代数学の基本定理で攻めるの観察
ver 0.001 2022-8-26
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そこで、方針転換をする。
(x+j+k)^3-(x+j)^3-x^3=0 -----(1)
ガウスの代数学の基本定理より、
{x-(a+bi)}{x-(c+di)}(x-c)=0 ただしcは自然数とする。----(a)
これを展開整理すると、
(%i2) factor(expand((x-(a+b*%i))*(x-(c+d*%i))*(x-c)));
2
(%o2) (x - c) (x - %i d x - c x - %i b x - a x - b d + %i a d + %i
b c + a c) ----(2)
(1)式には、虚数項はないので、
- %i d x - %i b x + %i a d + %i b c =0
ad+bc-(b+d)x=0
ad+bc
x=-------- ---(3)
b+d
さて、(2)式の虚数項を消すと、
2
(%o2) (x - c) (x - c x - a x - b d + a c) ----(2)
となる。展開すると、
(%i4) expand((x-c)*(x^2-c*x-a*x-b*d+a*c));
3
2
2
2
2
(%o4) x - 2 c x - a x - b d x
+ c x + 2 a c x + b c d - a c = 0 ---(4)
また、(1)を展開すると、
(%i8) expand((x+j+k)^3-(x+j)^3-x^3);
3
2
2
3
2 2
(%o8) (- x ) + 3 k x + 3 k x +
6 j k x + k + 3 j k + 3 j k
すなわち、
x^3-3kx^2-3k^2x-6jkx-k^3-3jk^2-3j^2k) =0 ---(5)
(4),(5)より、
-2c-a=3k
-bd+c^2+2ac=-6jk
bcd-ac^2=k^3+3jk^2+3j^2k=k(k^2+3jk+3j^2)
これを解かせてみると、
(%i15) ex1:-2*c-a=3*k;
(%o15)
(- 2 c) - a = 3 k
(%i16) ex2:-bd+c^2+2*a*c=-6*j*k;
2
(%o16)
c + 2 a c - bd = - 6 j k
(%i17) ex3:bcd-ac^2=k*(k^2+3*j*k+3*j^2);
2
2
2
(%o17)
bcd - ac = k (k + 3 j k + 3 j )
(%i18) solve([ex1,ex2,ex3],[j,k]);
(%o18)
[]
解[j,k]はない。つまり、(4)を(5)で表せない。
したがって、(1)を(a)と表すことはできない。
さて、つぎはどうだろう。
(x+j+k)^3-(x+j)^3-x^3=0 -----(1)
ガウスの代数学の基本定理より、
{x-a}(x-b)(x-c)=0 ただしa,b,cは自然数とする。----(a)
これを展開整理すると、
(%i1) expand((x-a)*(x-b)*(x-c));
3 2
2 2
(%o1) x - c x - b
x - a x + b c x + a c x + a b x - a b c = 0 ---(2)
また、(1)を展開すると、
(%i8) expand((x+j+k)^3-(x+j)^3-x^3);
3
2
2
3
2 2
(%o8) (- x ) + 3 k x + 3 k x +
6 j k x + k + 3 j k + 3 j k
すなわち、
x^3-3kx^2-3k^2x-6jkx-k^3-3jk^2-3j^2k) =0 ---(3)
(2),(3)より、
-c-b-a=3k
bc+ac+ab=-6jk
-abc=k^3+3jk^2+3j^2k=k(k^2+3jk+3j^2)
これを解かせてみると、
(%i11) ex1:-c-b-a=3*k;
(%o11)
(- c) - b - a = 3 k
(%i12) ex2:b*c+a*c+a*b=-6*j*k;
(%o12)
b c + a c + a b = - 6 j k
(%i13) ex3:-abc=-k*(k^2+3*j^2*k+3*j^2);
2
2 2
(%o13)
- abc = - k (k + 3 j k + 3 j )
(%i14) solve([ex1,ex2,ex3],[j,k]);
(%o14)
[]
解[j,k]はない。つまり、(2)を(3)で表せない。
したがって、(1)を(a)と表すことはできない。
> No.1468[元記事へ]
(a)が間違っていたので、書き直し。
(x+j+k)^3-(x+j)^3-x^3=0 -----(1)
ガウスの代数学の基本定理より、
{x-(a+bi)}{x-(c+di)}(x-e)=0 ただしeは自然数とする。----(a)
これを展開整理すると、
(%i2) factor(expand((x-(a+b*%i))*(x-(c+d*%i))*(x-e)));
2
(%o2) (x - e) (x - %i d x - c x - %i b x - a x - b d + %i a d + %i
b c + a c) ----(2)
(1)式には、虚数項はないので、
- %i d x - %i b x + %i a d + %i b c =0
ad+bc-(b+d)x=0
ad+bc
