1が並んだ数の観察
ver 0.005 2022-12-29
更新履歴
ver 0.001 2022-12-25 新規作成
ver 0.002 2022-12-26 追記
ver 0.003 2022-12-27 メルセンヌ数 追加
ver 0.004 2022-12-28 メルセンヌ数に追記
ver 0.005 2022-12-29 メルセンヌ数に追記
aは素数、nは自然数とします。
公式より
a^n-b^n=(a-b){a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+a^(n-4)b^3+a^(n-
5)b^4-・・・・+ab^(n-2)+b^(n-1)}
b=1なら、
a^n-1^n=(a-1){a^(n-1)+a^(n-2)1+a^(n-3)1^2+a^(n-4)1^3+a^(n-
5)1^4-・・・・+a1^(n-2)+1^(n-1)}
a^n-1=(a-1){a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+a^(n-4)+a^(n-5)-・・・・+a+1}
等比級数の和の公式より
a^n-1=(a-1){a^n-1}/(a-1)
a^n-1=a^n-1
間違ってないですね。
ここで、aが素数ならa=6k±1なので、(kは自然数）
a^n-1=(6k±1-1){a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+a^(n-4)+a^(n-5)-・・・・+a+1}
より、a=6k+1なら
a^n-1=6k{a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+a^(n-4)+a^(n-5)-・・・・+a+1}
あるいは、a=6k-1なら
a^n-1=2(3k-1){a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+a^(n-4)+a^(n-5)-・・・・+a+1}
a=6k+1なら
a^2-1=6k{a^(2-1)+1}
a^2-1=6k{6k+1+1}
a^2-1=12k{3k+1}----(1)
a=6k-1なら
a^2-1=2(3k-1){a^(2-1)+1}
a^2-1=2(3k-1){6k-1+1}
a^2-1=12k(3k-1)----(2)
(1),(2)より、a^2-1は12の倍数である。
a=6k+1なら
a^3-1=6k{a^(3-1)+a^(3-2)+1}
a^3-1=6k{(6k+1)^2+6k+1+1}
a^3-1=6k{36k^2+12k+1+6k+2}
a^3-1=6k{36k^2+18k+3}
a^3-1=18k{12k^2+6k+1}---(3)
a=6k-1なら
a^3-1=2(3k-1){a^(3-1)+a^(3-2)+1}
a^3-1=2(3k-1){(6k-1)^2+6k-1+1}
a^3-1=2(3k-1){36k^2-12k+1+6k}
a^3-1=2(3k-1){36k^2-6k+1}---(4)
(3),(4)より、a^3-1はaによって18,2の倍数である。
a=6k+1なら
a^5-1=6k{a^(5-1)+a^(5-2)+a^(5-3)+a^(5-4)+1}
(%i13) a:6*k+1;
(%o13)
6 k + 1
(%i14) factor(a^4+a^3+a^2+a+1);
4
3 2
(%o14)
1296 k + 1080 k + 360 k + 60 k + 5
a^5-1=6k{1296k^4+1080k^3+360k^2+60k+5}-----(5)
a=6k-1なら
a^5-1=2(3k-1){a^(5-1)+a^(5-2)+a^(5-3)+a^(5-4)+1}
(%i15) a:6*k-1;
(%o15)
6 k - 1
(%i16) factor(a^4+a^3+a^2+a+1);
4
3 2
(%o16)
1296 k - 648 k + 144 k - 12 k + 1
a^5-1=2(3k-1){1296k^4-648k^3+144k^2-12k+1}----(6)
(5),(6)より、a^5-1はaによって6,2の倍数である。
a=6k+1なら
a^n-1=6k{a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+a^(n-4)+a^(n-5)-・・・・+a+1}----(7)
a=6k-1なら
a^n-1=2(3k-1){a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+a^(n-4)+a^(n-5)-・・・・+a+1}----(8)
(7),(8)より、a^n-1はaによって6,2の倍数である。
そこで、n=7をやってみると、
(%i28) a:6*k+1;
(%o28)
6 k + 1
(%i29) n:7;
(%o29)
7
(%i30) factor(a^n-1);
