奇数の完全数はないの観察
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逐次コ メントを挿入してまいります。

掲示板（その３）より

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月 3日(月)21時21分19秒     返信・引用 編集済

      1が偶数個並んだ数は、1+xで割れるので、xが3以上の素数なので、1+x=2pとなります。xは奇数だから、1+xは偶数ですね。
pは、合成数（素数であることもある）なので、素因数分解すれば、xより、小さな素数になります。

完全数aを素因数分解したa=x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝ならば、
σ(a)=σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・において、aが奇数なら、σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・のうち1個は1が偶数個並ん だ数でなければならない。

奇数の完全数は、σ(a)=σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・において、σ(x^n)、σ(y^m)、σ(z^l)、・、・・・の1個だけが1が 偶数個並んだ数であり、その他は全て、1が奇数個並んだ数であるので、今仮に、σ(x^n)が、1が偶数個並んだ数であるとすれば、
σ(x^n)=1+x+x^2+x^3+x^4+・・・・+x^2k+x^(2k+1)  ただし、n=2k+1
1+x+x^2+x^3+x^4+・・・・+x^2k+x^(2k+1)
=(1+x)(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)
=2p(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)
となる。したがって、2a=σ(a)であるから、
2a=2p(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
ここで、a=x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝より、
2 x^n y^m z^l ・・・・=2p(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
x^n y^m z^l ・・・・=p(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
ここで、左辺はxが最小素数であるが、右辺にはp<xなる素数が存在することは紛れもない事実である。
よって、左辺と右辺はpがあるために絶対に等号で結ばれない。
したがって、奇数a=x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝ならば、完全数にはならない。
つまり、奇数aは完全数でない。     

これの問題点は、1+x=2pとしたところで、1+z=2pとすれば、「ここで、左辺はxが最小素数 であるが、右辺にはp<xなる素数が存在することは紛れもない事実である」とはならないのである。

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月 3日(月)21時46分33秒     返信・引用

  完全数aを素因数分解したa=2^k x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・指数部は2以上｝ならば、
σ(a)=σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・において、aが偶数なら、σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・のうち何個は1が偶数個並ん だ数でなければならない。

とりあえず、今仮に、σ(x^n)が、1が偶数個並んだ数であるとすれば、
σ(x^n)=1+x+x^2+x^3+x^4+・・・・+x^2k+x^(2k+1)  ただし、n=2k+1
1+x+x^2+x^3+x^4+・・・・+x^2k+x^(2k+1)
=(1+x)(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)
=2p(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)
となる。したがって、2a=σ(a)であるから、
2a=2p(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
ここで、a=2^k x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝より、
2^k x^n y^m z^l ・・・・=2p(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
2^(k-1) x^n y^m z^l ・・・・=p(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
ここで、左辺はxが最小素数であるが、右辺にはp<xなる素数が存在することは紛れもない事実である。
pが2であれば、1+x=2p=4で、x=3である。
この場合を除いて、左辺と右辺はpがあるために絶対に等号で結ばれない。

σ(y^m)も1が偶数個並んだ数であるとすれば、1+y=2qとなり、x<yであるから、yは5以上なので、左辺と右辺はqがあるために絶対に等号で 結ばれない。

したがって、x=3で、しかもσ(x^n)だけが、1が偶数個並んだ数であるときで、その他のσ(y^m)、σ(z^l)、・・・・が、どれも
1が偶数個並んだ数でないとき、だけをかんがえれば、偶数の完全数aは解決できる。

この場合その他のσ(y^m)、σ(z^l)、・・・・が、どれも奇数なので、
2a=2p(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
a=2(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
2^k x^n y^m z^l ・・・・=2(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
2^(k-1) x^n y^m z^l ・・・・=(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
より、右辺は奇数なので、右辺はk=1となる。
a=2 3^n y^m z^l ・・・・
でなければない。

