加算の工夫の観察
ver 0.009 2022-12-15
更新履歴
ver 0.001 2022-10- 6新規作成
ver 0.002 2022-10- 8 追記
ver 0.003 2022-10-10 追記
ver 0.004 2022-10-11 追記・訂正
ver 0.005 2022-10-13 追記・訂正
ver 0.006 2022-10-14 追記・訂正・大幅改定
ver 0.007 2022-10-15 折返しをkとする 追加
ver 0.008 2022-10-16 折返しをkとする に追記
ver 0.009 2022-12-15 追記
足し算を掛け算にできたら便利ですね。そこで次の2つの式を考えてみましょ う。
1 1
2n-1
1
1
2n+1
------ - ----= --------- (1) ---
- ------- = ----------- (2)
(n-1)2 n2 n2(n-1)2 n2 (n+1)2 n2(n+1)2
これは、
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1
∑ ------ - ------= ( --- - -----) + ( ---- - ----) + ( ---- - --- )+ ・・・= 1 (3)
n=2 (n-1)2 n2 12 22 22 32 32 42
∞ 1
1
1
1
1 1
1 1
1
∑ ---- - --------= ( ---- - ----) + ( ---- - ----) + (
---- - --- )+ ・・・= ----- (4)
n=2 n2 (n+1)2
22 32
32 42
42 52
22
(1)+(2)を計算すると、
1 1
2n-1
1
1 2n+1
1
1
( ------
- ----= ---------)＋ (--- - ----- = ----------) =
------ - ---------
(n-1)2 n2 n2(n-1)2 n2 (n+1)2 n2(n+1)2 (n-1)2 (n+1)2
1 ∞ 1
1
左辺の無限和は、 (3)+(4)より １----- = ∑ ( ------ - ----------) (a)
4 n=2 (n-1)2 (n+1)2
ところで、
1 1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
( ---- +
---- - ----- )+( --- + ---- - --- )+ ( ---- +
---- - ----- ) + ( ----- + ---- - ----) + ・・・・・
12 22 32
22
32 42
32
42 52
4 2 52
62
1
1 1 1
1
1 1
= ------ + ---- + --- + ---- + ---- + ---- + ----- + ・・・・・
12 22 22
32 42
52
62
1
1 1
1 1
1 1
= ------ + ---- + --- + ---- + ---- + ---- + ----- + ・・・・・
22 12 22
32 42
52
62
1
∞ 1
= 1+--- + ∑ ---- (5)
22 n=2 n2
さて、
1
1 1
--------- + ---- - --------
(n-1)2 n2
(n+1)2
1 1 1
=----- + ------ - --------
n2 (n-1)2
(n+1)2
よって、
1 ∞
1 ∞ 1
1 1
1+
---- + ∑ -------- =∑ ( --- + ------ - -------)
22 n=2
n2 n=2 n2
(n-1)2 (n+1)2
ところで、
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑(
------- - ------ )= ---- - ---- + ---- - --- + --- - --- + --- -
---・・・・= 1 + ---
n=2 (n-1)2 (n+1)2 12 32 22 42 32 52 52 62 22
よって、
∞ 1 ∞ 1
∑
-------- =∑ ----
n=2 n2 n=2 n2
当たり前でした。足し算を掛け算にできたら便利ですね。そこで次の4つの式を考えてみましょ う。
1 1
2n-1
1
1
2n+1
------ - ----= --------- (10) ---
- ------- = ----------- (11)
(n-1)2 n2 n2(n-1)2 n2 (n+1)2 n2(n+1)2
1 1 2n-3
1
1 2n+3
------ - ------= --------- (12) ----- -
------- = ----------- (13)
(n-2)2 (n-1)2 (n-2)2(n-1)2 (n+1)2 (n+2)2 (n+2)2(n+1)2
これは、
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1
∑ ------ - ------= ( --- - -----) + ( ---- - ----) + ( ---- - --- )+ ・・・= 1 (14)
n=3 (n-2)2 (n-1)2 12 22 22 32 32 42
∞
1 1
1 1
1
1 1
1
1
∑ ------ - ------= ( --- - -----) + ( ---- - ----) + ( ---- - --- )+ ・・・= ----- (15)
n=3 (n-1)2 n2
22 32
32 42
42
52
22
∞ 1
1
1 1
1 1
1 1
1
∑ ---- - --------= ( ---- - ----) + ( ---- - ----) + (