6
5
4
3 2
(%o30) 6 k (46656 k + 54432 k + 27216 k + 7560 k
+ 1260 k + 126 k + 7)
(%i31) a:6*k-1;
(%o31)
6 k - 1
(%i32) n:7;
(%o32)
7
(%i33) factor(a^n-1);
6
5
4
3 2
(%o33) 2 (3 k - 1) (46656 k - 38880 k + 14256 k - 2808
k + 324 k - 18 k + 1)
(%i34) a:6*k+1;
(%o34)
6 k + 1
{a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+a^(n-
4)+a^(n-5)-・・・・+a+1}
1が偶数個並んだ数のなので、1が並んだ数の特性から、必ず因数分解できる。
(%i1) factor(a^3+a^2+a+1);
2
(%o1)
(a + 1) (a + 1)
(%i2) factor(a^5+a^4+a^3+a^2+a+1);
2 2
(%o2)
(a + 1) (a - a + 1) (a + a + 1)
(%i3) factor(a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1);
2 4
(%o3)
(a + 1) (a + 1) (a + 1)
(%i4) factor(a^9+a^8+a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1);
4 3
2
4 3 2
(%o4) (a + 1) (a -
a + a - a + 1) (a + a + a + a + 1)
たとえば、１が偶数個並んだ数は
1 01 01 01 01
11)11 11 11 11 11 よって1111111111/11=101010101
a^9+a^8+a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1=(a+1)(a^8+a^6+a^4+a^2+1)
で、必ず11で割れるので、(a+1)を因数に持つ。
すると、
a^n-1=(a-1){a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+a^(n-4)+a^(n-5)-・・・・+a+1}
a^n-1=(a-1)(a+1){(aの多項式）(aの多項式）・・・・}
となってしまう。
ここで、n=4なら、
a^4-1=(a-1){a^(4-1)+a^(4-2)+a^(4-3)+1}
a^4-1=(a-1){a^3+a^2+a+1}
a^4-1=(a-1){(a+1)a^2+(a+1)}
a^4-1=(a-1)(a+1)(a^2+1)
a=6k+1なら
a^4-1=(a-1)(a+1)(a^2+1)
a^4-1=(6k+1-1)(6k+1+1){(6k+1)^2+1}
a^4-1=6k(6k+2){36k^2+12k+1+1}
a^4-1=12k(3k+1){36k^2+12k+2}
a^4-1=24k(3k+1){18k^2+6k+1}----(a)
あるいは、a=6k-1なら
a^4-1=(a-1)(a+1)(a^2+1)
a^4-1=(6k-1-1)(6k-1+1){(6k-1)^2+1}
a^4-1=(6k-2)6k{36k^2-12k+2}
a^4-1=24k(3k-1){18k^2-6k+1}-----(b)
(a),(b)より、a^4-1は24の倍数である。
ここで、n=6なら、
a^6-1=(a-1){a^(6-1)+a^(6-2)+a^(6-3)+a^(6-4)+a^(6-5)+1}
a^6-1=(a-1){a^5+a^4+a^3+a^2+a+1}
a^6-1=(a-1){(a+1)a^4+(a+1)a^2+(a+1)}
a^6-1=(a-1)(a+1){a^4+a^2+1}
a=6k+1なら
a^6-1=(a-1)(a+1){a^4+a^2+1}
a^6-1=(6k+1-1)(6k+1+1){(6k+1)^4+(6k+1)^2+1}
a^6-1=6k(6k+2)[{(6k+1)^2+1}(6k+1)^2+1]
a^6-1=12k(3k+1)[{36k^2+12k+2}(36k^2+12k+1)+1]
a^6-1=12k(3k+1)[3(12k^2+6k+1)(36k^2+6k+1)]
a^6-1=36k(3k+1)(12k^2+6k+1)(36k^2+6k+1)-----(c)
あるいは、a=6k-1なら
a^6-1=(a-1)(a+1){a^4+a^2+1}
a^6-1=(6k-1-1)(6k-1+1){(6k-1)^4+(6k-1)^2+1}
a^6-1=12k(3k-1){(6k-1)^4+(6k-1)^2+1}
a^6-1=12k(3k-1){3(12k^2-6k+1)(36k^2-6k+1)}