しかし、これは、a=2^k x^n y^m z^l ・・・・の指数部が2以上という形式ではない。
したがって、この形式の偶数の完全数aは存在しない。     

これの問題点は、1+y=2pとしたところで、「x=3,y<5以上なので」とはならないので ある。したがって、3^nにはならない。

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月 3日(月)22時09分28秒     返信・引用

> a=2 3^n y^m z^l ・・・・
> でなければない。

これは、a=b x^n y^m z^l ・・・・であり、
σ(a)=(1+b)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
b=2,x=3を代入して
σ(a)=(1+2)σ(3^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
σ(a)=3 σ(3^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
σ(a)=3 σ(3^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
    =3 2p(1+3^2+3^4+・・・・+3^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・　ただしn=2k+1
    =2^2 3 (1+3^2+3^4+・・・・+3^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
2a=σ(a)より、この場合(1+3^2+3^4+・・・・+3^2k)と、その他のσ(y^m)、σ(z^l)、・・・・が、どれも奇数なので、
2^2 3^n y^m z^l ・・・・=2^2 3 (1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
3^n y^m z^l ・・・・=3 (1+3^2+3^4+・・・・+3^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
3^(n-1) y^m z^l ・・・・=(1+3^2+3^4+・・・・+3^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
ところで、(1+3^2+3^4+・・・・+3^2k)は3^rを約数に持たないし、yは5以上なので、
左辺の3^(n-1)が、右辺に見当たらない。        

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月 3日(月)22時40分23秒     返信・引用

> 2a=σ(a)より、この場合(1+3^2+3^4+・・・・+3^2k)と、その他のσ(y^m)、σ(z^l)、・・・・が、どれも奇数なので、
> 2^2 3^n y^m z^l ・・・・=2^2 3 (1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> 3^n y^m z^l ・・・・=3 (1+3^2+3^4+・・・・+3^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> 3^(n-1) y^m z^l ・・・・=(1+3^2+3^4+・・・・+3^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> ところで、(1+3^2+3^4+・・・・+3^2k)は3^rを約数に持たないし、yは5以上なので、
> 左辺の3^(n-1)が、右辺に見当たらない。

x=3u+tで表せる素数は、σ(x^n)を素因数分解した時、t=1と表せる素数なら、3を含むことがあり、t=2と表せる素数なら
、σ(x^n)を素因数分解した時、 3は決して現れない。｛念のため、ただしnは偶数、tは1以上x=Mu+tとするとt<Mです。｝

すると、y=3u+1、z=3v+1、・・・・となる素数であれば、3^(n-1)が、右辺に現れることができる。

(%i20) x:3*u+1;
(%o20)                              3 u + 1
１が3個並んだ数
(%i22) factor(1+x+x^2)
                                    2
(%o22)                        3 (3 u  + 3 u + 1)

１が9個並んだ数

(%i25) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8)
             2                  6        5        4        3       2
(%o25) 9 (3 u  + 3 u + 1) (243 u  + 486 u  + 405 u  + 189 u  + 54 u  + 9 u + 1)

１が15個並んだ数

(%i28) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14)
             2                 4        3       2
(%o28) 3 (3 u  + 3 u + 1) (81 u  + 135 u  + 90 u  + 30 u + 5)
        8          7          6         5         4        3        2
(6561 u  + 15309 u  + 15309 u  + 8748 u  + 3159 u  + 756 u  + 126 u  + 12 u
+ 1)

１が21個並んだ数

(%i31) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
               +x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20)
             2                  6         5         4        3        2
(%o31) 3 (3 u  + 3 u + 1) (729 u  + 1701 u  + 1701 u  + 945 u  + 315 u  + 63 u
               12            11            10            9            8
+ 7) (531441 u   + 1948617 u   + 3247695 u   + 3267378 u  + 2217618 u
            7           6          5          4         3        2
+ 1071630 u  + 378351 u  + 98658 u  + 19035 u  + 2700 u  + 279 u  + 18 u + 1)

