【基本となる事柄】
2,3の倍数を除いた素数候補式は6n+Pであるが、σ(xn)を素因数分解した時、3は、xが6n+5と表せる素数なら、 決して現れないようだ。ここで、Pは、1,5である。
x=6j+5で、x-2k=3のとき、
6j+5-2k=3
6j+2=2k
σ(xn)=1+x+x2+x3+・・・・+xnにおいてx
-2k=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるからp(x-2k)={(2k)n+1-1}/(2k-1)｛ただしnは偶
数｝より、
p(x-2k)=1+(2k)+(2k)2+(2k)3+・・・・+(2k)n-1+(2k)n
であるから、最初は、
3p=1+(2k)+(2k)2
また、2k=6j+2
より、
1=
1
2k=6j
+2
(2k)2=(6j)2+・・・
+22
+)____________________________
1+(2k)+(2k)2=(6j)sum+{1+2+22}
となる。
したがって、3で割ったあまりは1である。
つぎは、
3p=1+(2k)+(2k)2+(2k)3+(2k)4
より、
1=
1
2k=(6j)
+2
(2k)2=(6j)2+・・・
+22
(2k)3=(6j)3+・・・
+23
(2k)4=(6j)4+・・・
+24
+)________________________________________________________
1+(2k)+(2k)2+(2k)3+(2k)4=(6j)sum+{1+2+22+23+24}
したがって、
3p=1+(2k)+(2k)2+(2k)3+・・・・+(2k)n-1+(2k)n=(6j)sum+{2n+1-1}
(6j)sumは3で割り切れるので、{2n+1-1}が3で割れるかだけを調べればσ(xn)
の素因数分解に3が現れるかがわかる。
つまり、3Q={2n+1-1}について、nは偶数なので、n=1から順に増やして循環するまでさがす。
(%i1) mod(2^3-1,3);
(%o1)
1
(%i2) mod(2^5-1,3);
(%o2)
1
(%i3) mod(2^7-1,3);
(%o3)
1
(%i4) mod(2^9-1,3);
(%o4)
1
この例では、n=2で循環が始まっている。
これが、今後の基本となる部分である。
第1節 これまでのまとめ
==============
これまでのまとめ ｛念のため、ただしnは偶数、tは1以上x=Mu+tとするとt<Mです。｝
==============
以上から、x=67u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、
t=2,3,5,7,8,11,12,13,18,20,27,28,30,31,32,34,38,41,42,43,44,45,46,50,51,52,53,57,58,61,63,66
ならσ(xn)を素因数分解したら67を含まない。
以上から、x=61u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、t=2,3,4,5,6,7,8,10,11,14,17,18,19,21,23,24,26,27,28,29,30,31,32,33,35,36,37,38,39,40,41,43,44,45,46
,48,49,50,51,52,53,54,55,59,60ならσ(xn)を素因数分解したら61を含まない。
以上から、x=59u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、
t=2,6,8,10,11,13,14,18,23,24,30,31,32,33,34,37,38,39,40,42,43,44,47,50,52,54,55,56,58
ならσ(xn)を素因数分解したら59を含まない。
x=53u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、
t=2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,14,17,18,19,20,21,22,23,25,26,27,29,30,31,32,33,34,35,37,38,39,40
,41,43,45,48,50,51,52ならσ(xn)を素因数分解したら53を含まない。
x=47u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、
t=5,10,11,13,15,19,20,22,23,26,29,30,31,33,35,38,39,40,41,43,44,45,46ならσ(xn)を素因数分解したら47を
含まない。
x=43u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、
t=2,3,5,7,8,12,18,19,20,22,26,27,28,29,30,32,33,34,37,39,40,42ならσ(xn)を素
因数分解したら43を含まない。
x=41u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、t=
2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,17,19,20,21,22,23,24,25,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,38,39,40
なら
σ(xn)を素因数分解したら41を含まない。
x=37u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、
t=2,3,4,5,6,8,11,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,24,25,27,28,29.30,31,32,35,36
ならσ(xn)を素因数分解したら
37を含まない。
x=31u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、
t=3,6,11,12,13,15,17,21,22,23,24,26,27,29,30ならσ(xn)を素因数分解したら31を含まない。
x=29u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、
t=2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,21,22,26,27,28ならσ(xn)を素因数分解し
たら29を含まない。
x=23u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、