a^6-1=36k(3k-1)(12k^2-6k+1)(36k^2-6k+1)-----(d)
(c),(d)より、a^6-1は36の倍数である。
ここで、n=8なら、
a^8-1=(a-1){a^(8-1)+a^(8-2)+a^(8-3)+a^(8-4)+a^(8-5)+a^(8-6)+a^(8-7)+1}
a^8-1=(a-1){a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1}
a^8-1=(a-1){(a+1)a^6+(a+1)a^4+(a+1)a^2+(a+1)}
a^8-1=(a-1)(a+1){a^6+a^4+a^2+1}
a^8-1=(a-1)(a+1){(a^2+1)a^4+(a^2+1)}
a^8-1=(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)
これは、
a^4-1=(a-1)(a+1)(a^2+1)
に(a^4+1)をかけたものに等しい。
a=6k+1なら
a^8-1=(a^4-1)(a^4+1)
a^8-1=[24k(3k+1){18k^2+6k+1}]{(6k+1)^4+1}
a^8-1=[24k(3k+1){18k^2+6k+1}]{2(648k^4+432k^3+108k^2+12k+1)}----(e)
a^8-1=48k(3k+1)(18k^2+6k+1)(648k^4+432k^3+108k^2+12k+1)----(e')
あるいは、a=6k-1なら
a^8-1=(a^4-1)(a^4+1)
a^8-1=[24k(3k-1){18k^2-6k+1}]{(6k-1)^4+1}
a^8-1=[24k(3k-1){18k^2-6k+1}]{2(648k^4-432k^3+108k^2-12k+1)}----(f)
a^8-1=48k(3k-1)(18k^2-6k+1)(648k^4-432k^3+108k^2-12k+1)-----(f')
(e),(f)より、a^4-1の2倍のa^8-1は48の倍数である,(e'),(f')。
ここで、n=12なら、
a^12-1=(a-1){a^11+a^10+a^9+a^8+a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1}
a^12-1=(a-1){(a+1)a^10+(a+1)a^8+(a+1)a^6+(a+1)a^4+(a+1)a^2+(a+1)}
a^12-1=(a-1)(a+1){a^10+a^8+a^6+a^4+a^2+1}
a^12-1=(a-1)(a+1){(a^2+1)a^8+(a^2+1)a^4+(a^2+1)}
a^12-1=(a-1)(a+1)(a^2+1){a^8+a^4+1}
これは、
a^4-1=(a-1)(a+1)(a^2+1)
に(a^8+a^4+1)をかけたものに等しい。
a^8+a^4+1=3(12k^2±6k+1)(36k^2±6k+1)(1296k^4±864k^3+180k^2±12k+1)
a^4-1の3倍のa^12-1は72の倍数である。
a^12-1=[24k(3k±1){18k^2±6k+1}][3(12k^2±6k+1)(36k^2±6k+1)(1296k^4±864k^3+180k^2±12k+1)]
a^12-1=72k(3k±1)(18k^2±6k+1)(12k^2±6k+1)(36k^2±6k+1)(1296k^4±864k^3+180k^2±12k+1)
ここで、n=10なら、
a^10-1=(a-1){a^(10-1)+a^(10-2)+a^(10-3)+a^(10-4)+a^(10-5)+a^(10-6)+a^(10-7)+a^(10-8)+a^(10-9)+1}
a^10-1=(a-1){a^9+a^8+a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1}
a^10-1=(a-1){(a+1)a^8+(a+1)a^6+(a+1)a^4+(a+1)a^2+(a+1)}
a^10-1=(a-1)(a+1){a^8+a^6+a^4+a^2+1}
a=6k+1なら
a^10-1=(a-1)(a+1){a^8+a^6+a^4+a^2+1}
a^10-1=(6k+1-1)(6k+1+1){(6k+1)^8+(6k+1)^6+(6k+1)^4+(6k+1)^2+1}
a^10-1=6k(6k+2){(1296k^4+648k^3+144k^2+12k+1)(1296k^4+1080k^3+360k^2+60k+5)}
a^10-1=12k(3k+1)(1296k^4+648k^3+144k^2+12k+1)(1296k^4+1080k^3+360k^2+60k+5)----(g)
あるいは、a=6k-1なら
a^10-1=(a-1)(a+1){a^8+a^6+a^4+a^2+1}
a^10-1=(6k-1-1)(6k-1+1){(6k-1)^8+(6k-1)^6+(6k-1)^4+(6k-1)^2+1}
