0.999・・・は1にならないの観察
ver 0.010 2022-12-11
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ver 0.001 2022- 8- 1 新規作成
ver 0.002 2022- 9- 3 2022-9-3追記
ver 0.003 2022- 9-24 無限という欺瞞 追加
ver 0.004 2022- 9-26 10進数について考える 追加
ver 0.005 2022- 9-27 掲示板の引用
ver 0.006 2022- 9-27 循環小数の分数化 追加
ver 0.007 2022- 9-28 0.999・・・は無理数 追加
ver 0.008 2022- 9-29 循環小数の分数化ーつづき 追加
ver 0.009 2022- 9-29
0.999・・・は無理数-つづき 追加
ver 0.009 2022-10-2 追記(2022-10-2) 追加
ver 0.010 2022-12-11 無限小＞０
循環小数が循環部分が、9の倍数であるからと言ってきたが、
たとえば、1/3は、計算すると
_0.333_________________________
3)10
9
----
10
9
------
10
9
-----
1
のように、1余る。したがって、切り捨てると、0.333・・・になるが、あまり1を捨てたので、3倍しても1にはならない。
循環小数は、あまりが、ある周期で、戻るということである。
したがって、周期の途中で切っても、あまりがあることには変わりがないので、そこで、切り捨てれば、割った数倍しても1にはならない。
したがって、10進小数では表せないのである。
そういうことは、今更言うことでもないし、小学生でもわかることである。
有限数学では、延長線を伸ばして考えるから、有理数は閉じているのに、無限という延長線を引き、無理数になったりする。
有限数学だから、無限という有限があるのであって、普通の数学では、無限などという有限はない。
> 循環小数が循環部分が、9の倍数であるからと言ってきたが、
> たとえば、1/3は、計算すると
> _0.333_________________________
> 3)10
> 9
> ----
> 10
> 9
> ------
> 10
> 9
> -----
> 1
> のように、1余る。したがって、切り捨てると、0.333・・・になるが、あまり1を捨てたので、3倍しても1にはならない。
> 循環小数は、あまりが、ある周期で、戻るということである。
> したがって、周期の途中で切っても、あまりがあることには変わりがないので、そこで、切り捨てれば、割った数倍しても1にはならない。
> したがって、10進小数では表せないのである。
>
> そういうことは、今更言うことでもないし、小学生でもわかることである。
だから、1/3≠0.3333・・・・
なのは、明らかで、3x1/3=1だけど、0.333・・・x3≠１なんだな。
もし仮に、普通は、末尾から計算するのが正しいが、それを上位から計算できたとして、0.333・・・x3=0.999・・・・としても、それは、≠１なんだ
な。
x=1-0.1=0.9とする。
10x= 9
-) x= 0.9
9x= 8.1
x=0.9
x=1-0.01=0.99とする。
10x= 9.9
-) x= 0.99
9x= 8.91
x=0.99
x=1-0.001=0.999とする。
10x= 9.99
-) x= 0.999
9x= 8.991
x=0.999
同
様にして、x=1-10^(-n)とすると、｛ x=0.9999・・・・であるが｝
10x=10{1-10^(-n)}
-) x= 1-10^(-n)
9x= 9-10 10^(-n)+10^(-n)
9x= 9-9 10^(-n)
x= 1-10^(-n)
よって、10^(-n)＞0であるから、{
10^(-n)においてnは無限大であるから、10^(-n)
は無限小である。}
x<1
つまり、
x≠1
ここで、もし、10^(-n)=0とすると、｛もし、10^(-n)=0
つまり、無限小は0であるなら｝
x= 1-10^(-n)=1 つまり、x=1であり、x=0.9999・・・・
とはならない。
よく、x=0.9999・・・として、
10x= 9.9999・・・
-) x= 0.9999・・・・
9x= 9 小数計算は末尾からするのが原則であり、9が無限であ
るから末尾はない。この計算不可能である。
x=1
と説明してあるが、真っ赤な嘘である。
NHK のBSPでみた「コ ズミック フロント「相対論ｖｓ．量子論 事象の地平線と“異次元のダンス”」から思いました。
