循環小数の観察
ver 0.001 2022-10-2
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小数表現には、繰 り返しを表す 5 、2345このような数字の上に、点をかく表示があります。5は５の繰り返し、2345は2345の繰り返しを表します。
循環小数は、自然数の割り算において、あまりが循環することで、循環する小 数です。したがって、あまりと常に一緒です。あまりが、循環しますから、無限小数 です。もし仮に、あまりが、なくなれば、そこで、循環が終わるので、有限小数です。
循環小数は、割り
算において発生しますので、有理数です。
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1/3=１÷３=0.3333・・・・＝0.3 です。あまり１が循環するから、循環小数です。
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ただし、０の後ろ に、3を無限に並べた0.3=0.3333・・・ですが、これは、循環小数では、 ありません。なぜなら、あまりがないからです。循環しない無限小数は、無理数となります。
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同様に、 0.1762345=0.17623452345234523452345・・・ですが、 これも、循環小数では、ありません。なぜなら、あまりがないからです。これも、無理数ですね。
すると、そんなこ とはない。小数表現が連続な無限小数は、すべて有理数にできる。
x= 0.3333・・・は、10倍して、
10x=3.3333・・・
-) x=0.3333・・・これから、0.3333・・・を引けば、
9x=3
よって、 x=3/9=1/3
では、代数学的に この計算を見てみましょう。
x=aは、10倍して、
10x=10a
-) x= a
9x=9a
よって、x=a
x=aで変わりませんね。
前述の
x= 0.3333・・・は、10倍して、
10x=3.3333・・・
-) x=0.3333・・・これから、0.3333・・・を引けば、
9x=3
よって、 x=3/9=1/3
これは、 x=0.3333・・・が、x=1/3に変わりました。
1/3=1÷3=0.3333・・・ とあまり、0.00・・・1なのです。
したがって、 x≠1/3です。
したがって、小数 表現が連続な無限小数は、すべて有理数にできないのです。
有理数でない小数 表現が連続な無限小数は無理数です。