7u+t
ver0.0001 2019.11.17
2,3,5,7の倍数を除いた素数候補式は210n+Pで、Pは、(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)=48個ある。
(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)の意味は、
自然数は2n,2n+1と表せるから2の倍数でないのは2n+1だから(2-1)
自然数は3n,3n+1,3n+2と表せるから3の倍数でないのは3n+1,3n+2だから(3-1)
自然数は5n,5n+1,5n+2,5n+3,5n+4と表せるから5の倍数でないのは5n+1,5n+2,5n+3,5n+4だから(5-1)
自然数は7n,7n+1,7n+2,7n+3,7n+4,7n+5,7n+6と表せるから7の倍数でないのは7n+1,7n+2,7n+3,7n+4,7n+5,7n+6だから(7-1)である。
x=210j+Pで、x-2k=7のとき、
210j+P-2k=7
210j+(P-7)=2k
より、
mod({(P-7)^(n+1)-1},7）
の関係だけをかんがえればよい。
そこで、最初は
(P-7)^3-1
(P-7)^5-1
(P-7)^7-1
(P-7)^9-1
と計算してゆくわけだが、
(%i1) mod(2^3-1,7);
(%o1)
0
(%i2) mod(2^5-1,7);
(%o2)
3
(%i3) mod(2^7-1,7);
(%o3)
1
(%i4) mod(2^9-1,7);
(%o4)
0
(%i5) mod(2^11-1,7);
(%o5)
3
(%i6) mod(2^13-1,7);
(%o6)
1
この関係は維持されるので、
(p-7)^9-1-{(P-7)^3-1}=(P-7)^9-(P-7)^3=(P-7)^3{(P-7)^6-1}=(P-7)^3{(P-7)^3+1}{(P-7)^3-1}
(p-7)^11-1-{(P-7)^5-1}=(P-7)^11-(P-7)^5=(P-7)^5{(P-7)^6-1}=(P-7)^5{(P-7)^3+1}{(P-7)^3-1}
(p-7)^13-1-{(P-7)^7-1}=(P-7)^13-(P-7)^7=(P-7)^7{(P-7)^6-1}=(P-7)^7{(P-7)^3+1}{(P-7)^3-1}
ここで、
{(P-7)^3+1}
{(P-7)^3-1}
に注目する。
さて、Pは7でわれないから、
(%i1) P:7*u+t;
(%o1)
7 u + t
とおくと、
(%i3) factor((P-7)^3-1);
2
2
(%o3) (7 u + t - 8) (49 u + 14 t u - 91 u + t - 13 t + 43)
であるから、初式は、
(P-5)^3-1から
t-8
t^2-13y+43
に注目する。
さて、循環するには、(P-7)^3+1か、(P-7)^3-1が7で割れなければならないから、
(%i2) factor((P-7)^3+1);
2
2
(%o2) (7 u + t - 6) (49 u + 14 t u - 105 u + t - 15 t + 57)
(%i3) factor((P-7)^3-1);
2
2
(%o3) (7 u + t - 8) (49 u + 14 t u - 91 u + t - 13 t + 43)
であるから、(P-7)^3+1より、
t-6
t^2-15t+57
と(P-7)^3-1より、
t-8
t^2-13t+43
に注目する。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=1であるなら、
(P-7)^3-1から
t-8=-7 t-8=-7より、7の倍数である。
(%i8) t^2-13*t+43;
(%o8)
31
(%i9) mod(31,7);
(%o9)
3
初式は、7で割りきれる。
また、(P-5)^3+1より、
t-6=-5
(%i10) t^2-15*t+57;
(%o10)
43
(%i11) mod(43,7);
(%o11)
1
より、7で割り切れない。
また、(P-7)^3-1より、
t-8=-7 t-8=-7より、7の倍数である。
(%i8) t^2-13*t+43;
(%o8)
31
(%i9) mod(31,7);
(%o9)
3
より、7で割り切れる。
(P-7)^3-1が7の倍数であり、循環するが、初式(P-7)^3-1が7の倍数であるから、
初式は7で割り切れ循環するので、7を含むことがある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=2であるなら、
(%i1) mod(2^3-1,7);
(%o1)
0
(%i2) mod(2^5-1,7);
(%o2)
3
(%i3) mod(2^7-1,7);
(%o3)
1
(%i4) mod(2^9-1,7);
(%o4)
0
(%i5) mod(2^11-1,7);
(%o5)
3
(%i6) mod(2^13-1,7);
(%o6)
1
2^9-1で繰り返すから、(P-7)^6-1周期である。
初式は、7で割れる場合がある。
また、(P-7)^3+1より、
t-6=-4
(%i15) t^2-15*t+57;
(%o15)
31
(%i16) mod(31,7);
(%o16)
3
より、7で割り切れない。
また、(P-7)^3-1より、
t-8=-6
(%i13) t^2-13*t+43;
