1,41);
(%o167)
13
(%i168) mod(27^15-1,41);
(%o168)
37
27^11-1で繰り返すから、(P-41)^8-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^4+1より、
(%i173) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t+2825762;
(%o173)
38417
(%i174) mod(38417,41);
(%o174)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^2+1より、
(%i171) t^2-82*t+1682;
(%o171)
197
(%i172) mod(197,41);
(%o172)
33
より、41で割り切れない。
(P-41)^2-1より、
t-42=-15
t-40=-13
より、41で割り切れない。
(P-41)^4+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=28であるなら、
(%i176) mod(28^3-1,41);
(%o176)
16
(%i177) mod(28^5-1,41);
(%o177)
2
(%i178) mod(28^7-1,41);
(%o178)
14
(%i179) mod(28^9-1,41);
(%o179)
33
(%i180) mod(28^11-1,41);
(%o180)
5
(%i181) mod(28^13-1,41);
(%o181)
29
(%i182) mod(28^15-1,41);
(%o182)
26
(%i183) mod(28^17-1,41);
(%o183)
11
(%i184) mod(28^19-1,41);
(%o184)
18
(%i185) mod(28^21-1,41);
(%o185)
12
(%i186) mod(28^23-1,41);
(%o186)
23
(%i187) mod(28^25-1,41);
(%o187)
37
(%i188) mod(28^27-1,41);
(%o188)
25
(%i189) mod(28^29-1,41);
(%o189)
6
(%i190) mod(28^31-1,41);
(%o190)
34
(%i191) mod(28^33-1,41);
(%o191)
10
(%i192) mod(28^35-1,41);
(%o192)
13
(%i193) mod(28^37-1,41);
(%o193)
28
(%i194) mod(28^39-1,41);
(%o194)
21
(%i195) mod(28^41-1,41);
(%o195)
27
(%i196) mod(28^43-1,41);
(%o196)
16
(%i197) mod(28^45-1,41);
(%o197)
2
(%i198) mod(28^47-1,41);
(%o198)
14
28^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i199) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o199)
28562
(%i200) mod(28562,41);
(%o200)
26
(%i201)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o201)
665393311913759521
(%i202) mod(665393311913759521,41);
(%o202)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i203) t^2-82*t+1682;
(%o203)
170
(%i204) mod(170,41);
(%o204)
6
(%i205) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o205)
810932305
(%i206) mod(810932305,41);
(%o206)
29
(より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-12
(%i207) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o207)
30941
(%i208) mod(30941,41);
(%o208)
27
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-14
(%i209) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o209)
26521
(%i210) mod(26521,41);
(%o210)
35
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=29であるなら、
(%i212) mod(29^3-1,41);
(%o212)
34
(%i213) mod(29^5-1,41);
(%o213)
37
(%i214) mod(29^7-1,41);
(%o214)
18
(%i215) mod(29^9-1,41);
(%o215)
29
(%i216) mod(29^11-1,41);
(%o216)
14
(%i217) mod(29^13-1,41);
(%o217)
27
(%i218) mod(29^15-1,41);
(%o218)
13
(%i219) mod(29^17-1,41);
(%o219)
6
(%i220) mod(29^19-1,41);
(%o220)
23
(%i221) mod(29^21-1,41);
(%o221)
11
(%i222) mod(29^23-1,41);
(%o222)
5
(%i223) mod(29^25-1,41);
(%o223)
2
(%i224) mod(29^27-1,41);
(%o224)
21
(%i225) mod(29^29-1,41);
(%o225)
10
(%i226) mod(29^31-1,41);
(%o226)
25
(%i228) mod(29^33-1,41);
(%o228)
12
(%i227) mod(29^35-1,41);
(%o227)
26
(%i229) mod(29^37-1,41);
(%o229)
33
(%i230) mod(29^39-1,41);
(%o230)
16
(%i232) mod(29^41-1,41);
(%o232)
28
(%i233) mod(29^43-1,41);
(%o233)
34
(%i234) mod(29^45-1,41);
(%o234)
37
(%i235) mod(29^47-1,41);
(%o235)
18
29^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i236) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o236)
20737
(%i237) mod(20737,41);
