N^n-Nの因数分解

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N^n-Nの因数分解

N^n-Nを因数分解させてみましょう。
(%i1) factor(N^2-N);
(%o1)                              (N - 1) N
(%i2) factor(N^3-N);
(%o2)                          (N - 1) N (N + 1)
(%i3) factor(N^4-N);
                                        2
(%o3)                       (N - 1) N (N  + N + 1)
(%i4) factor(N^5-N);
                                              2
(%o4)                     (N - 1) N (N + 1) (N  + 1)
(%i5) factor(N^6-N);
                                   4    3    2
(%o5)                  (N - 1) N (N  + N  + N  + N + 1)
(%i6) factor(N^7-N);
                                      2            2
(%o6)             (N - 1) N (N + 1) (N  - N + 1) (N  + N + 1)
(%i7) factor(N^8-N);
                              6    5    4    3    2
(%o7)             (N - 1) N (N  + N  + N  + N  + N  + N + 1)
(%i8) factor(N^9-N);
                                          2        4
(%o8)                 (N - 1) N (N + 1) (N  + 1) (N  + 1)
(%i9) factor(N^10-N);
                                 2            6    3
(%o9)                (N - 1) N (N  + N + 1) (N  + N  + 1)
(%i10) factor(N^11-N);
                            4    3    2            4    3    2
(%o10)  (N - 1) N (N + 1) (N  - N  + N  - N + 1) (N  + N  + N  + N + 1)
(%i11) factor(N^12-N);
                    10    9    8    7    6    5    4    3    2
(%o11)  (N - 1) N (N   + N  + N  + N  + N  + N  + N  + N  + N  + N + 1)
(%i12) factor(N^13-N);
                           2        2            2            4    2
(%o12) (N - 1) N (N + 1) (N  + 1) (N  - N + 1) (N  + N + 1) (N  - N  + 1)
(%i13) factor(N^14-N);
                   12    11    10    9    8    7    6    5    4    3    2
(%o13) (N - 1) N (N   + N   + N   + N  + N  + N  + N  + N  + N  + N  + N  + N
                                                                           + 1)
(%i14) factor(N^15-N);
                           6    5    4    3    2
(%o14) (N - 1) N (N + 1) (N  - N  + N  - N  + N  - N + 1)
                                                 6    5    4    3    2
                                               (N  + N  + N  + N  + N  + N + 1)
(%i15) factor(N^16-N);
                   2            4    3    2
(%o15) (N - 1) N (N  + N + 1) (N  + N  + N  + N + 1)
                                                 8    7    5    4    3
                                               (N  - N  + N  - N  + N  - N + 1)
(%i16) factor(N^17-N);
                                     2        4        8
(%o16)           (N - 1) N (N + 1) (N  + 1) (N  + 1) (N  + 1)
(%i17) factor(N^18-N);
                   16    15    14    13    12    11    10    9    8    7    6
(%o17) (N - 1) N (N   + N   + N   + N   + N   + N   + N   + N  + N  + N  + N
                                                      5    4    3    2
                                                   + N  + N  + N  + N  + N + 1)
(%i18) factor(N^19-N);
                           2            2            6    3        6    3
(%o18) (N - 1) N (N + 1) (N  - N + 1) (N  + N + 1) (N  - N  + 1) (N  + N  + 1)
(%i19) factor(N^20-N);
                   18    17    16    15    14    13    12    11    10    9    8
(%o19) (N - 1) N (N   + N   + N   + N   + N   + N   + N   + N   + N   + N  + N
                                            7    6    5    4    3    2
                                         + N  + N  + N  + N  + N  + N  + N + 1)

ご覧のとおり、nは出てきません。
現在わかっていることは、私のこれから、nが素数ならa^n-a=nAが成り立つということです。
したがって、N^n-Nにおいて、nが素数なら、右辺にnが現れるということです。
とりあえず、これはふせておいて、N^n-Nはｎの倍数とします。