(%o13)
21
(%i14) mod(21,7);
(%o14)
0
より、7で割りきれる。
(P-7)^3-1が7の倍数であり、循環するが、初式が7の倍数で割り切れる場合があるから、
初式は7で割れ循環するので、7を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=3であるなら、
(%i18) mod(3^3-1,7);
(%o18)
5
(%i19) mod(3^5-1,7);
(%o19)
4
(%i20) mod(3^7-1,7);
(%o20)
2
(%i21) mod(3^9-1,7);
(%o21)
5
(%i22) mod(3^11-1,7);
(%o22)
4
(%i23) mod(3^13-1,7);
(%o23)
2
3^9-1で繰り返すから、(P-7)^6-1周期である。
初式は、いずれも7で割れない。
また、(P-7)^3+1より、
t-6=-3
(%i24) t^2-15*t+57;
(%o24)
21
(%i25) mod(21,7);
(%o25)
0
より、7で割りきれる。
また、(P-7)^3-1より、
t-8=-5
(%i26) t^2-13*t+43;
(%o26)
13
(%i27) mod(13,7);
(%o27)
6
より、7で割り切れない。
(P-7)^3+1が7の倍数であり、循環するが、初式がいずれも7で割り切れないから、
初式は7で割れず循環するので、7を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=4であるなら、
(%i29) mod(4^3-1,7);
(%o29)
0
(%i30) mod(4^5-1,7);
(%o30)
1
(%i31) mod(4^7-1,7);
(%o31)
3
(%i32) mod(4^9-1,7);
(%o32)
0
(%i33) mod(4^11-1,7);
(%o33)
1
(%i34) mod(4^13-1,7);
(%o34)
3
4^9-1で繰り返すから、(P-7)^6-1周期である。
初式は、7で割れる場合がある。
また、(P-7)^3+1より、
t-6=-2
(%i35) t^2-15*t+57;
(%o35)
13
(%i36) mod(13,7);
(%o36)
6
より、7で割り切れない。
また、(P-7)^3-1より、
t-8=-4
(%i37) t^2-13*t+43;
(%o37)
7
(%i38) mod(7,7);
(%o38)
0
より、7で割りきれる。
(P-7)^3-1が7の倍数であり、循環するが、初式が7の倍数で割り切れる場合があるから、
初式は7で割れ循環するので、7を含む場合がある。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=5であるなら、
(%i41) mod(5^3-1,7);
(%o41)
5
(%i42) mod(5^5-1,7);
(%o42)
2
(%i43) mod(5^7-1,7);
(%o43)
4
(%i44) mod(5^9-1,7);
(%o44)
5
(%i45) mod(5^11-1,7);
(%o45)
2
(%i46) mod(5^13-1,7);
(%o46)
4
5^9-1で繰り返すから、(P-7)^6-1周期である。
初式は、いずれも7で割れない。
また、(P-7)^3+1より、
t-6=-1
(%i47) t^2-15*t+57;
(%o47)
7
(%i48) mod(7,7);
(%o48)
0
より、7で割りきれる。
また、(P-7)^3-1より、
t-8=-3
(%i49) t^2-13*t+43;
(%o49)
3
(%i50) mod(3,7);
(%o50)
3
より、7で割り切れない。
(P-7)^3+1が7の倍数であり、循環するが、初式がいずれも7で割り切れないから、
初式は7で割れず循環するので、7を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
t=6であるなら、
(%i52) mod(6^3-1,7);
(%o52)
5
(%i53) mod(6^5-1,7);
(%o53)
5
(%i54) mod(6^7-1,7);
(%o54)
5
(%i55) mod(6^9-1,7);
(%o55)
5
6^5-1で繰り返すから、(P-7)^2-1周期である。
初式は、いずれも7で割れない。
(P-7)^2-1={(P-7)+1}{(P-7)-1}
より、
(%i5) factor((P-7)+1);
(%o5)
7 u + t - 6
(%i6) factor((P-7)-1);
(%o6)
7 u + t - 8
また、(P-7)+1より、
t-6=0 t-6=0より、7の倍数である。
より、7で割りきれる。
また、(P-7)-1より、
t-8=-2
より、7で割り切れない。
(P-7)+1が7の倍数であり、循環するが、初式がいずれも7で割り切れないから、
初式は7で割れず循環するので、7を含まない。
以上から、x=210n+Pと表せる素数のσ(x^n)の因数分解において、P=7u+tとするとき、
t=3,5,6ならσ(x^n)を素因数分解したら7を含まない。x=210n+Pはx=2x3x5x7n+7u+tより、7u'+tつまり、7u+tであり、x=7u+tと表せる素数のσ(x^n)の因数分解において、t=3,5,6ならσ(x)を素因数分解したら7を含まない。