(%i1) j:k+1;
(%o1)
k + 1
(%i2) factor(expand((a+j)^7-(a+k)^7)/(j-k));
6
5
5 2
4
4
4 3 3
(%o2) 7 k + 42 a k + 21 k + 105 a k + 105
a k + 35 k + 140 a k
2
3
3
3 4
2 3
2 2
2 2
+ 210 a k + 140 a k + 35 k + 105 a
k + 210 a k + 210 a k + 105 a k
2
5
4
3
2
6
+ 21 k + 42 a k + 105 a k + 140 a k + 105
a k + 42 a k + 7 k + 7 a
5
4
3 2
+ 21 a + 35 a + 35 a + 21 a + 7 a + 1
(%i3) expand((a-1)^7);
7 6
5
4
3 2
(%o3) a - 7
a + 21 a - 35 a + 35 a - 21 a + 7 a - 1
a7-7a6+21a5-35a4+35a3-21a2+7a-1=7a6+21a5(j+k)+35a4(j2+jk+k2)+35a3(j+k)(j2+k2)+21a2(j4+j3k+j2k2+jk3+k4)+7a(j5+j4k+j3k2+j2k3+jk4+k5)+j6+j5k+j4k2+j3k3+j2k4+jK5+k6
(%i4) factor(%o2-7*a^6+21*a^5-35*a^4+35*a^3-21*a^2+7*a-1);
4
3 3 2
2
2 2
(%o4) 7 (k + 1) (k + 2 a) (k + 4 a k + 2 k + 7
a k + 5 a k + 3 k
3
2
4 2
+ 6 a k + 5 a k + 5 a k + 2 k + 3 a + 5 a + 1)
(%i1) factor(expand((a+j)^11-(a+k)^11));
10
9 9
2 8
8 2 8
3 7
(%o1) (j - k) (k + j k + 11 a k +
j k + 11 a j k + 55 a k + j k
2
7 2
7 3 7
4 6 3
6 2 2 6
+ 11 a j k + 55 a j k + 165 a
k + j k + 11 a j k + 55 a j k
3
6 4 6
5 5 4
5 2 3
5 3 2 5
+ 165 a j k + 330 a k + j k +
11 a j k + 55 a j k + 165 a j
k
4
5 5 5
6 4 5
4 2 4
4 3 3 4
+ 330 a j k + 462 a k + j k +
11 a j k + 55 a j k + 165 a j
k
4 2
4 5
4 6 4
7 3 6
3 2 5 3
+ 330 a j k + 462 a j k + 462
a k + j k + 11 a j k + 55 a
j k
3 4
3 4 3
3 5 2
3 6
3 7 3
8 2
+ 165 a j k + 330 a j k + 462
a j k + 462 a j k + 330 a k +
j k
7
2 2 6
2 3 5
2 4 4
2 5 3 2
+ 11 a j k + 55 a j k + 165 a
j k + 330 a j k + 462 a j k
6 2
2 7
2 8 2
9
8 2 7
+ 462 a j k + 330 a j k + 165
a k + j k + 11 a j k + 55 a j k
3
6 4
5 5
4 6
3 7 2
+ 165 a j k + 330 a j k + 462 a j k + 462 a j k + 330 a j k
8
9
10
9 2
8 3
7 4 6
+ 165 a j k + 55 a k + j + 11 a j + 55 a j + 165 a j + 330 a j
5
5 6
4 7
3 8
2
9 10
+ 462 a j + 462 a j + 330 a j + 165 a j + 55 a j + 11 a )
よって、
右辺は、2項の積である。
１）j-k=1、a11=（ ）
のみ、考えればよい。
a11=（ ）は、
(%i7) factor(expand((a+j)^11-(a+k)^11)/(j-k));
10
9 9
2 8
8 2 8
3 7 2 7
(%o7) k + j k + 11 a k + j k + 11 a
j k + 55 a k + j k + 11 a j k
2
7 3 7
4 6 3
6 2 2
6 3 6
+ 55 a j k + 165 a k + j k +
11 a j k + 55 a j k + 165 a j k
4 6
5 5 4
5 2 3
5 3 2
5 4 5
+ 330 a k + j k + 11 a j k +
55 a j k + 165 a j k + 330 a
j k
5 5
6 4 5
4 2 4
4 3 3
4 4 2 4
+ 462 a k + j k + 11 a j k +
55 a j k + 165 a j k + 330 a
j k
5
4 6 4
7 3 6
3 2 5
3 3 4 3
+ 462 a j k + 462 a k + j k +
11 a j k + 55 a j k + 165 a j
k
4 3
3 5 2
3 6
3 7 3
8 2 7 2
+ 330 a j k + 462 a j k + 462
a j k + 330 a k + j k + 11 a
j k
2 6
2 3 5
