因数定理で攻めるの観察
ver 0.005 2023-3-10
更新履歴
ver 0.001 2022- 8-27 新規作成
ver 0.002 2022- 9-11 c^n-b^nが単一の重根aを持つ場合
ver 0.003 2022- 9-13 c^n-b^nが単一の重根aを持つ場合のつづき
ver 0.004 2022- 9-15 c^n-b^nが単一の重根aを持つ場合のつづき２
ver 0.005 2023- 3-10 c^n-b^nがa^nにならない
因数定理で攻めるは、これからです。
そして、
g(x)=(x+j)2-(x+k)2 >0 （ただし、j>k>0）でも、
ピタゴラス数では、たとえば、(13,12,5)という組み合わせがあります。
132-122=52
(13+12)(13-12)=25=52
となって、g(x)>0でも、解を持つのです。
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-2-a-4.pdf
これの理屈からすれば、y=x^2とy=(x+j)^2は、左へjだけ平行移動しただけで、x,jが自然数領域で(x+j)^2-x^2>0より、
(u+j)^2-u^2=0はありえないので、(x+j)^2-x^2は因数分解できないことになるが、ピタゴラス数から5^2-4^2=3^2となる。
まずい。
そこで、
c^2-b^2=s^2t^2とすると、
(%i59) factor(c^2-b^2);
(%o59)
(c - b) (c + b)
より、
c-b=1 c+b=s^2t^2
c-b=s c+b=st^2
c-b=s^2 c+b=t^2
c-b=st c+b=st
c-b=s^2t^2 c+b=1
が考えられる。
１）c-b=1 c+b=s^2t^2
(%i60) ex1:c-b=1;
(%o60)
c - b = 1
(%i61) ex2:c+b=s^2*t^2;
2 2
(%o61)
c + b = s t
(%i62) solve([ex1,ex2],[c,b]);
2 2
2 2
s t + 1 s t - 1
(%o62)
[[c = ---------, b = ---------]]
2
2
２）c-b=s c+b=st^2
(%i63) ex1:c-b=s;
(%o63)
c - b = s
(%i64) ex2:c+b=s*t^2;
2
(%o64)
c + b = s t
(%i65) solve([ex1,ex2],[c,b]);
2
2
s (t + 1) s (t - 1)
(%o65)
[[c = ----------, b = ----------]]
2
2
３）c-b=s^2 c+b=t^2
(%i66) ex1:c-b=s^2;
2
(%o66)
c - b = s
(%i67) ex2:c+b=t^2;
2
(%o67)
c + b = t
(%i68) solve([ex1,ex2],[c,b]);
2 2
2 2
t + s s - t
(%o68)
[[c = -------, b = - -------]]
2
2
４）c-b=st c+b=st
(%i69) ex1:c-b=s*t;
(%o69)
c - b = s t
(%i70) ex2:c+b=s*t;
(%o70)
c + b = s t
(%i71) solve([ex1,ex2],[c,b]);
(%o71)
[[c = s t, b = 0]]
５）c-b=s^2t^2 c+b=1
(%i72) ex1:c-b=s^2*t^2;
2 2
(%o72)
c - b = s t
(%i73) ex2:c+b=1;
(%o73)
c + b = 1
(%i74) solve([ex1,ex2],[c,b]);
2
2
2 2
s t + 1 s
t - 1
(%o74)
[[c = ---------, b = - ---------]]
2
2
(%i75
より、s,tがともに奇数なら自然数解を持つことがわかる。
＝＝＝＝＝＝＝＝
つまり、2乗の場合は、特別なのです。
では、c^3-b^3=a^3ならどうだろう？
c^3-b^3=s^3t^3とすると、
(%i25) factor(c^3-b^3);
2 2
(%o25)
(c - b) (c + b c + b )
より、
１）c-b=s c^2+cb+b^2=s^2t^3
２）c-b=s^2 c^2+cb+b^2=st^3
３）c-b=s^3 c^2+cb+b^2=t^3
４）c-b=st c^2+cb+b^2=s^2t^2
５）c-b=s^2t c^2+cb+b^2=st^2
６）c-b=s^3t c^2+cb+b^2=t^2
７）c-b=st^2 c^2+cb+b^2=s^2t
８）c-b=s^2t^2 c^2+cb+b^2=st
９）c-b=s^3^2 c^2+cb+b^2=t
１０）c-b=s^3t^3 c^2+cb+b^2=1
１１）c-b=1 c^2+cb+b^2=s^3t^3
が考えられる。
１）c-b=s c^2+cb+b^2=s^2t^3
(%i26) ex1:c-b=s;
(%o26)
c - b = s
(%i27) ex2:c^2+b*c+b^2=s^2*t^3;
2
2 2 3
(%o27)
c + b c + b = s t