等比級数の和


N^n-N=N(N^(n-1)-1)
ここで、等比級数の和の公式から、
N^(n-1)-1/（N-1)=1+N+N^2+N^3+・・・+N^(n-2)
よって
N^(n-1)-1=(N-1)｛1+N+N^2+N^3+・・・+N^(n-2)｝
したがって
N^n-N=N(N-1){1+N+N^2+N^3+・・・+N^(n-2)｝----①
ここで{1+N+N^2+N^3+・・・+N^(n-2)｝は、係数が１が並んだ数ですね。
上の因数分解は、この式の因数分解であったということですね。

[N^n-N=nの倍数の級数和]とksさんが、定義してます。しかも各項は偶数であると述べています。
したがって、nの倍数の和はnの倍数であり、偶数です。

さて現在確認できているのは、n=2,3,5,7です。

n=2の級数のk番目の項は、2(k-1)です。
よって、2の倍数の級数の和ですね。kに関わらず偶数ですね。
n=3の級数のk番目の項は、3k(k-1)です。
よって、3の倍数の級数の和ですね。k(k-1)があるからkに関わらず偶数ですね。
n=5の級数のk番目の項は、5k(k-1)(k^2-k+1)です。
よって、5の倍数の級数の和ですね。k(k-1)があるからkに関わらず偶数ですね。
n=7の級数のk番目の項は、7k(k-1)(k^2-k+1)^2です。
よって、7の倍数の級数の和ですね。k(k-1)があるからkに関わらず偶数ですね。

①式を展開すれば、k(k-1)が現れるのは、明らかですね。したがって、①式は、偶数ですね。
また、①式の左辺はｎの倍数ですから、右辺も等式の性質から明らかです。
したがって、①式はksさんの定義に外れていませんから、今後は①式で検討します。

nが素数の場合と変形

N(N-1)なら、N=2kなら2の倍数であり、N=2k+1でも2の倍数である。
そこで、
N(N-1)=N^2-N　より2の倍数

・では、
N(N-1)(N-2)なら、N=3kなら3の倍数であり、N=3k+1でも3の倍数であり、N=3k+2でも3の倍数である。
そこで、
N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N=(N^3-N)-3(N^2-N)ここで、(N^3-N)は3の倍数より
N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N=(N^3-N)-3(N^2-N)=3a-3b=3(a-b）より、3の倍数である。

・では、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)なら、N=5kなら5の倍数であり、N=5k+1でも5の倍数であり、N=5k+2でも5の倍数でり、N=5k+3でも5の倍数であり、N=5k+4でも5の倍数である。
そこで、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)=N^5-10N^4+35N^3-50N^2+24N
=(N^5-N)-(10N^4-10N)+(35N^3-35N)-(50N^2-50N)+(24N+N-10N+35N-50N)
=(N^5-N)-(10N^4-10N)+(35N^3-35N)-(50N^2-50N)
=(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)
=5a-10b+35c-50d
=5(a-2b+7c-10d)
より、5の倍数である。


・では、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)なら、N=7kなら7の倍数であり、N=7k+1でも7の倍数であり、N=7k+2でも 7の倍数でり、N=7k+3でも7の倍数であり、N=7k+4でも7の倍数であり、N=7k+5でも7の倍数であり、N=7k+6でも7の倍数である。
そこで、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)=N^7-21N^6+175N^5-735N^4+1624N^3-1764N^2+720N
=N^7-N-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)+720N+N-21N+175N-735N+1624N-1764N
=N^7-N-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)
=7a-21b+175c-735d+1624e-1764f
=7(a-3b+25c-105d+232e-252f)
より、7の倍数である。