---- - --- )+ ・・・= ----- (16)
n=3 n2 (n+1)2
32 42
42 52
52 62
32
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑ ------ - ------= ( --- - -----) + ( ---- - ----) + ( ---- - --- )+ ・・・= ----- (17)
n=3 (n+1)2 (n+2)2
42 52
52 62
62
72
42
1
1
(10)+(11)+(12)+(13)=---------
- ---------
(n-2)2 (n+2)2
1 1
1 1
∞ 1 1
左辺の無限和は、 (14)+(15)+(16)+(17) =--- + ---- + ----- + ---- = ∑ ( ------ - ------- ) (b)
1 22 32 42 n=3 (n-2)2 (n+2)2
ところで、
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1
1 1
1 1 1
( ---- + ---- + ---- - --- - ---)+( --- + ---- + ---- - --- - ---- )+ ( ---- + ---- + ----- - ---- - ---- )
12 22
32 42
52 22
32 42 52
62 32
42 52
62 72
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
+( ------ + ---- + --- - ---- - ----) + ( ----- + ----- + ----- - ----- - ----)+( ----- + -----+ ・・・・・
42 52 62
72 82
52
62 72 82
92 62
72
2
3
2 1 1
= 1
+ ---- + --- + ---- + --- + --- + ・・・・・
22 32 42
52 62
2 2
1 ∞ 1
= 1
+ ---- + --- + ---- + ∑--- (18)
22 32 42
n=3 n2
さて、(18)は、
1
1 1 1
1
=
--------- + ----- + ---- - ------ - -------- (19)
(n-2)2 (n-1)2 n2
(n+1)2 (n+2)2
左辺の無限和は、(18)である。(19)を整理すると、
2 2 1 ∞ 1
1 + ---
+ --- + --- ∑ ------
22
32 42 n=3
n2
1
1 1 1
1
=
--------- + ----- + ---- - ------ - --------
(n-2)2 (n-1)2 n2
(n+1)2 (n+2)2
1 1 1
1 1
= ----- + ----- - ---- + ------ - --------
n2 (n-1)2 (n+1)2
(n+2)2 (n+2)2
ところで、
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑---------
- ------ - ---- - ---- + ---- - --- + --- - --- + --- - ---・・・・= --- +
---
n=3 (n-1)2 (n+1)2 22 42 32 52 42 62 52 72 22 32
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑---------
- ------ - ---- - ---- + ---- - --- + --- - --- + --- - ---・・・・= --- +
--- + --- + ---
n=3 (n-2)2 (n+2)2 12 52 22 62 32 72 42 82 12 22 32 42
よって、
2 2 1 ∞ 1 ∞ 1 1 2 2 1
1 + ---
+ --- + --- ∑ -------- =∑ --- + --- + --- + ---
+ ---
22
32 42 n=3
n2 n=3 n2
12 22 32
42
よって、
∞ 1 ∞ 1
∑
-------- =∑ ----
n=3 n2 n=3 n2
当たり前でした。
今まで、3項、5項の折返しを考えてきましたが、ｋ項の折返しを考えてみま しょう。
1
1
1
1 1 1
1
1 1
------ +
------------ + ・・・・ + -------- + ----- + ---- - ------ - ------- -・・・-
----------- - -------
(n-k)2 {n-(k-1)}2 (n-2)2 (n-1)2 n2 (n+1)2 (n+2)2 {n+(k-1)}2 (n+k)2
式を変形して、
1
1 1
1
1 1 1
1
1
1 1
= ------
+ ------- - ------- + ------ - ----- + ------ - ------ +・・・+ --------- -
---------- + ------- - -------
n2 (n-1)2
(n+1)2 (n-2)2 (n+2)2
(n-3)2 (n+3)2
{n-(k-1)}2 {n+(k-1)}2
(n-k)2 (n+k)2
さ て、n=k+1として無限和を求めてみましょう。
∞ 1
1 1
1
1 1 1
1
1
1 1
∑(
------ + ------- - ------- + ------ - ----- + ------ - ------ +・・・+
--------- - ---------- + ------- - ------- )
n=k+1
n2 (n-1)2