車いすの天才・ホーキング博士が提示した「ブラックホール情報パラドックス」で、ブラックホールは熱を出して、縮み消滅し、すべての情報は失われるといったの に、量子力学者たちは、情報は無くならないといい、論争になり、何年もかかって、超弦理論で、情報は亡くならないと結論が出たのです。
さ て、自然数、１，２，３，・・・・と無限までゆくとします。偶数は、2nで、奇 数は2n+1です。では、無限大は、偶数ですか、奇数ですか？ととわれると、無限大は、どちらかわからないので、偶数でも、奇数でもないという説明では間 違っていると思います。
1/3は、0.333・・・・となるということをよく考えると、1÷3はあ まりが出てきて、0.333・・・・・と、あまり０．０・・・・1ですね。無限に３が続くということは、あまりが無限に続くということです。あまりが、な くなったら、３は終わりです。ところが、０．３３３・・・・は、あまりがいらない、なくなると言っているのです。
つまり、数学の常識（情報）が壊れているのです。つまり、無限では、数学の 常識（情 報）が壊 れるので、つまり、偶数なら2n、奇数なら2n+1という情報がなくなってしまうということなのです。
自然数もそういう情報なので、無限大は、情報がなくなって、自然数というこ ともありませんし、 無理数かもしれないし、虚数かもしれないし、複素数かもしれないし、これまでの概念を超えたものかもしれなくなるということです。
1/3は、0.333・・・・と3が無限に続くということなので、情報は失 われて、無理数になるかもしれないし、複素数にもなるかもしれないのです。ですから、1/3≠0.333・・・・です。
無限では、バーゼル問題でも、有理数（分数）は、四則演算で、有理数で閉じているのに、π^2/6という無理数になっているのです。有理数で閉じているものが、無限で、無理数になるということは、有理数という情報が無限でなくなっているのです。
無限では、情報はなくなるのです。
したがって、1/3=0.333・・・・となるのです。でも、これには根拠がありません。無理数、あるいは複素数かもしれませんから・・・・
我々の数学は、有限数学であって、有限の果（つまり無限）で情報(数式、関数など）は失われ、そこから先は、根拠のない適当な延長数になっているのです。
０．９９９・・・があって、末位が、０から9の10個の記号を使い果たして、桁上がりの連鎖が起きて、１になる。
ここで、注意しなければならない、１０進数には、末位があるということを。
つまり、０．９９９・・・という無限に９が続くということは、ありえないのだ。有限なのだ。
０．９９９・・・でなくて、０．９９９・・・９なのだ。
０．９９９・・・と１が存在するということは、末位があることを示しているのだ。
だから、０．９９９・・・は１なのだと言うのか？
先にも言ったように、１０進数では、０．９９９・・・は、存在しないのだ。
循環小数は、有理数でありますが、無限となると、無限では真が偽になることから、無理数と利用されるので、一応10進小数から、外しました。
ほんとは、有理数は四則演算で閉じているので、有理数でしょう。
それを認めると、無理数は全て、10進小数では、有理数であり、すべての無理数は10進小数では、有理数となるのです。
だから、無限では真が偽になるのです。
したがって、10進小数は、有限であるとします。
なぜかと言うと、0.0は、整数部は、無限の彼方まで0が並び、小数部は無限の彼方まで0が並びます。
10進の定義から、0より大きい最初の数は、末尾に1を加えたものです。
つまり、10進の定義から、10進数には末尾があるのです。
それは、ともりもなおさず10進小数は、有限であることの証明でもあります。
よく、こういう説明を受けますね。
x=0.333333・・・を分数化するには、
10x=3.33333・・・・
-) x=0.33333・・・・
9x=3
x=1/3
ですね。本当にあっているか調べてみましょう。
1/3=0.3333・・・・＋0.000・・・・1
ですね。0.000・・・・1は、あまりです。
x=0.333333・・・が、分数化されて1/3になったのですが、あまりの0.000・・・・1だけ大きくなっています。
つまり、間違いです。
代
数学的に調べてみましょう。x=aとする。
nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
両辺を(n-1)でわると、
x=a
両辺に同じ数をかけて引いているから、代数学的に当たり前のことです。
こ れでは、変化しないことがわかりますね。
ところが、
10x=3.33333・・・・
-) x=0.33333・・・・
9x=3
x=1/3
となって、間違っていますね。
10x=10✕0.33333・・・・
-) x= 0.33333・・・・
9x= 9✕ 0.33333・・・・
x= 0.33333・・・・
あってますね。
よく使われる循環小数の分数化は、間違っているのです。