・では、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)(N-8)(N-9)(N-10)なら、N=11kなら11の倍数であり、N =11k+1でも11の倍数であり、N=11k+2でも 11の倍数でり、N=11k+3でも11の倍数であり、N=11k+4でも11の倍数であり、N=11k+5でも11の倍数であり、N=11k+6でも 11の倍数であり、N=11k+7でも11の倍数であり、N=11k+8でも11の倍数であり、N=11k+9でも11の倍数であり、N=11k+10で も11の倍数である。
そこで、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)(N-8)(N-9)(N-10)
=N^11-55N^10+1320N^9-18150N^8+157773N^7-902055N^6+3416930N^5-8409500N^4+12753576N^3-10628640N^2+3628800N
=(N^11-N)-55(N^10-N)+1320(N^9-N)-18150(N^8-N)+157773(N^7-N)-902055(N^6-N)+3416930(N^5-N)-8409500(N^4-N)+12753576(N^3-N)-10628640(N^2-N)+3628800+N-55N+1320N-18150N+157773N-902055N+3416930N-8409500N+12753576N-10628640N
=(N^11-N)-55(N^10-N)+1320(N^9-N)-18150(N^8-N)+157773(N^7-N)-902055(N^6-N)+3416930(N^5-N)-8409500(N^4-N)+12753576(N^3-N)-10628640(N^2-N)
=11a-55b+1320c-18150d+157773e-902055f+3416930g-8409500h+12753576j-10628640k
=11(a-5b+120c-1650d+14343e-82005f+31063g-764500h+1159416j-966240k)
より、11の倍数である。

・では、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)(N-8)(N-9)(N-10)(N-11)(N-12)なら、N=13kなら13の倍数であり、N =13k+1でも13の倍数であり、N=13k+2でも 13の倍数でり、N=13k+3でも13の倍数であり、N=13k+4でも13の倍数であり、N=13k+5でも13の倍数であり、N=13k+6でも 13の倍数であり、N=13k+7でも13の倍数であり、N=13k+8でも13の倍数であり、N=13k+9でも13の倍数であり、N=13k+10で も13の倍数であり、N=13k+11で も13の倍数であり、N=13k+12で も13の倍数である。
そこで、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)(N-8)(N-9)(N-10)(N-11)(N-12)
=N^13-78N^12+2717N^11-55770N^10+749463N^9-6926634N^8+44990231N^7-206070150N^6+657206836N^5-1414014888N^4+1931559552N^3-1486442880N^2+479001600N
=N^13-N-78(N^12-N)+2717(N^11-N)-55770(N^10-N)+749463(N^9-N)-6926634(N^8-N)+44990231(N^7-N)-206070150(N^6-N)+657206836(N^5-N)-1414014888(N^4-N)+1931559552(N^3-N)-1486442880(N^2-N)
+479001600N+N-78N+2717N-55770N+749463N-6926634N+44990231N-206070150N+657206836N-1414014888N+1931559552N-1486442880N
=(N^13-N)-78(N^12-N)+2717(N^11-N)-55770(N^10-N)+749463(N^9-N)-6926634(N^8-N)+44990231(N^7-N)-206070150(N^6-N)+657206836(N^5-N)-1414014888(N^4-N)+1931559552(N^3-N)-1486442880(N^2-N)
=13a-78b+2717c-55770d+749463e-6926634f+44990231g-206070150h+657206836j-1414014888k+1931559552l-1486442880m
=13(a-6b+209c-4290d+57651e-532818f+3460787g-15851550h+50554372j-108770376k+148581504l-114341760m)
より、13の倍数である。

・まとめ
N(N-1)=N^2-N
N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N=(N^3-N)-3(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6) =N^7-N-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)(N-8)(N-9)(N-10)
=(N^11-N)-55(N^10-N)+1320(N^9-N)-18150(N^8-N)+157773(N^7-N)-90255(N^6-N)+3416930(N^5-N)-8409500(N^4-N)+12753576(N^3-N)-10628640(N^2-N)

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)(N-8)(N-9)(N-10)(N-11)(N-12)
=(N^13-N)-78(N^12-N)+2717(N^11-N)-55770(N^10-N)+749463(N^9-N)-6926634(N^8-N)+44990231(N^7-N)-206070150(N^6-N)+657206836(N^5-N)-1414014888(N^4-N)+1931559552(N^3-N)-1486442880(N^2-N)

すべてN^r-N(rは2から素数まで）の項の和で表される。


さて、ｎが合成数の場合、

N(N-1)(N-2)(N-3)は4の倍数ですが、
N(N-1)(N-2)(N-3)=N^4-6N^3+11N^2-6N
=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)-6N+N-6N+11N
=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
=4a-18b+22c
=2(2a-9b+11c)
より、2の倍数で、４の倍数にならない。

