anーbnで 攻めるの観察
ver 0.003 2022- 9-3
更新履歴
ver 0.001 2022-8-27 新規作成
ver 0.002 2022-8-28 追記
ver 0.003 2022-9-3 上記に追記
an-bnは次の公式があります。an+bn（ただしnは奇 数）においても同じようなことが成り立ちます。
an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+an-4b3+an-5b4+・・・・+abn-2+bn-1)
この公式は、よく見ると、面白いことに気づきます。
n=3のとき、
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a2+b2+ab)= (a-b)・p3
n=5のとき、
a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=(a+b){a4+b4+ab(a2+b2+ab)}=(a-b){a4+b4+ab・ p3}=(a-b)・p5
n=7のとき、
a7-b7=(a-b)(a6+a5b+a4b2+a3b3+a2b4+ab5+b6)=(a-b){a6+b6+ab(a4+b4+ab(a2+b2+ab))}=(a-b){a6+b6+ab{a4+b4+ab・ p3}}=(a-b)(a6+b6+ab・p5)=(a-b)・ p7
つまり、
p7=a6+b6+ab・p5
p5=a4+b4+ab・p3
p3=a2+b2+ab
したがって、
pn=an-1+bn-1+ab・pn-2
an+bnの場合は、同様にして、
pn=an-1+bn-1-ab・pn-2
ということができます。これから、発想したのが、
です。
しかし、p3はn=3のときのa,bであって、p5はn=5のときのa,bではないか。つまり、p3,p5の a,bは異なるのではないかとの指摘を受けました。
しかしながら、nは奇数であり、3または、5または、7また は、9または・・・であって、nの値は論理和なのです。論理和は論理学的には、論理積を含みます ので、（例えば、A,Bの和集合A∪BはAとBの重なった部分つまり、積集合A∩Bを含みます。）p3,p5,p7,p9,p11・・・が 同時に成り立つ場合も含むのです。
でも、たまたま、説明で、n=3からp3をつくたけど、nのときの、an-bnから式を変形すれば、pn,pn-2,・・・ p3が全部作られるから、a,bは皆共通なんだな。
an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+an-4b3+an-5b4+・・・・+abn-2+bn-1)
an-bn=(a-b)(an-1+bn-1+ab{an-3+bn-3+ab{an-5+bn-5+ab{an-7+bn-7+ab{an-9+bn-9+ab{・・・・+ab{a3+b3+ab}}}}}}}・・・)
そういう指摘は、当たらないし、論理和を持ち出すこともないんだな。
全く、指摘は当たらないし、問題はどこにもない。
昨日放送大学の初歩の数学で、数列を見ました。
多分、階差数列だと思いましたが、等比級数の和でした。
等比級数の和：
等比級数 S(n)=a+ar+ar^2+ar^3+・・・・+a^r(n-1)において、
S(n)=a+ar+ar^2+ar^3+・・・・+a^r(n-1)
-)rS(n)= ar+ar^2+ar^3+・・・・+a^r(n-1)+ar^n
(1-r)S(n)=a-ar^n
1-r^n
S(n)=a ---------
1-r
をえる。ただし、r≠1
そこで、
a^n-b^n=(a-b){a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+a^(n-4)b^3+・・・・+a^2b^(n-
3)+ab^(n-2)+b^(n-1)}(ただし、n≧2)
さて、
a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+a^(n-4)b^3+・・・・+a^2b^(n-3)+ab^(n-2)+b^(n-1)
=a^(n-1){1+(b/a)+(b/a)^2+(b/a)^3+(b/a)^4+・・・+(b/a)^(n-2)+(b/a)^(n-1)}
等比級数の和から、
1-(b/a)^n
= a^(n-1) ------------
1-b/a
1-(b/a)^n
= a^(n-1) -------------
(a-b)/a
1-(b/a)^n
= a^n -----------------
(a-b)
ゆえに、
1-(b/a)^n
a^n-b^n=(a-b) a^n --------------
a-b
試しにn=3のとき、
1-(b/a)^3
a^3-b^3=(a-b) a^3 ----------- =a^3{1-(b/a)^3}=a^3-b^3
a-b