５u+t
ver0.0001 2019.11.17
2,3,5の倍数を除いた素数候補式は30n+Pで、Pは、(2-1)(3-1)(5-1)=8個ある。
(2-1)(3-1)(5-1)の意味は、
自然数は2n,2n+1と表せるから2の倍数でないのは2n+1だから(2-1)
自然数は3n,3n+1,3n+2と表せるから3の倍数でないのは3n+1,3n+2だから(3-1)
自然数は5n,5n+1,5n+2,5n+3,5n+4と表せるから5の倍数でないのは5n+1,5n+2,5n+3,5n+4だから(5-1)
である。
x=30j+Pで、x-2k=5のとき、
30j+P-2k=5
30l+(P-5)=2k
より、
mod({(P-5)^(n+1)-1},5）
の関係だけをかんがえればよい。
そこで、最初は
(P-5)^3-1
(P-5)^5-1
(P-5)^7-1
(P-5)^9-1
と計算してゆくわけだが、
(%i17) mod(2^3-1,5);
(%o17)
2
(%i18) mod(2^5-1,5);
(%o18)
1
(%i19) mod(2^7-1,5);
(%o19)
2
(%i20) mod(2^9-1,5);
(%o20)
1
(%i21) mod(2^11-1,5);
(%o21)
2
この関係は維持されるので、
(p-5)^7-1-{(P-5)^3-1}=(P-5)^7-(P-5)^3=(P-5)^3{(P-5)^4-1}=(P-5)^3{(P-5)^2+1}{(P-5)^2-1}
(p-5)^9-1-{(P-5)^5-1}=(P-5)^9-(P-5)^5=(P-5)^5{(P-5)^4-1}=(P-5)^5{(P-5)^2+1}{(P-5)^2-1}
(p-5)^11-1-{(P-5)^7-1}=(P-5)^11-(P-5)^7=(P-5)^7{(P-5)^4-1}=(P-5)^7{(P-5)^2+1}{(P-5)^2-1}
ここで、
{(P-5)^2+1}
{(P-5)^2-1}={(P-5)+1}{(P-5)-1}
に注目する。
さて、Pは5でわれないから、
(%i1) P:5*u+t;
(%o1)
5 u + t
とおくと、初式は
(%i2) factor((P-5)^3-1);
2
2
(%o2) (5 u + t - 6) (25
u + 10 t u - 45 u + t - 9 t + 21)
であるから、
(P-5)^3-1から
t-6
t^2-9t+21
に注目する。
さて、循環するには、(P-5)^2+1か、(P-5)+1か、(P-5)-1が5で割れなければならないから、
(%i3) factor((P-5)^2+1);
2
2
(%o3)
25 u + 10 t u - 50 u + t - 10 t + 26
(%i4) factor((P-5)+1);
(%o4)
5 u + t - 4
(%i5) factor((P-5)-1);
(%o5)
5 u + t - 6
であるから、(P-5)^2+1より、
t^2-10t+26
と(P-5)+1より、
t-4
と(P-5)-1より、
t-6
に注目する。
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t=1であるなら、
(P-5)^3-1から
t-6=-5 t-6=-5より、5の倍数である。
(%i8) t^2-9*t+21;
(%o8)
13
(%i9) mod(13,5);
(%o9)
3
初式は、5で割りきれる。
また、(P-5)^2+1より、
(%i10) t^2-10*t+26;
(%o10)
17
(%i11) mod(17,5);
(%o11)
2
より、5で割り切れない。
また、(P-5)+1より、
t-4=-3
より、5で割り切れない。
また、(P-5)-1より、
t-6=-5 t-6=-5より、5の倍数である。
より、5で割りきれる。
(P-5)-1が5の倍数であり、循環するが、初式(P-5)^3-1が5の倍数であるから、
初式は5で割り切れ循環するので、5を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=2であるなら、
(%i17) mod(2^3-1,5);
(%o17)
2
(%i18) mod(2^5-1,5);
(%o18)
1
(%i19) mod(2^7-1,5);
(%o19)
2
(%i20) mod(2^9-1,5);
(%o20)
1
(%i21) mod(2^11-1,5);
(%o21)
2
初式は、いずれも5で割れない。
また、(P-5)^2+1より、
(%i13) t^2-10*t+26;
(%o13)
10
(%i14) mod(10,5);
(%o14)
0
より、5で割りきれる。
また、(P-5)+1より、
t-4=-2
より、5で割り切れない。
また、(P-5)-1より、
t-6=-4
より、5で割り切れない。
(P-5)^2+1が5の倍数であり、循環するが、初式が5の倍数で割り切れないから、
初式は5で割れず循環するので、5を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=3であるなら、
(%i16) mod(3^3-1,5);
(%o16)
1
(%i17) mod(3^5-1,5);
(%o17)
2
(%i18) mod(3^7-1,5);
(%o18)
1
(%i19) mod(3^9-1,5);
(%o19)
2
初式は、いずれも5で割れない。
また、(P-5)^2+1より、
(%i20) t^2-10*t+26;
(%o20)
5
(%i21) mod(5,5);
(%o21)
0
より、5で割りきれる。
また、(P-5)+1より、
t-4=-1
より、5で割り切れない。
また、(P-5)-1より、
t-6=-3
より、5で割り切れない。
(P-5)^2+1が5の倍数であり、循環するが、初式が5の倍数で割り切れないから、
初式は5で割れず循環するので、5を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=4であるなら、
(%i23) mod(4^3-1,5);
(%o23)
3
(%i24) mod(4^5-1,5);
(%o24)
3
(%i25) mod(4^7-1,5);
(%o25)
3
(%i26) mod(4^9-1,5);
(%o26)
3
初式は、いずれも5で割れない。
また、(P-5)^2+1より、
(%i27) t^2-10*t+26;
(%o27)
2
(%i28) mod(2,5);
(%o28)
2
より、5で割り切れない。
また、(P-5)+1より、
t-4=-0 t-4=-0より、5の倍数である。
より、5で割りきれる。
また、(P-5)-1より、
t-6=-2
より、5で割り切れない。
(P-5)+1が5の倍数であり、循環するが、初式が5の倍数で割り切れないから、
初式は5で割れず循環するので、5を含まない。
以上から、x=30n+Pと表せる素数のσ(x)の因数分解において、P=5u+tとするとき、
t=2,3,4ならσ(x)を素因数分解したら5を含まない。
x=30n+Pはx=2x3x5n+5u+tより、5u'+tつまり、5u+tであり、x=5u+tと表せる素数のσ(x^n)の因数分解において、t=2,3,4ならσ(x)を素因数分解したら5を含まない。