(n+1)2 (n-2)2 (n+2)2
(n-3)2 (n+3)2
{n-(k-1)}2 {n+(k-1)}2
(n-k)2 (n+k)2
ところで、
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑(
--------- - ------)= ---- - ----- + ------ - ----- + ------ - ------- +
-------- - ------- +・・・・= --- + -------
n=k+1 (n-1)2 (n+1)2 k2 (k+2)2 (k+1)2 (k+3)2 (k+2)2 (k+4)2 (k+3)2 (k+5)2 k2 (k+1)2
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑(
--------- - ------)= ---- - ----- + ------ - ----- + ------ - ------- +
-------- - ------- +・・・・= --- + --- + ----- + ------
n=k+1 (n-2)2 (n+2)2 (k-1)2 (k+3)2 k2 (k+4)2 (k+1)2 (k+5)2 (k+2)2 (k+6)2 (k-1)2 k2 (k+1)2 (k+2)2
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑(
--------- - ------)= ---- - ----- + ------ - ----- + ------ - ------- +
-------- - ------- +・・・・= ----- + ------ + --- + ----- + ------ + ------
n=k+1 (n-3)2 (n+3)2 (k-2)2 (k+4)2 (k-1)2 (k+5)2 k2 (k+6)2 (k+1)2 (k+7)2 (k-2)2 (k-1)2 k2 (k+1)2 (k+2)2 (k+3)2
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑(
--------- - ------)= ---- - ----- + ------ - ----- + ------ - ------- +
-------- - ------- +・・・・=
n=k+1 (n-4)2 (n+4)2 (k-3)2 (k+5)2 (k-2)2 (k+6)2 (k-1)2 (k+7)2 k2 (k+8)2
0の無限和は0です。
それの前に有限和を加えると、無限和であっても、有限和です。
つまり、有理数は四則演算で、有理数で閉じているには、有限和であり、その 先が0であればいいのです。
ここでは、
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑(
--------- - ------)= ---- - ----- + ------ - ----- + ------ - ------- +
-------- - ------- +・・・・= --- + -------
n=k+1 (n-1)2 (n+1)2 k2 (k+2)2 (k+1)2 (k+3)2 (k+2)2 (k+4)2 (k+3)2 (k+5)2 k2 (k+1)2
は、無限和ですが、2項を除いて、すべて０です。無限和が、有限和になって
いるのです。
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑(
----- - ------)= (-- -- ---)+(--- - ---) + (--- - ---)+( --- - ----)
+・・・・= --- + ---
n=1 n2 (n+2)2 12 32 22 42 32 52 42 62 12 22
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑(
----- - ------)= (-- -- ---)+(--- - ---) + (--- - ---)+( --- - ----)
+・・・・= -- + --- + --- + ---
n=1 n2 (n+4)2 12 52 22 62 32 72 42 82 12 22 32 42
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑(
----- - ------)= (-- -- ---)+(--- - ---) + (--- - ---)+( --- - ---)
+(--- - ---)・・・・= -- + --- + --- + --- + --- + ---
n=1 n2 (n+6)2 12 72 22 82 32 92 42 102 52 112 12 22 32 42 52 62
よって、
∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2k 1
∑(
----- - ------)=(-- - ---)+(--- - ---) + (--- - ---)+( --- - ----)
+・・・・= ∑ ---
n=1 n2 (n+2k)2 12 32 22 42 32 52 42 62 n=1 n2
∞ 1 1 2k 1
∑(
----- - ------)= ∑ ---
n=1 n2 (n+2k)2 n=1 n2
よって、左辺の無限和は右辺の有限和となる。
∞ 1 ∞ 1 2k 1
∑
--- - ∑--------= ∑ ---
n=1 n2 n=1 (n+2k)2 n=1 n2
∞ 1 2k 1 ∞ 1
∑
--- = ∑
--- + ∑ --------
n=1 n2 n=1 n2 n=1 (n+2k)2
あたりまえか・・・・