１が27個並んだ数

(%i34) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
               +x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26)
              2                  6        5        4        3       2
(%o34) 27 (3 u  + 3 u + 1) (243 u  + 486 u  + 405 u  + 189 u  + 54 u  + 9 u
                  18              17               16               15
+ 1) (129140163 u   + 774840978 u   + 2195382771 u   + 3902902704 u
               14               13               12               11
+ 4878628380 u   + 4553386488 u   + 3288556908 u   + 1879175376 u
              10              9             8             7            6
+ 861288714 u   + 319002381 u  + 95718429 u  + 23225940 u  + 4531464 u
           5          4         3        2
+ 704214 u  + 86022 u  + 8100 u  + 567 u  + 27 u + 1)

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月 8日(土)12時59分40秒     返信・引用 編集済

 > 完全数aを素因数分解したa=2^k x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・指数部は2以上｝ならば、
> σ(a)=σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・において、aが偶数なら、σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・のうち何個は1が偶数個並んだ数でなけれ ばならない。
>

そうか、σ(a)=σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
だった。
σ(2^k)は、1が偶数個並んだ数でも、１が奇数個並んだ数でも奇数であるので、σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・から、2^kができなければ ならない。

σ(x^n)が、1が偶数個並んだ数ならば、
σ(x^n)=(1+x)(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)
ここで、1+x=2pであるから、(なぜなら、xは3以上の素数だから)x=3なら、p=2であるから、
2a=σ(2^k)2p(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
a=σ(2^k)2(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
2^k x^n y^m z^l ・・・・=σ(2^k)2(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
2^(k-1) x^n y^m z^l ・・・・=σ(2^k)(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
これが成立するには、x^nに対応するσ(α_1^β_1)、y^mに対応するσ(α_2^β_2)、z^lに対応するσ(α_3^β_3)、・・・ σ(2^k)に対応するσ(α_g^β_g)、があり、2^(k-1)がなければならない。
σ(α_1^β_1)はσ(y^m)であるかもしれないし、σ(z^l)であるかもしれないし、・・・・・

しかし、2^(k-1)をつくるために、σ(y^m)も、1が偶数個並んだ数ならば、
σ(y^m)=(1+y)(1+y^2+y^4+y^6+y^8・・・・+y^2i)
より、1+y=2qであるから、q<yであり、
完全数aを素因数分解したa=2^k x^n y^m z^l ・・・・に存在しないqが、σ(a)に現れることになる。
それを避けるために、q=xとすると、q=3、y=5となる。
2a=σ(2^k)2p(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)2q(1+y^2+y^4+y^6+y^8・・・・+y^2i)σ(z^l)・・・・
2^k x^n y^m z^l ・・・・=σ(2^k)2(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)2x(1+y^2+y^4+y^6+y^8・・・・+y^2i)σ(z^l)・・・・
2^(k-2) x^(n-1) y^m z^l ・・・・=σ(2^k)(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)(1+y^2+y^4+y^6+y^8・・・・+y^2i)σ(z^l)・・・・
また、x^nは、x^(n-1)となり、xは1が偶数個並んだ数ではなくなる。

2^(k-1)をつくるために、σ(x^n)が、1が偶数個並んだ数としたのに、σ(x^n)が、1が奇数個並んだ数になり、振り出しに戻る。      

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月 8日(土)13時15分4秒     返信・引用 編集済

そうか、(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)はどんな数だろうか。
w=x^2とすると、1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j=1+w+w^2+w^3+・・・・+w^i
つまり、1が並んだ数である。      

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月 8日(土)13時27分6秒     返信・引用 編集済

> 2^(k-1)をつくるために、σ(x^n)が、1が偶数個並んだ数としたのに、σ(x^n)が、1が奇数個並んだ数になり、振り出しに戻る。

したがって、2^(k-1)を作るために、σ(α_h^β_h)が、1が偶数個並んだ数とすれば、1+α_h=2γ_hとなり、
完全数aを素因数分解したa=2^k x^n y^m z^l ・・・・に存在しないγ_hが、σ(a)に現れることになる。

それを回避すれば、これまで、σ(α_g^β_g)が、１が奇数個並んだ数となり、1が偶数個並んだ数としたことが降り出しに戻る。

したがって、偶数の完全数aを素因数分解したa=2^k x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・指数部は2以上｝
は、存在しない。      

