素数の割合

素数の割合をかんがえて見ました。

まず、素数候補については、以下のように考えられます。

１）２、３の倍数を除いた素数候補表現は、I=6n+p(1≦p≦5)のとき 2x3=6の数の中から、
(I mod 3) = 0 (I mod 3) = 1 (I mod 3) = 2
(I mod 2) = 0 6 4 2
(I mod 2) = 1 3 1 5

より、6n+1,6n+5(6n'-1)より、6n±1
つまり、全体の1/3です。

２）２、３、５の倍数を除いた素数候補表現は、I=30n+p(1≦p≦29)のとき2x3x5=30の数の中から、

(I mod 2) = 0 (I mod 5) = 0 (I mod 5) = 1 (I mod 5) = 2 (I mod 5) = 3 (I mod 5) = 4
(I mod 3) = 0 30 6 12 18 24
(I mod 3) = 1 10 16 22 28 4
(I mod 3) = 2 20 26 2 814

(I mod 2) = 1 (I mod 5) = 0 (I mod 5) = 1 (I mod 5) = 2 (I mod 5) = 3 (I mod 5) = 4
(I mod 3) = 0 15 21 27 3 9
(I mod 3) = 1 25 1 7 13 19
(I mod 3) = 2 5 11 17 23 29
より、 30n+1、30n+7、30n+11,30n+13,30n+17(30n-13),30n+19(30n-11),30n+23(30n-7),30n+29(30n-1)より、
30n±1、30n±7、30n±11、30n±13となります。

よって、全体の 8/30になります。

３）２、３、５、７の倍数を除いた素数候補表現は、I=210n+p(1≦p≦209)のとき2x3x5x7=210の数の中から、

(I mod 2) =0 (I mod 3) =0 (I mod 7) = 0 1 2 3 4 5 6 7の倍数 (I mod 5) =0 210 120 30 150 60 180 90 1 126 36 156 66 186 96 6 2 42 162 72 192 102 12 132 3 168 78 198 108 18 138 48 4 84 204 114 24 144 54 174 0 1 0 1 2 3 4 5 6 0 70 190 100 10 130 40 160 1 2 省略 3 4 0 2 0 1 2 3 4 5 6 0 140 50 170 80 200 110 20 1 2 省略 3 4 1 0 0 1 2 3 4 5 6 0 105 15 45 75 1 2 省略 3 4 1 1 0 1 2 3 4 5 6 0 175 85 205 115 25 145 55 1 91 1 121 31 151 61 181 2 7 127 37 157 67 187 97 3 133 43 163 73 193 103 13 4 49 169 79 199 109 19 139 1 2 0 1 2 3 4 5 6 0 35 155 65 185 95 5 125 1 161 71 191 101 11 131 41 2 77 197 107 17 137 47 167 3 203 113 23 143 53 173 83 4 119 29 149 59 179 89 209 よって、以下のリストができます。 210n+1 ,210n+11 ,210n+13 ,210n+17 ,210n+19 ,210n+23 , 210n+29 ,210n+31 ,210n+37 ,210n+41 ,210n+43 ,210n+47 , 210n+53 ,210n+59 ,210n+61 ,210n+67 ,210n+71 ,210n+73 , 210n+79 ,210n+83 ,210n+89 ,210n+97 ,210n+101,210n+103, 210n+107,210n+109,210n+113,210n+121,210n+127,210n+131, 210n+137,210n+139,210n+143,210n+149,210n+151,210n+157, 210n+163,210n+167,210n+169,210n+173,210n+179,210n+181, 210n+187,210n+191,210n+193,210n+197,210n+199,210n+209 ゆえに、 210n±1 ,210n±11 ,210n±13 ,210n±17 ,210n±19 ,210n±23 , 210n±29 ,210n±31 ,210n±37 ,210n±41 ,210n±43 ,210n±47 , 210n±53 ,210n±59 ,210n±61 ,210n±67 ,210n±71 ,210n±73 , 210n±79 ,210n±83 ,210n±89 ,210n±97 ,210n±101,210n±103, よって、48/210です。

４）以上のことから、素数kまでの倍数を除いた素数候補の割合は、

(2-1)*(3-1)*(5-1)*(7-1)*(11-1)*(13-1)*(17-1)*......*(k-1) ----------------------------------------------------------- 2*3*5*7*11*13*17*.......*k となります。(分子は、各素数の剰余の積になります。）

たとえば、23までの素数は、2,3,5,7,11,13,17,19,23ですが、 その積は、223'092'870で、そのうち素数候補の割合は、36'495'360より、 16.36%となります。（ここで、言っているのは、223,092,870までという意味ではなく、 無限の果てまで、2,3,5,7,11,13,17,19,23の倍数を除いた素数候補の生成ルール の可能性についていっています。）

また、ここでは、素数の数でなく素数候補数を言っているので、もう少し少なく なります。（たとえば、29,37,43の倍数は、含まれています。）

最初の72個の素数の積は、149桁にもなりましたが、素数候補の数は、9.51%でした。

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