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)は6の倍数ですが、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=N^6-15N^5+85N^4-225N^3+274N^2-120N
=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)-120N+N-15N+85N-225N+274N
=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
=6a-15x5b+85x4c-225x3d+274x2e
=6a-75b+340c-675d+548e
より、倍数はない。6の倍数にならない。

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)は8の倍数ですが、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=N^8-28N^7+322N^6-1960N^5+6769N^4-13132N^3+13068N^2-5040N
=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)
-5040N+N-28N+322N-1960N+6769N-13132N+13068N
=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)
=8a-28x7b+322x6c-1960x5d+6769x4e-13132x3f+13068x2g
=8a-196b+1932c-9800d+27076e-39396f+26136g
=2(4a-98b+966d-4900d+13538f-19695f+13068g)
より、2の倍数で、8の倍数にならない。

N(N-1)なら、N=2kなら2の倍数であり、N=2k+1でも2の倍数である。
N(N-1)(N-2)なら、N=3kなら3の倍数であり、N=3k+1でも3の倍数であり、N=3k+2でも3の倍数である。
N(N-1)(N-2)(N-3)なら、N=4kなら4の倍数であり、N=4k+1でも4の倍数であり、N=4k+2でも4の倍数であり、N=4k+3でも4の倍数である。
同様に、N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)なら、5の倍数である。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)なら、6の倍数である。
したがって、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}なら、Sの倍数である。

Sが素数なら、（素数でなくても）
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
が上の結果から成り立つはずである。

(%i1) expand((N-a)*(N-b)*(N-c)*(N-d));
                                     2                  2        2        3
(%o1) a b c d - N b c d - N a c d + N  c d - N a b d + N  b d + N  a d - N  d
                              2        2        3      2        3      3      4
                 - N a b c + N  b c + N  a c - N  c + N  a b - N  b - N  a + N

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
+abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N+(abc+abd+acd+bcd)N

(%i1) expand(N*(N-a)*(N-b)*(N-c));
                      2        2        3      2        3      3      4
(%o1)  (- N a b c) + N  b c + N  a c - N  c + N  a b - N  b - N  a + N

(%i2) expand(N*(N-a)*(N-b));
                                    2      2      3
(%o2)                      N a b - N  b - N  a + N


N(N-a)=N^2-Na=(N^2-N)-Na+N=(N^2-N)+(1-a)N

N(N-a)(N-b)=N^3-(a+b)N^2+Nab
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)+Nab+N-(a+b)N
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)+{ab+1-(a+b)}N
(%i3) factor(a*b+1-(a+b));
(%o3)                           (a - 1) (b - 1)

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)
-abcN+N-(a+b+c)N+(ab+bc+ac)N={-abc+1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)}N
(%i5) factor(-a*b*c+1-(a+b+c)+(a*b+b*c+a*c));
(%o5)                      - (a - 1) (b - 1) (c - 1)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
+abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N+(abc+abd+acd+bcd)N
(%i8) factor(a*b*c*d+1-(a+b+c+d)+(a*b+b*c+c*d+a*c+a*d+b*d)-(a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d));
(%o8)                   (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)

したがって、上の関係から
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)なら-(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)(e-1)
 である。
 ここで、N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)と(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)(e-1)は同じ構造である。
したがって、この結論は正しい。

Sが素数なら、（素数でなくても）
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
 において、
1x2x3x4x・・・・x(S-1)N+N-a1N+a2N-a3N・・・・-a(S-2)N+a(s-1)N=0
1x2x3x4x・・・・x(S-1)+1-a1+a2-a3・・・・-a(S-2)+a(s-1)=0
は、
(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)(e-1)・・・・=0
となり、ここでa=1であるから必ず成り立つ。