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月 8日(土)13時29分59秒     返信・引用

よって、a=x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝ならば、完全数にはならないし、
a=2^k　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝ならば、完全数にはならない。      

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月 9日(日)15時00分53秒     返信・引用

a=2^k b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝

σ(a)=(1+b)σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・


１）bがメルセンヌ素数でなく、1+b=2pで、pが、x,y,z,・・・のどれとも等しくなければ、

a=2^k b　x^n y^m z^l ・・・・を構成する素数に一致しないので、完全数でない。

２）bがメルセンヌ素数でなく、1+b=2pで、pが、x,y,z,・・・のどれかと等しい完全数であるとき、

2 2^k b　x^n y^m z^l ・・・・=2p σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
2^k b　x^n y^m z^l ・・・・=p σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
ここで、p=xとすると、σ(x^n)が偶数ならば
2^k b　x^n y^m z^l ・・・・=x σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
xをせいりすると、
2^k b　x^(n-1) y^m z^l ・・・・=σ(2^k)σ{x^(n-1)}σ(y^m)σ(z^l)・・・・
すると、σ{x^(n-1)}は、奇数になり、右辺の2の指数が足りなくなり、完全数でない。

σ(x^n)が奇数ならば、σ(2^k)σ{x^(n-1)}σ(y^m)σ(z^l)・・・・から、xの指数が1小さくならなければならないが、変わったの は、
σ{x^(n-1)}であり、これはxで割れないので、そいうことはなりえない。

よって、完全数でない。

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月12日(水)21時01分16秒     返信・引用

 a=2^k b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝

σ(a)=(1+b)σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・


3）bがメルセンヌ素数であるとき、

b=2^u-1のメルセンヌ素数であるとき、1+b=1+2^u-1=2^u

σ(2^k)は奇数であるが、σ(x^n)、σ(y^m)、σ(z^l)、・・・・も全て奇数なら、
2a=σ(a)
2 2^k b　x^n y^m z^l ・・・・=(1+b)σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
2^(k+1) b　x^n y^m z^l ・・・・=2^uσ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
より、左辺のメルセンヌ素数bが、右辺にない。ということは、σ(x^n)、σ(y^m)、σ(z^l)、・・・・がメルセンヌ素数bとの合成数でなければな らない。

後回し

さて、σ(2^k)=1+2+2^2+2^3+・・・・+2^k={2^(k+1)-1}/(2-1)=2^(k+1)-1であるから、σ(2^k)が b=2^u-1のメルセンヌ素数であるとき、
2^(k+1) b　x^n y^m z^l ・・・・=2^uσ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
より、
2^(k+1) b　x^n y^m z^l ・・・・=2^ubσ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
2^(k+1) x^n y^m z^l ・・・・=2^uσ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・

3-0)k+1=uのとき、

後回し

3-1)
ｋ＋１＞ｕのとき、σ(x^n)、σ(y^m)、σ(z^l)、・・・・のいずれかは、偶数でなければ、k+1-u>0なので、k+1=u+vでなけれ ばならない。
そこで例えば、σ(x^n)は偶数とすると、1が偶数個並んだ数なので、
σ(x^n)=(1+x)(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)
ここで、1+x=2pであるから、(なぜなら、xは3以上の素数だから)、
σ(x^n)=2p(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)
p<xより、
2^(k+1) x^n y^m z^l ・・・・=2^u2p(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
となり、左辺にはないpが右辺にある。そこで、これを回避するためにp=2となる。
2^(k+1) x^n y^m z^l ・・・・=2^(u+2)(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
ここで、2^(k+1)=2^(u+2)とすると、・・・・