t=5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22ならσ(xn)を素因数分解したら23を含まない。
x=19u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、
t=2,3,8,10,12,13,14,15,18ならσ(xn)を素因数分解したら19を含まない。
x=17u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、
t=1のみ、17を含むことがあり、t=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16であるとき、決して17は含まない。
x=13u+tと表せる素数のσ(xn)の因数分解において、
t=1,3,9のみ、13を含むことがあり、t=2,4,5,6,7,8,10,11,12であるとき、決して13は含まない。
x=11u+tで表せる素数は、t=2,6,7,8,10とき、σ(xn)を素因数分解した時、11を含まず、
t=1,3,4,5,9の時、σ(xn)を素因数分解した時、11を含むことがある。
x=7u+tで表せる素数は、t=3,5,6であるとき、σ(xn)を素因数分解した時、7で割り切れず7を含まない。
x=5u+tで表せる素数は、t=2,3,4であるとき、σ(xn)を素因数分解した時、5で割り切れず5を含まない。
x=3u+tで表せる素数は、t=2であるとき、σ(xn)を素因数分解した時、 3で割り切れず3を含まない。
x=31u+t、x=37u+t、x=41u+t、x=43u+t、x=47u+t、x=53u+t、x=59u+t、x=61u+t、x=67u+t
11と１が2個並んだ数を基本として、2の倍数個並んだ数は、11で割れます。
11) 11 11 11 11 11 11 11 11
101) 1 01 01 01 01 01 01 01
10001) 1 0001 0001 0001
1 0000 0001
このように、1が並んだ数は1111111111111111=11 x 101 x 10001 x 100000001
因数分解できます。この因数分解は、各桁の係数が0,1の2とおりだけですが、普通の因数分解では、 各桁の係数が何通りもあるので、違った結果になりますが、展開すれば同じです。
この１が16個並んだ数は、1+x+x^2+x^3+・・・+x^14+x^15ともかけます。x進数の1が16個並んだ数です。
(%i1) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15);
2
4 8
(%o1)
(x + 1) (x + 1) (x + 1) (x + 1)
これを1が並んだ数で表せば、11 x 101 x 10001 x 100000001と同じ結果になりましたね。
111と１が3個並んだ数を基本として、3の倍数個並んだ数は、111で割れます。
111) 111 111 111 111 111 111 111 111
1001) 1 001 001 001 001 001 001 001
1000001) 1 000 001 000 001 000 001
1 000 000 000 001
1が24個並んだ数は、111111111111111111111111=111 x 1001 x 1000001 x 1000000000001
となります。
第２節 1が並んだ数とσ（x^n)σ(x^n)で、素数x=3u+1ならば、σ(x^n)を素因数分解したら、3を含む場合があるのでしたね。
(%i19) x:3*u+1;
(%o19)
3 u + 1
１が3個並んだ数
(%i21) factor(1+x+x^2)
2
(%o21)
3 (3 u + 3 u + 1)
3が先頭にあり、uにかかわらす、3の倍数になります。
１が5個並んだ数
(%i22) factor(1+x+x^2+x^3+x^4)
4
3 2
(%o22)
81 u + 135 u + 90 u + 30 u + 5
１が7個並んだ数
(%i23) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)
6
5
4
3 2
(%o23) 729 u + 1701 u + 1701 u + 945 u + 315 u + 63 u + 7
１が9個並んだ数
(%i24) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8)
2
6
5
4
3 2
(%o24) 9 (3 u + 3 u + 1) (243 u + 486 u + 405 u + 189 u + 54 u + 9 u + 1)
3^2が先頭にあり、uにかかわらす、3^2の倍数になります。
１が11個並んだ数
(%i25) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10)
10
9
8
7
6 5
(%o25) 59049 u + 216513 u + 360855 u + 360855 u + 240570 u + 112266 u
4
3 2
+ 37422 u + 8910 u + 1485 u + 165 u + 11
１が13個並んだ数
(%i26) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12)
12
11
10
9 8
(%o26) 531441 u + 2302911 u + 4605822 u + 5629338 u + 4691115 u
7
6
5
4
3 2
+ 2814669 u + 1250964 u + 416988 u + 104247 u + 19305 u + 2574 u + 234 u
+ 13
１が15個並んだ数
(%i27) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14)
2
4
3 2
(%o27) 3 (3 u + 3 u + 1) (81 u + 135 u + 90 u + 30 u + 5)
8
7
6
5
4
3 2
(6561 u + 15309 u + 15309 u + 8748 u + 3159 u + 756 u + 126 u + 12 u
+ 1)
3が先頭にあり、uにかかわらす、3の倍数になります。
１が17個並んだ数
(%i28) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16)
16
15
14
13
(%o28) 43046721 u + 243931419 u + 650483784 u + 1084139640 u
12
11
10
9