(%i28) solve([ex1,ex2],[c,b]);
3
sqrt(3) s sqrt(4 t - 1) - 3 s
(%o28) [[c = - ------------------------------,
6
3
sqrt(3) s sqrt(4 t - 1) + 3 s
b = - ------------------------------],
6
3
3
sqrt(3) s sqrt(4 t - 1) + 3
s sqrt(3) s sqrt(4 t - 1) - 3 s
[c = ------------------------------, b =
------------------------------]]
6
6
２）c-b=s^2 c^2+cb+b^2=st^3
(%i29) ex1:c-b=s^2;
2
(%o29)
c - b = s
(%i30) ex2:c^2+b*c+b^2=s*t^3;
2
2 3
(%o30)
c + b c + b = s t
(%i31) solve([ex1,ex2],[c,b]);
3 4 2
sqrt(3) sqrt(4 s t - s ) - 3 s
(%o31) [[c = - --------------------------------,
6
3 4 2
sqrt(3) sqrt(4 s t - s ) + 3 s
b = - --------------------------------],
6
3 4
2
3 4 2
sqrt(3) sqrt(4 s t - s ) + 3
s sqrt(3) sqrt(4 s t - s ) - 3
s
[c = --------------------------------, b =
--------------------------------]]
6
6
３）c-b=s^3 c^2+cb+b^2=t^3
(%i32) ex1:c-b=s^3;
3
(%o32)
c - b = s
(%i33) ex2:c^2+b*c+b^2=t^3;
2
2 3
(%o33)
c + b c + b = t
(%i34) solve([ex1,ex2],[c,b]);
3 6 3
sqrt(3) sqrt(4 t - s ) - 3 s
(%o34) [[c = - ------------------------------,
6
3 6 3
sqrt(3) sqrt(4 t - s ) + 3 s
b = - ------------------------------],
6
3 6
3
3 6 3
sqrt(3) sqrt(4 t - s ) + 3
s sqrt(3) sqrt(4 t - s ) - 3 s
[c = ------------------------------, b =
------------------------------]]
6
6
(%i35)
４）c-b=st c^2+cb+b^2=s^2t^2
(%i35) ex1:c-b=s*t;
(%o35)
c - b = s t
(%i36) ex2:c^2+b*c+b^2=s^2*t^2;
2
2 2 2
(%o36)
c + b c + b = s t
(%i37) solve([ex1,ex2],[c,b]);
(%o37)
[[c = s t, b = 0], [c = 0, b = - s t]]
５）c-b=s^2t c^2+cb+b^2=st^2
(%i38) ex1:c-b=s^2*t;
2
(%o38)
c - b = s t
(%i39) ex2:c^2+b*c+b^2=s*t^2;
2
2 2
(%o39)
c + b c + b = s t
(%i40) solve([ex1,ex2],[c,b]);
4 2
sqrt(3) sqrt(4 s - s ) t - 3 s t
(%o40) [[c = - ---------------------------------,
6
4 2
sqrt(3) sqrt(4 s - s ) t + 3 s t
b = - ---------------------------------],
6
4
2
4 2
sqrt(3) sqrt(4 s - s ) t + 3 s
t sqrt(3) sqrt(4 s - s ) t - 3 s t
[c = ---------------------------------, b =
---------------------------------]]
6
6
６）c-b=s^3t c^2+cb+b^2=t^2
(%i41) ex1:c-b=s^3*t;
3
(%o41)
c - b = s t
(%i42) ex2:c^2+b*c+b^2=t^2;
2
2 2
(%o42)
c + b c + b = t
(%i43) solve([ex1,ex2],[c,b]);
6 3
sqrt(3) sqrt(4 - s ) t - 3 s t
(%o43) [[c = - -------------------------------,
6
6 3
sqrt(3) sqrt(4 - s ) t + 3 s t
b = - -------------------------------],