a^10-1=(6k-2)6k{(1296k^4-648k^3+144k^2-12k+1)(1296k^4-1080k^3+360k^2-60k+5)}
a^10-1=12k(3k-1)(1296k^4-648k^3+144k^2-12k+1)(1296k^4-1080k^3+360k^2-60k+5)----(h)
(g),(h)より、a^10-1は12の倍数である。
ここで、n=12なら、
a^12-1=(a-1){a^11+a^10+a^9+a^8+a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1}
a^12-1=(a-1){(a+1)a^10+(a+1)a^8+(a+1)a^6+(a+1)a^4+(a+1)a^2+(a+1)}
a^12-1=(a-1)(a+1){a^10+a^8+a^6+a^4+a^2+1}
a^12-1=(a-1)(a+1){(a^4+a^2+1)a^6+(a^4+a^2+1)}
a^12-1=(a-1)(a+1)(a^4+a^2+1){a^6+1}
これは、
a^6-1=(a-1)(a+1){a^4+a^2+1}
に、(a^6+1)をかけたものに等しい。
a^6+1=2(18k^2±6k+1)(1296k^4±864k^3+180k^2±12k+1)
であるから、a^12-1はa^6-1の2倍である。だから(c),(d)より、a^6-1は36の倍数なのでa^12-1は72の倍数である。
a^12-1=36k(3k±1)(12k^2±6k+1)(36k^2±6k+1){2(18k^2±6k+1)(1296k^4±864k^3+180k^2±12k+1)}
a^12-1=72k(3k±1)(12k^2±6k+1)(36k^2±6k+1)(18k^2±6k+1)(1296k^4±864k^3+180k^2±12k+1)
ここで、n=18なら、
a^18-1=(a-1){a^17+a^16+a^15+a^14+a^13+a^12+a^11+a^10+a^9+a^8+a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1}
a^18-1=(a-1)(a+1){a^16+a^14+a^12+a^10+a^8+a^6+a^4+a^2+1}
a^18-1=(a-1)(a+1){(a^4+a^2+1)a^12+(a^4+a^2+1)a^6+(a^4+a^2+1)}
a^18-1=(a-1)(a+1)(a^4+a^2+1)(a^12+a^6+1)
これは、
a^6-1=(a-1)(a+1){a^4+a^2+1}
に、(a^12+a^6+1)をかけたものに等しい。
a^12+a^6+1=3(15552k^6±15552k^5+6480k^4±1512k^3+216k^2±18k+1)(46656k^6±46656k^5+19440k^4±4104k^3+432k^2±18k+1)
であるから、a^18-1はa^6-1の3倍である。だから(c),(d)より、a^6-1は36の倍数なのでa^12-1は108の倍数である。
a^18-1=36k(3k±1)(12k^2±6k+1)(36k^2-6k+1){3(15552k^6±15552k^5+6480k^4±1512k^3+216k^2±18k+1)(46656k^6±46656k^5+19440k^4±4104k^3+432k^2±18k+1)}
a^18-1=108k(3k±1)(12k^2±6k+1)(36k^2-6k+1)(15552k^6±15552k^5+6480k^4±1512k^3+216k^2±18k+1)(46656k^6±46656k^5+19440k^4±4104k^3+432k^2±18k+1)
この項は次回につづく
1
001 001
111)111 111 111 よって、111111111/111=1001001
a^8+a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1=(a^2+a+1)(a^6+a^3+1)
で、必ず111で割れるので、(a^2+a+1)を因数に持つ。
1 00001 00001
11111)11111 11111 11111 よって、111111111111111/11111=10000100001
で、必ず11111で割れるので、(a^4+a^3+a^2+a+1)を因数に持つ。
この項は次回につづく
メルセンヌ数は、1が並んだ数であるが、wikipediaより、
7以上の
2^3-1=111=30n+7
2^5-1=11 111=30n+1
2^7-1=127=1 111 111=30n+7
2^13-1=8191=1 111 111 111 111=30n+1
2^17-1=131071=11 111 111 111 111 111=30n+1
2^19-1=524287=1 111 111 111 111 111 111=30n+7