・素数は、
２：N(N-1)=N^2-N
３：N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N=(N^3-N)-3(N^2-N)
５：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)
７：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6) =N^7-N-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)
注：175=5^2x7 735=3x5x7^2 1624=2^3x7x29 1764=2^2x3^2x7^2
１１：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)(N-8)(N-9)(N-10)
==(N^11-N)-55(N^10-N)+1320(N^9-N)-18150(N^8-N)+157773(N^7-N)-902055(N^6-N)+3416930(N^5-N)-8409500(N^4-N)+12753576(N^3-N)-10628640(N^2-N)
１３：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)(N-8)(N-9)(N-10)(N-11)(N-12)
=(N^13-N)-78(N^12-N)+2717(N^11-N)-55770(N^10-N)+749463(N^9-N)-6926634(N^8-N)+44990231(N^7-N)-206070150(N^6-N)+657206836(N^5-N)-1414014888(N^4-N)+1931559552(N^3-N)-1486442880(N^2-N)
 すべて、係数が素数の倍数。
検算　右辺の因数分解の結果
(%i1) factor((N^3-N)-3*(N^2-N));
(%o1)                          (N - 2) (N - 1) N
(%i2) factor((N^5-N)-10*(N^4-N)+35*(N^3-N)-50*(N^2-N));
(%o2)                  (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i3) factor(N^7-N-21*(N^6-N)+175*(N^5-N)-735*(N^4-N)+1624*(N^3-N)-1764*(N^2-N))
;
(%o3)          (N - 6) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i2) factor((N^11-N)-55*(N^10-N)+1320*(N^9-N)-18150*(N^8-N)+157773*(N^7-N)-902055*(N^6-N)+3416930*(N^5-N)-8409500*(N^4-N)+12753576*(N^3-N)-10628640*(N^2-N));
(%o2) (N - 10) (N - 9) (N - 8) (N - 7) (N - 6) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2)
                                                                      (N - 1) N
(%i3) factor((N^13-N)-78*(N^12-N)+2717*(N^11-N)-55770*(N^10-N)+749463*(N^9-N)-6926634*(N^8-N)+44990231*(N^7-N)-206070150*(N^6-N)+657206836*(N^5-N)-1414014888
(N^4-N)+1931559552*(N^3-N)-1486442880*(N^2-N));
(%o3) (N - 12) (N - 11) (N - 10) (N - 9) (N - 8) (N - 7) (N - 6) (N - 5)
                                              (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
あっている。


・合成数は、
４：N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
６：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
８：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)
検算　右辺の因数分解の結果
(%i16) factor((N^4-N)-6*(N^3-N)+11*(N^2-N));
(%o16)                     (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i17) factor((N^6-N)-15*(N^5-N)+85*(N^4-N)-225*(N^3-N)+274*(N^2-N));
(%o17)             (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i18) factor((N^8-N)-28*(N^7-N)+322*(N^6-N)-1960*(N^5-N)+6769*(N^4-N)-13132*(N^3-N)+13068*(N^2-N));
(%o18)     (N - 7) (N - 6) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
あっている。

さて、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
 は、4の倍数であるが係数6=2x3,11は4の倍数でない。

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
 は、6の倍数であるが係数15=3x5,85=5x17,225=3^2x5^2,274=2x137は6の倍数でない。

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)
 は、8の倍数であるが係数28=2^2x7,322=2x7x23,1960=2^3x5x7^2,6769=7x967,13132=2^2x7^2x67,13068=2^2x3^3x11^2は8の倍数でない。

なぜこのような違いが出るのだろう？

N(N-a)(N-b)=N^3-(a+b)N^2+Nab
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)
=N^6-(a+b+c+d+e)N^5+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)N^4-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)N^3+(abcd+abce+abde+acde+bcde)N^2-Nabcde
=(N^6-N)-(a+b+c+d+e)(N^5-N)+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)(N^4-N)-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)(N^3-N)+(abcd+abce+abde+acde+bcde)(N^2-N)

Sのとき、
=N^S-N-(1+2+3+・・・+S-1){N^(s-1)-N}・・・・
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
ここで、Sが素数ならS-1は偶数。よって{(s-1)S/2}は、sの倍数。
ｓが合成数で偶数なら、(s-1)は奇数で、s/2は2で割れて、sの倍数にならない。
ｓが合成数で奇数なら、(s-1)は偶数で2で割れて、{(s-1)S/2}は、sの倍数。
ｓが合成数で奇数なら、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}は、ｓの倍数になる。
すこし、進歩。