これは、後回し

3-1-1)
これでも、k+1-(u+2)>0ならば、
そこで例えば、σ(y^m)も偶数とすると、1が偶数個並んだ数なので、
σ(y^m)=(1+y)(1+y^2+y^4+y^6+y^8・・・・+y^2i)
より、1+y=2qであるから、q<yであり、
完全数aを素因数分解したa=2^k x^n y^m z^l ・・・・に存在しないqが、σ(a)に現れることになる。
それを避けるために、q=xとすると、q=3、y=5となる。
2a=σ(2^k)2p(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)2q(1+y^2+y^4+y^6+y^8・・・・+y^2i)σ(z^l)・・・・
2^(k+1) x^n y^m z^l ・・・・=2^(u+2)(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)2x(1+y^2+y^4+y^6+y^8・・・・+y^2i)σ(z^l)・・・・
2^(k+1) x^(n-1) y^m z^l ・・・・=2^(u+3)(1+x^2+x^4+x^6+x^8・・・・+x^2j)(1+y^2+y^4+y^6+y^8・・・・+y^2i)σ(z^l)・・・・
また、x^nは、x^(n-1)となり、xは1が偶数個並んだ数ではなくなる。

k+1-(u+2)>0をつくるために、σ(x^n)が、1が偶数個並んだ数としたのに、σ(x^n)が、1が奇数個並んだ数になり、振り出しに戻る。

となり、完全数でない。

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月13日(木)17時51分13秒     返信・引用

 そうか、b=σ(2^k)のメルセンヌ素数であれば、
2^(k+1) x^n y^m z^l ・・・・=2^uσ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
の両辺を2^uで割って、
2^(k+1-u) x^n y^m z^l ・・・・=σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
で、k+1-u>1ならば、これは、
＞a=2^k　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝ならば、完全数にはならない。
が使えるなぁ。    
     

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月14日(金)17時06分12秒     返信・引用

> No.964[元記事へ]

> そうか、b=σ(2^k)のメルセンヌ素数であれば、
> 2^(k+1) x^n y^m z^l ・・・・=2^uσ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> の両辺を2^uで割って、
> 2^(k+1-u) x^n y^m z^l ・・・・=σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> で、k+1-u>1ならば、これは、

k+1<uならば、両辺を2^(k+1)で割ると、左辺は奇数、右辺が偶数で等しくならない。

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月15日(土)15時20分34秒     返信・引用

 > No.964[元記事へ]

> そうか、b=σ(2^k)のメルセンヌ素数であれば、
> 2^(k+1) x^n y^m z^l ・・・・=2^uσ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> の両辺を2^uで割って、
> 2^(k+1-u) x^n y^m z^l ・・・・=σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> で、k+1-u>1ならば、これは、

k+1=uならば、しかも、b=σ(2^k)のメルセンヌ素数であれば、
2^(k+1) x^n y^m z^l ・・・・=2^uσ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
x^n y^m z^l ・・・・=σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
両辺とも奇数である。
σ(x^n)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nより、x^n<σ(x^n)
同様に、y^m<σ(y^m)、z^l<σ(z^l)、・・・・であるから、左辺は、右辺より小さいので、両辺は等しくない。

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月15日(土)15時25分6秒     返信・引用

> No.964[元記事へ]

> そうか、b=σ(2^k)のメルセンヌ素数であれば、
> 2^(k+1) x^n y^m z^l ・・・・=2^uσ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> の両辺を2^uで割って、
> 2^(k+1-u) x^n y^m z^l ・・・・=σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> で、k+1-u>1ならば、これは、

k+1=u+1なら、しかも、b=σ(2^k)のメルセンヌ素数であれば、
2^(k+1) x^n y^m z^l ・・・・=2^uσ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
両辺を2^(k+1)で割って、
2 x^n y^m z^l ・・・・=σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
これは、
＞a=2^k　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝ならば、完全数にはならない。
が使えるなぁ。

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月15日(土)15時28分0秒     返信・引用 編集済

ゆえに、b=σ(2^k)のメルセンヌ素数ならば、
a=2^k b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝
σ(a)=(1+b)σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
は、2a=σ(a)にならない。つまり、偶数の完全数でない。

そうすると、
a=2^k b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝
σ(a)=(1+b)σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
は、完全数でないと証明できる。

これが、終われば、偶数でも奇数でもすべての完全数は完了する。

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 2月20日(木)21時53分42秒     返信・引用