+ 1264829580 u + 1096185636 u + 730790424 u + 382794984 u
8
7
6
5
4 3
+ 159497910 u + 53165970 u + 14177592 u + 3007368 u + 501228 u + 64260 u
2
+ 6120 u + 408 u + 17
１が19個並んだ数
(%i29) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16+x^17+x^18)
18
17
16
15
(%o29) 387420489 u + 2453663097 u + 7360989291 u + 13904090883 u
14
13
12
11
+ 18538787844 u + 18538787844 u + 14419057212 u + 8926083036 u
10
9
8
7
6
+ 4463041518 u + 1818276174 u + 606092058 u + 165297834 u + 36732852 u
5
4
3 2
+ 6593076 u + 941868 u + 104652 u + 8721 u + 513 u + 19
１が21個並んだ数
(%i30) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20)
2
6
5
4
3 2
(%o30) 3 (3 u + 3 u + 1) (729 u + 1701 u + 1701 u + 945 u + 315 u + 63 u
12
11
10
9 8
+ 7) (531441 u + 1948617 u + 3247695 u + 3267378 u + 2217618 u
7
6
5
4
3 2
+ 1071630 u + 378351 u + 98658 u + 19035 u + 2700 u + 279 u + 18 u + 1)
3が先頭にあり、uにかかわらす、3の倍数になります。
１が23個並んだ数
(%i31) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22)
22
21
20
(%o31) 31381059609 u + 240588123669 u + 882156453453 u
19
18
17
+ 2058365058057 u + 3430608430095 u + 4345437344787 u
16
15
14
+ 4345437344787 u + 3517734993399 u + 2345156662266 u
13
12
11
10
+ 1302864812370 u + 608003579106 u + 239516561466 u + 79838853822 u
9
8
7
6
5
+ 22518651078 u + 5361583590 u + 1072316718 u + 178719453 u + 24530121 u
4
3 2
+ 2725569 u + 239085 u + 15939 u + 759 u + 23
１が25個並んだ数
(%i32) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24)
4
3 2
(%o32) (81 u + 135 u + 90 u + 30 u + 5)
20
19
18
17
(3486784401 u + 23245229340 u + 73609892910 u + 147219785820 u
16
15
14
13
+ 208561363245 u + 222479803035 u + 185459622975 u + 123759322875 u
12
11
10
9
+ 67187428425 u + 29995415775 u + 11087040240 u + 3404666925 u
8
7
6
5 4
+ 869004450 u + 183872025 u + 32057775 u + 4558680 u + 520425 u
3 2
+ 46575 u + 3150 u + 150 u + 5)
１が27個並んだ数
(%i33) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26)
2
6
5
4
3 2
(%o33) 27 (3 u + 3 u + 1) (243 u + 486 u + 405 u + 189 u + 54 u + 9 u
18
17
16
15
+ 1) (129140163 u + 774840978 u + 2195382771 u + 3902902704 u
14
13
12
11
+ 4878628380 u + 4553386488 u + 3288556908 u + 1879175376 u
10
9
8
7 6
+ 861288714 u + 319002381 u + 95718429 u + 23225940 u + 4531464 u
5
4
3 2
+ 704214 u + 86022 u + 8100 u + 567 u + 27 u + 1)
3^3が先頭にあり、uにかかわらす、3^3の倍数になります。
１が29個並んだ数
(%i34) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26
+x^27+x^28)
28
27
26
(%o34) 22876792454961 u + 221142327064623 u + 1031997526301574 u
25
24
23
+ 3095992578904722 u + 6707983920960231 u + 11179973201600385 u
22
21
20
+ 14906630935467180 u + 16326310072178340 u + 14965784232830145 u
19
18
17
+ 11640054403312335 u + 7760036268874890 u + 4467899669958270 u
16
15
14
+ 2233949834979135 u + 973773004990905 u + 370961144758440 u
13
12
11
+ 123653714919480 u + 36065666851515 u + 9193209197445 u
10
9
8
7
+ 2042935377210 u + 394250686830 u + 65708447805 u + 9386921115 u
6
5
4
3 2
+ 1137808620 u + 115429860 u + 9619155 u + 641277 u + 32886 u + 1218 u
+ 29
１が31個並んだ数