さて、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}+{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・}{N^(s-2)-N}・・・
そこで、
{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・}
より、
2x1+3x(1+2)+4x(1+2+3)+5x(1+2+3+4)・・・・+(s-1)(1+2+3+4+・・・・+(s-2))}
どうしたものか？
N(N-a)(N-b)=N^3-(a+b)N^2+Nab
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)
=N^6-(a+b+c+d+e)N^5+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)N^4-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)N^3+(abcd+abce+abde+acde+bcde)N^2-Nabcde
=(N^6-N)-(a+b+c+d+e)(N^5-N)+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)(N^4-N)-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)(N^3-N)+(abcd+abce+abde+acde+bcde)(N^2-N)

Sのとき、
=N^S-N-(1+2+3+・・・+S-1){N^(s-1)-N}・・・・
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
ここで、Sが素数ならS-1は偶数。よって{(s-1)S/2}は、sの倍数。
ｓが合成数で偶数なら、(s-1)は奇数で、s/2は2で割れて、sの倍数にならない。
ｓが合成数で奇数なら、(s-1)は偶数で2で割れて、{(s-1)S/2}は、sの倍数。
ｓが合成数で奇数なら、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}は、ｓの倍数になる。
すこし、進歩。

さて、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}+{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・}{N^(s-2)-N}・・・
そこで、
{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・}
より、
2x1+3x(1+2)+4x(1+2+3)+5x(1+2+3+4)・・・・+(s-1)(1+2+3+4+・・・・+(s-2))}
どうしたものか？

もう一度計算しました。
(%i6) expand(x*(x-a)*(x-b)*(x-c)*(x-d)*(x-e)*(x-f));
       7      6      6      6      6      6      6        5        5        5
(%o6) x  - f x  - e x  - d x  - c x  - b x  - a x  + e f x  + d f x  + c f x
        5        5        5        5        5        5        5        5
 + b f x  + a f x  + d e x  + c e x  + b e x  + a e x  + c d x  + b d x
        5        5        5        5          4          4          4
 + a d x  + b c x  + a c x  + a b x  - d e f x  - c e f x  - b e f x
          4          4          4          4          4          4          4
 - a e f x  - c d f x  - b d f x  - a d f x  - b c f x  - a c f x  - a b f x
          4          4          4          4          4          4          4
 - c d e x  - b d e x  - a d e x  - b c e x  - a c e x  - a b e x  - b c d x
          4          4          4            3            3            3
 - a c d x  - a b d x  - a b c x  + c d e f x  + b d e f x  + a d e f x
            3            3            3            3            3            3
 + b c e f x  + a c e f x  + a b e f x  + b c d f x  + a c d f x  + a b d f x
            3            3            3            3            3            3
 + a b c f x  + b c d e x  + a c d e x  + a b d e x  + a b c e x  + a b c d x
              2              2              2              2              2
 - b c d e f x  - a c d e f x  - a b d e f x  - a b c e f x  - a b c d f x
              2
 - a b c d e x  + a b c d e f x
(%i7) ratsimp(%);
       7                                6
(%o7) x  + ((- f) - e - d - c - b - a) x
 + ((e + d + c + b + a) f + (d + c + b + a) e + (c + b + a) d + (b + a) c
         5
 + a b) x  + ((((- d) - c - b - a) e + ((- c) - b - a) d + ((- b) - a) c - a b)
 f + (((- c) - b - a) d + ((- b) - a) c - a b) e + (((- b) - a) c - a b) d
           4
 - a b c) x  + ((((c + b + a) d + (b + a) c + a b) e + ((b + a) c + a b) d
                                                          3
 + a b c) f + (((b + a) c + a b) d + a b c) e + a b c d) x
                                                                    2
 + ((((((- b) - a) c - a b) d - a b c) e - a b c d) f - a b c d e) x
 + a b c d e f x