> 31を含むけど、3,5,7,13,17,29などという偶数の完全数aの素因数分解に、ありえない素数までできてしまうのが、証明が必要なんだろね。
> それができれば、bはb≠σ(2^k)のメルセンヌ素数ならば、例えば、σ(x^n)が、bを因数に持たねばならないが偶数の完全数aの素因数分解に、ありえない素数まで できてしまうので、
> そいうことはないと言えるんだが。

これは、 σ(x^n)が、１が偶数個並んだ数なので、1+xでわれるので、また、1+x=2pから、3,5,7,13,17,29の発生理由はかんたんです。

問題は、 σ(x^n)が、１が奇数個並んだ数のときです。この場合、 3,5,7,13,17,29というものが、発生するのか？です。

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 3月25日(水)17時33分6秒     返信・引用 編集済

> ゆえに、b=σ(2^k)のメルセンヌ素数ならば、
> a=2^k b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝
> σ(a)=(1+b)σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> は、2a=σ(a)にならない。つまり、偶数の完全数でない。

a=2^k b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝
σ(a)=(1+b)σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
で、
１）2^(k+1)=(1+b)なら、
b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝=σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
とならねばならない。σ(2^k)、σ(x^n)、σ(y^m)、σ(z^l)、・・・・は、全部奇数である。

２）2^(k+1)＜(1+b)なら、
a=2^k b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝
σ(a)=(1+b)σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
は、ありえない。なぜなら、2aの２の累乗数より、σ(a)の２の累乗数が大きから2a=σ(a)はありえない。

３）2^(k+1)＞(1+b)なら、
a=2^k b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝
σ(a)=(1+b)σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
の、σ(x^n)、σ(y^m)、σ(z^l)・・・・は、いずれかが偶数である。つまり、1が偶数個並んだ数である。
すると、たとえば、1が偶数個並んだ数は、1+x=2pで割れるので、aにはない素数pが現れるので、これは、すでにありえないことは説明済みである。

したがって、
１）2^(k+1)=(1+b)なら、
b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝=σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
とならねばならない。σ(2^k)、σ(x^n)、σ(y^m)、σ(z^l)、・・・・は、全部奇数である。

ところで、
σ(2^k)=1+2+2^2+2^3+・・・・+2^k={2^(k+1)-1}/(2-1)=2^(k+1)-1
2^(k+1)=(1+b)より、
σ(2^k)=2^(k+1)-1=(1+b)-1=b
よって、
σ(2^k)=b

すると、
> ゆえに、b=σ(2^k)のメルセンヌ素数ならば、
> a=2^k b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝
> σ(a)=(1+b)σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> は、2a=σ(a)にならない。つまり、偶数の完全数でない。
より、
1)は、偶数の完全数でない。

よって、2^(k+1)と(1+b)が、どういう関係でも偶数の完全数でない。

したがって、bがメルセンヌ素数であるとき
a=2^k b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝
σ(a)=(1+b)σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
において、2^(k+1)と(1+b)が、どういう関係でも偶数の完全数でない。

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 3月26日(木)17時16分13秒     返信・引用

> No.989[元記事へ]

> したがって、bがメルセンヌ素数であるとき
> a=2^k b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝
> σ(a)=(1+b)σ(2^k)σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> において、2^(k+1)と(1+b)が、どういう関係でも偶数の完全数でない。

つまり、偶数aを素因数分解したら、bがメルセンヌ素数であるとき
a=2^k b　x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝
であるとき、aは、完全数ではない。      

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 4月 5日(日)19時24分27秒     返信・引用

 なお、以前書きましたが、
b=2^u-1のメルセンヌ素数であるとき、1+b=1+2^u-1=2^u
のように、1+b=2^u
である。      

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 4月 8日(水)11時38分1秒     返信・引用

> No.952[元記事へ]

