2023-5-19 ver.0.001
a10^n-1=(a-1)10^n+10^n-1=(a-1)10^n+(99・・99)
において、(a-1)10^n+(99・・99)の因数分解を
factor{(a-1)10^n+(99・・99)｝
と表すと
factor{(a-1)10^n+(99・・99)｝＝ factor{(a-1)10^n}+factor{(99・・99)｝
とすることはできないということです。
6n+4で調べてみましょう。
(%i1) factor(1331111);n=4
(%o1)
199 6689
(%i2) factor(1331111111111);n=4+6
(%o2)
191 6969168121
(%i3) factor(1331111111111111111);n=4+12
(%o3)
829 110339 14552269681
(%i4) factor(1331111111111111111111111);n=4+18
(%o4)
900057563 1478917755742597
(%i5) factor(1331111111111111111111111111111);n=4+24
(%o5)
1521563 874831414217558596726597
(%i6) factor(1331111111111111111111111111111111111);n=4+30
(%o6) 17 6067 705073 18304476304658545836747613
(%i7) factor(1331111111111111111111111111111111111111111);n=4+36
(%o7) 3413 154305391 652661923 52346883319 73980594241
(%i8) factor(1331111111111111111111111111111111111111111111111);n=4+42
(%o8) 308826529825546133 4310222673754894452166178399467
(%i9) factor(1331111111111111111111111111111111111111111111111111111);n=4+48
(%o9) 1714631 9850781 14919269 62784481 566323421 148562294157597029
(%i10) factor(1331111111111111111111111111111111111111111111111111111111111);n=4+56
(%o10) 23 29 61 277 47491 2486952876263046814647167094931884246963925961879
(%i11) factor(1331111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111);n=4+60
(%o11) 149 1734787 1898520347 1170934264079
2316509633668660984510068709827331669
(%i12) factor(1331111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111);n=4+66
(%o12) 2663 145463 12433037 41614247 5901445091783
1125415687599897789044130771891269587
(%i13) factor(1331111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111);n=4+72
(%o13) 2521 1712947533991 2533082198493297936973202303
121688102443272074511780033283552567
13311・・11を30n+Pであらわすと、
(%i1) mod(1331111,30);
(%o1)
11
(%i2) mod(1331111111111,30);
(%o2)
11
(%i3) mod(1331111111111111111,30);
(%o3)
11
(%i4) mod(1331111111111111111111111,30);
(%o4)
11
(%i5) mod(1331111111111111111111111111111,30);
(%o5)
11
(%i6) mod(1331111111111111111111111111111111111,30);
(%o6)
11
(%i7) mod(1331111111111111111111111111111111111111111,30);
(%o7)
11
(%i8) mod(1331111111111111111111111111111111111111111111111,30);
(%o8)
11
(%i9) mod(1331111111111111111111111111111111111111111111111111111,30);
(%o9)
11
(%i10) mod(1331111111111111111111111111111111111111111111111111111111111,30);
(%o10)
11
(%i11) mod(1331111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111,30);
(%o11)
11
(%i12) mod(1331111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111,30);
(%o12)
11
(%i13) mod(1331111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111,30);
(%o13)
11
Pは、全部11であった。
２０２３−５−１８ ver.0.002
Ver.0.002 追記 追加
根本的に間違っていました。
a10^n-1=(a-1)10^n+10^n-1=(a-1)10^n+(99・・99)
(%i9) factor(38*10^3-1);
(%o9)
13 37 79
(%i6) factor((38-1)*10^3+10^3-1);
(%o6)
13 37 79
ここまでは問題ないのですが、
(%i7) factor((38-1)*10^3);
3 3
(%o7)
2 5 37
(%i8) factor(10^3-1);
3
(%o8)
3 37
この2つの共通素数は37だけなのです。13,79は消えています。
a10^n-1=(a-1)10^n+10^n-1=(a-1)10^n+(99・・99)
でa-1が9の倍数のとき、
(a-1)/9ｘ10^n+(11・・11)
となります。
(%i10) factor(133111);
(%o10)
11 12101
(%i11) factor(133000+111);