結果
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)=N^7-(f+e+d+c+b+a)N^6
 + {(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab} N^5
 - [{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}f+{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d+abc] N^4 
 + [{{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d +abc)}f+{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd] N^3
 - [{{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd}f+abcde] N^2
 + abcdef N



nが合成数の場合


・nがn=ka+1の場合

そこで、n=ka+1という合成数の場合、
N^n-N=N^(ka+1)-N=N{(N^a)^k-1}
等比級数の和の公式より{(N^a)^k-1}/{(n^a)-1}={1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-1)}
よって、{(N^a)^k-1}={(n^a)-1}{1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-1)}
したがって、
=N{(N^a)-1}{1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-1)}
={N^(a+1)-N}{1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-1)}
より、{N^(a+1)-N}であるからa+1の倍数。ところで、N^(ka+1)-Nより、ka+1の倍数。
したがって、a+1を底としたka+1の倍数である。

・nがn=2αβ+1の場合

N^(2αβ+1)-N=N{N^(2αβ)-1}=N(N^(αβ)-1}{N^(αβ)+1}={N^(αβ+1)-N}{N^(αβ)+1}
ここで、{N^(αβ+1)-N}は、例えばαβ=10なら、11の倍数。
{N^(αβ+1)-N}は、αβ+1の倍数。
(ｎが素数の場合は、これにはあてはまらないことに注意）

・n=abが隅数の場合n=2αβ

N^(2αβ)-N=N(N-1){1+N+N^2+N^3+・・・+N^(2αβ-2)｝
=N(N-1){1+N+N^2+N^3+・・・+N^2(αβ-1)｝
級数を2つに分けて、
 =N(N-1){1+N+N^2+N^3+・・・+N^(αβ-2)+N^(αβ-1)+・・・+N^2(αβ-1)｝
=N(N-1){1+N+N^2+N^3+・・・+N^(αβ-2)}+N(N-1){N^(αβ-1)+・・・+N^2(αβ-1)}
ここで、N(N-1){1+N+N^2+N^3+・・・+N^(αβ-2)}=N^(αβ)-Nより
=N^(αβ)-N+N(N-1){N^(αβ-1)+・・・+N^2(αβ-1)}
N^(2αβ)-N-{N^(αβ)-N}=N(N-1){N^(αβ-1)+・・・+N^2(αβ-1)}
N^(2αβ)-N^(αβ)=N(N-1){N^(αβ-1)+・・・+N^2(αβ-1)}
N^(αβ){N^(αβ)-1}=N(N-1){N^(αβ-1)+・・・+N^2(αβ-1)}
N^(αβ-1){N^(αβ+1)-N}=N(N-1){N^(αβ-1)+・・・+N^2(αβ-1)}
級数をN^(αβ-1)で割って、
N^(αβ-1){N^(αβ+1)-N}=N(N-1){N^(αβ-1)}{1+N+N^2・・・+N^(αβ-1)}
両辺をN^(αβ-1)で割って、
N^(αβ+1)-N=N(N-1){1+N+N^2・・・+N^(αβ-1)}
ここで、{N^(αβ+1)-N}は、例えばαβ=6なら、7の倍数。
{N^(αβ+1)-N}は、αβ+1の倍数。



N^561-Nの場合

ｎ=561(3x11x17)ですから、奇数なので、{N^(αβ+1)-N}は、281の倍数となります。281は素数なので、
N^(2x280+1)-N={N^281-N}{N^280+1}
N^(2x280+1)-N=281A{N^280+1}
そこで、n=ka+1という合成数の場合、a+1を底としたka+1の倍数であるから、a=280より、281を底とした2a+1=561である。


N^6-Nの場合

ｎ=6(2x3)ですから、偶数なので、{N^(αβ+1)-N}は、4の倍数となります。
N^(2x3)-N={N^(3+1)-N}{N^3+1}
ｎ=4(2x2)ですから、偶数なので、{N^(αβ+1)-N}は、3の倍数となります。
N^4-N={N^(2+1)-N}{N^2+1}
N^4-N=3A{N^2+1}
よって、
N^6-N=3A{N^2+1}{N^3+1}
したがって、6の倍数にはなりません。