(%o237)
32
(%i238)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o238)
184875343224549121
(%i239) mod(184875343224549121,41);
(%o239)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i240) t^2-82*t+1682;
(%o240)
145
(%i241) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o241)
427016305
(%i242) mod(427016305,41);
(%o242)
34
(より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-11
(%i243) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o243)
22621
(%i244) mod(22621,41);
(%o244)
30
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-13
(%i245) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o245)
19141
(%i246) mod(19141,41);
(%o246)
35
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=30であるなら、
(%i248) mod(30^3-1,41);
(%o248)
21
(%i249) mod(30^5-1,41);
(%o249)
37
(%i270) mod(30^7-1,41);
(%o270)
5
(%i250) mod(30^9-1,41);
(%o250)
28
(%i251) mod(30^11-1,41);
(%o251)
23
(%i252) mod(30^13-1,41);
(%o252)
33
(%i253) mod(30^15-1,41);
(%o253)
13
(%i254) mod(30^17-1,41);
(%o254)
12
(%i255) mod(30^19-1,41);
(%o255)
14
(%i256) mod(30^21-1,41);
(%o256)
10
(%i257) mod(30^23-1,41);
(%o257)
18
(%i258) mod(30^25-1,41);
(%o258)
2
(%i259) mod(30^27-1,41);
(%o259)
34
(%i260) mod(30^29-1,41);
(%o260)
11
(%i261) mod(30^31-1,41);
(%o261)
16
(%i262) mod(30^33-1,41);
(%o262)
6
(%i263) mod(30^35-1,41);
(%o263)
26
(%i264) mod(30^37-1,41);
(%o264)
27
(%i265) mod(30^39-1,41);
(%o265)
25
(%i266) mod(30^41-1,41);
(%o266)
29
(%i267) mod(30^43-1,41);
(%o267)
21
(%i268) mod(30^45-1,41);
(%o268)
37
(%i269) mod(30^47-1,41);
(%o269)
5
30^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i271) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o271)
14642
(%i272) mod(14642,41);
(%o272)
5
(%i273)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o273)
45946591649539681
(%i274) mod(45946591649539681,41);
(%o274)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i275) t^2-82*t+1682;
(%o275)
122
(%i276) mod(122,41);
(%o276)
40
(%i277) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o277)
212601841
(%i278) mod(212601841,41);
(%o278)
31
(より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-10
(%i279) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o279)
16105
(%i280) mod(16105,41);
(%o280)
33
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-12
(%i281) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o281)
13421
(%i282) mod(13421,41);
(%o282)
14
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=31であるなら、
(%i2) mod(31^3-1,41);
(%o2)
24
(%i3) mod(31^5-1,41);
(%o3)
39
(%i4) mod(31^7-1,41);
(%o4)
22
(%i5) mod(31^9-1,41);
(%o5)
3
(%i6) mod(31^11-1,41);
(%o6)
30
(%i7) mod(31^13-1,41);
(%o7)
24
(%i8) mod(31^15-1,41);
(%o8)
39
(%i9) mod(31^17-1,41);
(%o9)
22
31^13-1で繰り返すから、(P-41)^10-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-9
(%i10) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o10)
11111
(%i11) mod(11111,41);
(%o11)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5-1より、
t-42=-11
(%i12) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o12)
9091
(%i13) mod(9091,41);
(%o13)
30
より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=32であるなら、
(%i15) mod(32^3-1,41);
(%o15)
8
(%i16) mod(32^5-1,41);
(%o16)
31
(%i17) mod(32^7-1,41);
(%o17)