6
6
3
6 3
sqrt(3) sqrt(4 - s ) t + 3 s
t sqrt(3) sqrt(4 - s ) t - 3 s t
[c = -------------------------------, b =
-------------------------------]]
6
6
(%i44)
７）c-b=st^2 c^2+cb+b^2=s^2t
(%i44) ex1:c-b=s*t^2;
2
(%o44)
c - b = s t
(%i45) ex2:c^2+b*c+b^2=s^2*t;
2
2 2
(%o45)
c + b c + b = s t
(%i46) solve([ex1,ex2],[c,b]);
4 2
sqrt(3) s sqrt(4 t - t ) - 3 s t
(%o46) [[c = - ---------------------------------,
6
4 2
sqrt(3) s sqrt(4 t - t ) + 3 s t
b = - ---------------------------------],
6
4
2
4 2
sqrt(3) s sqrt(4 t - t ) + 3 s
t sqrt(3) s sqrt(4 t - t ) - 3 s t
[c = ---------------------------------, b =
---------------------------------]]
6
6
８）c-b=s^2t^2 c^2+cb+b^2=st
(%i47) ex1:c-b=s^2*t^2;
2 2
(%o47)
c - b = s t
(%i48) ex2:c^2+b*c+b^2=s*t^2;
2
2 2
(%o48)
c + b c + b = s t
(%i49) solve([ex1,ex2],[c,b]);
4 2 2 2
sqrt(3) t sqrt(4 s - s t ) - 3 s t
(%o49) [[c = - -------------------------------------,
6
4 2 2 2
sqrt(3) t sqrt(4 s - s t ) + 3
s t
b = - -------------------------------------],
6
4 2 2 2
sqrt(3) t sqrt(4 s - s t ) + 3 s t
[c = -------------------------------------,
6
4 2 2 2
sqrt(3) t sqrt(4 s - s t ) - 3 s t
b = -------------------------------------]]
6
９）c-b=s^3^2 c^2+cb+b^2=t
(%i50) ex1:c-b=s^3*t^2;
3 2
(%o50)
c - b = s t
(%i51) ex2:c^2+b*c+b^2=t;
2 2
(%o51)
c + b c + b = t
(%i52) solve([ex1,ex2],[c,b]);
6 4 3 2
sqrt(3) sqrt(4 t - s t ) - 3 s t
(%o52) [[c = - -----------------------------------,
6
6 4 3 2
sqrt(3) sqrt(4 t - s t ) + 3
s t
b = - -----------------------------------],
6
6 4 3 2
sqrt(3) sqrt(4 t - s t ) + 3 s t
[c = -----------------------------------,
6
6 4 3 2
sqrt(3) sqrt(4 t - s t ) - 3 s t
b = -----------------------------------]]
6
(%i53)
１０）c-b=s^3t^3 c^2+cb+b^2=1
(%i53) ex1:c-b=s^3*t^3;
3 3
(%o53)
c - b = s t
(%i54) ex2:c^2+b*c+b^2=1;
2 2
(%o54)
c + b c + b = 1
(%i55) solve([ex1,ex2],[c,b]);
6 6 3 3
sqrt(3) sqrt(4 - s t ) - 3 s t
(%o55) [[c = - ---------------------------------,
6
6 6 3 3
sqrt(3) sqrt(4 - s t ) + 3 s
t
b = - ---------------------------------],
6
6 6 3
3
6 6 3 3
sqrt(3) sqrt(4 - s t ) + 3 s
t sqrt(3) sqrt(4 - s t ) - 3
s t
[c = ---------------------------------, b =
---------------------------------]]
6
6
１１）c-b=1 c^2+cb+b^2=s^3t^3
(%i56) ex1:c-b=1;
(%o56)
c - b = 1
(%i57) ex2:c^2+b*c+b^2=s^3*t^3;
2
2 3 3