(%i35) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26
+x^27+x^28+x^29+x^30)
30
29
28
(%o35) 205891132094649 u + 2127541698311373 u + 10637708491556865 u
27
26
25
+ 34277060695016565 u + 79979808288371985 u + 143963654919069573 u
24
23
22
+ 207947501549767161 u + 247556549464008525 u + 247556549464008525 u
21
20
19
+ 210881505098970225 u + 154646437072578165 u + 98411369046186105 u
18
17
16
+ 54672982803436725 u + 26635555724751225 u + 11415238167750525 u
15
14
13
+ 4312423307816865 u + 1437474435938955 u + 422786598805575 u
12
11
10
+ 109611340431075 u + 24999077642175 u + 4999815528435 u
9
8
7
6
+ 872983663695 u + 132270252075 u + 17252641575 u + 1916960175 u
5
4
3 2
+ 178916283 u + 13762791 u + 849555 u + 40455 u + 1395 u + 31
１が33個並んだ数
(%i36) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26
+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32)
2
10
9
8 7
(%o36) 3 (3 u + 3 u + 1) (59049 u + 216513 u + 360855 u + 360855 u
6
5
4
3 2
+ 240570 u + 112266 u + 37422 u + 8910 u + 1485 u + 165 u + 11)
20
19
18
17
(3486784401 u + 22082967873 u + 66248903619 u + 125265958110 u
16
15
14
13
+ 167537838132 u + 168570959436 u + 132454760517 u + 83257141383 u
12
11
10
9
+ 42530160348 u + 17833919931 u + 6173159607 u + 1767238155 u
8
7
6
5
4 3
+ 417758553 u + 81139887 u + 12839877 u + 1635876 u + 165240 u + 12960 u
2
+ 765 u + 30 u + 1)
3が先頭にあり、uにかかわらす、3の倍数になります。
1が35個並んだ数
(%i37) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26
+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32+x^33+x^34)
4
3 2
(%o37) (81 u + 135 u + 90 u + 30 u + 5)
6
5
4
3 2
(729 u + 1701 u + 1701 u + 945 u + 315 u + 63 u + 7)
24
23
22
21
(282429536481 u + 2165293113021 u + 7939408081077 u + 18525285522513 u
20
19
18
+ 30875475870855 u + 39110098364550 u + 39115909671885 u
17
16
15
+ 31679502525693 u + 21142224832266 u + 11771412835590 u
14
13
12
11
+ 5515695935955 u + 2188168459425 u + 737825580909 u + 211890663963 u
10
9
8
7
+ 51846262029 u + 10794235932 u + 1906042671 u + 283894470 u
6
5
4
3 2
+ 35372538 u + 3643056 u + 304803 u + 20196 u + 1026 u + 36 u + 1)
このように、１が3の倍数個並ぶと
(%i21) factor(1+x+x^2)
2
(%o21)
3 (3 u + 3 u + 1)
ですから、全部3(3u^2+3u+1)を持ちます。
たとえば、x=7u+2の素数であれば、σ(x^n)の素因数分解に7を含む場合がありますが、
(%i38) x:7*u+2;
(%o38)
7 u + 2
1が3個並んだ数
(%i41) factor(1+x+x^2)
2
(%o41)
7 (7 u + 5 u + 1)
先頭に7があるので、uにかかわらず7の倍数ですね。
1が5個並んだ数
(%i42) factor(1+x+x^2+x^3+x^4)
4
3 2
(%o42)
2401 u + 3087 u + 1519 u + 343 u + 31
1が7個並んだ数
(%i43) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)
6
5
4
3 2
(%o43) 117649 u + 218491 u + 170471 u + 71687 u + 17199 u + 2247 u + 127
1が9個並んだ数
(%i44) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8)
2
6
5
4 3
(%o44) 7 (7 u + 5 u + 1) (117649 u + 201684 u + 144060 u + 55223 u
2
+ 12054 u + 1428 u + 73)
先頭に7があるので、uにかかわらず7の倍数ですね。
1が11個並んだ数
(%i45) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10)
10
9
8
7
(%o45) 282475249 u + 847425747 u + 1147195399 u + 923191703 u
6
5
4
3 2
+ 489302191 u + 178574375 u + 45482143 u + 7990871 u + 928207 u + 64519 u