8
(%i18) mod(32^9-1,41);
(%o18)
31
(%i19) mod(32^11-1,41);
(%o19)
8
(%i20) mod(32^13-1,41);
(%o20)
31
32^7-1で繰り返すから、(P-41)^4-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^2+1より、
(%i21) t^2-82*t+1682;
(%o21)
82
(%i22) mod(82,41);
(%o22)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)+1より、
t-40=-8
より、41で割り切れない。
(P-41)-1より、
t-42=-10
より、41で割り切れない。
(P-41)^2+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=33であるなら、
(%i24) mod(33^3-1,41);
(%o24)
20
(%i25) mod(33^5-1,41);
(%o25)
31
(%i26) mod(33^7-1,41);
(%o26)
38
(%i27) mod(33^9-1,41);
(%o27)
35
(%i28) mod(33^11-1,41);
(%o28)
7
(%i29) mod(33^13-1,41);
(%o29)
19
(%i30) mod(33^15-1,41);
(%o30)
8
(%i31) mod(33^17-1,41);
(%o31)
1
(%i32) mod(33^19-1,41);
(%o32)
4
(%i33) mod(33^21-1,41);
(%o33)
32
(%i34) mod(33^23-1,41);
(%o34)
20
(%i35) mod(33^25-1,41);
(%o35)
31
(%i36) mod(33^27-1,41);
(%o36)
38
33^23-1で繰り返すから、(P-41)^20-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
また、(P-41)^10+1より、
(%i37) t^2-82*t+1682;
(%o37)
65
(%i38) mod(65,41);
(%o38)
24
(%i39) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o39)
16519105
(%i40) mod(16519105,41);
(%o40)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5+1より、
t-40=-7
(%i41) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o41)
4681
(%i42) mod(4681,41);
(%o42)
7
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-9
(%i43) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o43)
3641
(%i44) mod(3641,41);
(%o44)
33
より、41で割り切れない。
(P-41)^10+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=34であるなら、
(%i46) mod(34^3-1,41);
(%o46)
25
(%i47) mod(34^5-1,41);
(%o47)
2
(%i48) mod(34^7-1,41);
(%o48)
23
(%i49) mod(34^9-1,41);
(%o49)
27
(%i50) mod(34^11-1,41);
(%o50)
18
(%i51) mod(34^13-1,41);
(%o51)
28
(%i52) mod(34^15-1,41);
(%o52)
26
(%i53) mod(34^17-1,41);
(%o53)
10
(%i54) mod(34^19-1,41);
(%o54)
5
(%i55) mod(34^21-1,41);
(%o55)
6
(%i56) mod(34^23-1,41);
(%o56)
14
(%i57) mod(34^25-1,41);
(%o57)
37
(%i58) mod(34^27-1,41);
(%o58)
16
(%i59) mod(34^29-1,41);
(%o59)
12
(%i60) mod(34^31-1,41);
(%o60)
21
(%i61) mod(34^33-1,41);
(%o61)
11
(%i62) mod(34^35-1,41);
(%o62)
13
(%i63) mod(34^37-1,41);
(%o63)
29
(%i64) mod(34^39-1,41);
(%o64)
34
(%i65) mod(34^41-1,41);
(%o65)
33
(%i66) mod(34^43-1,41);
(%o66)
25
(%i67) mod(34^45-1,41);
(%o67)
2
(%i68) mod(34^47-1,41);
(%o68)
23
34^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i69)t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o69)
2402
(%i70) mod(2402,41);
(%o70)
24
(%i71)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o71)
33219095044801
(%i72) mod(33219095044801,41);
(%o72)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i73) t^2-82*t+1682;
(%o73)
50
(%i74) mod(50,41);
(%o74)
9
(%i75) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o75)
5649505
(%i76) mod(5649505,41);
(%o76)
33
(より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-6
(%i77) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o77)
2801
(%i78) mod(2801,41);
(%o78)
13
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-8
(%i80) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o80)
2101
(%i81) mod(2101,41);
(%o81)
10
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=35であるなら、
(%i83) mod(35^3-1,41);
(%o83)
29