(%o57)
c + b c + b = s t
(%i58) solve([ex1,ex2],[c,b]);
3 3
sqrt(3) sqrt(4 s t - 1) - 3
(%o58) [[c = - -----------------------------,
6
3
3
3 3
sqrt(3) sqrt(4 s t - 1) +
3 sqrt(3) sqrt(4 s
t - 1) + 3
b = - -----------------------------], [c =
-----------------------------,
6
6
3 3
sqrt(3) sqrt(4 s t - 1) - 3
b = -----------------------------]]
6
すべてに、√３が現れる。注 sqrt(3)は、√３のこと
故 に自然数解はない。
c^2-b^2=a^2であるから、c^2-b^2=0は重根を持たねばならない。
ところが、c^2-b^2=(c-b)(c+b)であり、重根を持たない。
しかし、ピタゴラス数をよく観察してみると、
5^2-4^2=(5+4)(5-4)=9x1=3^2
13^2-12^2=(13+12)(13-12)=25x1=5^2
であって、c+b=a^2のようである。c=b+1とすると、(b+1)^2-b^2=(2b+1)=a^2である。
また、
17^2-15^2=(17+15)(17-15)=32x2=64=8^2
29^2-21^2=(29+21)(29-21)=50x8=400=20^2
でもある。
さてc^3-b^3=a^3より、c^3-b^3は単一の重根aを持たねばならない。
そこで、c=x+j,b=xとおくと
(ガウスの代数学の基本定理より、単一の重根aを持つならば、
f(x)=(x-a)^3
また、
g(x)=(x+j)^3-x^3
したがって、f(x)=g(x)でなければならない。
f(x)=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3
g(x)=x^3+3jx^2+3j^2x+j^3-x^3=3jx^2+3j^2x+j^3
明らかに、f(x)≠g(x)。
したがって、c^3-b^3は、単一の重根aをもたない。
同様にして、
ガウスの代数学の基本定理より、単一の重根aを持つならば、
f(x)=(x-a)^2
また、
g(x)=(x+j)^2-x^2
したがって、f(x)=g(x)でなければならない。
f(x)=x^2-2ax+a^2
g(x)=x^2+2jx+j^2-x^2=2jx+j^2
明らかに、f(x)≠g(x)。
したがって、c^2-b^2は、単一の重根aをもたない。
同様にして、
ガウスの代数学の基本定理より、 単一の重根aを持つならば、
f(x)=(x-a)^n
また、
g(x)=(x+j)^n-x^n
したがって、f(x)=g(x)でなければならない。
n
f(x)=∑ nCi x^(n-i) (-a)^i
i=0
また、n
g(x)=∑ nCi x^(n-i) j^i -x^n
i=0
n n
f(x)-g(x)=∑ nCi x^(n-i) (-a)^i -∑ nCi x^(n-i) j^i +x^n
i=0 i=0
n
f(x)-g(x)=∑ nCi x^(n-i){ (-a)^i-j^i} +x^n
i=0
f(x)=g(x)より、
n
0 =∑ nCi x^(n-i){ (-a)^i-j^i} +x^n
i=0
ここで、i=0のとき、nC0 x^(n-0){ (-a)^0-j^0}=x^n{1-1}=0より、
n
0 =∑ nCi x^(n-i){ (-a)^i-j^i} +x^n
i=1
でもよい。
また、i=nのとき、
n-1
0 =∑ nCi x^(n-i){ (-a)^i-j^i} +nCn x^(n-n){
(-a)^n-j^n}+x^n
i=1
n-1
0 =∑ nCi x^(n-i){ (-a)^i-j^i} + (-a)^n-j^n+x^n
i=1
さて、i=1～(n-1)のとき、nCiはnの倍数であるから、∑はnの倍数である。シグマを左辺に移動すると、
n-1
∑ nCi x^(n-i){ j^i-(-a)^i} =
(-a)^n-j^n+x^n
i=1
より、左辺はnの倍数より、右辺もnの倍数である。
n-1
∑ nCi x^(n-i){ j^i-(-a)^i} =x^n+ (-a)^n-j^n
i=1
n-1
∑ nCi x^(n-i){ j^i-(-a)^i} =(x+(-a)){x^(n-1)-x^(n-2)(-a)+x^(n-3)(-a)^2-x^(n-4)(-a)^3+・・・-x(-a)^(n-2)+ (-a)^(n-1)} -j^n
i=1
n-1
∑ nCi x^(n-i){ j^i-(-a)^i} =(x-a){x^(n-1+-x^(n-2)a+x^(n-3)a^2+x^(n-4)a^3+・・・-x(-a)^(n-2)+(-a)^(n-1)} -j^n
i=1
c=x+j,b=x,a=x-kとする。
ガウスの代数学の基本定理より、 単一の重根kを持つならば、f(x)=(x-k)^n
また、
g(x)=(x+j)^n-x^n
したがって、f(x)=g(x)でなければならない。