2^31-1=2147483647=1 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111=30n+7
2^61-1=2305843009213693951=1 111が20個並ぶ=30n+1
2^89-1=618970019642690137449562111=11 111が29個並ぶ=30n+1
2^107-1=162259276829213363391578010288127=11 111が35個並ぶ=30n+7
2^127-1=170141183460469231731687303715884105727=1 111が42個並ぶ=30n+7
2^521-1=30n+1
2^607-1=30n+7
2^1279-1=30n+7
2^2203-1=30n+7
2^2281-1=30n+1
2^3217-1=30n+1
2^4253-1=30n+1
2^4423-1=30n+7
2^9689-1=30n+1
2^9941-1=30n+1
2^11213-1=30n+1
2^19937-1=30n+1
2^21701-1=30n+1
2^23209-1=30n+1
2^44497-1=30n+1
2^86243-1=30n+7
2^110503-1=30n+7
2^132049-1=30n+1
2^216091-1=30n+7
2^756839-1=30n+7
2^859433-1=30n+1
2^1257787-1=30n+7
2^1398269-1=30n+1
2^2976221-1=30n+1
2^3021377-1=30n+1
2^6972593-1=30n+1
2^13466917-1=30n+1
2^20996011-1=30n+7
2^24036583-1=30n+7
2^25964951-1=30n+7
2^30402457-1=30n+1
2^32582657-1=30n+1
2^37156667-1=30n+7
2^42643801-1=30n+1
2^43112609-1=30n+1
2^57885161-1=30n+1
2^74207281-1=30n+1
2^77232917-1=30n+1
2^82589933-1=30n+1
以上からして、7以上のメルセンヌ数は、30n+P型の素数で、30n+1、30n+7しかとらないようだ。
2^3-1=7=111=30n+7
2^3-1=30n+7
2^3-8=30n
2^3-2^3=30n
n=0
2^5-1=31=11 111=30n+1
2^5-1=30n+1
2^5-2=30n
2(2^4-1)=30n
2x15=2x15n
n=1
2^7-1=127=1 111 111=30n+7
2^7-1=30n+7
2^7-8=30n
2^3(2^4-1)=30n
2^3x15=2x15n
2^2=n
n=4
2^13-1=8191=1 111 111 111 111=30n+1
2^13-1=30n+1
2^13-2=30n
2(2^12-1)=30n
2^12-1=15n
(2^4-1)(2^8+2^4+1)=15n
15(2^8+2^4+1)=15n
n=2^8+2^4+1=273
より
30x273+1=8191
あっている。
2^17-1=131071=11 111 111 111 111 111=30n+1
2^17-1=30n+1
2^17-2=30n
2^16-1=15n----(1)
(2^8-1)(2^8+1)=15n
(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)=15n
15(2^4+1)(2^8+1)=15n
(2^4+1)(2^8+1)=n
n=17x257=4369
より、
30x4369+1=131071
あっている。
2^19-1=524287=1 111 111 111 111 111 111=30n+7
2^19-1=30n+7
2^19-8=30n
2^3(2^16-1)=30n
2^2(2^16-1)=15n
ところで、(1)より、
2^2x4369=n
n=17476
より、
30x17476+7=524287
あっている。
2^31-1=2147483647=1 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111=30n+7
2^31-1=30n+7
2^31-8=30n
2^3(2^28-1)=30n
2^2(2^28-1)=15n
等比級数の和の公式より
2^2(2^27+2^26+2^25+・・・+2+1)=15n
2^2{(2+1)2^26+(2+1)2^24+(2+1)2^22+・・・・+(2+1)}=15n
2^2(2+1){2^26+2^24+2^22+2^20+2^18+2^16+2^14+2^12+2^10+2^8+2^6+2^4+2^2+1}=15n
2^2(2+1){(2^2+1)2^24+(2^2+1)2^20+(2^2+1)2^16+(2^2+1)2^12+(2^2+1)2^8+(2^2+1)2^4+(2^2+1)}=15n