(%i84) mod(35^5-1,41);
(%o84)
13
(%i85) mod(35^7-1,41);
(%o85)
11
(%i86) mod(35^9-1,41);
(%o86)
21
(%i87) mod(35^11-1,41);
(%o87)
12
(%i88) mod(35^13-1,41);
(%o88)
16
(%i89) mod(35^15-1,41);
(%o89)
37
(%i90) mod(35^17-1,41);
(%o90)
14
(%i91) mod(35^19-1,41);
(%o91)
6
(%i92) mod(35^21-1,41);
(%o92)
5
(%i93) mod(35^23-1,41);
(%o93)
10
(%i94) mod(35^25-1,41);
(%o94)
26
(%i95) mod(35^27-1,41);
(%o95)
28
(%i96) mod(35^29-1,41);
(%o96)
18
(%i97) mod(35^31-1,41);
(%o97)
27
(%i98) mod(35^33-1,41);
(%o98)
23
(%i99) mod(35^35-1,41);
(%o99)
2
(%i100) mod(35^37-1,41);
(%o100)
25
(%i101) mod(35^39-1,41);
(%o101)
33
(%i102) mod(35^41-1,41);
(%o102)
34
(%i103) mod(35^43-1,41);
(%o103)
29
(%i104) mod(35^45-1,41);
(%o104)
13
(%i105) mod(35^47-1,41);
(%o105)
11
35^43-1で繰り返すから、(P-41)^40-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^20+1は、
(%i106) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t + 2825762;
(%o106)
1297
(%i107) mod(1297,41);
(%o107)
26
(%i108)
t^16-656*t^15+201720*t^14-38595760*t^13+5142885019*t^12-506059885476*t^11+38038834650982*t^10-2227988878036020*t^9+102765986300035576*t^8-3745249237708802976*t^7+107488651366604155592*t^6-2403837056291192136112*t^5+41065548394128668055794*t^4-518057665272388553695432*t^3+4551506377494485589109516*t^2-24881566435917784013151688*t+63759008351170738902649921;
(%o108)
2818934803441
(%i109) mod(2818934803441,41);
(%o109)
0
より、41で割り切れる。
また、(P-41)^10+1より、
(%i110) t^2-82*t+1682;
(%o110)
37
(%i111) mod(37,41);
(%o111)
37
(%i112) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o112)
1634221
(%i113) mod(1634221,41);
(%o113)
2
(より、41で割り切れない。
(P-41)^5+1より、
t-40=-5
(%i114) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o114)
1555
(%i115) mod(1555,41);
(%o115)
38
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-7
(%i116) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o116)
1111
(%i117) mod(1111,41);
(%o117)
4
より、41で割り切れない。
(P-41)^20+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=36であるなら、
(%i119) mod(36^3-1,41);
(%o119)
38
(%i120) mod(36^5-1,41);
(%o120)
31
(%i121) mod(36^7-1,41);
(%o121)
20
(%i122) mod(36^9-1,41);
(%o122)
32
(%i123) mod(36^11-1,41);
(%o123)
4
(%i124) mod(36^13-1,41);
(%o124)
1
(%i125) mod(36^15-1,41);
(%o125)
8
(%i126) mod(36^17-1,41);
(%o126)
19
(%i127) mod(36^19-1,41);
(%o127)
7
(%i128) mod(36^21-1,41);
(%o128)
35
(%i129) mod(36^23-1,41);
(%o129)
38
(%i130) mod(36^25-1,41);
(%o130)
31
(%i131) mod(36^27-1,41);
(%o131)
20
36^23-1で繰り返すから、(P-41)^20-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
また、(P-41)^10+1より、
(%i132) t^2-82*t+1682;
(%o132)
26
(%i133) mod(26,41);
(%o133)
26
(%i134) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o134)
375601
(%i135) mod(375601,41);
(%o135)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5+1より、
t-40=-4
(%i136) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o136)
781
(%i137) mod(781,41);
(%o137)
2
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-6
(%i138) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o138)
521
(%i139) mod(521,41);
(%o139)
29
より、41で割り切れない。
(P-41)^10+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=37であるなら、
(%i141) mod(37^3-1,41);
(%o141)
17
(%i142) mod(37^5-1,41);
(%o142)
0
(%i143) mod(37^7-1,41);
(%o143)