> となる。したがって、2a=σ(a)であるから、
> 2a=2p(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> ここで、a=x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝より、
> 2 x^n y^m z^l ・・・・=2p(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> x^n y^m z^l ・・・・=p(1+x^2+x^4+・・・・+x^2k)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
> ここで、左辺はxが最小素数であるが、右辺にはp<xなる素数が存在することは紛れもない事実である。
> よって、左辺と右辺はpがあるために絶対に等号で結ばれない。
> したがって、奇数a=x^n y^m z^l ・・・・｛ただし、x,y,z・・・は素数でx<y<z・・・・｝ならば、完全数にはならない。
> つまり、奇数aは完全数でない。

ちょっとこれは、都合が良すぎた。
> ここで、左辺はxが最小素数であるが、右辺にはp<xなる素数が存在することは紛れもない事実である。

σ(x^n)が、偶数でなくて、σ(z^l)が偶数なら、1+z=2pである。
ここで、pがx,yの合成数かx,yでなければ、pは、奇数aを素因数分解したとき、現れない素数である。よって2a=σ(a)とならないので、完全数ではな い。
さて、pがx,yの合成数かx,yであれば、x,yの指数n,mは１増えるので、σ(x^n)、σ(y^m)は、偶数である。
すると、σ(z^l)が偶数であるから、σ(x^n)、σ(y^m)のいずれかまたは両方が偶数なら、σ(a)は4または8の倍数である。
しかし、2a=σ(a)が成立するには、aが奇数だから、σ(a)は、2の倍数でなければならない。
よって、σ(z^l)が偶数なら、奇数aは、完全数ではない。

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 4月 9日(木)14時42分49秒     返信・引用

> σ(x^n)が、偶数でなくて、σ(z^l)が偶数なら、1+z=2pである。
> ここで、pがx,yの合成数かx,yでなければ、pは、奇数aを素因数分解したとき、現れない素数である。よって2a=σ(a)とならないので、完全数ではない。
> さて、pがx,yの合成数かx,yであれば、x,yの指数n,mは１増えるので、σ(x^n)、σ(y^m)は、偶数である。

では、p=x^(2h)とか、p=y^(2h')とか、p=x^(2h)y^(2g)と言うような偶数増えると、σ(x^n)、σ(y^m)は、偶数ではな い。

どうしたもんだろう？     

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 4月 9日(木)15時07分28秒     返信・引用 編集済

 > では、p=x^(2h)とか、p=y^(2h')とか、p=x^(2h)y^(2g)と言うような偶数増えると、σ(x^n)、σ(y^m)は、偶数ではない。

1+z=2pで、p=x^2とすると、x,zは素数なので、奇数であるから、x=2k+1とおくと、
z=2(2k+1)^2-1
z=2(4k^2+4k+1)-1
z=8k^2+8k+2-1
z=8k^2+8k+1
z=2h+1　｛h=4k^2+4kとおくと｝
おお、z、hが素数なら、なんとソフィー・ジェルマン素数につながったじゃないか！

でも、hは偶数なので、hは素数でないのだけどね。

z=8k^2+8k+1
z=4h+1 ｛h=2k^2+2kとおくと｝
ともなる。k=1なら、h=4で、z=17で素数だけどね。つまり、x=3

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 4月12日(日)15時05分36秒     返信・引用

pがなんであれ、p=x^(2h)なら、1+z=2pなので、 2a=σ(a)の両辺を2pで割ると、左辺はxの累乗数が2h減るのに、σ(a)は、
σ(z^l)=(1+z)(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(l-1))
だから、
σ(a)=2pσ(x^n)σ(y^m)(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(l-1))・・・・
2a=σ(a)より、
x^(n-2h) y^m z^l ・・・・=σ(x^n)σ(y^m)(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(l-1))・・・・
となる。
2a=σ(a)より、
2x^n y^m z^l ・・・・=σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・
だったから
x^(n-2h) y^m z^l ・・・・   σ(x^n)σ(y^m)(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(l-1))・・・・
--------------------------= ---------------------------------------------------
2x^n y^m z^l ・・・・       σ(x^n)σ(y^m)σ(z^l)・・・・

x^(n-2h)   (1+z+z^2+z^3+・・・+z^(l-1))
----- ---= ---------------------------------------------------
2x^n        σ(z^l)

x^(n-2h)σ(z^l)=2x^n(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(l-1))

x^(-2h)σ(z^l)=2(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(l-1))