+ 2047
1が13個並んだ数
(%i46) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12)
12
11
10
9
(%o46) 13841287201 u + 49433168575 u + 81070396463 u + 80747567607 u
8
7
6
5
+ 54413956639 u + 26143372535 u + 9185916271 u + 2379350183 u
4
3 2
+ 451155103 u + 61114711 u + 5619663 u + 315399 u + 8191
1が15個並んだ数
(%i47) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14)
2
4
3 2
(%o47) 7 (7 u + 5 u + 1) (2401 u + 3087 u + 1519 u + 343 u + 31)
8
7
6
5
4 3
(5764801 u + 12353145 u + 11529602 u + 6134555 u + 2038449 u + 433895 u
2
+ 57918 u + 4445 u + 151)
先頭に7があるので、uにかかわらず7の倍数ですね。
1が17個並んだ数
(%i48) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16)
16
15
14
(%o48) 33232930569601 u + 156669529828119 u + 346571990225839 u
13
12
11
+ 477565932296103 u + 458852512000351 u + 325991973484695 u
10
9
8
+ 177168193697551 u + 75144267507015 u + 25141536593215 u
7
6
5
4
+ 6658761044215 u + 1391699080303 u + 227176874407 u + 28402022047 u
3
2
+ 2630025559 u + 170196943 u + 6881287 u + 131071
1が19個並んだ数
(%i49) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16+x^17+x^18)
18
17
16
(%o49) 1628413597910449 u + 8607329017526659 u + 21501706078531847 u
15
14
13
+ 33731424528145015 u + 37241907153211439 u + 30731740765944295 u
12
11
10
+ 19644426796752863 u + 9946746425313943 u + 4044647558054159 u
9
8
7
+ 1330819385804615 u + 355204710545727 u + 76734285271287 u
6
5
4
3
+ 13319447884911 u + 1832835367335 u + 195588454047 u + 15622799703 u
2
+ 879886287 u + 31195143 u + 524287
1が21個並んだ数
(%i50) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20)
2
6
5
4 3
(%o50) 49 (7 u + 5 u + 1) (117649 u + 218491 u + 170471 u + 71687 u
2
12
11
10
+ 17199 u + 2247 u + 127) (1977326743 u + 6496930727 u + 9765572894 u
9
8
7
6
5
+ 8883558341 u + 5449384031 u + 2375568608 u + 754852791 u + 176204588 u
4
3 2
+ 29995693 u + 3632713 u + 297234 u + 14763 u + 337)
先頭に7^2があるので、uにかかわらず7^2の倍数ですね。
このように、１が3の倍数個並ぶと
(%i41) factor(1+x+x^2)
2
(%o41)
7 (7 u + 5 u + 1)
ですから、全部7(7u^2+5u+1)を持ちます。
第３節 1が並んだ数とσ（x^n)からわかること素数x,y（ただしx<y)が、x=3u+1,y=3v+1で、σ(x^n)、σ(y^m)の素因数分解は、n,mが３の倍数なら、３を因数として持ちますが、新しい合成数が、現れるのです。
たとえば、σ(x^14)は、
(%i27) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14)
2
4
3 2
(%o27) 3 (3 u + 3 u + 1) (81 u + 135 u + 90 u + 30 u + 5)
8
7
6
5
4
3 2
(6561 u + 15309 u + 15309 u + 8748 u + 3159 u + 756 u + 126 u + 12 u
+ 1)
たとえば、σ(y^20)は、
(%i69) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14
+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20)
2
6
5
4
3 2
(%o69) 3 (3 v + 3 v + 1) (729 v + 1701 v + 1701 v + 945 v + 315 v + 63 v
12
11
10
9 8
+ 7) (531441 v + 1948617 v + 3247695 v + 3267378 v + 2217618 v
7
6
5
4
3 2
+ 1071630 v + 378351 v + 98658 v + 19035 v + 2700 v + 279 v + 18 v + 1)
で、２つとも、後続する合成数は、u,vが違うので、新しいもので、新しい素数が現れるのですから、奇数の完全数a=x^n y^m z^l ・・・・において、σ(a)は、これまでの結果から、aを構成する素数の数より、σ(a)を構成する合成数が少なくとも1個以上多く、たとえ、σ(a)を素因数分解して整理しても、2a=σ(a)の両辺の素数の数は一致しない。
したがって、奇数の完全数a=x^n y^m z^l ・・・・は存在しない。
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