2^2(2+1)(2^2+1)(2^24+2^20+2^16+2^12+2^8+2^4+1)=15n
両辺に(2-1)をかけて、
2^2(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^24+2^20+2^16+2^12+2^8+2^4+1)=15n(2-1)
2^2(2^2-1)(2^2+1)(2^24+2^20+2^16+2^12+2^8+2^4+1)=15n
2^2(2^4-1)(2^24+2^20+2^16+2^12+2^8+2^4+1)=15n
2^2x15(2^24+2^20+2^16+2^12+2^8+2^4+1)=15n
2^2(2^24+2^20+2^16+2^12+2^8+2^4+1)=n
より、
n=2^2(2^24+2^20+2^16+2^12+2^8+2^4+1)=71582788
ゆえに、
30n+7=2147483647
あっている。
2^61-1=2305843009213693951=1 111が20個並ぶ=30n+1
2^61-1=30n+1
2^61-2=30n
2^60-1=15n
等比級数の和の公式より
2^59+2^58+2^57+2^56+2^55+2^54+・・・・+2+1=15n
(2+1)2^58+(2+1)2^56+(2+1)2^54+(2+1)2^52+・・・+(2+1)=15n
(2+1)(2^58+2^56+2^54+2^52+・・・+2^2+1)=15n
(2+1){(2^2+1)2^56+(2^2+1)2^52+・・・+(2^2+1)}=15n
(2+1)(2^2+1)(2^56+2^52+2^48+・・・+1)=15n
両辺に(2-1)をかけて、
(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^56+2^52+2^48+・・・+1)=15n(2-1)
(2^2-1)(2^2+1)(2^56+2^52+2^48+・・・+1)=15n
(2^4-1)(2^56+2^52+2^48+・・・+1)=15n
15x(2^56+2^52+2^48+・・・+1)=15n
2^56+2^52+2^48+・・・+1=n
よって、正しい。
2^89-1=618970019642690137449562111=11 111が27個並ぶ=30n+1
2^89-1=30n+1
2^89-2=30n
2^88-1=15n
等比級数の和の公式より
2^87+2^86+2^85+2^84+2^83+2^82+2^81+・・・・+2+1=15n
(2+1)2^86+(2+1)2^84+(2+1)2^82+(2+1)2^80・・・・+(2+1)=15n
(2+1){2^86+2^84+2^82+2^80・・・・+2^2+1}=15n
(2+1){(2^2+1)2^84+(2^2+1)2^80+(2^2+1)2^76+・・・・+(2^2+1)}=15n
(2+1)(2^2+1)(2^84+2^80+2^76+・・・・+1)=15n
両辺に(2-1)をかけて、
(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^84+2^80+2^76+・・・・+1)=15n(2-1)
(2^2-1)(2^2+1)(2^84+2^80+2^76+・・・・+1)=15n
(2^4-1)(2^84+2^80+2^76+・・・・+1)=15n
15x(2^84+2^80+2^76+・・・・+1)=15n
2^84+2^80+2^76+・・・・+1=n
よって、正しい。
以下同様にして確かめることができる。
2^107-1=162259276829213363391578010288127=11 111が33個並ぶ=30n+7
2^127-1=170141183460469231731687303715884105727=1 111が41個並ぶ=30n+7
2^521-1=30n+1
2^607-1=30n+7
2^1279-1=30n+7
2^2203-1=30n+7
2^2281-1=30n+1
2^3217-1=30n+1
2^4253-1=30n+1
2^4423-1=30n+7
2^9689-1=30n+1
2^9941-1=30n+1
2^11213-1=30n+1
2^19937-1=30n+1
2^21701-1=30n+1
2^23209-1=30n+1
2^44497-1=30n+1
2^86243-1=30n+7
2^110503-1=30n+7
2^132049-1=30n+1
2^216091-1=30n+7
2^756839-1=30n+7
2^859433-1=30n+1
2^1257787-1=30n+7
2^1398269-1=30n+1
2^2976221-1=30n+1
2^3021377-1=30n+1
2^6972593-1=30n+1
2^13466917-1=30n+1
2^20996011-1=30n+7