(%o11)
11 12101
ここまでは問題ないのですが、
(%i12) factor(133000);
3 3
(%o12)
2 5 7 19
(%i13) factor(111);
(%o13)
3 37
この2つの共通素数はありません。
(追記）
a=2,b=3とすると、a+b=5となって、足し算は、素数の情報が書き換えられるのでした。
NHKの「abc予想証明をめぐる数奇な物語」で言ってましたね。掛け算は、素数の情報が維持されるけど足し算は、素数の情報が書き換えられるのでしたね。
２０２３−５−１７
> (1198*10^n -1)/9より
(%i1) factor((1198-1)/9);
(%o1)
7 19
(%i2) 7*19;
(%o2)
133
です。n=2890より
(%i3) factor(2890);
2
(%o3)
2 5 17
(%i4) factor(11);
(%o4)
11
(%i5) factor(11111);
(%o5)
41 271
(%i6) factor(11111111111111111);
(%o6)
2071723 5363222357
です。また、133x10^2890+(11・・・11)が、合成数なら、133x10^2890=7x19x10^2890
(11・・・11)=(11)x(10101010101・・・・01)か
(11・・・11)=(11111)x(10000100001・・・・100001)か
(11・・・11)=(111111111111111)x(10000000000000000100000000000000001・・・・100000000000000001)
のはずで、7か19の倍数でなければなりません。
(%i7) factor(1331);n=1 ここから、11・・11であるべきのが、13311・・11になっている。2023-5-18
3
(%o7)
11 11の倍数
(%i8) factor(13311);n=2
3
(%o8)
3 17 29 3の倍数
(%i9) factor(133111);n=3
(%o9)
11 12101 11の倍数
(%i10) factor(1331111);n=4
(%o10)
199 6689 大きな素数
(%i11) factor(13311111);n=5
(%o11)
3 11 311 1297 3,11の倍数
(%i12) factor(133111111);n=6
(%o12)
7 67 463 613 7の倍数
(%i13) factor(1331111111);n=7
(%o13)
11 47 2574683 11の倍数
(%i14) factor(13311111111);n=8
(%o14)
3 31 143130227 3の倍数
(%i15) factor(133111111111);n=9
(%o15)
11 9521 1270981 11の倍数
(%i16) factor(1331111111111);n=10
(%o16)
191 6969168121 大きな素数
(%i17) factor(13311111111111);n=11
2
(%o17)
3 11 134455667789 3,11の倍数
(%i18) factor(133111111111111);n=12
(%o18)
7 19015873015873 7の倍数
(%i19) factor(1331111111111111);n=13
(%o19)
11 4657 114343 227251 11の倍数
(%i20) factor(13311111111111111);n=14
(%o20)
3 23 192914653784219 3の倍数
(%i21) factor(133111111111111111);n=15
(%o21)
11 12101010101010101 11の倍数
(%i22) factor(1331111111111111111);n=16
(%o22)
829 110339 14552269681 大きな素数
(%i23) factor(13311111111111111111);n=17
(%o23)
3 11 433 12035183 77403353 3,11の倍数
(%i24) factor(133111111111111111111);n=18
2
(%o24)
7 17 19 20147 171891514649 7の倍数
(%i25) factor(1331111111111111111111);n=19
(%o25)
11 193 4903 8109263 15769613 11の倍数
(%i26) factor(13311111111111111111111);n=20
2
(%o26)
3 1479012345679012345679 3の倍数
(%i27) factor(133111111111111111111111);n=21
(%o27)
11 12101010101010101010101 11の倍数
(%i28) factor(1331111111111111111111111);n=22
(%o28)
900057563 1478917755742597 大きな素数
(%i29) factor(13311111111111111111111111);n=23
2
(%o29)
3 11 31 331 279545899 12783944323 3,11の倍数
(%i30) factor(133111111111111111111111111);n=24
2
(%o30)
7 19932397 236045167 577382461 7の倍数
(%i31) factor(1331111111111111111111111111);n=25
(%o31)
11 16319 7415288988914823831179 11の倍数
(%i32) factor(13311111111111111111111111111);n=26
(%o32)
3 313 1803677 2377472183 3305784239 3の倍数
(%i33) factor(133111111111111111111111111111);n=27
(%o33)
11 59 83 2471106820708617727200533 11の倍数
(%i34) factor(1331111111111111111111111111111);n=28
(%o34)
1521563 874831414217558596726597 大きな素数
以上のように、nが6の倍数のとき、素数7が現れるようです。
n=2890より
(%i3) factor(2890);
2
(%o3)
2 5 17
より、6の倍数ではありませんので、(11・・・11)≠7mより、
(1198*10^2890 -1)/9は、7の倍数でないので、133x10^2890+(11・・・11)が、合成数にはならないと思います。
また、パターンとして、
n=1 11の倍数
n=2 3の倍数
n=3 11の倍数
n=4 大きな素数
n=5 3,11の倍数
n=6 7の倍数
の繰り返しがみられます。