2 4 4
2 5 3
2 6 2 2
+ 55 a j k + 165 a j k + 330
a j k + 462 a j k + 462 a
j k
7
2 8 2
9
8 2
7 3 6
+ 330 a j k + 165 a k + j k + 11 a j k + 55 a j k + 165 a j k
4
5 5
4 6
3 7
2
8 9
+ 330 a j k + 462 a j k + 462 a
j k + 330 a j k + 165 a j k + 55 a k
10
9 2
8 3
7 4
6 5
5 6 4
+ j + 11 a j + 55 a j + 165 a
j + 330 a j + 462 a j + 462 a j
7
3 8
2
9 10
+ 330 a j + 165 a j + 55 a j + 11 a
である。
さて、j-k=1より、
(%i14) j:k+1;
(%o14)
k + 1
(%i15) factor(expand((a+j)^11-(a+k)^11)/(j-k));
10
9
9 2
8
8
8 3 7
(%o15) 11 k + 110 a k + 55 k + 495 a k + 495 a k + 165 k + 1320 a k
2
7
7
7 4
6 3
6 2 6
+ 1980 a k + 1320 a k + 330 k + 2310 a k + 4620 a k + 4620 a k
6
6 5
5 4
5 3
5 2 5
+ 2310 a k + 462 k + 2772 a k + 6930 a k + 9240 a k + 6930 a k
5
5 6
4 5
4 4
4 3 4
+ 2772 a k + 462 k + 2310 a k + 6930 a k + 11550 a k + 11550 a k
2
4
4
4 7
3 6
3 5 3
+ 6930 a k + 2310 a k + 330 k + 1320 a k + 4620 a k + 9240 a k
4
3 3
3 2
3
3
3 8 2
+ 11550 a k + 9240 a k + 4620 a k + 1320 a k + 165 k + 495 a k
7
2 6
2 5
2 4
2 3
2 2 2
+ 1980 a k + 4620 a k + 6930 a
k + 6930 a k + 4620 a k + 1980 a k
2
2
9
8
7
6 5
+ 495 a k + 55 k + 110 a k + 495 a k + 1320 a k + 2310 a k + 2772 a k
4
3
2
10
9 8
+ 2310 a k + 1320 a k + 495 a k + 110 a k + 11 k + 11 a + 55 a + 165 a
7
6
5
4
3 2
+ 330 a + 462 a + 462 a + 330 a + 165 a + 55 a + 11 a + 1
また、(a-1)11は、
(%i8) expand((a-1)^11);
11
10
9
8
7
6
5 4
(%o8) a - 11 a + 55 a - 165 a + 330 a - 462 a + 462 a - 330 a
3 2
+ 165 a - 55 a + 11 a - 1
より、両辺から
10
9
8
7
6
5 4
- 11 a + 55 a - 165 a + 330 a - 462 a + 462 a - 330 a
3 2
+ 165 a - 55 a + 11 a - 1
を引けばよい。
よって、左辺は、(a-1)11で、右辺は
(%i16) factor(expand(((a+j)^11-(a+k)^11)/(j-k)+((a-1)^11-a^11)));
8
7 7
2 6
6 6
(%o16) 11 (k + 1) (k + 2 a) (k + 8 a k + 4 k + 29 a k + 27 a k + 11 k
3
5 2
5
5
5 4
4 3
4 2 4
+ 62 a k + 81 a k + 63 a k + 19
k + 86 a k + 138 a k + 159 a k
4
4 5
3 4
3 3
3 2
3 3
+ 87 a k + 23 k + 80 a k + 144 a
k + 222 a k + 171 a k + 81 a k
3 6
2 5
2 4
2 3
2 2
2 2
+ 19 k + 50 a k + 90 a k + 186
a k + 168 a k + 123 a k + 45 a k
2
7
6
5
4
3 2
+ 11 k + 20 a k + 30 a k + 90 a k + 84 a k + 84 a k + 45 a k + 15 a k
8
6
4 2
+ 4 k + 5 a + 30 a + 42 a + 15 a + 1)
より、右辺に11がある。
(a-1)=11より、a=12である。右辺から左辺を引いて、
(%i18) factor(expand(((a+j)^11-(a+k)^11)/(j-k)+((a-1)^11-a^11)-(a-1)^11));
10
9
8
7
6
5
(%o18) 11 (k + 125 k + 7035 k + 234750 k + 5143362 k + 77314650 k
4
3
2
+ 807501270 k + 5786235375 k + 27223595105 k + 75941127625 k + 27831241151)
ゆえに、kは自然数解を持たない。
よって、n=11では、成り立たない。