σ(z^l)
--------------=2(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(l-1))
x^(2h)

σ(z^l)
--------------=2(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(l-1))
  p

σ(z^l)=2p(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(l-1))
σ(z^l)=(1+z)(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(l-1))

うーん・・・・     

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 4月17日(金)09時51分37秒     返信・引用

> σ(z^l)=(1+z)(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(l-1))
まちがえました。σ(z^l)が偶数であるにはｌは奇数なので、l=2h+1
σ(z^l)=(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(2h+1))
      =(1+z)(1+z^2+z^4+z^6+・・・+z^(2h))

(1+z^2+z^4+z^6+・・・+z^(2h))は、2hが偶数なので、(1+z^2+z^4+z^6+・・・+z^(2h))は奇数です。
(1+z)は、偶数ですね。     

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 4月17日(金)15時47分14秒     返信・引用

> σ(z^l)=(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(2h+1))
>       =(1+z)(1+z^2+z^4+z^6+・・・+z^(2h))

Z=z^2とすると、
(1+z^2+z^4+z^6+・・・+z^(2h))
=1+Z+Z^2+Z^3+・・・+Z^h
そこで、h=2g+1つまり、hが奇数であれば、
  1+Z+Z^2+Z^3+・・・+Z^(2g+1)
=(1+Z)(1+Z^2+Z^4+・・・+Z^(2g))
となり、(1+z^2+z^4+z^6+・・・+z^(2h))も偶数ですね。
もし、g=2j+1なら、(1+Z^2+Z^4+・・・+Z^(2g))も偶数ですね。

すると、
＞では、p=x^(2h)とか、p=y^(2h')とか、p=x^(2h)y^(2g)と言うような偶数増えると、σ(x^n)、σ(y^m)は、偶数ではな い。
と必ずしも言えない。     

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 4月20日(月)16時02分6秒     返信・引用

＞では、p=x^(2h)とか、p=y^(2h')とか、p=x^(2h)y^(2g)と言うような偶数増えると、σ(x^n)、σ(y^m)は、偶数では ない。
> と必ずしも言えない。

σ(x^n)がのnが偶数ならば、σ(x^n)は奇数である。

＝＝＝＝＝
> σ(z^l)=(1+z+z^2+z^3+・・・+z^(2h+1))
>       =(1+z)(1+z^2+z^4+z^6+・・・+z^(2h))

Z=z^2とすると、
(1+z^2+z^4+z^6+・・・+z^(2h))
=1+Z+Z^2+Z^3+・・・+Z^h
そこで、h=2g+1つまり、hが奇数であれば、
  1+Z+Z^2+Z^3+・・・+Z^(2g+1)
=(1+Z)(1+Z^2+Z^4+・・・+Z^(2g))
となり、(1+z^2+z^4+z^6+・・・+z^(2h))も偶数ですね。
もし、g=2j+1なら、(1+Z^2+Z^4+・・・+Z^(2g))も偶数ですね。
＝＝＝＝＝

より、n=2^fでない限り、σ(x^n)は、必ず偶数になる。
同様に、m=2^gでない限り、σ(y^m)は、必ず偶数になる。

したがって、
〜〜〜〜
すると、
＞では、p=x^(2h)とか、p=y^(2h')とか、p=x^(2h)y^(2g)と言うような偶数増えると、σ(x^n)、σ(y^m)は、偶数ではな い。
と必ずしも言えない。
〜〜〜〜

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 4月21日(火)09時21分19秒     返信・引用

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 5月 8日(金)19時24分27秒     返信・引用 編集済

Re: 奇数の完全数はない  投稿者：うんざりはちべえ  投稿日：2020年 5月10日(日)15時19分52秒     返信・引用

> すると、よって、σ(z^l)が偶数で、上の条件を満たす時、奇数aは、完全数になるかもしれない。

逆に考えれば、これは、見方によれば、奇数の完全数の条件を見つけたのかもしれませんね。

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