0.999・・・は、
=9/10+9/10^2+9/10^3+9 /10^4+・・・・
と桁ごとの和で、表せます。
さて、有理数は四則演算では、有理数で閉じていますが、バー ゼル問題では、π^/6という無理数になるのです。
無限では、有理数で閉じているものが、無理数になるのです。
ということは、
=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・
は有理数で閉じているので有理数ですが、無限なので、無理数 になりますよね？
１は有理数であり、０．９９９・・・・が無理数なら等号で結 べません。
さて、放送大学の「初歩からの数学」で、循環する無限小数は有理数に含まれれるが、循環しない無限小数は無理数だと習いました。
1/3は、有理数ですが、1÷3を計算すると、あまりが循環するので、循環小数になり、無限小数になります。
循環する無限小数なので有理数ですね。1/3=０．３３３・・・＋０．００・・・1ですね。０．００・・・1は、あまりです。０．３３３・・・の ３と同じくあまりも無限について行きます。
では、３が無限に並ぶ０．３３３・・・は、どうでしょう。この場合、３はただ並べてあるだけで、循環する根拠はありませんね。つまり、循環しない無限小数な ので無理数ですね。
おなじく、９が無限に並ぶ０．９９９・・・は、どうでしょう。この場合、９はただ並べてあるだけで、循環する根拠はありませんね。つまり、循環しない無限小 数なので無理数ですね。
１は有理数であり、０．９９９・・・・が無理数なら等号で結べません。
循環小数を分数化する方法は、間違いだと証明しましたし、x=aなら、何倍して引いても、x=aなので、x=0.333・・・なら、x=0.333・・・で 1./3になりません。
つまり、1/3≠0.333・・・・が証明できました。
仮に両辺を3倍できたとしても、（右辺は無限小数なので、原則として、末尾から3倍する決まりから無理ですが）
1≠0.999・・・
ですね。
0.999・・・は、バーゼル問題で、無理数になりました が、では、1/3は、無理数にならないのかというと、1/3は1÷3で、あまりが循環するから、循 環するのです。つ まり、１÷3=0.333・・・＋０．００・・・・１で、０．００・・・・１は、あまりです。
つまり、演算が可能な範囲で0.333・・・が並んでいるの で、無限では、演算ができないので、1÷３は、有限小数になる可能性があります。したがって、有 理数です。
0.999...というwikipediaに、
0.999・・・=1 は、無限小=0であり、0.999・・・<1 は、無限小>0という2通りがあると書いてあります。
私は、無限小=0ということには納得がいきません。
無限小=0でないことを証明するには、手垢で汚れた茨だらけの無限に手を
突っ込まなければ、なりません。
一方、無限小というwikipediaには、明確に無限小が0であるとは、 書かれてなかったと思います。
循環小数というwikipediaと0.999...という wikipediaだけが0.999・・・=1となっているようです。
いずれにせよ、0.999・・・は、循環しない無限小数なので、無理数です から、0.999・・・≠1つまり、無限小＞０であることは明白です。
さて、10進小数は、以下のように表せます。
999999999999999999999・・・ 3^2 x
1111111111111111111・・
0.999・・・=------------------------------
= ------------------------------
1000000000000000000000・・・ 2^n 5^n （ただしnは無限）
ここで、1111111111111111111・・ は1が並んだ数なので、
1111111111111111111・・=11x101010101・・・=11x101x・・・・
なので、2と5の倍数を含みませんので、素因数分解しても、約分はされませ ん。また、3^2も約分されないので、これは、1にはなりません。
だけど、0.999・・・＋0.000・・・1=1となって、約分されるの
です。
2/3は、2を2.000・・・、3 を3.000・・・として無限にしても、2/3です。
0より、大きな正の最小数は、0.000・・・1です。ところで、1が現れてたら、後ろはありませんから、1はずーと後ろですが、1が現れたら終わりなので す。つまり、正の最小数は無限小にはなりえないのです。つまり、無限というものはないのです。なぜなら、１が現れたら終わりだから。
したがって、0.999・・・・と無限に続くことはありえないのです。つまり、無限小数ではなく、せいぜい有限小数なのです。
ということは、極限でも、1＞0.999・・・・なのです。
もちろん、無限小＞０です。