2^24036583-1=30n+7
2^25964951-1=30n+7
2^30402457-1=30n+1
2^32582657-1=30n+1
2^37156667-1=30n+7
2^42643801-1=30n+1
2^43112609-1=30n+1
2^57885161-1=30n+1
2^74207281-1=30n+1
2^77232917-1=30n+1
2^82589933-1=30n+1
最後にこれを試してみよう。
2^82589933-1=30n+1
2^82589933-2=30n
2^82589932-1=15n
等比級数の和の公式より
2^82589931+2^82589930+2^82589929+2^82589928+2^82589927+・・・・+2+1=15n
(2+1)2^82589930+(2+1)2^82589928+(2+1)2^82589926+(2+1)2^82589924+・・・・+
(2+1)=15n
(2+1)(2^82589930+2^82589928+2^82589926+2^82589924+・・・・+1)=15n
(2+1){(2^2+1)2^82589928+(2^2+1)2^82589924+・・・・+(2^2+1)}=15n
(2+1)(2^2+1)(2^82589928+2^82589924+・・・・+1)=15n
両辺に(2-1)をかけて、
(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^82589928+2^82589924+・・・・+1)=15n(2-1)
(2^2-1)(2^2+1)(2^82589928+2^82589924+・・・・+1)=15n
(2^4-1)(2^82589928+2^82589924+・・・・+1)=15n
15x(2^82589928+2^82589924+・・・・+1)=15n
2^82589928+2^82589924+・・・・+1=n
よって、正しい。
2^a-1=30n+P
2^a-(P+1)=30n
Pは奇数なので、P+1=2qより
2^(a-1)-q=15n
であるから、30n+PのP=11,13,17,19,23,29
では、左辺は15の倍数にならない。つまり、P=1,7以外ではnは自然数にならない。
以上からして、メルセンヌ数は、30n+P型の素数で、30n+1、30n+7しかとらない。
また、a-1は4の倍数なら、30n+1であり、a-3が4の倍数なら、30n+7である。
その理由は、
2^(a-1)-1=15n
(2^4-1){2^4r+2^4(r-1)+2^4(r-2)+・・・+1}=15n ここで、左辺は15の倍数
(2^2-1)(2^2+1){2^4r+2^4(r-1)+2^4(r-2)+・・・+1}=15n
(2-1)(2+1)(2^2+1){2^4r+2^4(r-1)+2^4(r-2)+・・・+1}=15n
(2+1)(2^2+1){2^4r+2^4(r-1)+2^4(r-2)+・・・+1}=15n
(2+1){(2^2+1)2^4r+(2^2+1)2^4(r-1)+(2^2+1)2^4(r-2)+・・・+(2^2+1)}=15n
(2+1)2^(4r+2)+(2+1)2^4r+(2+1)2^{4(r-1)+2}+(2+1)2^4(r-1)+(2+1){2^4(r-
2)+2}+(2+1)2^4(r-2)+・・・+(2+1)2^2+(2+1)}=15n
2^(a-2)+2^(a-3)+2^(a-4)+・・・・+2+1=15n
等比級数の和の公式より
2^(a-1)-1=15n
のように、
2^(a-2)+2^(a-3)+2^(a-4)+・・・・+2+1=15n
は、係数は、1が偶数個並んだ数であり、必ず11で割れる。１が４の倍数個並んであるので、
101
11)1111 つまり、１が4個並んだ数はx^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)と因数分解できる。
したがって、a-1は4の倍数でないといけないのである。
実際の計算はmaximaでやった。
Maxima 5.45.1
https://maxima.sourceforge.io
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.12
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1) 2^13-1;
(%o1)
8191
(%i2) mod(%o1,39);
(%o2)
1
(%i3) mod(%o1,30);
(%o3)
1
(%i4) 2^17-1;
(%o4)
131071
(%i5) mod(%o4,30);
(%o5)
1
(%i6) 2^19-1;
(%o6)
524287
(%i7) mod(%o6,30);
(%o7)
7
(%i8) 2^31-1;
(%o8)
2147483647