15
(%i144) mod(37^9-1,41);
(%o144)
9
(%i145) mod(37^11-1,41);
(%o145)
36
(%i146) mod(37^13-1,41);
(%o146)
17
(%i147) mod(37^15-1,41);
(%o147)
0
(%i148) mod(37^17-1,41);
(%o148)
15
37^13-1で繰り返すから、(P-41)^10-1周期である。
また、初式は、41で割り切れる場合がある。
(P-41)^5+1より、
t-40=-3
(%i149) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o149)
341
(%i150) mod(341,41);
(%o150)
13
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-5
(%i151) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o151)
205
(%i152) mod(205,41);
(%o152)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5-1が41の倍数であり、循環するが、初式が41の倍数になるときがあるから、
初式は41で割り切れ循環するので、41を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=38であるなら、
(%i155) mod(38^3-1,41);
(%o155)
13
(%i156) mod(38^5-1,41);
(%o156)
2
(%i157) mod(38^7-1,41);
(%o157)
26
(%i158) mod(38^9-1,41);
(%o158)
37
(%i159) mod(38^11-1,41);
(%o159)
13
(%i160) mod(38^13-1,41);
(%o160)
2
(%i161) mod(38^15-1,41);
(%o161)
26
38^11-1で繰り返すから、(P-41)^8-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^4+1より、
(%i162) t^4-164*t^3+10086*t^2-275684*t+2825762;
(%o162)
82
(%i163) mod(82,41);
(%o163)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^2+1より、
(%i164) t^2-82*t+1682;
(%o164)
10
(%i165) mod(10,41);
(%o165)
10
より、41で割り切れない。
(P-41)^2-1より、
t-42=-4
t-40=-2
より、41で割り切れない。
(P-41)^4+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=39であるなら、
(%i167) mod(39^3-1,41);
(%o167)
32
(%i168) mod(39^5-1,41);
(%o168)
8
(%i169) mod(39^7-1,41);
(%o169)
35
(%i170) mod(39^9-1,41);
(%o170)
20
(%i171) mod(39^11-1,41);
(%o171)
1
(%i172) mod(39^13-1,41);
(%o172)
7
(%i173) mod(39^15-1,41);
(%o173)
31
(%i174) mod(39^17-1,41);
(%o174)
4
(%i175) mod(39^19-1,41);
(%o175)
19
(%i176) mod(39^21-1,41);
(%o176)
38
(%i177) mod(39^23-1,41);
(%o177)
32
(%i178) mod(39^25-1,41);
(%o178)
8
(%i179) mod(39^27-1,41);
(%o179)
35
39^23-1で繰り返すから、(P-41)^20-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
また、(P-41)^10+1より、
(%i180) t^2-82*t+1682;
(%o180)
5
(%i181) mod(5,41);
(%o181)
5
(%i182) t^8-328*t^7+47067*t^6-3859330*t^5+197778056*t^4-6486569000*t^3+132960542418*t^2-1557339329444*t+7980177948961;
(%o182)
205
(%i183) mod(205,41);
(%o183)
0
より、41で割り切れる。
(P-41)^5+1より、
t-40=-1
(%i184) t^4-165*t^3+10210*t^2-280810*t+2896405;
(%o184)
31
(%i185) mod(31,41);
(%o185)
31
より、41で割り切れない。
(P-41)^5-1より、
t-42=-3
(%i186) t^4-163*t^3+9964*t^2-270722*t+2758481;
(%o186)
11
(%i187) mod(11,41);
(%o187)
11
より、41で割り切れない。
(P-41)^10+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=40であるなら、
(%i189) mod(40^3-1,41);
(%o189)
39
(%i190) mod(40^5-1,41);
(%o190)
39
(%i191) mod(40^7-1,41);
(%o191)
39
(%i192) mod(40^9-1,41);
(%o192)
39
(%i193) mod(40^11-1,41);
(%o193)
39
40^5-1で繰り返すから、(P-41)^2-1周期である。
また、初式は、いずれも41で割り切れない。
(P-41)^2-1={(P-41)+1}{(P-41)-1}より、
(%i2) factor((P-41)+1);
(%o2)
41 u + t - 40
(%i3) factor((P-41)-1);
(%o3)
41 u + t - 42
(P-41)+1より、
t-40=-0 t-40=-0より41で割り切れる。
より、41で割り切れる。
(P-41)-1より、
t-42=-2
より、41で割り切れない。
(P-41)+1が41の倍数であり、循環するが、初式がいずれも41の倍数でないから、
初式は41で割り切れず循環するので、41を含まない。
以上から、x=304250263527210n+Pと表せる素数のσ(x^n)の因数分解において、P=41u+tとするとき、
t=2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,17,19,20,21,22,23,24,25,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,38,39,40ならσ(x^n)を素因数分解したら41を含まない。