x=-------- ---(3)
b+d
さて、(2)式の虚数項を消すと、
2
(%o2) (x - e) (x - c x - a x - b d + a c) ----(2)
となる。展開すると、
(%i4) expand((x-e)*(x^2-c*x-a*x-b*d+a*c));
3
2 2 2
(%o1) x - e x - c x - a x + c e x + a e x - b d
x + a c x + b d e - a c e ---(4)
また、(1)を展開すると、
(%i8) expand((x+j+k)^3-(x+j)^3-x^3);
3
2
2
3
2 2
(%o8) (- x ) + 3 k x + 3 k x +
6 j k x + k + 3 j k + 3 j k
すなわち、
x^3-3kx^2-3k^2x-6jkx-k^3-3jk^2-3j^2k =0 ---(5)
(4),(5)より、
-e-c-a=3k
-bd+ce+ae+ac=-6jk
bde-ace=k^3+3jk^2+3j^2k=k(k^2+3jk+3j^2)
これを解かせてみると、
(%i5) ex1:-e-c-a=3*k;
(%o5)
(- e) - c - a = 3 k
(%i6) ex2:-b*d+c*e+a*e+a*c=-6*j*k;
(%o6)
c e + a e - b d + a c = - 6 j k
(%i7) ex3:b*d*e-a*c*e=k*(k^2+3*j*k+3*j^2);
2
2
(%o7)
b d e - a c e = k (k + 3 j k + 3 j )
(%i8) solve([ex1,ex2,ex3],[j,k]);
(%o8)
[]
解[j,k]はない。つまり、(4)を(5)で表せない。
(x+j+k)^3-(x+j)^3-x^3=0 -----(1)
ガウスの代数学の基本定理より、
{x-(a+bi)}(x-c)(x-d)=0 ただしc,dは自然数とする。----(a)
これを展開整理すると、
(%i10) expand((x-(a+b*%i))*(x-c)*(x-d));
3 2
2
2 2
(%o10) x - d x - c x - %i b x - a x + c d
x + %i b d x + a d x + %i b c x
+ a c x - %i b c d - a c d ----(2)
(1)式には、虚数項はないので、
- %i bx^2+ %i b d x+%i b c x-%i b c d =0
-bx^2+(bd+bc)x-bcd=-b(x^2-(c+d)x+cd)=0
(%i12) solve(x^2-(c+d)*x+c*d=0,x);
(%o12)
[x = d, x = c]-----(3)
さて、(2)式の虚数項を消すと、
3 2
2 2
(%o10) x - d x - c x - a x + c d x + a d x
+ a c x - a c d ----(4)
となる。
また、(1)を展開すると、
(%i8) expand((x+j+k)^3-(x+j)^3-x^3);
3
2
2
3
2 2
(%o8) (- x ) + 3 k x + 3 k x +
6 j k x + k + 3 j k + 3 j k
すなわち、
x^3-3kx^2-3k^2x-6jkx-k^3-3jk^2-3j^2k =0 ---(5)
(4),(5)より、
-d-c-a=3k
cd+ad+ac=-6jk
-acd=k^3+3jk^2+3j^2k=k(k^2+3jk+3j^2)
これを解かせてみると、
(%i13) ex1:-d-c-a=3*k;
(%o13)
(- d) - c - a = 3 k
(%i14) ex2:c*d+a*d+a*c=-6*j*k;
(%o14)
c d + a d + a c = - 6 j k
(%i15) ex3:-acd=k*(k^2+3*j*k+3*j^2);
2
2
(%o15)
- acd = k (k + 3 j k + 3 j )
(%i16) solve([ex1,ex2,ex3],[j,k]);
(%o16)
[]
解[j,k]はない。つまり、(4)を(5)で表せない。
したがって、(1)を(a)と表すことはできない。
> (x+j+k)^3-(x+j)^3-x^3=0 -----(1)
> ガウスの代数学の基本定理より、
> {x-(a+bi)}(x-c)(x-d)=0 ただしc,dは自然数とする。----(a)
>{x-(a+bi)}{x-(c+di)}(x-e)=0 ただしeは自然数とする。----(a)
>{x-a}(x-b)(x-c)=0 ただしa,b,cは自然数とする。----(a)
これで、全てやって、
>したがって、(1)を(a)と表すことはできない。
より、証明終了。
ガウスの代数学の基本定理を使っているからと言って、そんなことがあったら、ガウスの代数学の基本定理を否定するものだと早合点してはならない。
例えば、複素数解があるとしたとき、虚数項がないからとして、排除しているから、同じになるはずがないし、全部自然数解があるとしても、係数項が一致できな いので、矛盾はない。
ｎ次の場合も、1つ以上複素数解があれば、(a)を展開すれば、虚数項ができるので、(1)は自然数項しかないので、ありえない。すべてが、自然数解のばあ い端的に言えば、フェルマーの最終定理が証明されているから、(1)と(a)の係数項は一致するはずがないのである。