(%i9) mod(%o8,30);
(%o9)
7
(%i10) 2^61-1;
(%o10)
2305843009213693951
(%i11) mod(%o10,30);
(%o11)
1
(%i12) 2^89-1;
(%o12)
618970019642690137449562111
(%i13) mod(%o12,30);
(%o13)
1
(%i14) mod(89,3);
(%o14)
2
(%i16) float(89/3);
(%o16)
29.66666666666666
(%i17) 2^107-1;
(%o17)
162259276829213363391578010288127
(%i18) float(107/3);
(%o18)
35.66666666666666
(%i19) mod(107,3);
(%o19)
2
(%i20) mod(%o17,30);
(%o20)
7
(%i21) 2^127-1;
(%o21)
170141183460469231731687303715884105727
(%i22) mod(%o21,30);
(%o22)
7
(%i23) mod(127,3);
(%o23)
1
(%i24) float(127/3);
(%o24)
42.33333333333333
(%i25) 2^521-1;
(%o25)
68647976601306097149819007990813932172694353001433054093944634591855431\
833976560521225596406614545549772963113914808580371219879997166438125740282911\
15057151
(%i26) mod(%o25,30);
(%o26)
1
(%i27) mod(2^607-1,30);
(%o27)
7
(%i28) mod(2^1279-1,30);
(%o28)
7
(%i29) mod(2^2203-1,30);
(%o29)
7
(%i30) mod(2^2281-1,30);
(%o30)
1
(%i31) mod(2^3217-1,30);
(%o31)
1
(%i32) mod(2^4253-1,30);
(%o32)
1
(%i33) mod(2^4423-1,30);
(%o33)
7
(%i34) mod(2^9689-1,30);
(%o34)
1
(%i35) mod(2^9941-1,30);
(%o35)
1
(%i36) mod(2^11213-1,30);
(%o36)
1
(%i37) mod(2^19937-1,30);
(%o37)
1
(%i38) mod(2^21701-1,30);
(%o38)
1
(%i39) mod(2^23209-1,30);
(%o39)
1
(%i40) mod(2^44497-1,30);
(%o40)
1
(%i41) mod(2^86243-1,30);
(%o41)
7
(%i42) mod(2^110503-1,30);
(%o42)
7
(%i43) mod(2^132049-1,30);
(%o43)
1
(%i44) mod(2^216091-1,30);
(%o44)
7
(%i45) mod(2^756839-1,30);
(%o45)
7
(%i46) mod(2^859433-1,30);
(%o46)
1
(%i47) mod(2^1257787-1,30);
(%o47)
7
(%i48) mod(2^1398269-1,30);
(%o48)
1
(%i49) mod(2^2976221-1,30);
(%o49)
1
(%i50) mod(2^3021377-1,30);
(%o50)
1
(%i51) mod(2^6972593-1,30);
(%o51)
1
(%i52) mod(2^13466917-1,30);
(%o52)
1
(%i53) mod(2^20996011-1,30);
(%o53)
7
(%i54) mod(2^24036583-1,30);
(%o54)
7
(%i55) mod(2^25964951-1,30);
(%o55)
7
(%i56) mod(2^30402457-1,30);
(%o56)
1
(%i57) mod(2^32582657-1,30);
(%o57)
1
(%i58) mod(2^37156667-1,30);
(%o58)
7
(%i59) mod(2^42643801-1,30);
(%o59)
1
(%i60) mod(2^43112609-1,30);
(%o60)
1
(%i61) mod(2^57885161-1,30);
(%o61)
1
(%i62) mod(2^74207281-1,30);
(%o62)
1
(%i63) mod(2^77232917-1,30);
(%o63)
1
(%i64) mod(2^82589933-1,30);
(%o64)
1
(%i65)