x=kのとき、f(k)=0なので、g(k)=0であるはずである。
g(k)=(k+j)^n-k^n
n
= ∑ nCi k^(n-i)j ^i -k^n
i=0
i=0のとき、nCi k^(n-i)j ^i=k^nより、
n
= ∑ nCi k^(n-i)j ^i +k^n -k^n
i=1
n
= ∑ nCi k^(n-i)j ^i >0
i=1
よって、f(k)≠g(k)
したがって、g(x)は、単一の重根kを持をもたない。つまり、g(x)が自然数解を持つならば、少なくとも2つ以上の自然数の積である。
ただし、2つの自然数が、一つが素数であり、もう一つが1であるとき、見かけ上c^n-b^n=a^nのように、aという一つの素数に見えることもある。ま た、2つの自然数が、一つが自然数であり、もう一つが1であるとき、aという一つの自然数に見えることもある。
代数学的に公式、
c^n-b^n=(c-b){c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+c^(n-4)b^3+・・・・+cb^(n-2)+b^(n- 1)}
よりからもa,bについて明らかである。
また、代数学的に公式、
a^n+b^n=(a+b){a^(n-1)-a^(n-2)b+a^(n-3)b^2-a^(n-4)b^3+・・・・-ab^(n-2)+b^(n- 1)} （ただし、nは奇数）
よりからもcについても明らかである。
以上から、a,b,cは、いずれも、少なくとも2つ以上の自然数の積である。
以上は、a^n+b^n=c^nが成り立つとき、n=2から言える。（ただし、a^n+b^nはnが奇数なので、n=3以上の奇数）
c=x+j,b=x,a=(x-u)(x-v)とする。
ガウスの代数学の基本定理より、 2つの重根u,vを持つならば、f(x)=(x-u)^n(x-v)^n
また、
g(x)=(x+j)^n-x^n
したがって、f(x)=g(x)でなければならない。
x=uのとき、f(u)=0なので、g(u)=0であるはずである。
g(u)=(u+j)^n-u^n
n
= ∑ nCi u^(n-i)j ^i -u^n
i=0
i=0のとき、nCi u^(n-i)j ^i=u^nより、
n
= ∑ nCi u^(n-i)j ^i +u^n -u^n
i=1
n
= ∑ nCi u^(n-i)j ^i >0
i=1
よって、f(u)≠g(u)
同様に、f(v)≠g(v)
したがって、g(x)は、2つの重根u,vを持をもたない。
同様にして、a=(x-u)(x-v)(x-w)として、ガウスの代数学の基本定理より、 3つの重根u,v.wを持つならば、同様にf(u)≠g(u),f(v)≠g(v),f(w)≠g(w)
したがって、g(x)は、3つの重根u,v,wを持たない。
同様にして、a=(x-u)(x-v)(x-w)(x-z)・・・・として、ガウスの代数学の基本定理より、 n個の重根u,v.w・・・・を持つならば、
同様にf(u)≠g(u),f(v)≠g(v),f(w)≠g(w)・・・・
したがって、g(x)は、n個の重根u,v,w・・・・を持をもつならば、n個重根を持たない。
以上から、aを素因数分解したら、素数β1,β2,β3,β4,・・・・・であるとき、b-α1=β1,b-α2=β2,b-α3=β3,・・・・とする と、
f(x)=(x-α1)^n(x-α2)^n(x-α3)^n(x-α4)^n・・・・・
であるから、
上記より、
f(α1)≠g(α1),f(α2)≠g(α2),f(α3)≠g(α3),f(α4)≠g(α4),・・・・・
より、c^n-b^n≠a^n
同様に、
より、c^n-a^n≠b^n
したがって、
a^n+b^n≠c^n
ゆえに、フェルマーの最終定理が証明された。
出会いの泉の掲示板でお世話になりました。特に、DD++様、ありがとうございました。
フェルマーの最終定理の初等的証明を考える。
a^n+b^n=c^nにおいて、a,b,cは自然数であり、n≧3では、成り立たないという問題である。
a,b,cは、互いに素な自然数であるとする。
さて、公式より、
c^n-b^n=(c-b){c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+c^(n-4)b^3+・・・+cb^(n-2)+b^(n-1)}
また、c^n-b^n=a^n
よって、
a^n=(c-b){c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+c^(n-4)b^3+・・・+cb^(n-2)+b^(n-1)}
---(a)
ここで、{}の中は、初項c^(n-1)、項比b/c,項数nの等比級数である。
a^n=(c-b)c^(n-1){1+b/c+(b/c)^2+(b/c)^3+・・・+(b/c)^(n-2)+(b/C)^(n-1)} ---(b)
(b)式の両辺をa^tで割ると、a,cは互いに素であるから、c^(n-1)/a^tは割り切れない。
ただし、tはt<nの自然数である。
すると、(b)は、左辺は割り切れるが、右辺は少なくともc^(n-1)/a^tが割り切れないので、成り立たない。ゆえに、(a)式は成り立たず、c^n-
b^n=a^nは成り立たない。
よって、フェルマーの最終定理は、初等的に証明された。